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1.
設實數abcd滿足a2+b2=2且(c−3)2+(d−4)2=1，則abcd的最大值為？

若a2+b2=1，c2+d2=1，ac+bd=21，則abcd之值為？
(99中正預校，https://math.pro/db/thread-990-1-1.html)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2013-5-4 10:49 PM 編輯 ]

我算的答案是2√2+√3  希望是對ㄉ~~~~

引用:

原帖由 drexler5422 於 2013-5-7 03:10 PM 發表
我算的答案是2√2+√3

標準答案!

想請教第3,4和6題 謝謝

第 3 題：

　　M 內的任何一個元素，都會出現在 M 的某 29 個子集合中，

　　因此，所求＝−1+2−3+4−5+6−7+8−9+1029=2560 






第 6 題：

a 所求方法數＝n（兩黃色袋子內的卡片相同）＋n（兩黃色袋子內的卡片相異）

　　　　　　=23+243−23=36



b 所求方法數＝n（兩黃色袋子內的卡片相同）＋n（兩黃色袋子內的卡片相異）

　　　　　　=23H42+H22+H02+243H44−23H42+H22+H02 

　　　　　　\displaystyle =72+\frac{2240-72}{2}=1156

第 4 題：

1!\cdot2!\cdot3!\cdot4!\cdot5!\cdot6!\cdots35!\cdot36!=\left(1!\right)^2\cdot2\cdot\left(3!\right)^2\cdot4\cdot\left(5!\right)^2\cdot6\cdots\left(35!\right)^2\cdot36

　　=\left(1!3!5!\cdots35!\right)^2\cdot\left(2\cdot4\cdot6\cdots36\right)

　　=\left(1!3!5!\cdots35!\cdot2^9\right)^2\cdot\left(18!\right)

可見，拿掉 18! 可使得剩下各元數乘積為完全平方數。


不過，如何證明沒有其它的解呢？（唯一性）有勞各位大俠了。

第四題，幫補刀(唯一性)。

若有另一解 k'!>18! ，則 \frac{k'!}{18!} 為完全平方數。

而 19 為質數，且 19 \mid \frac{k'!}{18!} 但 19^2 \not| \frac{k'!}{18!} ，得矛盾。
(\nmid 失效，那個是不整除)

故不存在這樣的 k'!>18! 。

若有另一解 k''!<18! 則 \frac{18!}{k''!} 為完全平方數。

易驗 k''!=17! 不合，故 k''!<17!

而有 17 \mid \frac{18!}{k''!} 但 17^2 \not| \frac{18!}{k''!} ，得矛盾。

故亦不存在這樣的 k''<18 。

綜合以上二情況，得僅有 k=18 之唯一解

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-14 02:33 PM 編輯 ]

想請教drexler5422提供的計算題
感謝

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[ 本帖最後由 Joy091 於 2013-8-15 11:25 PM 編輯 ]