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標題: 99嘉義高工 [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2010-6-15 06:44 標題: 99嘉義高工

題目和答案如附件

美夢成真教甄討論文章
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1550

附件: 99嘉義高工.rar (2010-6-15 06:44, 360.29 KB) / 該附件被下載次數 17156
https://math.pro/db/attachment.php?aid=224&k=0c3a947de10240fde713cb3b0ada38e4&t=1732259889

作者: bugmens 時間: 2010-6-15 06:58

1.若有一正k邊形其頂點依序為A、B、C、D...滿足\( \displaystyle \frac{1}{\overline{AB}}=\frac{1}{\overline{AC}}+\frac{1}{\overline{AD}} \)，則k=？
(1999TRML團體賽)

2.方程式\( \displaystyle (x+7)^{\frac{1}{3}}-(x-7)^{\frac{1}{3}}=2 \)，則得實根中較大者為？

方程式\( \displaystyle \root 3 \of {8+x}+ \root 3 \of {8-x}=1 \)的解為？
(93高中數學能力競賽複賽　第二區筆試二試題)
連結已失效h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpengeu/HighSchool/2005_Taiwan_High_Taipei_02.pdf

設x為滿足\( \displaystyle \root 3 \of {x+10}- \root 3 \of {x-10}=2 \)的正數，試求x之值？
(2003TRML個人賽)

108.4.27補充
方程式\((x+7)^{\frac{1}{3}}-(x-7)^{\frac{1}{3}}=2\)，則解方程式得實根中較小者為　　　
(108中科實中，https://math.pro/db/thread-3122-1-1.html)

7.設\( f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d \)為一實係數多項式，已知\( f(x)=0 \)沒有實根，設\( r_1 \)，\( r_2 \)，\( r_3 \)，\( r_4 \)為\( f(x)=0 \)的四個複數根，且\( r_1+r_2=3-i \)，\( r_3 \cdot r_4=4+3i \)，其中\( i=\sqrt{-1} \)，則\( a+b+c+d= \)？
相關問題https://math.pro/db/thread-456-1-1.html

14.一袋中有三個紅球，四個綠球，五個白球，每球被取機率相同，每次取一球，取後不放回，紅球最先被取完的機率為？

h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47781#17　連結已失效
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=43871
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=43062
袋中有紅球4個，白球5個，黑球6個，每次由袋中取一球不放回，則紅球最先取完之機率
(高中數學101 P301)

作者: 八神庵 時間: 2010-6-15 15:08

秘奧義--->考古題大搜查
第3題(數據改不了?)
第7題(類似題一大堆)
第14題(類似題一堆)
第15題(類似題也一堆)
最後一題更與97下彰女填11題幾乎相似

作者: dream10 時間: 2010-6-16 19:46

請問各位版大一下
1、5、11、12
可以給點提示嗎??

還有第13題只能慢慢排嗎??

謝謝

作者: 八神庵 時間: 2010-6-16 21:45

引用:

原帖由 dream10 於 2010-6-16 07:46 PM 發表
請問各位版大一下
1、5、11、12
可以給點提示嗎??

還有第13題只能慢慢排嗎??

謝謝

1.
若有一正\(k\)邊形其頂點依序為\(A、B、C、D\ldots\)滿足\( \displaystyle \frac{1}{\overline{AB}}=\frac{1}{\overline{AC}}+\frac{1}{\overline{AD}} \)，則k=？

請前往PTTmath板參考

5.
在\(\Delta ABC\)中，\(∠A\)，\(∠B\)，\(∠C\)所對應的邊分別為\(a,b,c\)滿足\( b \le c \)，且\(b,a,c\)成等差數列，已知\(B(-1,0)\)，\(C(1,0)\)，假若\(\Delta ABC\)的面積為\(\displaystyle \frac{3}{5}\sqrt{3}\)，則\(A\)點坐標為　　　。
[提示]
令\(A\)坐標\((x,y)\),三條件\(b+c=2a\),\(b\le c\),面積可以求出

11.
空間中三點\(A(2,2,1)\)，\(B(1,3,-1)\)，\(C(1,1,-1)\)，空間中與\(A,B,C\)三點等距離的所有點形成圖形為\(T\)，\(T\)中與\((0,0,0)\)距離最近的點座標為　　　。
[提示]
令此圖形上任一點\(P(x,y,z)\),由\(\overline{PA}=\overline{PB}=\overline{PC}\)可以得到\(x,y,z\)的關係式,立刻引進參數\(t\),可知這是空間中的直線,接下來與原點距離最小值就easy啦

12.
坐標平面上，自\(A(0,0)\)沿方格之邊走到\(B(6,4)\)，以走捷徑方式(只能往上，往右)，恰轉三次彎(行進方向恰改變三次)的方法有　　　種。
[提示]
請參考http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1550

作者: dream10 時間: 2010-6-17 22:01

恩恩~~~謝謝~~

作者: ayumi 時間: 2010-6-19 00:01 標題: 第2題要怎麼算呢?

方程式\(\sqrt[3]{x+7}−\sqrt[3]{x−7}=2\)，則得實根中較大者為？

我在ptt找到解法了!!原來我的計算寫得太複雜,真的要加強

作者: diow 時間: 2010-8-10 00:04

引用:

原帖由 ayumi 於 2010-6-19 12:01 AM 發表
方程式(x+7)^1/3−(x−7)^1/3=2，則得實根中較大者為？
^^
我在ptt找到解法了!!原來我的計算寫得太複雜,真的要加強

可以PO上來嗎? 或是解答日期

3Q 各位老師

作者: weiye 時間: 2010-8-10 08:40

題目：方程式 \(\sqrt[3]{x+7}−\sqrt[3]{x−7}=2\)，則得實根中較大者為？

解答：

令 \(\displaystyle\alpha=\sqrt[3]{x+7}, \beta=\sqrt[3]{x-7}\)，則

\(\displaystyle\left\{\begin{array}{ccc}\alpha-\beta&=&2\\\alpha^3-\beta^3&=&14\end{array}\right.\)

由 \(\displaystyle \alpha^3-\beta^3=\left(\alpha-\beta\right)^3+3\alpha\beta\left(\alpha-\beta\right)\)

可得 \(\alpha\cdot\beta =1\)

\(\displaystyle\Rightarrow \sqrt[3]{x+7}\cdot\sqrt[3]{x-7}=1\)

\(\Rightarrow x^2-49=1^3\)

\(x=\pm5\sqrt{2}.\)

作者: acthjoyce 時間: 2010-8-14 22:24 標題: 回復 7# ayumi 的帖子

我有個看法提供你參考…
將方程式視為…a-b=2
兩邊立方後…a^3-b^3-3ab(a-b)=8
整理後可得…x^2-49=1
這類的考古題很多，都可以用這方式處理。

作者: icesnow1129 時間: 2011-5-25 02:01

想請教7
bugmens大貼的第7題連結，連結到97全國聯招後..就沒有下文了，所以在這再請教一下...!!感謝!!

作者: weiye 時間: 2011-5-25 08:21 標題: 回復 11# icesnow1129 的帖子

h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=38565
https://math.pro/db/thread-456-1-1.html

作者: nanpolend 時間: 2011-6-30 14:22 標題: 回復 1# bugmens 的帖子

第一題

圖片附件: 无命名.png (2011-6-30 14:22, 99.4 KB) / 該附件被下載次數 6101
https://math.pro/db/attachment.php?aid=607&k=196cc29984e704b4f6cf9919b9e734a1&t=1732259889

圖片附件: １.png (2011-6-30 14:22, 8.14 KB) / 該附件被下載次數 6061
https://math.pro/db/attachment.php?aid=608&k=07ce8ba86656309edbfa85f7a4596339&t=1732259889

作者: nanpolend 時間: 2011-6-30 16:25 標題: 回復 13# nanpolend 的帖子

圖片附件: 无命名.png (2011-6-30 16:39, 36 KB) / 該附件被下載次數 5884
https://math.pro/db/attachment.php?aid=609&k=9a187032e119ed6e7101fc5bd0edb7ed&t=1732259889

作者: maymay 時間: 2011-12-28 22:45 標題: 回復 13# nanpolend 的帖子

請問 (作線段DE=AE=AC, CD交EF於G)
這裡可以解釋一下嗎?
謝謝

作者: mathca 時間: 2015-12-30 19:14 標題: 回復 5# 八神庵的帖子

請教第5題，a=2已算出，所以b+c=4，令A坐標(x,y)， y 座標也經由面積算出 3*sqr(3) /5 ，
請問 x 座標如何算，感謝。

作者: mathca 時間: 2015-12-30 19:37 標題: 回復 14# nanpolend 的帖子

請問第三題#14，cos ABD 如何列式算出，感謝。

作者: tsusy 時間: 2015-12-30 19:42 標題: 回復 16# mathca 的帖子

第5題，從你的 \( b+c=4 \) 硬做就好了，移項平方兩次
\( \sqrt{(x-1)^{2}+\frac{27}{25}}+\sqrt{(x+1)^{2}+\frac{27}{25}}=4 \)

\(\Rightarrow\left[\sqrt{(x-1)^{2}+\frac{27}{25}}\right]^{2}=\left[4-\sqrt{(x+1)^{2}+\frac{27}{25}}\right]^{2} \)

\( \Rightarrow(x-1)^{2}+\frac{27}{25}=16+(x+1)^{2}+\frac{27}{25}-8\sqrt{(x+1)^{2}+\frac{27}{25}} \)

\( \Rightarrow-4x-16=-8\sqrt{(x+1)^{2}+\frac{27}{25}} \)

\( \Rightarrow(x+4)^{2}=4\left[(x+1)^{2}+\frac{27}{25}\right] \)

\( \Rightarrow3x^{2}-\frac{192}{25}=0
\Rightarrow x=\pm\frac{8}{5} \)

又 \( b \geq c \) 故 \( x = \frac{8}{5} \)

作者: thepiano 時間: 2015-12-30 23:25 標題: 回復 17# mathca 的帖子

\(\cos \angle ABD=\cos \left( \angle ABC-\angle DBC \right)\)

作者: mathca 時間: 2015-12-31 18:22 標題: 回復 1# bugmens 的帖子

請教第9題，感謝。

作者: thepiano 時間: 2015-12-31 18:56 標題: 回復 20# mathca 的帖子

第 9 題
參考 http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 93b2b61b0a8e1#p3759

作者: deca0206 時間: 2016-1-8 01:09

想請問15題的遞迴，若設\(b_n=a_{n-1}\)，要怎麼繼續完成題目呢?

數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)中，\(a_1=a_2=1\)，\(a_n=a_{n-1}+2a_{n-2}\)(\(n \ge 3\))則\(a_n\)的一般式\(a_n=\)　　　。

作者: mathca 時間: 2016-1-8 10:27 標題: 回復 22# deca0206 的帖子

第15題
原始：a_n = a_n-1 + 2 * a_n-2
令 b_n = a_n-1，則
(1)  a_n = a_n-1 + 2 * b_n-1
(2)  b_n = a_n-1.......其實這邊換到後來也會得到 b_n = b_n-1 + 2 * b_n-2....(恰巧跟 a_n 長相一樣...或者說a_n-1本就是廣義費氏，b_n當然也是廣義費式)
寫成矩陣  (抱歉不會在版上用數學符號式)
[a_n]  = [ 1 2  ]  a_n-1
[b_n]  = [ 1  0 ]  b_n-1
eigenvalue= 2  ,  -1
an= a* 2^n + b* (-1)^n
a1=a2=1代入，求得a=1/3 , b=-1/3
an = (1/3)* 2^n + (-1/3)* (-1)^n

本題b_n = b_n-1 + 2 * b_n-2....(恰巧跟 a_n 長相一樣)
可就單一 a_n  (單變數) 算之，簡單得多：
r^2 = r+2
eigenvalue= 2  ,  -1
an= a* 2^n + b* (-1)^n
a1=a2=1代入，求得a=1/3 , b=-1/3
an = (1/3)* 2^n + (-1/3)* (-1)^n

[ 本帖最後由 mathca 於 2016-1-8 11:12 AM 編輯 ]

作者: deca0206 時間: 2016-1-8 11:20 標題: 回復 23# mathca 的帖子

了解了，感謝

作者: satsuki931000 時間: 2018-11-4 15:22

第一題個人的想法比較偏硬爆的方式

想請問各位老師這樣的推論是否合理

圖片附件: image.jpg (2018-11-4 17:53, 1.74 MB) / 該附件被下載次數 7305
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4731&k=351325ca6a007c8f5c9f935e58dbd809&t=1732259889

圖片附件: image2.jpg (2018-11-4 17:53, 1.62 MB) / 該附件被下載次數 7378
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4732&k=0aa7e0004445adb0eb4b415a23179bf7&t=1732259889

作者: weiye 時間: 2018-11-4 18:41 標題: 回復 25# satsuki931000 的帖子

其實可以直接跳到快一點，因為在三角形ACD 中用正弦定理，就可以把 AB(=CD), AC, AD 分別換成 2R sin pi/n， 2R sin 2pi/n, 2R sin 3pi/n，再帶入就可以直接跳到第一張照片的倒數第二行了。

另外提供一個另解。

圖片附件: IMG_20181104_183146-min.jpg (2018-11-4 18:55, 807.81 KB) / 該附件被下載次數 6676
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4733&k=65b0d90e46c07cebd1b4054f8fe38c30&t=1732259889

作者: satsuki931000 時間: 2018-11-4 22:16 標題: 回復 26# weiye 的帖子

謝謝瑋岳老師的指教

另解真的快多了不過資質駑鈍考試可能無法想到只能想到最直觀的方式

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