Math Pro 數學補給站

標題: 99彰化女中(部分題目) [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2010-6-5 09:55 標題: 99彰化女中(部分題目)

以下資料供以後的考生參考：

初試最低錄取分數 46分
58,54,54,50,46,46

40~44分 15人
30~39分 27人
20~29分 38人
10~19分 8人
0~ 9分 4人
缺考　　1人

共計 99 人

請各位網友直接寫題號來討論
101.2.11補充
將題目重新打字，檔案需要LibreOffice才能開啟

圖片附件: 99彰化女中01.jpg (2010-6-5 18:43, 308.81 KB) / 該附件被下載次數 14826
https://math.pro/db/attachment.php?aid=202&k=d7c179b01006bdb08a5dbf263f48d898&t=1732279092

圖片附件: 99彰化女中02.jpg (2010-6-5 18:43, 252.71 KB) / 該附件被下載次數 14495
https://math.pro/db/attachment.php?aid=203&k=8a03a98ec7753b08f8975f15064e980e&t=1732279092

圖片附件: 99彰化女中答案.jpg (2010-6-5 18:43, 196.29 KB) / 該附件被下載次數 14087
https://math.pro/db/attachment.php?aid=204&k=d446ec29285571d15825eed1ff3b4ac4&t=1732279092

附件: 99彰化女中.rar (2012-2-11 15:01, 141.42 KB) / 該附件被下載次數 19960
https://math.pro/db/attachment.php?aid=205&k=b1bfe26f891bc962076f8b1636c4dd97&t=1732279092

作者: bugmens 時間: 2010-6-5 10:00

1.兩正數\( \displaystyle a=\frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{3 \times 4}+\frac{1}{5 \times 6}+...+\frac{1}{2003 \times 2004} \)
\( \displaystyle b=\frac{1}{1003 \times 2004}+\frac{1}{1004 \times 2003}+\frac{1}{1005 \times 2002}+...+\frac{1}{2004 \times 1003} \)
則\( \displaystyle \frac{a}{b}= \)？(請化為最簡分數)
[出處，93高中數學能力競賽　第二區筆試二試題]

\( \displaystyle a=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2003}-\frac{1}{2004} \)
\( \displaystyle a=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2004}-2(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2004}) \)
\( \displaystyle a=\frac{1}{1003}+\frac{1}{1004}+...+\frac{1}{2004} \)
頭尾相加
\( \displaystyle a=\frac{3007}{1003 \times 2004}+\frac{3007}{1004 \times 2003}+...+\frac{3007}{1503 \times 1504} \)
\( \displaystyle a=3007 \Bigg(\; \frac{1}{1003 \times 2004}+\frac{1}{1004 \times 2003}+...+\frac{1}{1503 \times 1504} \Bigg)\; \)

\( \displaystyle b= \Bigg(\; \frac{1}{1003 \times 2004}+\frac{1}{1004 \times 2003}+...+\frac{1}{1503 \times 1504}\Bigg)\;+\Bigg(\; \frac{1}{1504 \times 1503}+\frac{1}{1505 \times 1502}+...+\frac{1}{2004 \times 1003} \Bigg)\; \)
\( \displaystyle b=2 \Bigg(\; \frac{1}{1003 \times 2004}+\frac{1}{1004 \times 2003}+...+\frac{1}{1503 \times 1504} \Bigg)\; \)

111.4.25補充
已知\(\displaystyle p=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{5\times 6}+\ldots+\frac{1}{2021\times 2022}\)，
\(\displaystyle q=\frac{1}{1012\times 2022}+\frac{1}{1013\times 2021}+\frac{1}{1014\times 2020}+\ldots+\frac{1}{2022\times 1012}\)，試求\(\displaystyle \frac{p}{q}\)之值=　　　。
(111臺南一中，https://math.pro/db/thread-3635-1-1.html)

5.橢圓\( \displaystyle \frac{(x-21)^2}{21}+\frac{(y-100)^2}{100}=2100 \)在第一、二、三、四象限內的面積依次為\( R_1 \)、\( R_2 \)、\( R_3 \)、\( R_4 \)，則\( R_1-R_2+R_3-R_4= \)？
[提示]
高中數學101　P238，高中數學101修訂版　P240有這題
中心在\( (x_0,y_0) \)，\( R_1-R_2+R_3-R_4=4 |\ x_0 y_0 |\ \)

7.如下圖，正三角形△ABC，若D,E,F將三邊分成\( \overline{AF}:\overline{FB}=\overline{BD}:\overline{DC}=\overline{CE}:\overline{EA}=2 : (n-2) \)；
(其中\( n>4 \))，且\( \overline{AD} \)，\( \overline{BE} \)，\( \overline{CF} \)相交所成的△PQR的面積是△ABC的\( \displaystyle \frac{1}{7} \)，則n值為？

如右圖，△ABC中，D，E，F分別為三邊之三等分點，\( \overline{AD} \)，\( \overline{BE} \)，\( \overline{CF} \)兩兩分別交於P，Q，R，△PQR和△ABC面積比為何？
(97大安高工)
這題答案就是1:7，2: (n-2)=1:2，n=6
假如沒背到這題答案的話，原本的方法是
\( \overline{AF}:\overline{FB}=\overline{BD}:\overline{DC}=\overline{CE}:\overline{EA}=1:t \)
\( \displaystyle △ABQ=\frac{1+t}{1+t+t^2}△ABD \)，\( \displaystyle △ABD=\frac{t}{1+t}△ABC \)得\( \displaystyle △ABQ=\frac{t}{1+t+t^2}△ABC \)
最後可得到\( \displaystyle △PQR=\frac{1-2t+t^2}{1+t+t^2}△ABC \)，得\( t=2 \)
以上的解法出自國際數學奧林匹克大陸隊訓練教材　P136

101.2.11補充資料
已知：如圖6-7，△ABC中P、Q分別為邊\( \overline{BC} \)、\( \overline{CA} \)上的點，且\( \displaystyle \frac{\overline{BP}}{\overline{PC}}=\frac{\overline{CQ}}{\overline{QA}}=\frac{1}{2} \)，\( \overline{BQ} \)與\( \overline{AP} \)相交於D。試探討圖中
(1)線段與線段之間的關係；
(2)△ABD、△BPD、△AQD和四邊形PCQD各面積之間的關係；
(3)上述諸三角形和四邊形的面積同△ABC的面積之間的關係。

101.12.18
補充另外一種解法
宋釗宜，難解數學破題

面積比.rar (7.83 KB)

102.9.20補充
若\( \displaystyle \frac{AR}{RB}=\frac{BP}{PC}=\frac{CQ}{QA}=\frac{m}{n} \)則有
(3)\( AF:FD: DP=(m^2+mn): (n^2-m^2):m^2 \)
感謝thepiano解題
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=46&p=9976

102.11.20補充
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=206&page=2#pid9415

105.5.20補充
任意給定一個三角形\(ABC\)，已知\(P、Q、R\)分別為\(\overline{AB}\)、\(\overline{BC}\)、\(\overline{CA}\)三邊上的三點，且\(\overline{AP}:\overline{PB}=\overline{BQ}:\overline{QC}=\overline{CR}:\overline{RA}=2:1\)，若\(\overline{CP},\overline{AQ},\overline{BR}\)兩兩交於點\(A',B',C'\)。求\(\Delta A'B'C'\)與\(\Delta ABC\)的面積比。
(建中通訊解題　第92期)

111.1.11補充
在三角形\(ABC\)的三邊\(\overline{BC}\)、\(\overline{CA}\)、\(\overline{AB}\)上依次取\(D\)、\(E\)、\(F\)點，且使\(\overline{BD}:\overline{DC}=\overline{CE}:\overline{EA}=\overline{AF}:\overline{FB}=1:2\)，令\(\overline{AD}\)與\(\overline{CF}\)交於\(P\)點，\(\overline{BE}\)與\(\overline{AD}\)交於\(Q\)點，\(\overline{CF}\)與\(\overline{BE}\)交於\(R\)點，求\(\Delta ABC\)與\(\Delta PQR\)的面積比。
(106羅東高中，https://math.pro/db/thread-2801-1-1.html)

在(圖一)中，\(\displaystyle \overline{TQ}=\frac{1}{2}\overline{ST}\)，\(\displaystyle \overline{UR}=\frac{1}{3}\overline{TU}\)，\(\displaystyle \overline{SP}=\frac{1}{4}\overline{SU}\)。已知\(\Delta STU\)的面積是1。則\(\Delta PQR\)的面積為　　　。
(98嘉義高中，https://math.pro/db/thread-2417-1-1.html)

8.x為實數時，若\( \displaystyle f(x)=\frac{ax^2+x+1}{x^2+x+a} \)為所有實數，則常數a之範圍為？
(93高中數學能力競賽　雲嘉區筆試二試題)
h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... _High_ChiaYi_02.pdf　連結已失效

9.擲一公正骰子200次，若至少出現100次正面的機率為\( \displaystyle a+(\frac{1}{2})^k C_{100}^{200} \)，則數對\( (a,k)= \)？
h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=41934　連結已失效

17.n是自然數，O為原點，平面π: \( x+ny+(n+2)z=1 \)與三坐標軸相交於點\( A_n \)，\( B_n \)，\( C_n \)，若\( V_n \)表四面體\( O-A_nB_nC_n \)的體積，求\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}V_n= \)？
[提示]
高中數學101　P186，高中數學101修訂版　P187有這題
\( \displaystyle \frac{x}{1}+\frac{y}{\frac{1}{n}}+\frac{z}{\frac{1}{n+2}}=1 \)
\( \displaystyle A_n=(1,0,0) \)，\( \displaystyle B_n=(0,\frac{1}{n},0) \)，\( \displaystyle C_n=(0,0,\frac{1}{n+2}) \)

19.\( \displaystyle \int_0^2 \lim_{n \to \infty} \frac{(2-x)(x+x^n)}{1+x^n}dx \)之值為？
(99中正預校，https://math.pro/db/thread-990-1-1.html)
解答在http://www.shiner.idv.tw/teacher ... &start=10#p4039

圖片附件: 生活中的中學數學P188.gif (2012-2-11 15:09, 138.06 KB) / 該附件被下載次數 14110
https://math.pro/db/attachment.php?aid=932&k=89c6621bf928c43668a128fe08ffdc66&t=1732279092

附件: 面積比.rar (2012-12-18 15:00, 7.83 KB) / 該附件被下載次數 23969
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1479&k=591d511bbfa59020a060b6e7ba3ac193&t=1732279092

作者: sweeta 時間: 2010-6-14 11:27 標題: 想請教填充12

想請教一下
關於填充第12題 (第13格)
除了用討論的之外
有沒有比較有系統的作法?
或者是可以轉換成甚麼樣的思考模式來想這題呢??

先謝謝了!

作者: 八神庵 時間: 2010-6-14 23:48

請教一下第6題的解題思維

作者: weiye 時間: 2010-6-15 08:55

第 6 題

求兩橢圓 \(\displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\) 與 \(\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1\) 所圍區域的公共部份繞 \(x\) 軸旋轉一周所得體積為？

解答：

先求 \(\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc}\displaystyle\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\\\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1\end{array}\right.\) 在第一象限的交點

（根據對稱的特性，也就是抓其中一個橢圓跟 \(x=y\) 直線在第一象限的交點），

解得交點為 \(\displaystyle\left(\frac{12}{5},\frac{12}{5}\right).\)

所求體積為 \(\displaystyle 2\left(\int_{0}^{\frac{12}{5}} \pi\cdot 9\left(1-\frac{x^2}{16}\right)dx+\int_{\frac{12}{5}}^{3} \pi\cdot 16\left(1-\frac{x^2}{9}\right)dx\right)=\frac{208\pi}{5}.\)

作者: sweeta 時間: 2010-6-15 11:08 標題: 回復 3# sweeta 的帖子

我已經知道怎麼寫比較有規律了
^^

作者: idontnow90 時間: 2010-6-20 21:52

想請教第8題
\(x\)為實數時，若\( \displaystyle \frac{ax^2+x+1}{x^2+x+a} \)為所有實數，則常數\(a\)之範圍為　　　

令y=f(x)...整理出(y-a)x^2+(y-1)x+(ay-1)=0..此式判別式>=0...請問那之後呢?
我算不出-2<a<0.這個答案ㄟ..還請知道的老師們不吝指教..謝謝~

作者: 八神庵 時間: 2010-6-20 23:11

引用:

原帖由 idontnow90 於 2010-6-20 09:52 PM 發表
想請教第8題...令y=f(x)...整理出
(y-a)x^2+(y-1)x+(ay-1)=0..此式判別式>=0...請問那之後呢?我算不出-2

因為y為任意實數,所以f(y)>=0恆成立的條件
就是D<0

作者: may 時間: 2010-6-21 22:29 標題: 回復 1# bugmens 的帖子

想請教第18題，感謝。

作者: 八神庵 時間: 2010-6-21 22:49

引用:

原帖由 may 於 2010-6-21 10:29 PM 發表
想請教第18題，感謝。

這是四個積分
分子分母各除以n^2....然後各分一個給前後兩個級數
就是積分....

作者: weiye 時間: 2010-6-21 23:02

引用:

原帖由 may 於 2010-6-21 10:29 PM 發表
想請教第18題，感謝。

第 18 題：

題目：求 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{\left(1^2+2^2+\cdots+n^2\right)\left(^5+2^5+\cdots+n^5\right)}{\left(1^3+2^3+\cdots+n^3\right)\left(1^4+2^4+\cdots+n^4\right)}\) 之值。

解答：

\(\displaystyle 1+2+\cdots+n=\frac{1}{2}n^2+O(n)\)

\(\displaystyle 1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{1}{3}n^3+O(n^2)\)

\(\displaystyle 1^3+2^3+\cdots+n^3=\frac{1}{4}n^4+O(n^3)\)

\(\displaystyle 1^4+2^4+\cdots+n^4=\frac{1}{5}n^5+O(n^4)\)

\(\displaystyle 1^5+2^5+\cdots+n^5=\frac{1}{6}n^6+O(n^5)\)

所求 \(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle\frac{n^3}{3}\cdot\frac{n^6}{6}+O(n^7)}{\displaystyle\frac{n^4}{4}\cdot\frac{n^5}{5}+O(n^7)}=\frac{10}{9}.\)

作者: johncai 時間: 2010-6-24 00:41

可以請教第14題嗎?
有看過美夢成真教甄版了
但是還是不太懂設f(a)以後的過程的原理
請各位教導一下
謝謝

作者: 八神庵 時間: 2010-6-24 19:48

引用:

原帖由 johncai 於 2010-6-24 12:41 AM 發表
可以請教第14題嗎?
有看過美夢成真教甄版了
但是還是不太懂設f(a)以後的過程的原理
請各位教導一下
謝謝

http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1531&start=10#p3916

作者: liengpi 時間: 2011-5-14 16:16

我想請問第三題跟第四題
我一直想用科西不等式解
但是都無法解出
可以請版上高手給點提示嗎
感謝

作者: weiye 時間: 2011-5-14 21:44

第 3 題：

解答：

令\(\angle ACB=\theta,\)

則 \(\angle ABC=60^\circ -\theta,\)

由正弦定理，可得

　　　　\(\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\sin\theta}=\frac{\overline{AC}}{\sin\left(60^\circ-\theta\right)}=2\times 1\)

所以，\(\displaystyle 2\overline{AB}+3\overline{AC}=4\sin\theta+6\sin\left(60^\circ-\theta\right)\)

　　　　　　\(\displaystyle =4\sin\theta+6\left(\sin60^\circ\cos\theta-\cos60^\circ\sin\theta\right)\)

　　　　　　\(\displaystyle =\sin\theta+3\sqrt{3}\cos\theta\)

　　　　　　\(\displaystyle \leq\sqrt{1^2+\left(3\sqrt{3}\right)^2}\)

　　　　　　\(=2\sqrt{7}\)

故，所求最大值為 \(2\sqrt{7}.\)

ps. 如果想要知道當最大值發生時 \(\displaystyle \overline{AB}, \overline{AC}\) 各別為多少的話，

　　解題時可以改以疊合處理。

作者: weiye 時間: 2011-5-14 21:58

第 4 題：

由面積公式，可得 \(\displaystyle \frac{1}{2}bc\sin 60^\circ = \sqrt{3}\Rightarrow bc=4\)

由餘弦定理，可得

　　　\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos60^\circ\)

　　　　\(=b^2+c^2-4\)

　　　　\(\geq2\sqrt{b^2\cdot c^2}-4\)

　　　　\(=4\)

　　　\(\Rightarrow a\geq2\)（且當等號成立時，若且唯若 \(b=c\)）

所以，

　　　\(a+b+c\geq a+2\sqrt{bc}=2+2\sqrt{4}=6\)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（且當等號成立時，若且唯若 \(a=2\) 且 \(b=c\)）

故，\(a+b+c\) 的最小值為 \(6\)。（且此時 \(a=b=c=2\)）

作者: liengpi 時間: 2011-5-15 00:48

瑋岳老師謝謝您

作者: mandy 時間: 2011-5-20 17:59

請問第七題的 △ABQ=(1+t)/(1+t+t^2)△ABD ,如何求的?

作者: mandy 時間: 2011-5-20 18:40

請問第8題如何做?

作者: mandy 時間: 2011-5-20 20:27 標題: 回復 8# 八神庵的帖子

為甚麼\(f(y)\ge 0\)的條件是\(D<0 \), 不是應該是\(D\le 0\)嗎?

作者: weiye 時間: 2011-5-21 20:10

引用:

原帖由 mandy 於 2011-5-20 05:59 PM 發表
請問第七題的 △ABQ=(1+t)/(1+t+t^2)△ABD ,如何求的?

由孟氏定理（Menelaus' theorem），可知 \(\displaystyle \frac{AE}{EC}\cdot\frac{CB}{BD}\cdot\frac{DQ}{QA}=1\)，可得 \(AQ : QD\)

進一步得 \(AQ : AD\)，此即為 \(\triangle ABQ : \triangle ABD.\)

註：感謝 whymath 提醒我的小錯誤，已修正！^__^

作者: 阿光 時間: 2012-2-6 22:10

想請教第10題,謝謝

某冬天的早上，貝克街上的福爾摩斯偵探在街頭發現一具流浪漢的屍體，福爾摩斯在早上六點半時測量其體溫為13°C，而到早上七點半時，其體溫已降到11°C，若假設室外溫度約維持在10°C，且人體正常體溫為37°C，福爾摩斯是個文武兼修的偵探，熟悉物理觀念，心想根據牛頓冷卻規律描述一個物體在常溫\(a\)°C環境下的溫度變化。如果物體的初始溫度是\(b\)°C，那麼經過\(t\)小時後的溫度是\(f(t)\)°C將滿足\( \displaystyle f(t)=a+(b-a)(\frac{1}{2})^{kt}\)，此常數\(k\)與物質的性質有關，福爾摩斯據此定律推測出流浪漢死亡時間應為　　　

作者: weiye 時間: 2012-2-6 22:40 標題: 回復 22# 阿光的帖子

第 10 題：

設由死亡到凌晨六點半恰經過 \(t\) 小時，則

\(\displaystyle 13 = 10 + 27\left(\frac{1}{2}\right)^{kt}\) 且 \(\displaystyle 11 = 10 + 27\left(\frac{1}{2}\right)^{k(t+1)}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^{kt} = \frac{1}{9}\) 且 \(\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{k(t+1)}=\frac{1}{27}\)

兩式相除，可得 \(\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^k = \frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow t=2\)

故，死亡時間應為凌晨四點半。

作者: 阿光 時間: 2012-2-8 13:57

想請教12,13,14第2小題,15,19題的詳解要去哪裡找
thank you very much

作者: weiye 時間: 2012-2-8 15:32 標題: 回復 24# 阿光的帖子

第12,13,14(2),15,19題： http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1531

可以找尋的地方有：這裡、美夢成真、PTT 數學版、google ...... ^__^

作者: tsusy 時間: 2012-8-1 23:10 標題: 回復 20# mandy 的帖子

關於第 8 題，先前寫此題也碰到此麻煩，

如 mandy 所說首項為正的二次式恆"非負"的條件為判別式"非正"

而此題搞鬼的地方在於 \( f(x) \)  在二次式的解處可能沒有定義。

以下我們來研究一下判別式非負和值域的關係

原本分子分母都是二次(以下)式，但透過平移 \( g(x)=f(x)-c \) 可將分子改成一次以下，但如果分子是常數，就沒有什麼好看的，所以

設 \( f(x)=\frac{\alpha x+\beta}{ax^{2}+bx+c}, D_{y}=(by-\alpha)^{2}-4ay(cy-\beta)\) , 且 \( a\alpha \neq0 \)，則有

(a) \( y\in f(\mathbb{R})\Rightarrow D_{y}\geq0 \).

證  若 \( y\neq0 \) 且  \( y\in f(\mathbb{R}) \)，則 \( (ax^{2}+bx+c)y=\alpha x+\beta \)  有實數解，因此 \( D_{y}\geq0 \) 。

若 \( y=0 \), \( D_{y}=\alpha^{2}\geq0\Rightarrow0 \)。因此 \( y\in f(\mathbb{R})\Rightarrow D_{y}\geq0 \) 。

(b) \( y\neq0,\, D_{y}>0\Rightarrow y\in f(\mathbb{R}) \)

證若 \( D_{y}>0, y\neq 0 \)，則 \( (ax^{2}+bx+c)y=\alpha x+\beta \)  有兩相異實根。若 \( ax^{2}+bx+c=0 \)，則 \( \alpha x+\beta=0 \)。

而 \( ax^{2}+bx+c=0 \) 和 \( \alpha x+\beta \)  至多一共根，

因此當 \( D_{y}>0 \)  時，必存在 \( x \) 使得 \( (ax^{2}+bx+c)y=\alpha x+\beta \) 且 \( ax^{2}+bx+c\neq0\Rightarrow f(x)=y \) 。

(c) \( \deg\left(\gcd(ax^{2}+bx+c,\alpha x+\beta)\right)=0\Leftrightarrow f(\mathbb{R})=\{y\in\mathbb{R}\mid D_{y}\geq0\} \)

證由 (1) (2) 知，我們只須檢驗 \( D_{y}=0 \)、\( y=0 \) ，在兩集合的差異 ( \( D_y>0 \) 且 \( y\neq0 \) 同時屬於兩集合)。

假設左式成立，則 \( ax^{2}+bx+c=0 \) 和 \( \alpha x+\beta=0 \)  無共根。

同 (b) 論述可得 \( y\neq0 \) 且 \( D_{y}\geq0 \) 則 \( y\in f(\mathbb{R}) \) 。

易驗 \( D_{0}=\alpha^{2}\geq0 \) 且 \( f(-\frac{\beta}{\alpha})=0 \) ，因此 \( f(\mathbb{R})=\{y\in\mathbb{R}\mid D_{y}\geq0\} \) 。

假設左式不成立，則 \(ax^{2}+bx+c=0\)  和 \( \alpha x+\beta=0 \)  有共同根 \(-\frac{\beta}{\alpha}\) 。

若 \(D_{y}=0\), 且 \( f(x)=y \) ，注意方程式 \( (ax^{2}+bx+c)y=\alpha x+\beta \) 之解必為 \( x=-\frac{\beta}{\alpha} \)  (重根)，

因此 \( x=-\frac{\beta}{\alpha} \)，但 \( f \)  在 \( x=-\frac{\beta}{\alpha} \)  無定義，故不存在 \( x \) ，使得 \( f(x)=y \) ，

同理 \(y =0 \) 時，亦不存在 \( x \) 使得 \( f(x)=0 \)

因此 \( f(\mathbb{R})\neq\{y\in\mathbb{R}\mid D_{y}\geq0\} \) 。

---------------------------------我是分割線-------2013.09.02 修改下方之式子，之前有小瑕疵

回到原題，\( a=1 \) 顯然不合。而 \( a \neq 1 \)，計算判別式可得 \( -2 \leq a \leq 0 \)

檢查分子是否與分母互質即 \( a^2+2a \) 是否為 0 (因式定理)

故其解為 \( -2<a<0 \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2016-1-2 10:17 PM 編輯 ]

作者: frombemask 時間: 2013-7-21 00:20

想請教(22)題

第20題
設方程式\(x^3-3x^2+ax-b=0\)有三正根，則\(a\)的最大值為\(M\)，\(b\)的最大值為\(n\)，求數對\((a,b)=\)　　　。

作者: weiye 時間: 2013-7-21 00:45 標題: 回復 27# frombemask 的帖子

沒有第 22 題，我想你要問的應該是第 20 題（第 22 格）吧？

第 20 題 thepiano 老師解過了，

可見 http://www.shiner.idv.tw/teacher ... &start=10#p4039

作者: arend 時間: 2013-7-21 10:06

請教第二題
我算出答案是1/14
謝謝

由\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)、\(E\)、\(F\)、\(G\)、\(H\)八隊作單淘汰賽，如附圖安排賽程，若此八隊的實力相當，則\(A\)、\(D\)兩隊在冠亞軍相遇的機率為　　　。

作者: weiye 時間: 2013-7-21 10:54 標題: 回復 29# arend 的帖子

填充第 2 題：

可以參考八神庵跟 thepiano 老師的解：

http://www.shiner.idv.tw/teacher ... &start=20#p4058

另，小弟的解法是：\(\displaystyle\frac{8}{8}\cdot\frac{4}{7}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{28}.\)

說明：\(A\) 可以任選，\(D\) 需由剩下的七個位置選到與 \(A\) 不同分支的四個之一，剩下就是兩人必須各勝兩次。

作者: arend 時間: 2013-7-21 12:24

引用:

原帖由 weiye 於 2013-7-21 10:54 AM 發表
填充第 2 題：

可以參考八神庵跟 thepiano 老師的解：

http://www.shiner.idv.tw/teacher ... &start=20#p4058

另，小弟的解法是：\(\displaystyle\frac{8}{8}\cdot\frac{4}{7}\cdot\) ...

謝謝瑋岳老師

作者: arend 時間: 2013-7-23 22:44

請教第16題
方向是\((3,3,-4)\)
怎麼求過點\((5,6,-6)\)
這兩直線\(L_1\)與\(L_2\)不是在同一平面?

謝謝

作者: tsusy 時間: 2013-9-30 10:06 標題: 回復 32# arend 的帖子

請教第15 題，很久以前不會，現在還是不會，其中有何玄機？

作者: thepiano 時間: 2013-9-30 10:54

第 15 題
\(x,y,z,u,v,w\)為正整數，若
\( 1949(xyzuvw+xyzu+xyzw+xyvw+xuvw+zuvw+xy+xu+xw+zu+zw+vw+1)= \)
\( 2004(yzuvw+yzu+yzw+yvw+uvw+y+u+w) \)，
求\(x+y+z+u+v+w=\)　　　
[解答]
2004/1949 = (xyzuvw+ xyzu + xyzw + xyvw + xuvw + xy + xu + xw + zuvw + zu + zw + vw + 1) / (yzuvw+ yzu + yzw + yvw + uvw + y + u + w)

1 + 55/1949 = x + [(zuvw + zu + zw + vw + 1) / (yzuvw+ yzu + yzw + yvw + uvw + y + u + w)]
x = 1

1949/55 = 35 + 24/55 = y + [(uvw + u + w) / (zuvw + zu + zw + vw + 1)]
y = 35

......

z = 2，u = 3，v = 2，w = 3

作者: tsusy 時間: 2013-9-30 12:09 標題: 回復 34# thepiano 的帖子

感謝

太神了！原來正整數的條件要這樣用...我的思路完全在另一條平行線...

作者: weiye 時間: 2013-9-30 12:22 標題: 回復 34# thepiano 的帖子

真是漂亮的連分數。

圖片附件: qq.gif (2013-9-30 12:22, 13.52 KB) / 該附件被下載次數 9852
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1969&k=66e0532a227b5e017c0ffbcbba0d2b12&t=1732279092

作者: tsusy 時間: 2013-9-30 14:17 標題: 回復 36# weiye 的帖子

漂亮到簡直犯規！

作者: tsusy 時間: 2013-10-19 18:08 標題: 回復 38# johncai 的帖子

(前文刪帖???)
填7. 設 \( t =\frac{\overline{CD}}{\overline{DB}} \)，\( \vec{BQ} = \alpha \vec{BC} + \beta \vec{BA} \)

由 CEA 共線，知 \( \alpha = \beta t \)...①

而 \( \vec{BC} = (1+t) \vec{BD} \)，又 DQA 共線，而得 \( (1+t)\alpha + \beta =1 \)...②

①②聯立，解得 \( \alpha = \frac{t}{1+t+t^2}, \beta = \frac{1}{1+t+t^2} \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-10-23 09:33 PM 編輯 ]

作者: Pacers31 時間: 2014-2-17 23:00

苦思很久的第8題，究竟 \(a\) 為何不為0, -2

發現其實是在算的過程中，漏了一個很大的條件...囧

\(\displaystyle f(x)=\frac{ax^2+x+1}{x^2+x+a}=a+\frac{(1-a)x+1-a^2}{x^2+x+a}\) 之值域為實數

\(\displaystyle \Leftrightarrow 設 y=\frac{(1-a)x+1-a^2}{x^2+x+a}\) ，\(y\) 之值域為實數 (不作平移這步也沒差，計算也沒變簡單XD)

\(\Rightarrow yx^2+(y-1+a)x+ay+a^2-1=0\) (心中要掛記著 \(x^2+x+a\neq0\))

(1)若 \(y=0\)，則 \(a=1\) (代回原式顯然不合) 或

                        \(x=-1-a\) 且 \((-1-a)^2+(-1-a)+a\neq0\) (\(\leftarrow\) 剛剛掛記著的那件事！解得 \(a\neq 0 or -2\))

                                             (由因式定理，上式也代表 \(y\) 的分子(一次式)不能被約去，被約去的話就造不出\(y=0\)了)

也就是 \(y=0\) 這個case在 \(x=-1-a\) 且 \(a\neq 0 or -2\) 時成立！

(2)若 \(y\neq0\)，由 \(x\in R\) 條件，利用判別式法可得 \(-2\leq a\leq 0\)  (這步過程和大家一樣，不詳述)

因為 \(y\) 的值域是實數全體，case(1)(2)皆要有解，交集得 \(-2<a<0\)

其實是資質駑鈍XD，一開始沒看懂tsusy大的說明，寫完後總算有了些感覺

[ 本帖最後由 Pacers31 於 2014-2-17 11:19 PM 編輯 ]

作者: mathca 時間: 2015-12-11 20:32 標題: 回復 1# bugmens 的帖子

請教14.(1)，感謝。

作者: thepiano 時間: 2015-12-11 20:44 標題: 回復 40# mathca 的帖子

填充第14題
設\(x\)、\(y\)、\(z\)為實數，\(x+y+z=0\)，\(x^2+y^2+z^2=6\)，求：
(1)\(x\)的範圍為　　　。
(2)\(x^3+y^3+z^3\)之最大值為　　　

參考 https://math.pro/db/thread-61-1-1.html

作者: mathca 時間: 2015-12-11 21:42 標題: 回復 41# thepiano 的帖子

感謝。

作者: mathca 時間: 2016-1-2 12:37 標題: 回復 39# Pacers31 的帖子

請教第8題，
         y = a*x^2+x+1 / x^2+x+a
      ->  (y-1)x^2 + (y-1)x + (ya-1) =0
x實數-> (y-1)^2 - 4*(y-1)(ya-1)>=0
      -> (1-4a)y^2 + (2+4*a^2) + (1-4a) >=0
y實數-> (2+4*a^2)^2 - 4*(1-4a)*(1-4a) <=0
      -> a*(a-1)^2*(a+2) <=0
      -> -2 <= a <= 0 或 a=1
case1  a=1  -> y=x^2+x+1 / x^2+x+1  = 1 ->y不為"所有"實數，矛盾
case2  a=0  -> y= x+1 / x^2+x = 1/x ->  x不可為零， x不為"所有"實數，矛盾
case3  a=-2 -> y= -2*x^2+x+1 / x^2+x-2  = (-2x-1)(x-1) / (x-1)(x+2) = (-2x-1) / (x+2)  -> x不可為-2 ，矛盾
case4 -2 < a < 0 ，分母 x^2 + x + a  如果是這樣想，到這裡如何檢驗分子分母互值？

作者: thepiano 時間: 2016-1-2 19:07 標題: 回復 43# mathca 的帖子

\(\displaystyle y=\frac{a{{x}^{2}}+x+1}{{{x}^{2}}+x+a}=a+\frac{\left( 1-a \right)\left( x+1+a \right)}{{{x}^{2}}+x+a}\)

當\(x+1+a\)不為\({{x}^{2}}+x+a\)之因式時，就是您要的

作者: mathca 時間: 2016-1-2 22:12 標題: 回復 44# thepiano 的帖子

\(x = -1-a \)，帶入分母，得到\( a^2 + 2a\)
分母等於零，解出\(a=0\)或\(a=-2\)(同時讓分子分母為零)。
感謝。

作者: liusolong 時間: 2016-7-24 01:03

最後一題，題目是否應該改成求數對\((M,n)\)

作者: satsuki931000 時間: 2018-12-20 12:07 標題: 回復 2# bugmens 的帖子

想請問一下第七題的部分

有推出ABQ和ABD的關係
不懂的是為何ABD的面積為 (t/ t+1)ABC面積
BD : DC=不是1:t嗎
這邊卡了好久百思不得其解

作者: thepiano 時間: 2018-12-20 14:41 標題: 回復 47# satsuki931000 的帖子

應是
\(\begin{align}
& \Delta ABQ=\frac{{{t}^{2}}+t}{1+t+{{t}^{2}}}\Delta ABD \\
& \Delta ABD=\frac{1}{1+t}\Delta ABC \\
\end{align}\)

作者: anyway13 時間: 2019-2-28 17:42 標題: 請教第19題

請問版上老師這到題只知道lim和積分相換後(驗證需要?)分段0~1,1~2

然後想請問一下接下來怎麼做阿? 謝謝

作者: thepiano 時間: 2019-2-28 22:24 標題: 回復 49# anyway13 的帖子

第 19 題
請參考 http://www.shiner.idv.tw/teacher ... &start=10#p4039

作者: anyway13 時間: 2019-3-1 11:39 標題: 回覆 50#thepiano老師

鋼琴老師謝謝您

作者: anyway13 時間: 2019-3-16 19:38 標題: 請教第13題(第14格)

版上的老師好
這一題\(P(n)\)一題意得到\(\displaystyle P(n)=\left(\frac{3n+1}{4n}\right)^3\)，\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}P(n)=\frac{27}{64}\)
不知到哪裡做錯了請指點迷津謝謝

作者: thepiano 時間: 2019-3-16 22:24 標題: 回復 52# anyway13 的帖子

第 13 題
請參考 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1531#p3665

作者: anyway13 時間: 2019-3-17 10:13 標題: 回復 53# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴師回覆,知道哪裡做錯了

作者: anyway13 時間: 2021-3-6 14:32 標題: 請教第3題

板上老師好

想請問第三題如果用訂坐標的方式做的話

請問是哪一步是做錯了(還是觀念錯了)

附件: [訂坐標] 第3題.pdf (2021-3-6 14:32, 119.36 KB) / 該附件被下載次數 5796
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5780&k=cd94eba936eef1664eae3862ba2d05b5&t=1732279092

作者: thepiano 時間: 2021-3-6 15:32 標題: 回復 55# anyway13 的帖子

您不能預設 A'B' = A'C'

作者: anyway13 時間: 2021-3-6 16:17 標題: 回復 56# thepiano 的帖子

對厚原來是這樣謝謝鋼琴師

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0