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標題: 99大安高工 [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2010-6-12 23:02 標題: 99大安高工

題目如附件

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作者: bugmens 時間: 2010-6-12 23:08

其他討論請見http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1535

計算題
1.求\( \displaystyle tan^{-1} \frac{1}{3}+tan^{-1} \frac{1}{5}+tan^{-1} \frac{1}{7}+tan^{-1} \frac{1}{8} \)之值為何？

類似題
試求正整數n使得下式成立\( \displaystyle tan^{-1} \frac{1}{3}+tan^{-1} \frac{1}{4}+tan^{-1} \frac{1}{5}+tan^{-1} \frac{1}{n}=\frac{\pi}{4} \)。
(99東山高中，https://math.pro/db/thread-941-1-1.html)

Find the value of \( 10 cot(cot^{-1}3+cot^{-1}7+cot^{-1}13+cot^{-1}21) \).
(1984AIME，https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_13)

8.令f(x)為領導係數為1的實係數四次多項式，且\( f(99)=2 \)，\( f(98)=5 \)，\( f(97)=10 \)，\( f(96)=17 \)，試求\( f(100)= \)？
2010.7.20
原本的解法有錯,感謝johncai指正

\( f(x) \)為四次多項式，且\( f(1996)=0 \)，\( f(1998)=1 \)，\( f(2000)=4 \)，\( f(2002)=27 \)，\( f(2004)=256 \)，求\( f(2008) \)之值？
(97中一中，http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=46779)

若五次實係數多項式f滿足\( f(0)=1 \)，\( f(1)=3 \)，\( f(2)=4 \)，\( f(3)=5 \)，\( f(4)=6 \)，\( f(5)=18 \)，則\( f(6)= \)？
(2004TRML個人賽)

103.9.12補充
計算題9.
今一單位球(半徑為1的球)球心為原點，且球面上兩點P、Q座標分別為\( P(1,0,0) \)、\( \displaystyle Q(0,\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}) \)，延著球面行進，於PQ最短路徑中取一點R，使得(PR弧長)：(QR弧長)=1：2，試求R點座標。

\( ∠POQ=90^{\circ} \)，(PR弧長)：(QR弧長)=1：2得到\( ∠PAR=30^{\circ} \)，\( ∠QOR=60^{\circ} \)。
\( ∠PAR=30^{\circ} \)，\( \overline{OR}=1 \)，\( \overline{OA}⊥ \overline{RA} \)得到\( \displaystyle \overline{OA}=\frac{\sqrt{3}}{2} \)，\( \displaystyle \overline{AR}=\frac{1}{2} \)。

\( \overline{OQ'}=\overline{Q'Q}=\frac{\sqrt{2}}{2} \)得到\( ∠QOQ'=45^{\circ} \)
所以平面POQR和\( xy \)平面夾角\( 45^{\circ} \)，得到\( ∠RAR'=45^{\circ} \)

\( \displaystyle \overline{AR}=\frac{1}{2} \)，\( ∠RAR'=45^{\circ} \)得到\( \displaystyle \overline{AR'}=\overline{R'R}=\frac{\sqrt{2}}{4} \)

R點坐標為\( \displaystyle (\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{2}}{4},\frac{\sqrt{2}}{4}) \)

[延伸思考]
假設地球為一球體，今以地球球心為原點，地球半徑為單位長，建立一直角坐標系。設地球表面上有甲乙丙三地，甲、乙兩地的坐標分別為\( (1,0,0) \)、\( \displaystyle (\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}) \)，而丙地正好是甲地之間最短路徑的中點，則丙地的坐標為？
(90自然組大學聯考)
(98嘉義高中則將坐標改為\( (1,0,0) \)、\( \displaystyle (\frac{3}{7},\frac{2}{7},\frac{6}{7}) \)其他則一模一樣)

有一種算法是先求甲\( (1,0,0) \)、乙\( \displaystyle (\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}) \)的中點\( \displaystyle (\frac{3}{4},\frac{1}{4},\frac{\sqrt{2}}{4}) \)
長度\( \displaystyle \sqrt{\left( \frac{3}{4} \right)^2+\left( \frac{1}{4} \right)^2+\left( \frac{\sqrt{2}}{4} \right)^2}=\frac{2 \sqrt{3}}{4} \)
再換成單位向量\( \displaystyle \frac{1}{\frac{2 \sqrt{3}}{4}}(\frac{3}{4},\frac{1}{4},\frac{\sqrt{2}}{4})=(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{6},\frac{\sqrt{6}}{6}) \)就是丙地坐標

想想看為什麼可以這樣算？若將條件換成弧長\( 1:2 \)時，用內分點公式算出三等分點後換成單位向量答案卻是錯的，為什麼這個方法不能用在弧長\( 1:2 \)的條件上？

99大安高工這題\( P(1,0,0) \)在x軸上，\( \displaystyle Q(0,\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}) \)在\( yz \)平面上，而且角度有\( 90^{\circ} \)、\( 45^{\circ} \)、\( 30^{\circ} \)等特別角，似乎條件要特別湊好才能算出答案，假若下次考試時P、Q隨便取兩個坐標\( \displaystyle (\frac{1}{\sqrt{14}},\frac{2}{\sqrt{14}},\frac{3}{\sqrt{14}}) \)、\( \displaystyle (\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3}) \)，那你要用什麼方法算出答案呢？

110.8.15補充
今一單位球(半徑為1的球)球心為原點，且球面上兩點\(P\)、\(Q\)座標分別為\(\displaystyle P(1,0,0),Q(-\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{\sqrt{3}}{4})\)，沿著球面行進，於\(PQ\)最短路徑中取一點\(R\)，使得弧\(PR\)：弧\(QR=1:3\)，試求\(R\)點座標。
(1092中山大學雙週一題第6題，http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2021s/1092Q&A.htm)

112.4.24補充
將地球儀設定成一個坐標空間，其中球心為原點\(O\)，地球儀上\(A\)，\(B\)兩個城市的坐標分別為\(A(1,0,0)\)，\(\displaystyle B\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)，而\(C\)城市正好是\(A\)，\(B\)兩個城市之間最短路徑的中點，試求\(C\)城市的坐標為？
(112台南女中，https://math.pro/db/thread-3730-1-1.html)

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=2544&k=aa811bd5d8a11c959ad62a222c833488&t=1732293934

作者: johncai 時間: 2010-7-20 16:15

請教第8題
我設f(x)=(x-96)(x-97)(x-98)(x-99)+(100-x)^2+1
所以f(100)=25
請教這樣對嗎?
謝謝~!

作者: weiye 時間: 2010-7-20 16:58 標題: 回復 3# johncai 的帖子

你的 \(f(x)\) 是正確滴。^_^

作者: iamcfg 時間: 2010-7-21 17:50 標題: 回復 4# weiye 的帖子

還是比較喜歡用差分
不過剛剛發現小問題  修正一下

4次 17       10       5       2       x
3次       -7       -5       -3    x-2
2次                2       2    x+1
1次                      0       x-1
0次                            24 !!!!!

多項式好用性質  \( f(x+1) \) - \( f(x) \) 次方會降  首項系數=原首項系數*原最高次數

[ 本帖最後由 iamcfg 於 2010-7-21 06:40 PM 編輯 ]

作者: Jacob 時間: 2010-7-22 10:22 標題: 請問一下，上面的差分方法，最後的0次當中，24 如何求出??

請問一下大大，上面的差分方法，最後的0次當中，24 如何求出??

作者: iamcfg 時間: 2010-7-22 22:06 標題: 回復 6# Jacob 的帖子

假設 \( f(x) \)是四次多項式
你去做這件事情  \( f(x+h) - f(x) \)
會得到一個三次多項式  然後去觀察他的最高次系數
多減幾次就了解了  會得到最下面的結論

作者: lovesun 時間: 2010-7-30 11:37

請問有老師算完了嗎?
可以對一下答案嗎?有錯請訂正...@@.....要再重算..
1. pi/4
2.?????????有提示但還沒算....再補上好了
3. 549/10
4.13/7
5.24
6.n(n-1)(n-4)/6
8.y=0.4x+44
9.有老師解了.
10.(1)2根號6
(2)??????????????不會算

作者: johncai 時間: 2010-8-1 21:57

我想請問一下第三部分第5題的觀念
我知道這題可以推出邊長比3:4:5就可以求面積了

但是如果是已知邊長為a,b,c
有辦法推出a(IA向量)+b(IB向量)+c(IC向量)=0嗎?
如果可以請教一下怎麼推呢?
謝謝!
(這個結論有寫在高中數學101~P.146)

ps.1,4,5,7跟lovesun算的一樣,第3題我算479/10@

[ 本帖最後由 johncai 於 2010-8-1 10:17 PM 編輯 ]

作者: scale 時間: 2010-8-1 23:02

引用:

原帖由 johncai 於 2010-8-1 09:57 PM 發表
我想請問一下第三部分第5題的觀念
我知道這題可以推出邊長比3:4:5就可以求面積了

但是如果是已知邊長為a,b,c
有辦法推出a(IA向量)+b(IB向量)+c(IC向量)=0嗎?
如果可以請教一下怎麼推呢?
謝謝!
(這個結論有寫在高中 ...

\( \triangle ABC\)內部一點\(K\)，\(O\)為任意點，若\( \triangle KBC : \triangle KCA : \triangle KAB = p:q:r \)
則利用兩次分點公式可得
\[ \overrightarrow{OK} = \frac{p}{p+q+r}\overrightarrow{OA}+ \frac{q}{p+q+r}\overrightarrow{OB}+ \frac{r}{p+q+r}\overrightarrow{OC}\]
或是
\[ p*\overrightarrow{KA} + q*\overrightarrow{KB} + r*\overrightarrow{KC} = \vec 0 \]
此性質的逆定理也成立
特別地，當\(K\)為內心\(I\)時，不難證明\( \triangle IBC : \triangle ICA : \triangle IAB = a:b:c \)
從而有
\[a*\overrightarrow{IA} + b*\overrightarrow{IB} + c*\overrightarrow{IC} = \vec 0\]

作者: tsusy 時間: 2014-4-12 21:39 標題: 回復 8# lovesun 的帖子

2. \( \frac{\sqrt{193}}{5} \)
3. 同 johncai \( \frac{479}{10} \)
6. 應該是 +- 號打錯， \( \frac{n(n-1)(n+4)}{6} \)
8. 25
10. 條件不足

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-4-12 09:41 PM 編輯 ]

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