填充第 7 題，方法同【100師大附中】第三題，可以利用費馬點來解題。

請見 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1100&page=4#pid3109


問答 2：乙生算出來的是 f(2013) 的值。利用差分的方法，代入函數的數字要成等差。

相關知識可搜尋關鍵字：巴貝奇（Babbage）定理、差分

問答6

當圓周上有六個相異點時，此六點連接所成的弦，最多可以將圓內部分成 31 塊而已。

如下圖：

qq.png (24.51 KB)

2012-7-31 22:17

至於正確的公式，可見 https://math.pro/db/thread-916-1-1.html

小弟填充第 7 題聯想點：

x2+xy+y2=x2+y2−2xycos120

聯想到餘弦定理，

聯想到～～～三角形內部一點到任兩頂點夾角皆為 120，

且內部此點到三角形的三頂點距離分別為 xyz

可知此點為費馬點。


填充第 4 題：

先整係數一次因式檢驗法，可知 2x5−8x4+3x3+13x2−3x−3=(x+1)(2x4−10x3+13x2−3)

再來研究看看 2x4−10x3+13x2−3

「猜測」它可以被強迫分解成兩個整係數二次式的乘積～

最有可能的「猜測」有～～～

(x2+ax−1)(2x2+bx+3)

或是  (x2+ax+1)(2x2+bx−3)

或是  (x2+ax−3)(2x2+bx+1)

或是  (x2+ax+3)(2x2+bx−1)

此四種情況，分別都乘開，與  2x4−10x3+13x2−3 比較係數，

看看哪一個可以解出正確的 ab。

（實際上： 2x4−10x3+13x2−3=(x2−2x−1)(2x2−6x+3)）

剩下的就容易了。

填充第 2 題：

log22=22log22141420301002128log163 

22163 

log222=2221log2163050301002453log175 

222175 

小數點以後第二位四捨五入，可得

22218 

問答題第 3 題：

丙學生的算法是錯誤的，

因為第一個算幾不等式等號成立的條件是 a=b1ab=1

而第二個算幾不等式等號成立的條件是 3b=13a9ab=1

顯然兩者不會同時成立，

丙學生找出來的是"下界"，而非最小值。

最小值需要確保"等號"會成立才行。

而正確的算法可以透過如下，使用柯西不等式：

a2+1b213a2+3b2a13a+1b3b2 

可得 a+b113a+3b316 

且上述柯西不等式等號成立的條件為 a13a=1b3b ，即 3a=b

帶入 a+b113a+3b=316 

可解得 a=31b=1（依題意，ab 為正數）

因此，a+b113a+3b  之最小值為 316

註：在求不等式的最大或最小值時，只要有用超過一個以上的不等式串接時，

　　就要檢查是否所有不等式的等號是否有可能同時成立，

　　如果可以同時成立，那找出來的下界才會是最小值。