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標題: 99萬芳高中 [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2010-6-19 11:08 標題: 99萬芳高中

題目和答案如附件

附件: 99萬芳高中.rar (2010-6-19 11:08, 25.25 KB) / 該附件被下載次數 12768
https://math.pro/db/attachment.php?aid=230&k=dd735719b7ef7901f59e5289286573b1&t=1732249149

作者: bugmens 時間: 2010-6-19 11:09

1.已知一三角形三高長為\( \displaystyle \frac{1}{3} \)，\( \displaystyle \frac{1}{5} \)，\( \displaystyle \frac{1}{7} \)，求此三角形面積為。
[出處，97高中數學能力競賽　台中區筆試二試題]

3.若\( f(x)=\sqrt{x^4-3x^2+4}+\sqrt{x^4-3x^2-8x+20} \)，則\( f(x) \)的最小值為。

88高中數學能力競賽　台北市筆試二試題
http://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... h_TaipeiCity_02.pdf
95台中高農，h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=41421
96彰師附工，
97文華高中，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47781
都考過這題

4.ABCD為正方形，P為內部一點，\( \overline{PA}=3 \)，\( \overline{PB}=4 \sqrt{2} \)，\( \overline{PD}=5 \sqrt{2} \)，求正方形ABCD的面積為。
[提示]
將△PAB以A點順時針旋轉\( 90^o \)，B點和D點重合

已知E為正方形ABCD內部一點，\( \overline{AE}=1 \)，\( \overline{BE}=5 \)，\( \overline{CE}=7 \)，求正方形ABCD的邊長？
(97玉井商工，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=48752)

101.10.31補充
已知P為正方形ABCD內部一點，若\( \overline{AP}=\sqrt{10} \)、\( \sqrt{BP}=2 \)、\( \overline{CP}=\sqrt{2} \)，則正方形ABCD的面積為　　　平方單位
(101北區學測第二次模擬考)

7.求\( 6^{99}+7^{99}+8^{99} \) 除以 343 的餘數？

試求49除\( 6^{98}+8^{98} \)的餘數
(94高中數學能力競賽　高屏區筆試二試題)
h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... igh_Pingtung_02.pdf

11.求\( x^2-4xy+6y^2-2x-20y=29 \)的正整數解共幾組。
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=3795

求方程式\( x^2-xy+y^2+x-2y=0 \)的全部整數解。
(建中通訊解題　第50期)

滿足\( a^2+b^2-a-8b-2ab+16=0 \)且\( 0<a,b<100 \)的正整數\( a,b \)中，a的最大值為何？
(91高中數學能力競賽　桃竹苗區筆試二試題)
h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... High_HsinChu_02.pdf

試求方程式\( \displaystyle \frac{x+y}{x^2-xy+y^2}=\frac{3}{7} \)的所有整數解\( (x,y) \)
95嘉義高工，95基隆高中，https://math.pro/db/thread-865-1-3.html

12.一橢圓兩焦點為\( F_1 (-3,5) \)，\( F_2 (-10,9) \)且與\( y=x \)相切，求橢圓的長軸長

我的教甄準備之路　圓錐曲線的光學性質
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1807

14.對於任何一個三位數n，定義\( f(n) \)為n的三個數字和加上兩兩乘積再加上三個數字的乘積。求使得\( \displaystyle \frac{f(n)}{n}=1 \)的三位數共幾個？
[出處，建中通訊解題　第73期]
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=3795

101.6.24補充
16.
設方程式\( x^4+x+1=0 \)的四個複數根為\( r_1,r_2,r_3,r_4 \)，若\( P(x)=x^2-3 \)，則\( P(r_1) \times P(r_2) \times P(r_3) \times P(r_4) \)

若\( x^4+x+1=0 \)之四根為\( r_1,r_2,r_3,r_4 \)，又\( p(x)=x^2-2 \)，求\( p(r_1) \times p(r_2) \times p(r_3) \times p(r_4) \)
(101新化高中，https://math.pro/db/thread-1428-1-1.html)

作者: 八神庵 時間: 2010-6-21 23:35

請教第16題的解題思維!

作者: weiye 時間: 2010-6-21 23:47

第 16 題：
設方程式 \(x^4+x+1=0\) 的四個複數根為 \(r_1,r_2,r_3,r_4\)。若 \(P(x)=x^2-3\)，則 \(P(r_1)\times P(r_2)\times P(r_3)\times P(r_4)=?\)

解答：

令 \(f(x)=x^4+x+1 = \left(x-r_1\right)\left(x-r_2\right)\left(x-r_3\right)\left(x-r_4\right)\)，

因為 \(P(x)=\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)=\left(\sqrt{3}-x\right)\left(-\sqrt{3}-x\right)\)

所以，所求 \(=P(r_1)\times P(r_2)\times P(r_3)\times P(r_4)\)

　　　　　 \(=\left(\sqrt{3}-r_1\right)\left(-\sqrt{3}-r_1\right)\times\left(\sqrt{3}-r_2\right)\left(-\sqrt{3}-r_2\right)\times\left(\sqrt{3}-r_3\right)\left(-\sqrt{3}-r_3\right)\times\left(\sqrt{3}-r_4\right)\left(-\sqrt{3}-r_4\right)\)

　　　　　\(=\left[\left(\sqrt{3}-r_1\right)\left(\sqrt{3}-r_2\right)\left(\sqrt{3}-r_3\right)\left(\sqrt{3}-r_4\right)\right]\times\left[\left(-\sqrt{3}-r_1\right)\left(-\sqrt{3}-r_2\right)\left(-\sqrt{3}-r_3\right)\left(-\sqrt{3}-r_4\right)\right]\)

　　　　　\(=f\left(\sqrt{3}\right)f\left(-\sqrt{3}\right)\)

　　　　　\(=\left[\left(\sqrt{3}\right)^3+\sqrt{3}+1\right]\cdot\left[\left(-\sqrt{3}\right)^3+\left(-\sqrt{3}\right)+1\right]\)

　　　　　\(=\left(10+\sqrt{3}\right)\left(10-\sqrt{3}\right)\)

　　　　　\(=97.\)

作者: bugmens 時間: 2010-6-22 00:03

提供我的方法
令\( t=x^2 \)，\( t^2+\sqrt{t}+1=0 \)，\( \sqrt{t}^2=-(t^2+1)^2 \)
\( t^4+2t^2-t+1=0 \)是四根平方後的方程式
令\( u=t-3 \)，\( t=u+3 \)代入得\( (u+3)^4+2(u+3)^2-(u+3)+1=0 \)
\( u^4+12u^3+56u^2+119u+97=0 \)是四根平方再減3的方程式
四根之積為97

看起來還是weiye的方法比較好

作者: rudin 時間: 2010-6-22 11:38

第7題除以343的餘數不知如何下手？

作者: weiye 時間: 2010-6-22 12:06

第7題

題目：求 \(6^{99}+7^{99}+8^{99}\) 除以 \(343\) 的餘數？

解答：

\(343=7^3\)

\(6^{99}=\left(7-1\right)^{99}=C^{99}_0\left(-1\right)^{99}+C^{99}_1\left(-1\right)^{98}7+C^{99}_2\left(-1\right)^{97}7^2+7^3 m_1\)，其中 \(m_1\) 為整數。

\(7^{99}=7^3\times7^{96}.\)

\(8^{99}=\left(7+1\right)^{99}=C^{99}_0+C^{99}_1 7+C^{99}_27^2+7^3 m_2\)，其中 \(m_2\) 為整數。

因此，\(6^{99}+7^{99}+8^{99}=2C^{99}_1 7 + 7^{3}\left(m_1+m_2+7^{96}\right)=1386+7^{3}\left(m_1+m_2+7^{96}\right).\)

故，所求即為 \(1386\) 除以 \(343\) 之餘數，為 \(14.\)

作者: rudin 時間: 2010-6-22 13:37

太感謝

作者: Jacob 時間: 2010-6-22 21:15

感謝瑋岳大和 bugmen 老師的解說

作者: 八神庵 時間: 2010-6-23 17:02

再度向各位請教第五題
另外
第八題真的只能利用與x-y+10=0垂直的直線切橢園,得到兩條平行直線,再求此組平行線的距離這種方法嗎?
第17題的第四小題,我用偷吃步,把這個四面體轉換成O(0,0,0),A'(0,0,4),B'(1,0,0),C'(0,3,0)
求OA'B'C'的內切球半徑簡單多了
如果硬要由PABC解內切球半徑是不是計算上面會比較複雜?

作者: weiye 時間: 2010-6-23 17:28

引用:

原帖由 八神庵 於 2010-6-23 05:02 PM 發表
再度向各位請教第五題
另外
第八題真的只能利用與x-y+10=0垂直的直線切橢園,得到兩條平行直線,再求此組平行線的距離這種方法嗎?
第17題的第四小題,我用偷吃步,把這個四面體轉換成O(0,0,0),A'(0,0,4),B'(1,0,0),C'(0, ...

第五題：

10 球扣掉要選取的四個號碼，則有六個號碼不被選取，

先將六個不被選取的球排成一列，再將四個有特別標記的球插空隙，

則有 \(C^7_4=35\) 種方法。

每一種直線排列的方法，由左至右，將 10 球分別寫上 0~9 號，

則有標記的號碼球，就是被選取的號碼。

所以，共有 35 種選取的方法。

第17題的第四小題，

引用:

四面體轉換成O(0,0,0),A'(0,0,4),B'(1,0,0),C'(0,3,0)
求OA'B'C'的內切球半徑簡單多了

後半段我把它寫完，

應該是指：利用內切球球心 \(Q(t,t,t)\,(t>0)\) 到平面 \(\displaystyle \frac{x}{1}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1\) 的距離為 \(t\)

求得較小的 \(t\) 值即為所求。

不然也可以如下，

設內切球球心為 \(Q\)，則可以利用四個小四面體體積和＝四面體 PABC的體積。

求得內切球半徑。

第八題

引用:

第八題真的只能利用與x-y+10=0垂直的直線切橢園,得到兩條平行直線,再求此組平行線的距離這種方法嗎?

我覺得這樣的作法就很快了，

不然硬要想一個另解的話，

如下，（雖然我覺得沒有比較快

）

先將橢圓上的點設成動點 \(P\) （參數式），

再刻意找一條斜率是 \(-1\) 且與橢圓沒有交點直線例如 \(L:\, x+y+1000000=0\) 好了，

然後利用點到線的距離求 \(P\) 到 \(L\) 的最大與最小距離。（中間會用到疊合）

則最大與最小距離之差，即為所求。

（搞了半天，還是原本常用的方法比較直覺。＝＝）

作者: 八神庵 時間: 2010-6-23 19:34

不然硬要想一個另解的話，

如下，（雖然我覺得沒有比較快

）

先將橢圓上的點設成動點 P

（參數式），

再刻意找一條斜率是 −1 且與橢圓沒有交點直線例如L:x+y+100000=0好了，

然後利用點到線的距離求P到L的最大與最小距離。（中間會用到疊合）

則最大與最小距離之差，即為所求。

（搞了半天，還是原本常用的方法比較直覺。＝＝）
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
感謝weiye大的思考
我剛才想到
如果距離公式不加絕對值的話
是否為線右為正線左為負
所以(x+y)/根號2代表橢圓上的點與x+y=0的"有向"距離
此時的x=2+3cos(alpha),y=-1+4sin(alpha)為橢圓的參數式
因為橢圓為封閉曲線
因此有最大值與最小值
則最大值與最小值相減,就是這個橢圓的投影長了....
不知道這樣能不能用?

[ 本帖最後由八神庵於 2010-6-23 07:35 PM 編輯 ]

作者: weiye 時間: 2010-6-23 20:09

引用:

原帖由 八神庵 於 2010-6-23 07:34 PM 發表
如果距離公式不加絕對值的話
是否為線右為正線左為負
所以(x+y)/根號2代表橢圓上的點與x+y=0的"有向"距離
此時的x=2+3cos(alpha),y=-1+4sin(alpha)為橢圓的參數式
因為橢圓為封閉曲線
因此有最大值與最小值
則最大值與最小值相減,就是這個橢圓的投影長了....
不知道這樣能不能用?

可以呀，哈，好一個有向距離，

這樣就不用像我上面舉的例子（L: x+y+1000000=0）硬要把橢圓根直線分開了。

作者: 老王 時間: 2010-6-23 20:49

這個公式，大家都沒有背嗎??
已知斜率m的切線為
\( y=mx+\sqrt{m^2a^2+b^2} \)
\( y=mx-\sqrt{m^2a^2+b^2} \)

作者: weiye 時間: 2010-6-23 21:05

引用:

原帖由老王於 2010-6-23 08:49 PM 發表
這個公式，大家都沒有背嗎??
已知斜率m的切線為
\( y=mx+\sqrt{m^2a^2+b^2} \)
\( y=mx-\sqrt{m^2a^2+b^2} \)

哈，有呀，不過八神庵要另解，

只好硬生一個另解出來。 :p

作者: 八神庵 時間: 2010-6-24 00:02

老王大的是正規公式解,大概只花一分鐘就算出來了
不過一題有多種想法也很是很好玩的....
(PS1.那個有向距離是由微積分的有向面積聯想出來的)
(PS2.不過如果沒有weiye大先想出來一個想法,要我想後面根本是不可能的事,所以感謝大家的幫忙)

作者: idontnow90 時間: 2010-7-6 13:49

請教第4題
是令\(\angle APB=\alpha,\angle APD=\beta,\)然後用
\(cos(\alpha+\beta)=cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta\)解嗎?
感覺起來是笨作法
..bugmens老師的提示我想不太出來
97玉井商工那題我也不很懂為什麼P點是落在對角線上...@@
請知道的老師教教我....謝謝~~

作者: idontnow90 時間: 2010-7-6 13:57

請教第4題
是令\( \angle APB=\alpha,\angle APD=\beta \)然後用
\( cos(\alpha+\beta)=cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta \)解嗎?
感覺起來是笨作法
..bugmens老師的提示我想不太出來
97玉井商工那題我也不很懂為什麼P點是落在對角線上...@@
請知道的老師教教我....謝謝~~

作者: 八神庵 時間: 2010-7-6 20:21

引用:

原帖由 idontnow90 於 2010-7-6 01:57 PM 發表
請教第4題
是令\( \angle APB=\alpha,\angle APD=\beta \)然後用
\( cos(\alpha+\beta)=cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta \)解嗎?
感覺起來是笨作法
..bugmens老師的提示我想不太出來

按照bugmens大的方法
你把三角形PAB以A點為旋轉中心,由B向D的方向旋轉並使B,D重合
此時在正方形的AD邊外有一點P'....是原本三角形PAB的P點
連PP',可得三角形PAP'為等腰直角三角形(因為AP=AP',角PAP'=所旋轉的90度)
斜邊PP'=3根號2
因此三角形PP'D為直角三角形(P'D=PB=4根號2,PD=5根號2,再加上剛才算的PP'=3根號2所得)
其中角PP'D=90度
角AP'D=135度
在三角形AP'D中
利用餘弦定理可以求得AD平方,恰為正方形之面積

作者: 八神庵 時間: 2010-7-6 20:47

引用:

原帖由 idontnow90 於 2010-7-6 01:57 PM 發表
97玉井商工那題我也不很懂為什麼P點是落在對角線上...@@
請知道的老師教教我....謝謝~~

有請星夜姐姐幫忙
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=22801

作者: 老王 時間: 2010-7-6 20:53

引用:

原帖由 idontnow90 於 2010-7-6 01:57 PM 發表
請教第4題
是令\( \angle APB=\alpha,\angle APD=\beta \)然後用
\( cos(\alpha+\beta)=cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta \)解嗎?
感覺起來是笨作法
..bugmens老師的提示我想不太出來
97玉井商工那題我也不很 ...

提供另一種解法(基本上我是覺得要會旋轉啦，比較快)

令正方形邊長為x，\( \displaystyle \angle PAB=\alpha \)
那麼\( \displaystyle \angle PAD=90^\circ - \alpha \)

對三角形PAB和PAD使用餘弦定理，得到
\( \displaystyle cos\alpha=\frac{\displaystyle x^2+9-32}{6x} \)

\( \displaystyle sin\alpha=cos(90^\circ -\alpha)=\frac{\displaystyle x^2+9-50}{6x} \)

平方相加得到
\( \displaystyle 36x^2=(x^2-23)^2+(x^2-41)^2 \)

解得\( \displaystyle x^2=65 或 x^2=17 \)

而17太小，不合

另外，97玉井工商那題，是哪題啊??

作者: idontnow90 時間: 2010-7-7 09:42

97玉井商工這題.P為正方形ABCD內部一點,且AP=7,BP=5,CP=1,求四邊形APCD面積=?
若使用旋轉方式.以B為中心將三角形BAC旋轉.使AC重和..原本的P點旋出去變成P'
這樣一來我們知道角BPP'=45度.及角PCP'為90度..並無法得知角BPC阿~那這樣要怎麼求得邊長?
星夜老師的算法是求出邊長後才發現P剛好是在對角線上吧???
是我對旋轉這方是哪裡搞錯了嗎?還是說這題只能使用老王老師的方式阿??
懇請指教~謝謝~
另外.想請教15題.圖形對稱軸為x=4...為什麼答案會是4*18?

[ 本帖最後由 idontnow90 於 2010-7-7 03:35 PM 編輯 ]

作者: 八神庵 時間: 2010-7-7 22:06

引用:

原帖由 idontnow90 於 2010-7-7 09:42 AM 發表
另外.想請教15題.圖形對稱軸為x=4...為什麼答案會是4*18?

http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=46221

作者: money 時間: 2011-6-23 07:19

請問第3題第15題
煩請高手賜告
感謝

作者: weiye 時間: 2011-6-23 08:59 標題: 回復 24# money 的帖子

第 3 題：

\(f(x)=\sqrt{\left(x-0\right)^2+\left(x^2-2\right)^2}+\sqrt{\left(x-4\right)^2+\left(x^2-2\right)^2}\)

令 \(P(x,x^2), A(0,2), B(4,2)\)

　　

則 \(P\) 位在 \(y=x^2\) 拋物線上，

因為 \(\overline{PA}+\overline{PB}\geq\overline{AB}\)

所以，所求最小值即為 \(\overline{AB}=4.\)

作者: weiye 時間: 2011-6-23 09:05 標題: 回復 24# money 的帖子

第 15 題：

令 \(\alpha=6-x, \beta=2+x\Rightarrow \alpha+\beta=8\)

亦即，「若 \(f(\alpha)=0\)，則 \(f(8-\alpha)=0\)。」

故，\(f(x)=0\) 的 18 個根之和為 \(\frac{18}{2}\cdot8=72.\)

作者: money 時間: 2011-6-23 09:27

感謝weiye大
受益良多

作者: nanpolend 時間: 2011-6-27 15:53 標題: 回復 1# bugmens 的帖子

o 回覆於: 2011/6/27 下午 12:19:24

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作者: nanpolend 時間: 2011-6-27 15:54 標題: 回復 28# nanpolend 的帖子

o 回覆於: 2011/6/27 下午 01:15:29

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作者: nanpolend 時間: 2011-6-27 15:56 標題: 回復 29# nanpolend 的帖子

o 回覆於: 2011/6/27 下午 01:39:33

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作者: nanpolend 時間: 2011-6-27 15:57 標題: 回復 30# nanpolend 的帖子

o 回覆於: 2011/6/27 下午 12:52:28

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作者: nanpolend 時間: 2011-6-28 00:52 標題: 回復 31# nanpolend 的帖子

第六題
全-不合=H(4,10)-4(取十個)=282

作者: nanpolend 時間: 2011-6-28 10:07 標題: 回復 32# nanpolend 的帖子

第八題

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 12:12 AM 編輯 ]

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作者: nanpolend 時間: 2011-6-28 16:22 標題: 回復 33# nanpolend 的帖子

第9題

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作者: nanpolend 時間: 2011-6-28 16:35 標題: 回復 34# nanpolend 的帖子

? 回覆於: 2011/6/28 上午 08:47:27
第10題
(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=16
cauchy :[(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2]*[6^2+(-2)^2+(-3)^2
>=[6(x-1)-2(y-2)-3(z-3)]^2
=> 16*49 >=(6x-2y-3z+7)^2 =>(6x-2y-3z+7)^2<=28^2
=> -28<= 6x-2y-3z+7 <= 28 => -35 <= 6x-2y-3z <=21
=> min =-35 ; max=21...ans

作者: nanpolend 時間: 2011-6-28 18:17 標題: 回復 35# nanpolend 的帖子

第11題
由 thepiano 發表於 2010年 6月 18日, 11:46
11.改寫成 x 之方程式
x^2 - (4y + 2)x + (6y^2 - 20y - 29) = 0
利用判別式 ≧ 0
可得 6 - √51 ≦ y ≦ 6 + √51
檢驗 y = 1 ～ 13
知 (x，y) = (1，5)，(21，5)，(5，7)，(25，7)，(25，13)，(29，13)
共六組解

作者: nanpolend 時間: 2011-6-28 22:01 標題: 回復 36# nanpolend 的帖子

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作者: nanpolend 時間: 2011-6-29 00:35 標題: 回復 37# nanpolend 的帖子

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作者: nanpolend 時間: 2011-6-29 01:05 標題: 回復 38# nanpolend 的帖子

14.

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 02:21 AM 編輯 ]

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作者: nanpolend 時間: 2011-7-1 08:13 標題: 回復 39# nanpolend 的帖子

O 回覆於: 2011/6/30 下午 03:38:35

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作者: tsusy 時間: 2011-11-13 13:10 標題: 回復 10# 八神庵的帖子

第八題，可以用柯西不等式，不過想法還是平行線的距離

\( \left(\frac{(x-2)^{2}}{9}+\frac{(y-1)^{2}}{16}\right)(9+16)\geq(x+y-3)^{2} \)

\( \Rightarrow-5\leq x+y-3\leq5 \)

所求= \( \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \)。

作者: martinofncku 時間: 2013-2-25 13:49

第5題
不好意思，我的想法是 C(10,4)-7,
其中的7種是 0123,1234,...,6789,
卻不知那裡想法錯誤

作者: 俞克斌 時間: 2013-2-25 14:30 標題: 回復 10# 八神庵的帖子

請參考
謝謝

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作者: 俞克斌 時間: 2013-2-25 14:34 標題: 回復 42# martinofncku 的帖子

尚有0124、0125、...均應扣除
請參考
謝謝

作者: martinofncku 時間: 2013-2-28 11:48 標題: 回復 11# weiye 的帖子

17. （4）
我看到一個寫法，令P(0,0,0),A(0,0,4),B(1,0,0),C(0,3,0),外心O'(1/2,3/2,t)
請問外心是如何得到的？

作者: 俞克斌 時間: 2013-2-28 17:43 標題: 回復 45# martinofncku 的帖子

顯然P,B,C是直角三角形
外心是斜邊BC中點（1/2，3/2，0）
只剩z座標尚未確定
故可設作（1/2，3/2，t)

請參考
謝謝

作者: cefepime 時間: 2016-9-19 23:58

引用:

原帖由 八神庵 於 2010-6-23 05:02 PM 發表
第八題真的只能利用與x-y+10=0垂直的直線切橢園,得到兩條平行直線,再求此組平行線的距離這種方法嗎?

8. 求橢圓 (x-2)²/9 + (y+1)²/16 = 1 上諸點在直線 x - y + 10 = 0 上的正射影長。

1.公式法(14#) 2.參數法(11#) 3.柯西法(41#)
4. 伸縮法:

把橢圓中心移至原點，視其為一圓 (直徑 = 6) 延 y 軸伸縮 4/3 倍，而切線伸縮後仍是切線。

伸縮後: x + y = h → 伸縮前: x + (4y/3) = h

由平行線距離公式，所求 = 6*√[1+ (16/9)] / √2 = 5√2

作者: cefepime 時間: 2016-9-20 00:42

14. 對於任何一個三位數 n，定義 f(n) 為 n 的三個數字和加上兩兩乘積和再加上三個數字的乘積。求使得 f(n) / n = 1 的三位數 n 共幾個 ?

令 a, b, c 依序表示 n 的百, 十, 個位數，依題意:

(a+1)*(b+1)*(c+1) = 100a + 10b + c +1

⇔ a*(b+1)*(c+1) + (b+1)*(c+1) = 100a + 10b + c +1

⇔ a*(b+1)*(c+1) + b*(c+1) + c +1 = 100a + 10b + c +1

⇒ b = c = 9，a = 1, 2, ..., 9 共 9 個

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