引用:

原帖由 ayumi 於 2010-6-18 11:46 PM 發表
請問關西高中的第17題，四面體中兩歪斜線間的距離，能不能給個方向??
題目若平面ABC與平面BDC垂直，己知BC=6, AB=AC,∠BAC=∠BCD=90度,∠BDC=60度,則BC與AD(歪斜線)的距離為多少

坐標化，令 C(000)、B(600)、A(303)、D(0230) 

引用:

原帖由 diow 於 2010-8-22 12:24 AM 發表
平面上有一直徑 6 的半圓，BC分別為半圓直徑的兩端點，A 為半圓上的中點，

在 AB  和 AC 上分別取一點 P 和 Q，

使得 PA:PB  =QC  :  QA=1:2，

直線 PQ 和直線 BC 交於 R 點，求 QR=？

設坐標系，

令 A(03)、B(−30)、C(30)，由分點公式可得 P(−12)、Q(21)

因此 PQ:x+3y=5 ，其交 x 軸於 R(50)，

故，QR=10 

引用:

原帖由 diow 於 2010-8-22 11:32 AM 發表
1. 一箱內有編號分別為 1 至 19 的十九個球，每次隨機取出一個球，紀錄其編號後放回箱內，以 P(n) 表示前 n 次取球的編號總和為偶數的機率。今存在常數 r、s 使得 P(10)=r+s P(9)，則 2r-s= ______。

解答：

第十球為偶數的機率為 \displaystyle\frac{9}{19}，第十球為奇數的機率為 \displaystyle\frac{10}{19}，

前九球和為偶數的機率為 P(9)，前九球和為奇數的機率為 1-P(9)，

\displaystyle P(10)=\frac{9}{19}P(9)+\frac{10}{19}\left(1-P(9)\right)

　　\displaystyle=\frac{10}{19}+\left(\frac{-1}{19}\right)P(9).

\displaystyle\Rightarrow r=\frac{10}{19},\, s=\frac{-1}{19}.

如果把第 13 題的題目稍微修改一下，將 P,Q 改置於圓周上，也是不錯的考題：

修改版題目：平面上有一直徑 6 的半圓，B.C分別為半圓直徑的兩端點，A 為半圓上的中點，

在 AB弧  和 AC弧 上分別取一點 P 和 Q，

使得 \overline{PA} : \overline{PB}   = \overline{QC}   :    \overline{QA} =1:2，

直線 \overleftrightarrow{PQ} 和直線 \overleftrightarrow{BC} 交於 R 點，求 \overline{QR}=？

解答：



如圖，依題意可得 \overline{PB}=\overline{QA}=2\overline{PA}=2\overline{QC}，

因此 ∠ POQ = 90^\circ，可得 \overline{PQ}=3\sqrt{2}.

在 \triangle QCR 與 \triangle BPR 中，

因為 ∠ R 相同且 ∠ QCR=180^\circ-∠ QCO=∠ BPR

所以 \triangle QCR 相似於 \triangle BPR，

且因為 \overline{PB}:\overline{QC}=2:1，所以 \displaystyle \overline{CR}=\frac{\overline{PR}}{2}，

令 \overline{QR}=x，則 \displaystyle \overline{CR}=\frac{x+3\sqrt{2}}{2}.

由圓的外冪性質，可得 \overline{QR}\times \overline{PR}=\overline{CR}\times \overline{BR}，

\displaystyle \Rightarrow x\cdot\left(x+3\sqrt{2}\right)=\frac{x+3\sqrt{2}}{2}\cdot\left(\frac{x+3\sqrt{2}}{2}+6\right)

可解得 x=4+\sqrt{2}.

第 6 題

\displaystyle \alpha=\sum_{k=0}^{1000}2^k C_k^{1000}=(1+2)^{1000}

\log \alpha = 1000 \log 3\approx 1000\times 0.4771 = 477.1 = 477 + 0.1

且因為 \log 1<0.1< \log 2，所以 \alpha 的最高位數字為 1

3^{1000} = (3^2)^{500} = (10-1)^{500} \equiv (-1)^{500} \equiv 1 \pmod{10}

\Rightarrow \alpha 的個位數字為 1

因此 z=1-i，

在複數平面上，\omega 所表示的是「以 -2+3i 為圓心，1 為半徑的圓周上的動點」

因此 \left|z-\omega\right| 的最小值為 \sqrt{\left(1-\left(-2\right)\right)^2+\left(\left(-1\right)-3\right)^2}-1=4.

第 10 題

\displaystyle f(x)=\sin 2x\cdot\tan x+\sin x\cdot\tan\frac{x}{2}

　　\displaystyle =2\sin x\cos x\cdot\frac{\sin x}{\cos x}+2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}\cdot\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}

　　\displaystyle =2\sin^2 x + 2\cdot\sin^2\frac{x}{2}

　　\displaystyle =2\left(1-\cos^2 x\right) + 1-\cos x

令 t=\cos x，

因為 \displaystyle \frac{\pi}{4}\leq x\leq \frac{5\pi}{12}，

所以 \displaystyle \cos \frac{5\pi}{12}\leq \cos x\leq \cos\frac{\pi}{4}\Rightarrow \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\leq t\leq \frac{1}{\sqrt{2}}

\displaystyle f(x)=2\left(1-t^2\right)+\left(1-t\right)=-2\left(t+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{25}{8}

畫出開口向下拋物線的圖形（圖略），可以發現頂點不在限制範圍內，

因此，

當 \displaystyle t=\frac{1}{\sqrt 2} 時，f(x) 有最小值為 \displaystyle \frac{4-\sqrt{2}}{2}.

第 15 題

同 https://math.pro/db/thread-456-1-1.html