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標題: 99嘉義高工 [打印本頁]

作者: bugmens    時間: 2010-6-15 06:44     標題: 99嘉義高工

題目和答案如附件

美夢成真教甄討論文章
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1550

附件: 99嘉義高工.rar (2010-6-15 06:44, 360.29 KB) / 該附件被下載次數 7159
https://math.pro/db/attachment.php?aid=224&k=c38eef45a0ecbf0ecc5f4f63eb7249a4&t=1634818060
作者: bugmens    時間: 2010-6-15 06:58

1.若有一正k邊形其頂點依序為A、B、C、D...滿足\( \displaystyle \frac{1}{\overline{AB}}=\frac{1}{\overline{AC}}+\frac{1}{\overline{AD}} \),則k=?
(1999TRML團體賽)


2.方程式\( \displaystyle (x+7)^{\frac{1}{3}}-(x-7)^{\frac{1}{3}}=2 \),則得實根中較大者為?

方程式\( \displaystyle \root 3 \of {8+x}+ \root 3 \of {8-x}=1 \)的解為?
(93高中數學能力競賽複賽 第二區筆試二試題)
http://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... _High_Taipei_02.pdf

設x為滿足\( \displaystyle \root 3 \of {x+10}- \root 3 \of {x-10}=2 \)的正數,試求x之值?
(2003TRML個人賽)

108.4.27補充
方程式\((x+7)^{\frac{1}{3}}-(x-7)^{\frac{1}{3}}=2\),則解方程式得實根中較小者為   
(108中科實中,https://math.pro/db/thread-3122-1-1.html)


7.設\( f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d \)為一實係數多項式,已知\( f(x)=0 \)沒有實根,設\( r_1 \),\( r_2 \),\( r_3 \),\( r_4 \)為\( f(x)=0 \)的四個複數根,且\( r_1+r_2=3-i \),\( r_3 \cdot r_4=4+3i \),其中\( i=\sqrt{-1} \),則\( a+b+c+d= \)?

\( f(x)=x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx-13 \),\( a,b,c,d \in R \),若\( f(x)=0 \)有四個虛根\( r_1 \),\( r_2 \),\( r_3 \),\( r_4 \),滿足\( r_1+r_2=1-i \),\( r_3 \cdot r_4=2-3i \),則\( 2a+b+c+d= \)?
(98彰化女中,https://math.pro/db/thread-741-1-1.html)

a,b,c,d為實數,已知方程式\( x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0 \)有四個虛根,此四根中,其中二根的乘積為\( 13+i \),另二根的和為\(3+4i \),求a,b的值?
(97全國高中聯招)


14.一袋中有三個紅球,四個綠球,五個白球,每球被取機率相同,每次取一球,取後不放回,紅球最先被取完的機率為?

h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47781#17 連結已失效
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=43871
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=43062
袋中有紅球4個,白球5個,黑球6個,每次由袋中取一球不放回,則紅球最先取完之機率
(高中數學101 P301)
作者: 八神庵    時間: 2010-6-15 15:08

秘奧義--->考古題大搜查
第3題(數據改不了?)
第7題(類似題一大堆)
第14題(類似題一堆)
第15題(類似題也一堆)
最後一題更與97下彰女填11題幾乎相似
作者: dream10    時間: 2010-6-16 19:46

請問各位版大一下
1、5、11、12
可以給點提示嗎??

還有第13題只能慢慢排嗎??

謝謝
作者: 八神庵    時間: 2010-6-16 21:45

引用:
原帖由 dream10 於 2010-6-16 07:46 PM 發表
請問各位版大一下
1、5、11、12
可以給點提示嗎??

還有第13題只能慢慢排嗎??

謝謝
1.
若有一正\(k\)邊形其頂點依序為\(A、B、C、D\ldots\)滿足\( \displaystyle \frac{1}{\overline{AB}}=\frac{1}{\overline{AC}}+\frac{1}{\overline{AD}} \),則k=?

請前往PTTmath板參考

5.
在\(\Delta ABC\)中,\(∠A\),\(∠B\),\(∠C\)所對應的邊分別為\(a,b,c\)滿足\( b \le c \),且\(b,a,c\)成等差數列,已知\(B(-1,0)\),\(C(1,0)\),假若\(\Delta ABC\)的面積為\(\displaystyle \frac{3}{5}\sqrt{3}\),則\(A\)點坐標為   
[提示]
令\(A\)坐標\((x,y)\),三條件\(b+c=2a\),\(b\le c\),面積可以求出


11.
空間中三點\(A(2,2,1)\),\(B(1,3,-1)\),\(C(1,1,-1)\),空間中與\(A,B,C\)三點等距離的所有點形成圖形為\(T\),\(T\)中與\((0,0,0)\)距離最近的點座標為   
[提示]
令此圖形上任一點\(P(x,y,z)\),由\(\overline{PA}=\overline{PB}=\overline{PC}\)可以得到\(x,y,z\)的關係式,立刻引進參數\(t\),可知這是空間中的直線,接下來與原點距離最小值就easy啦

12.
坐標平面上,自\(A(0,0)\)沿方格之邊走到\(B(6,4)\),以走捷徑方式(只能往上,往右),恰轉三次彎(行進方向恰改變三次)的方法有   種。
[提示]
請參考http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1550
作者: dream10    時間: 2010-6-17 22:01

恩恩~~~謝謝~~
作者: ayumi    時間: 2010-6-19 00:01     標題: 第2題要怎麼算呢?

方程式\(\sqrt[3]{x+7}−\sqrt[3]{x−7}=2\),則得實根中較大者為?

我在ptt找到解法了!!原來我的計算寫得太複雜,真的要加強
作者: diow    時間: 2010-8-10 00:04

引用:
原帖由 ayumi 於 2010-6-19 12:01 AM 發表
方程式(x+7)^1/3−(x−7)^1/3=2,則得實根中較大者為?
^^
我在ptt找到解法了!!原來我的計算寫得太複雜,真的要加強
可以PO上來嗎?  或是解答日期

3Q    各位老師
作者: weiye    時間: 2010-8-10 08:40

題目:方程式 \(\sqrt[3]{x+7}−\sqrt[3]{x−7}=2\),則得實根中較大者為?

解答:

令 \(\displaystyle\alpha=\sqrt[3]{x+7}, \beta=\sqrt[3]{x-7}\),則

\(\displaystyle\left\{\begin{array}{ccc}\alpha-\beta&=&2\\\alpha^3-\beta^3&=&14\end{array}\right.\)

由 \(\displaystyle \alpha^3-\beta^3=\left(\alpha-\beta\right)^3+3\alpha\beta\left(\alpha-\beta\right)\)

可得 \(\alpha\cdot\beta =1\)

\(\displaystyle\Rightarrow \sqrt[3]{x+7}\cdot\sqrt[3]{x-7}=1\)

\(\Rightarrow x^2-49=1^3\)

\(x=\pm5\sqrt{2}.\)
作者: acthjoyce    時間: 2010-8-14 22:24     標題: 回復 7# ayumi 的帖子

我有個看法提供你參考…
將方程式視為…a-b=2
兩邊立方後…a^3-b^3-3ab(a-b)=8
整理後可得…x^2-49=1
這類的考古題很多,都可以用這方式處理。
作者: icesnow1129    時間: 2011-5-25 02:01

想請教7
bugmens大貼的第7題連結,連結到97全國聯招後..就沒有下文了,所以在這再請教一下...!!感謝!!
作者: weiye    時間: 2011-5-25 08:21     標題: 回復 11# icesnow1129 的帖子

h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=38565
https://math.pro/db/thread-456-1-1.html
作者: nanpolend    時間: 2011-6-30 14:22     標題: 回復 1# bugmens 的帖子

第一題

圖片附件: 无命名.png (2011-6-30 14:22, 99.4 KB) / 該附件被下載次數 3004
https://math.pro/db/attachment.php?aid=607&k=eaade1778e0289366dbe91df1e47d8bf&t=1634818060



圖片附件: 1.png (2011-6-30 14:22, 8.14 KB) / 該附件被下載次數 2985
https://math.pro/db/attachment.php?aid=608&k=a86c665b5e29c050c1683b40a7c4da3a&t=1634818060


作者: nanpolend    時間: 2011-6-30 16:25     標題: 回復 13# nanpolend 的帖子



圖片附件: 无命名.png (2011-6-30 16:39, 36 KB) / 該附件被下載次數 2941
https://math.pro/db/attachment.php?aid=609&k=40b76a0a0e260f73c50f8482078fe960&t=1634818060


作者: maymay    時間: 2011-12-28 22:45     標題: 回復 13# nanpolend 的帖子

請問 (作線段DE=AE=AC, CD交EF於G)
這裡可以解釋一下嗎?
謝謝
作者: mathca    時間: 2015-12-30 19:14     標題: 回復 5# 八神庵 的帖子

請教第5題,a=2已算出,所以b+c=4,令A坐標(x,y), y 座標也經由面積算出 3*sqr(3) /5 ,
請問 x 座標如何算,感謝。
作者: mathca    時間: 2015-12-30 19:37     標題: 回復 14# nanpolend 的帖子

請問第三題#14,cos ABD 如何列式算出,感謝。
作者: tsusy    時間: 2015-12-30 19:42     標題: 回復 16# mathca 的帖子

第5題,從你的 \( b+c=4 \) 硬做就好了,移項平方兩次
\( \sqrt{(x-1)^{2}+\frac{27}{25}}+\sqrt{(x+1)^{2}+\frac{27}{25}}=4 \)

\(\Rightarrow\left[\sqrt{(x-1)^{2}+\frac{27}{25}}\right]^{2}=\left[4-\sqrt{(x+1)^{2}+\frac{27}{25}}\right]^{2} \)

\( \Rightarrow(x-1)^{2}+\frac{27}{25}=16+(x+1)^{2}+\frac{27}{25}-8\sqrt{(x+1)^{2}+\frac{27}{25}} \)

\( \Rightarrow-4x-16=-8\sqrt{(x+1)^{2}+\frac{27}{25}} \)

\( \Rightarrow(x+4)^{2}=4\left[(x+1)^{2}+\frac{27}{25}\right] \)

\( \Rightarrow3x^{2}-\frac{192}{25}=0
  \Rightarrow x=\pm\frac{8}{5} \)

又 \( b \geq c \) 故 \( x = \frac{8}{5} \)
作者: thepiano    時間: 2015-12-30 23:25     標題: 回復 17# mathca 的帖子

\(\cos \angle ABD=\cos \left( \angle ABC-\angle DBC \right)\)
作者: mathca    時間: 2015-12-31 18:22     標題: 回復 1# bugmens 的帖子

請教第9題,感謝。
作者: thepiano    時間: 2015-12-31 18:56     標題: 回復 20# mathca 的帖子

第 9 題
參考 http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 93b2b61b0a8e1#p3759
作者: deca0206    時間: 2016-1-8 01:09

想請問15題的遞迴,若設\(b_n=a_{n-1}\),要怎麼繼續完成題目呢?

數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)中,\(a_1=a_2=1\),\(a_n=a_{n-1}+2a_{n-2}\)(\(n \ge 3\))則\(a_n\)的一般式\(a_n=\)   
作者: mathca    時間: 2016-1-8 10:27     標題: 回復 22# deca0206 的帖子

第15題
原始:a_n = a_n-1 + 2 * a_n-2
令 b_n = a_n-1,則
(1)  a_n = a_n-1 + 2 * b_n-1
(2)  b_n = a_n-1.......其實這邊換到後來也會得到 b_n = b_n-1 + 2 * b_n-2....(恰巧跟 a_n 長相一樣...或者說a_n-1本就是廣義費氏,b_n當然也是廣義費式)
寫成矩陣  (抱歉不會在版上用數學符號式)
[a_n]  = [ 1 2  ]  a_n-1
[b_n]  = [ 1  0 ]  b_n-1
eigenvalue= 2  ,  -1
an= a* 2^n + b* (-1)^n
a1=a2=1代入,求得a=1/3 , b=-1/3
an = (1/3)* 2^n + (-1/3)* (-1)^n

本題b_n = b_n-1 + 2 * b_n-2....(恰巧跟 a_n 長相一樣)
可就單一 a_n  (單變數) 算之,簡單得多:
r^2 = r+2
eigenvalue= 2  ,  -1
an= a* 2^n + b* (-1)^n
a1=a2=1代入,求得a=1/3 , b=-1/3
an = (1/3)* 2^n + (-1/3)* (-1)^n

[ 本帖最後由 mathca 於 2016-1-8 11:12 AM 編輯 ]
作者: deca0206    時間: 2016-1-8 11:20     標題: 回復 23# mathca 的帖子

了解了,感謝
作者: satsuki931000    時間: 2018-11-4 15:22

第一題 個人的想法 比較偏硬爆的方式

想請問各位老師這樣的推論是否合理





圖片附件: image.jpg (2018-11-4 17:53, 1.74 MB) / 該附件被下載次數 3028
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圖片附件: image2.jpg (2018-11-4 17:53, 1.62 MB) / 該附件被下載次數 3082
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4732&k=13e8d757d3371772d8599810417700a8&t=1634818060


作者: weiye    時間: 2018-11-4 18:41     標題: 回復 25# satsuki931000 的帖子

其實可以直接跳到快一點,因為在 三角形ACD 中用正弦定理,就可以把 AB(=CD), AC, AD 分別換成 2R sin pi/n, 2R sin 2pi/n, 2R sin 3pi/n,再帶入就可以直接跳到 第一張照片的倒數第二行了。

另外提供一個另解。

圖片附件: IMG_20181104_183146-min.jpg (2018-11-4 18:55, 807.81 KB) / 該附件被下載次數 2834
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4733&k=0b710c47d40e393b80db393c8ee897cf&t=1634818060


作者: satsuki931000    時間: 2018-11-4 22:16     標題: 回復 26# weiye 的帖子

謝謝瑋岳老師的指教

另解真的快多了 不過資質駑鈍 考試可能無法想到 只能想到最直觀的方式




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