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原帖由 八神庵 於 2010-7-6 08:07 PM 發表
關於計算第一題的教學解題
小弟我有想出三角函數法(高二)與微分法(高三)
如果出現在高一,那要用什麼方法解題?
請各位不吝指教
(PS.99課綱已把三角函數挪至高二上學期了.....)  

計算第一題，

題目：有一題目如下：『有一半徑 20 公尺的半圓形釣蝦場，

想在上面蓋一 T 字型的木橋方便釣客垂釣(如圖 OMAB )。

為使木橋總長 AB+OM 為最大，求此時 OM 的長度是多少?』

試問：該題在高一，高二，高三出現時，請您使用不同的解法來教導學生，請詳細說明您的解法。

解答：

令 AM=x，OM=y 且 2x+y=k，

則此題目要求 k 的最大值，

由 OA2=AM2+OM2，可得 x2+y2=400

x2+2x−k2=400 

5x2−4kx+k2−400=0 .......（＊）

因為 x 為實數，

所以由（＊）之判別式0，

可得 −205k205 

所以 k 有上界 205 ，

且當 k=205  時，將其帶入 （＊）

可得 x=85y=45 

故當 OM 長為 45  時，AB+OM 為最大。

第 1 題：設 (xy)=(ab) 為方程式 333x+222y=1 的整數解，若 b0，則b9 的餘數為_______。
[解答]

333a+222b=1

333a+222b1(mod9)

222b1(mod9)

872b1(mod9)

−172b1(mod9) 

−2b1(mod9) 

7b1(mod9)

偷偷找一下二元一次不定方程式 7x+9y=1 的一組解，

可得 74+9−3=1741(mod9) 

所以在 (mod9) 的餘數系統（Residue system）裡面 7 與 4 互為乘法反元素。

續接上面，可得

47b41(mod9)

28b4(mod9)

1b4(mod9)

b4(mod9)

第 2 題：設 log2x−x2=0 之根為 ，log3x−x=0 之根為 ，log3x−x2=0 之根為 ，則 的大小順序為_______。
[解答]

畫出 y=log2xy=log3xy=xy=x2 的圖形，

再看交點，即可得答案。

第 14 題： 已知拋物線 (x+1)2=2pyp0  的焦點 F，A 是拋物線上縱坐標為 4 且在 y 軸左方的點，A 到拋物線準線的距離等於 5，過 A 作 x 軸的垂線，交 x 軸於 B 點， O 為原點，令 M 為 OB 中點，過 M 作 AF 的垂線交 AF 於 N，則 N 點坐標為_______。
[解答]

因為題目所給的拋物線開口向上且 A 到準線的距離等於 5

　　及 A 是拋物線上縱坐標為 4 的點，

可得準線為 y=−1，

因此，拋物線頂點 (−10) 到準線的距離=1，

可得拋物線方程式為 (x+1)2=4y

所以，所有的點都可以找得出來坐標。


註：1. 感謝 mandy 於後方回覆提醒我一開始的題目有寫錯加減號！^__^

　　2. 因為又順手算了一遍，順便補上每個點的坐標如下：

　　　A(−54)B(−50)原點(00)M(2−50)F(−11)N(25−372534)

這些圓縮小時，半徑所成數列的公比，

會跟三角形縮小時，邊長的公比一樣，

或是要用 OCOC1 也一樣（其中，C 是 A1 與 B1 的中點）。

感謝！我怎麼一直看錯小地方，真的是越來越老眼昏花了！＝＝

計算第四題第二小題，題目給的橢圓與拋物線都對稱於 y 軸，

所以由於對稱性的關係，此四個相異交點會形成等腰梯形（兩平行對邊會平行 x 軸），

也就是要證「等腰梯形的四個頂點會共圓」。

google 找  Dandelin spheres  就可以得到許多附有圖解的證明！


前幾筆資料如下～

http://en.wikipedia.org/wiki/Dandelin_spheres

http://clowder.net/hop/Dandelin/Dandelin.html （這個還有動畫！！讚～）

http://mathworld.wolfram.com/DandelinSpheres.html

以上都有證明（說明）～：）

ps. 1. 或是翻教師手冊，通常也有 Dandelin spheres 的說明！：）

　  2. 相關考題：https://math.pro/db/thread-578-1-1.html

　　　　　　　 https://math.pro/db/thread-555-1-1.html

會這樣問表示您可能還沒有弄懂上面  Dandelin spheres 的說明～

雖然上面連結中 Dandelin spheres 的說明是以圓錐為例，

但根據這題我改以圓柱為例好了（原理相同）。

先來一個觀念～球面外一定點往球所做的切線段長都相同～

因此下圖中，PB=PF2 且 PA=PF1，

所以 PF1+PF2=PA+PB=AB 為定值！

此定值，即為橢圓的長軸長。

感謝您，我剛剛把那篇回覆的題目寫錯加減號的地方改正了，順便補上剛剛又算一次的各個點坐標，方便您交叉比對一下。：）