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標題: 99中正預校 [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2010-7-3 20:06 標題: 99中正預校

題目和答案如附件

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作者: bugmens 時間: 2010-7-3 20:08

填充題
1.設四點A－B－C－D且\( \overline{AB}:\overline{BC}:\overline{CD}=2:3:1 \)，以\( \overline{BC} \)為直徑作圓，取圓上一點P(但\( P\ne B \)，\( P \ne C \))，則\( (tan∠APB)\times (tan∠CPD)= \)？
[速解]
\( \displaystyle \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} \)

A、B、C、D四點依次在直線L上，且\( \overline{AB}:\overline{BC}:\overline{CD}=a:b:c \)，以\( \overline{BC} \)為直徑作圓O，P為圓O上異於B、C的一點，令\( ∠APB=\alpha \)，\( ∠CPD=\beta \)，則\( tan \alpha \cdot tan \beta= \)？
(1)\( \displaystyle \frac{ca}{b^2+(c+a)b+ca} \)　(2)\( \displaystyle \frac{ab}{c^2+(a+b)c+ab} \)　(3)\( \displaystyle \frac{bc}{a^2+(b+c)a+bc} \)
(4)\( \displaystyle \frac{ca}{a^2+(b+c)a+bc} \)　(5)\( \displaystyle \frac{ab}{b^2+(c+a)b+ca} \)
(2008年北區第1次學測模擬考，RA340.swf)
[公式]
\( \displaystyle \frac{a}{a+b} \times \frac{c}{b+c} \)

5.有九個人排隊買電影票，票價每張50元，若這九個人中有五人身上帶有50元硬幣，其餘四人只帶有100元鈔票，今每個人限購一張票，則售票員不備零錢能將票順利售完不發生找錢困難的售票法共有A種，又這九個人排隊的方法共有B種，則序對為(A,B)為？

有十人要看電影,電影票一張50元,十人中有4人手拿100元鈔票,其他6人手拿50 元,今售票員不另外準備零錢找錢,但又可以讓這十位客人都順利買到票的方法數有多少種？
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6.若\( a^2+b^2=1 \)，\( c^2+d^2=1 \)，\( \displaystyle ac+bd=\frac{1}{2} \)，則\( \left| \matrix{a & b \cr c & d} \right| \)之值為？
[提示]
兩向量\( (a,b) \)，\( (c,d) \)，長度為1，夾角\( 60^o \)
行列式是兩向量所形成的三角形面積乘2倍再加正負

102.5.4補充
設實數\( a,b,c,d \)滿足\( a^2+b^2=2 \)且\( (c-3)^2+(d-4)^2=1 \)，則\( \displaystyle \Bigg\vert\; \matrix{a & c \cr b & d} \Bigg\vert\; \)的最大值為？
(102北一女中二招，https://math.pro/db/thread-1590-1-1.html)

感謝八神庵提醒，這題和99彰化女中相同
7.\( \displaystyle \int_0^2 \lim_{n \to \infty} \frac{(2-x)(x+x^n)}{1+x^n}dx \)之值為？
(99彰化女中，https://math.pro/db/thread-948-1-1.html)
解答在http://www.shiner.idv.tw/teacher ... &start=10#p4039

三、證明題
2.利用二項式定理與棣美弗定理導出正弦與餘弦函數的四倍角公式。

用\( cos \theta \)來表示\( cos 5\theta \)。
(95士林高商，h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=41891　連結已失效)

用利美佛定理，表示出\( sin5 \theta= \)？（用\( sin \theta \)表示），\( cos5 \theta= \)？（用\( cos \theta \)表示）
(新竹高中)，h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=24937　連結已失效

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作者: waitpub 時間: 2011-4-29 19:53

請問一下計算第二題中，S代公式要如何去化簡\( x_i-X \)

作者: weiye 時間: 2011-4-30 00:16

計算第 2 題的第 1 小題：

樣本標準差 \(\displaystyle S=\sqrt{\frac{\displaystyle \sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)^2-n\cdot\left(\frac{\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)}{n}\right)^2}{n-1}}\)

　　　　　　\(\displaystyle =\sqrt{\frac{\frac{1}{3}\left(4n^3-n\right)-n\cdot n^2}{n-1}}\)

　　　　　　\(\displaystyle =\sqrt{\frac{n\left(n+1\right)}{3}}\)

※　小弟是看答案推斷題目應該要求樣本標準差。

作者: martinofncku 時間: 2013-1-27 23:52

請問填充題 2

作者: weiye 時間: 2013-1-28 00:20 標題: 回復 5# martinofncku 的帖子

填充第 2 題：

\(n^3\equiv n \pmod{66}\)

\(n^3-n\equiv 0 \pmod{66}\)

\((n-1)n(n+1)\equiv0 \pmod{2\cdot3\cdot11}\)

因為 \(n-1, n, n+1\) 為連續的三整數，因此 \((n-1)n(n+1)\) 必為 \(2,3\) 的倍數

\(\Rightarrow n-1, n, n+1\) 有一數為 \(11\) 的倍數

且因為 \(n\) 是 \(n^3\) 「除以 \(66\) 的餘數」，

因此 \(n<66\)，

故，\(n\) 可為 \(0+1, 11, 11\pm1, 22, 22\pm1, \cdots, 55, 55\pm1, 66-1\)

共有 \(17\) 個。

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