Math Pro 數學補給站

標題: 99 台中二中教甄 [打印本頁]

作者: weiye 時間: 2010-5-10 00:12 標題: 99 台中二中教甄

部分題目僅憑印象重新敘述，

故與原始題目僅題意相同、但敘述不同。

如有記錯或疏漏，還請不吝告知。

5/10, 00:43 AM 新增計算題一題。

感謝 Kapa 老師提醒數據的錯誤，已修正！^__^

感謝 oscar 提醒數據錯誤，已修正！ ^__^

感謝 ptt 網友 moun9 提醒填充第一題敘述有漏，已修正！感謝。 ^__^

感謝八神庵提醒打字疏漏的地方！！ ^__^

附件: 99tcssh.pdf (2010-7-1 23:22, 236.14 KB) / 該附件被下載次數 17485
https://math.pro/db/attachment.php?aid=178&k=33e9f2f5d710f8b0e4591ac2d231d5da&t=1732253820

附件: 99tcssh(LaTeX_Source).rar (2010-7-1 23:22, 14.67 KB) / 該附件被下載次數 15348
https://math.pro/db/attachment.php?aid=179&k=1016603c8b44712f89ad76f669ed273f&t=1732253820

作者: bugmens 時間: 2010-5-10 06:43

填充題
110.3.19補充
2.
已知$z$為複數，且$\displaystyle \frac{z}{z-1}$為純虛數，求$|\;z-i|\;$之最大值。
(108新港藝術高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=938&page=1#pid4656)

設$z$為一複數，若$\displaystyle \frac{z-1}{z+1}$為純虛數，試求$|\;z^2-z+2|\;$的最小值。
(109嘉義高中代理，https://math.pro/db/thread-3369-1-1.html)

8.
設$a,b,c$為三相異實數，已知$a,b,c$成等比數列，且$ log_a b $,$ log_b c $,$ log_c a $成等差數列，試求上述等差數列的公差為何？
(高中數學101　P95，修訂版　P96)
(98松山高中，https://math.pro/db/thread-827-1-1.html)
(98政大附中，http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=555)

計算題
2.已知H為△ABC的垂心，且$ \overline{AH}=l $，$ \overline{BH}=m $，$ \overline{CH}=n $，三角形的三邊長$ \overline{BC}=a $，$ \overline{AC}=b $，$ \overline{AB}=c $，試證$ \displaystyle \frac{a}{l}+\frac{b}{m}+\frac{c}{n}=\frac{abc}{lmn} $。
(初中數學競賽教程P258)
[提示]
△HBC+△HCA+△HAB=△ABC
$ \displaystyle \frac{amn}{4R}+\frac{bln}{4R}+\frac{cml}{4R}=\frac{abc}{4R} $，R為外接圓半徑

2010.5.11
原本要請各位自行去查書找資料，想不到thepiano都幫各位準備好了
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=3302

作者: kapa 時間: 2010-5-10 10:49 標題: 99中二中計算題:第1題的兩根範圍和小弟我記下來的有出入

計算1...二次方程式的兩根x1,x2,且-1<=x1<=1 , 1<=x2<=2 ....
(還是需請各位前輩高手解題指導,謝謝!)

作者: weiye 時間: 2010-5-10 11:25

計算題，第 1 題

題目：

設 $a,b$ 為實數，且 $x^2-ax+b=0$ 之兩根為 $x_1,x_2$，且 $-1 \leq x_1 \leq 1 , 1 \leq x_2\leq 2.$
　　（ａ）設滿足上述條件之 $\left(a,b\right)$ 所在之區域為 $I$，在坐標平面上畫出 $I$ 的圖形.
　　（ｂ）設 $u=x-3y$，其中 $x,y\in I$，求 $u$ 之最大值與最小值.

解答：

（ａ）

依題意，可得

　　$\left\{\begin{array}{ccc}\mbox{判別式}=a^2-4b\geq0\\ 0\leq a=x_1+x_2\leq3\\ -2\leq b=x_1x_2\leq 2\end{array}\right.$

且若令 $f(x)=x^2-ax+b$ ，則 $y=f(x)$ 為開口向上拋物線

且 $y=f(x)$ 與 $x$ 軸的兩交點分別落在 $x$ 軸上的 $[-1,1]$ 與 $[1,2]$ 兩區間內各有一個，

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc}f(-1)&=&1+a+b\geq0\\ f(1)&=&1-a+b\leq0\\ f(2)&=&4-2a+b\geq0\end{array}\right.$

以 $a$ 為橫軸、$b$ 為縱軸，畫出圖形所圍區域 $\triangle ABC$ 即為 $I.$

（ｂ）線性規劃，用頂點法將 $\triangle ABC$ 的三頂點帶入，可得 $u$ 的最大值與最小值。

註：感謝 Ellipse 於後方回覆中提醒繪圖中某直線位置錯誤，已修正！

圖片附件: qq.png (2012-5-16 21:23, 30.56 KB) / 該附件被下載次數 13932
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1101&k=2b49de501b736d2c46582a4bbf3fe303&t=1732253820

作者: oscar 時間: 2010-5-10 22:02

填充第三題的題目似乎是
$
z_1 + z_2 = - \cos \theta
$

作者: blue 時間: 2010-5-10 22:51

填充4. 我的做法
f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=f(6)=0
由遞迴關係可以看出其他整數點不為0與其他非正數點不為0否則f為0函數
故f(x)=ax(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)
因f(7)=2*7! 故 a=2.

填充6
排女生7!
選男生 $$H^8_9$$
排男生 25!
通通乘一起就是答案囉

計算5 算轉移矩陣吧

作者: mandy 時間: 2010-5-24 21:04 標題: 請問

請問填充 5,6 如何做 ?

作者: Ellipse 時間: 2010-5-24 22:29

引用:

原帖由 weiye 於 2010-5-10 11:25 AM 發表
計算題，第 1 題

題目：

設 $a,b$ 為實數，且 $x^2-ax+b=0$ 之兩根為 $x_1,x_2$，且 $-1 \leq x_1 \leq 1 , 1 \leq x_2\leq 2.$
　　（ａ）設滿足上述條件之 $\left(a,b\right)$ 所在之區域為 $I$，在坐標平面上畫出 ...

不好意思,請問AB直線是否有畫錯?

作者: weiye 時間: 2010-5-25 18:54

第五題

過 $\left(0,0\right)$ 恰有三相異直線與 $y=x^3+ax^2+1$ 相切，則 $a$ 之範圍為？

解答：

令 $f(x)=x^3+ax^2+1$，則

$f'(x)=3x^2+2ax$ 且 $f''(x)=6x+2a$

$y=f(x)$ 有水平切線的兩個點為 $(0,1)$ 及 $\displaystyle\left(\frac{-2a}{3},f\left(\frac{-2a}{3}\right)\right)$

反曲點為 $\displaystyle\left(\frac{-a}{3},f\left(\frac{-a}{3}\right)\right)$

case i: 當 $a\leq0$ 時，

　　　至多只有一條 $y=f(x)$ 的切線會通過原點.

case ii: 當 $a>0$ 時，

　　　通過反曲點的切線必須要在原點的下方，才會使得 $y=f(x)$ 有三條切線通過原點.

　　　所以，$\displaystyle y-f\left(\frac{-a}{3}\right)=f'\left(\frac{-a}{3}\right)\left(x-\frac{-a}{3}\right)$ 在原點的下方，

　　　$\displaystyle\Rightarrow -f\left(\frac{-a}{3}\right)>f'\left(\frac{-a}{3}\right)\cdot\left(\frac{a}{3}\right)$

　　　$\Rightarrow a>3.$

由上二者，可得 $a>3.$

以上想法如有疏漏，煩請不吝指教，感激。

作者: may 時間: 2010-5-25 20:58 標題: 回復 1# weiye 的帖子

請教填充題第三題
只有看出兩複數乘積為(cot )^2
接下來怎麼做呢，謝謝~

作者: weiye 時間: 2010-5-26 23:13

填充第 3 題

題目：

已知 $z_1,z_2$ 是複數，且 $z_1+z_2=-\cos\theta, z_1^2+z_2^2=3-2\csc^2\theta-\sin^2\theta$，其中 $45^\circ\leq\theta\leq60^\circ$，若 $\left|z_1\right|$ 的最大值為 $M$，最小值為 $m$，則數對 $\left(M,m\right)=?$

解答：

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc}z_1+z_2&=&-\cos\theta\mbox{...（1）}\\ z_1^2+z_2^2&=&3-2\csc^2\theta-\sin^2\theta\mbox{...（2）}\end{array}\right.$

將（1）平方之後與（2）相減，可得 $z_1z_2=\cot^2\theta.$

所以，$z_1$ 與 $z_2$ 為實係數一元二次方程式 $z^2+\cos\theta z+\cot^2\theta=0$ 的兩根，

因為其判別式$=\cos^2\theta-4\cot^2\theta=\left(\cos^2\theta-\cot^2\theta\right)-3\cot^2\theta<0,\;\;\forall 45^\circ\leq\theta\leq60^\circ.$

所以，$z_1$ 與 $z_2$ 為共軛複數，

因此 $\left|z_1\right|^2=z_1\cdot z_2=\cot^2\theta$

　$\Rightarrow \cot^2 60^\circ\leq\left|z_1\right|^2\leq \cot^2 45^\circ$

　$\displaystyle\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{3}\leq\left|z_1\right|\leq1.$

以上想法如有疏漏，煩請不吝指教，感激。

註：感謝 Ellipse 提醒小弟數字上的錯誤！感謝～ ^__^

作者: 八神庵 時間: 2010-7-1 16:16

填充1(我現在才看清楚題目,會不會太晚....=_=)
ABCD是正四面體,三角形ABC內有一點E
這一點到三邊的距離和為三角形的高可以確定
那這一點到其他三面的距離和也是定值嗎?
會不會剛好就是四面體的高啊?
再此再度向各位討教!

作者: weiye 時間: 2010-7-2 00:17

填充第 1 題

設 $ABCD$ 為正四面體，$\triangle ABC$ 內部有一點 $E$，點 $E$ 到 $\triangle DAB, \triangle DBC, \triangle DCA$ 距離之和為 $m$，

點 $E$ 到 $\overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CA}$ 距離之和為 $M$，求 $\displaystyle\frac{m}{M}.$

解答：

設此正四面體任兩面夾角為 $\theta$，則　$\displaystyle\cos\theta=\frac{1}{3}$　且

$\displaystyle\frac{\mbox{「E 到 ΔDAB 的距離」}}{\mbox{「E 到 AB稜線的距離」}}$

　$\displaystyle=\frac{\mbox{「E 到 ΔDBC 的距離」}}{\mbox{「E 到 BC稜線的距離」}}$

　$\displaystyle=\frac{\mbox{「E 到 ΔDCA 的距離」}}{\mbox{「E 到 CA稜線的距離」}}$

　$=\sin\theta$

　$\displaystyle=\frac{2\sqrt{2}}{3},$

再用和比性質，可得所求亦為 $\displaystyle\sin\theta=\frac{2\sqrt{2}}{3}.$

作者: 老王 時間: 2010-7-2 09:40

引用:

原帖由 八神庵 於 2010-7-1 04:16 PM 發表
填充1(我現在才看清楚題目,會不會太晚....=_=)
ABCD是正四面體,三角形ABC內有一點E
這一點到三邊的距離和為三角形的高可以確定
那這一點到其他三面的距離和也是定值嗎?
會不會剛好就是四面體的高啊?
再此再度向各位 ...

ABCD為正四面體，P為內部一點，那麼
ABCD可以分成PABC、PBCD、PACD、PABD四塊
計算體積可以得到結果

作者: kittyyaya 時間: 2010-9-8 01:22

謝謝weiye老師對99桃園現職解答,我想請問各位老師計算題 4,和計算 5 的(a)答案是否為3/4 , (b)答案是否為150 ,(c)如何說明 ? 我是用轉移矩陣算的 , 還有計算題6的(c)如何算出 ? 謝謝

作者: weiye 時間: 2010-9-8 10:57

計算題第 4 題：見 thepiano 老師回覆 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1437 當中的第二題即是。

計算題第 5 題：

我的轉移矩陣是 $\displaystyle A=\left[\begin{array}{ccc}\displaystyle \frac{1}{3}&\frac{1}{3}&0\\ \frac{2}{3}&\frac{1}{2}&1\\ 0&\frac{1}{6}&0\end{array}\right]$

其中上方的三的狀態分別是甲有 50+50元、100+50元、100+100元，

轉移後的左方三的狀態分別是甲有 50+50元、100+50元、100+100元。

而初始矩陣 $\displaystyle X_0=\left[\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right]$

因為 $\displaystyle A^3X_0=\left[\begin{array}{c}\displaystyle \frac{11}{36}\\ \frac{127}{216}\\ \frac{23}{216}\end{array}\right]$

所以，第三局結束時，甲袋中有 150 元的機率為 $\displaystyle \frac{127}{216}.$

第三局結束時，甲袋中金額的期望值為 $\displaystyle 100\times \frac{11}{36}+150\times\frac{127}{216}+200\times\frac{23}{216}=\frac{15125}{108}.$

第三局結束時，乙袋中金額的期望值為 $\displaystyle 100+100+50+50+50-\frac{15125}{108}=\frac{22675}{108}.$

長期而言，設達穩定狀態的矩陣為 $\displaystyle P=\left[\begin{array}{c}x\\y\\1-x-y\end{array}\right]$，

由 $AP=P$，可解得 $\displaystyle x=\frac{3}{10}, y=\frac{3}{5}$，

所以，長期而言，甲袋中金額的期望值為 $\displaystyle 100\times \frac{3}{10}+150\times\frac{3}{5}+200\times\left(1-\frac{3}{10}-\frac{3}{5}\right)=140<150.$

計算題第 6 題. (c) 區間長度＝$\displaystyle 4\sqrt{\frac{\hat{p}\left(1-\hat{p}\right)}{n}}=4\sqrt{\frac{-\left(\hat{p}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}}{n}}\leq 2\sqrt{\frac{1}{n}}$，
所以只要取 $\displaystyle 2\sqrt{\frac{1}{n}}=e\Leftrightarrow n=\frac{4}{e^2}$，即可保證區間長度絕對不會超過 $e$.

作者: kittyyaya 時間: 2010-9-9 01:53

weiye老師,thepiano老師的解答,我有看過,我是不明白的有(1)定理一,兩個tan相乘等於(c-a)/(c+a),此定理如何導出,(2)中間一段lim(x0趨近無限大)y=...=b時,...PF1F2之內心軌跡為x=a(-b<y<b,y不等於0),這段為什麼知道內心軌跡為x=a,希望這兩個問題能幫忙解惑,謝謝

作者: weiye 時間: 2010-9-9 09:37 標題: 回復 17# kittyyaya 的帖子

(1)

如圖，

$\displaystyle \frac{\tan\displaystyle \frac{\alpha}{2}}{\tan\displaystyle \frac{\beta}{2} }=\frac{\tan ∠IF_1D}{\tan ∠IF_2D}$

　　$\displaystyle =\frac{\displaystyle \frac{ID}{F_1D}}{\displaystyle \frac{ID}{F_2D}}$

　　$\displaystyle =\frac{F_2D}{F_1D}$

　　$\displaystyle =\frac{\displaystyle \frac{F_1F_2+PF_2-PF_1}{2}}{\displaystyle \frac{F_1F_2+PF_1-PF_2}{2}}$

　　$\displaystyle =\frac{\displaystyle \frac{2c-2a}{2}}{\displaystyle \frac{2c+2a}{2}}$

　　$\displaystyle =\frac{c-a}{c+a}.$

(2)

若 $P$ 在右葉，可解出來 $I$ 點滿足 $x=a$，且後方繼續推論得到 $-b<y<b$，

同理若 $P$ 在左葉，可解出來 $I$ 點滿足 $x=-a$ 且 $-b<y<b$。

故，內心的軌跡是兩平行線段。

圖片附件: qq.png (2012-4-11 23:45, 18 KB) / 該附件被下載次數 7792
https://math.pro/db/attachment.php?aid=995&k=1a89f0bfb392b47759ec581e1926e731&t=1732253820

作者: kittyyaya 時間: 2010-9-9 13:41

引用:

原帖由 weiye 於 2010-7-2 12:17 AM 發表
填充第 1 題

設 $ABCD$ 為正四面體，$\triangle ABC$ 內部有一點 $E$，點 $E$ 到 $\triangle DAB, \triangle DBC, \triangle DCA$ 距離之和為 $m$，

點 $E$ 到 $\overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CA}$ ...

感謝weiye老師的解釋,請問weiye老師您這裡提到那兩個比是任二面的餘弦比,可是,E點是空間中一點,E點未在任何一個平面上,為何納兩個距離比就是任二面的夾角餘弦值呢?謝謝

作者: weiye 時間: 2010-9-9 17:25 標題: 回復 19# kittyyaya 的帖子

題目有說 $E$ 在 $\triangle ABC$ 內部，可知 $E$ 與 $\triangle ABC$ 共平面。

作者: kittyyaya 時間: 2010-9-9 20:25

對喔,常說學生題目沒看清楚,唉,自己老花了,謝謝weiye

作者: kittyyaya 時間: 2010-10-25 01:34

對不起,想請問weiye老師,最近再重看第18篇的內文,有一段想不通,就是"F2D=F1F2+PF2-PF1"和"F1D=F1F2+PF1-PF2",為何相等呢?我去畫圖還是看不出來,可否麻煩weiye老師再另外說明,先謝謝

作者: weiye 時間: 2010-10-25 08:18

引用:

原帖由 kittyyaya 於 2010-10-25 01:34 AM 發表
對不起,想請問weiye老師,最近再重看第18篇的內文,有一段想不通,就是"F2D=F1F2+PF2-PF1"和"F1D=F1F2+PF1-PF2",為何相等呢?我去畫圖還是看不出來,可否麻煩weiye老師再另外說明,先謝謝 ...

$\displaystyle F_1F_2+PF_2-PF_1=\left(F_1D+DF_2\right)+\left(PE+EF_2\right)-\left(F_1F+PF\right)$

$\displaystyle =\left(F_1D-F_1F\right)+\left(PE-PF\right)+DF_2+EF_2=DF_2+EF_2=2DF_2.$

$\displaystyle \Rightarrow DF_2=\frac{F_1F_2+PF_2-PF_1}{2}.$

另一式同理。

:-)

作者: kittyyaya 時間: 2010-10-25 16:26

阿就是切線段長相等原理,我想太多了,感謝weiye老師

作者: mandy 時間: 2011-3-17 22:39

請問填充第6如何求?

作者: weiye 時間: 2011-3-17 23:59

填充第 6 題：有 $8$ 位女生與 $25$ 位男生圍成一圓圈，在任 $2$ 位女生中間至少有 $2$ 位男生，其排列方法數為 $\displaystyle\frac{a!b!}{c!}$ 種 ($a\leq b$)，則有序數組 $\left(a,b,c\right)=$？

解答：

先將 8 位女生作環狀排列，方法數為 $\displaystyle\frac{8!}{8}=7!$，

然後再來考慮男生的分布情形，

先把男生都當作是相同球，在每位女生中間至少要放兩顆相同球，剩下 $25-8\times2=9$ 個相同球，

把這剩下的相同球安排進去女生間的空隙，有 $\displaystyle H_9^8$ 種方法，

最後在把男生安排到這些相同球所在的位置中，有 $25!$ 種方法。

以上三個步驟搭配起來，總共有 $\displaystyle7!\times H_9^8\times 25!=7!\times C_9^{16}\times 25!=7!\times\frac{16!}{9!7!}\times 25!=\frac{16!25!}{9!}$ 種方法。

所以，所求有序數組 $\left(a,b,c\right)=\left(16, 25, 9\right)$。

作者: bugmens 時間: 2011-3-18 22:58

補充資料
(1)8名男生與25名女生排成一列，任意相鄰兩名男生之間至少有2名女生的排法有多少種？
(2)將8名男生與25名女生沿圓周排成一圈，任意相鄰兩男生之間至少有2名女生，問有多少種不同排法？

圖片附件: 新編奧林匹克數學競賽指導1.gif (2011-3-18 22:58, 61.18 KB) / 該附件被下載次數 6684
https://math.pro/db/attachment.php?aid=315&k=544c88c9025a9f011579ff96bb160416&t=1732253820

圖片附件: 新編奧林匹克數學競賽指導2.gif (2011-3-18 22:58, 77.84 KB) / 該附件被下載次數 6751
https://math.pro/db/attachment.php?aid=316&k=8334a8a1c4d79f600af2a5e99974941d&t=1732253820

作者: dennisal2000 時間: 2011-3-22 23:04 標題: 回復 16# weiye 的帖子

請問一下~

      為什麼乙袋中金錢的期望值是用450去扣掉甲袋中的~
      是否應該是由350來扣呢??

      感謝!!

作者: weiye 時間: 2011-3-22 23:18

引用:

原帖由 dennisal2000 於 2011-3-22 11:04 PM 發表
請問一下~

      為什麼乙袋中金錢的期望值是用450去扣掉甲袋中的~
      是否應該是由350來扣呢??

      感謝!!

因為我看錯總金額了，感謝，哈。

已修正，感謝。 ^__^

作者: mandy 時間: 2011-3-25 16:50

回覆#16 : 請問轉移矩陣 , 我一直寫的跟#16的不一樣 , 請教如何寫 ?

作者: weiye 時間: 2011-3-25 21:36

引用:

原帖由 mandy 於 2011-3-25 04:50 PM 發表
回覆#16 : 請問轉移矩陣 , 我一直寫的跟#16的不一樣 , 請教如何寫 ?

上方的三的狀態分別是甲有 50+50元、100+50元、100+100元，

轉移後的左方三的狀態分別是甲有 50+50元、100+50元、100+100元。

原本順序有寫錯。^__^

作者: mandy 時間: 2012-1-19 20:23 標題: 回復 9# weiye 的帖子

請問為什麼 "通過反曲點的切線必須要在原點的下方，才會使得 y=f(x) 有三條切線通過原點."
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

作者: weiye 時間: 2012-1-19 23:48 標題: 回復 32# mandy 的帖子

通過反曲點的切線必須要在原點的下方，才會使得 y=f(x) 有三條切線通過原點.
我是直接看圖形的~

如附件的圖，斜率為正的切線可以做一條~斜率為負的切線可以做兩條~

圖片附件: qq.png (2012-1-19 23:48, 15.23 KB) / 該附件被下載次數 6946
https://math.pro/db/attachment.php?aid=895&k=cf6512a85341a198dda69f53bb3151ad&t=1732253820

作者: mandy 時間: 2012-1-20 12:58 標題: 回復 33# weiye 的帖子

斜率為負的二條線, 除了有切點外, 還與曲線有交點, 這也算是切線嗎?

作者: weiye 時間: 2012-1-20 19:31 標題: 回復 34# mandy 的帖子

你覺得我附加檔案裏面的藍色水平線～

是否可以稱做黑色曲線的水平切線呢？那條藍色直線與曲線在右邊也有交點耶！

而切線的定義是什麼呢？

1. 是該直線與函數圖形恰交於一點嗎？

　想想反例：$y=x^2$ 與 $x=2$ 也恰交於一點～後者卻不是前者的切線～

2. 還是曲線上兩相異點 $P,Q$ 所形成的割線 $PQ$ ～

　把 $P$ 固定～然後讓 $Q\to P$ 所得到逼近後的直線呢？

何者才是我們所學的切線定義呢？：）

圖片附件: qq.png (2012-1-20 19:35, 16.14 KB) / 該附件被下載次數 6938
https://math.pro/db/attachment.php?aid=898&k=2db308c40ff3d96f637d54ba3f394874&t=1732253820

作者: mandy 時間: 2012-1-20 21:01 標題: 回復 35# weiye 的帖子

我了解了~第二種才是切線的定義, 謝謝瑋岳老師 !

作者: casanova 時間: 2012-4-21 20:43 標題: 回復 16# weiye 的帖子

請問計算第6題的(a)和(b)要怎麼寫比較好呢？

作者: johncai 時間: 2013-10-11 11:48 標題: 回復 16# weiye 的帖子

抱歉。因為連結好像消失了……
可以在解說一次嗎？謝謝
X坐標我懂了……
Y坐標不懂……
跟那個tan的式子有關係嗎？

作者: thepiano 時間: 2013-10-11 13:01

引用:

原帖由 johncai 於 2013-10-11 11:48 AM 發表
抱歉。因為連結好像消失了……

http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=428

作者: mathelimit 時間: 2014-11-2 18:52

請教計算題第 4 題~ 解法我已經看過了，但有一個小部份我還是不太懂。

為什麼最後計算出 "y坐標的極限值=b" 可以推得 "0<y<b"

我只知道 "y會很靠近b" 但如何知道 0<y<b ?

作者: thepiano 時間: 2014-11-2 20:34 標題: 回復 40# mathelimit 的帖子

$\begin{align}
& x>a>0 \\
& 0<\frac{\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}}{x+a}=\sqrt{\frac{x-a}{x+a}}=\sqrt{1-\frac{2a}{x+a}}<1 \\
\end{align}$
且$\sqrt{1-\frac{2a}{x+a}}$遞增

作者: mathelimit 時間: 2014-11-2 21:08 標題: 回復 41# thepiano 的帖子

謝謝~ 我懂了 ^^

作者: mathca 時間: 2015-12-12 10:46 標題: 回復 11# weiye 的帖子

請教如何確定判別式小於零？感謝。

作者: bibibobo 時間: 2015-12-12 21:00 標題: 回復 43# mathca 的帖子

判別式=(cos^2-cot^2)-3cot^2

其中cos^2-cot^2=cos^2-(cos/sin)^2 <===在第一象限中sin之值介於0~1所以左式是負的而-3cot^2亦為負

作者: mathca 時間: 2015-12-26 19:52 標題: 回復 1# weiye 的帖子

請教填充第7題，感謝。

作者: thepiano 時間: 2015-12-26 20:29 標題: 回復 45# mathca 的帖子

填充第 7 題
請參考 http://www.shiner.idv.tw/teacher ... &start=10#p3462

作者: weiye 時間: 2015-12-26 20:51 標題: 回復 45# mathca 的帖子

填充第 7 題：

題目只要求 $\cos\angle BAC$，所以不失一般性，可以將 $\triangle ABC$ 以相似形放大，

使得 $A$ 在 $\overline{OM}$ 上，$B$ 在 $\overline{ON}$ 上，$C$ 在 $\overline{NM}$ 上，

令 $A(a,0), B(0,b)$，依照 $\overline{DE}=\overline{EF}$ 且 $\overline{GH}=\overline{HI}$ 的特性，

可得 $C(2a,3b)$。

令 $\overline{AB}$ 的中點為 $\displaystyle D(\frac{a}{2},\frac{b}{2})$

因為 $\overline{JK}=\overline{KL}$，可得 $\vec{CD}$垂直$\vec{MN}$，$\vec{CD}\cdot \vec{MN}=0\Rightarrow 4a-3b=0$

且因為 $C$ 在 $\overleftrightarrow{MN}$ 上，可得 $\displaystyle \frac{2a}{4}+\frac{2b}{3}=0$

兩者解聯立，可解得 $\displaystyle a=\frac{18}{25}, b=\frac{24}{25}$

從而得 $\displaystyle\cos\angle BAC = \frac{\vec{AB}\cdot\vec{AC}}{\left|\vec{AB}\right|\left|\vec{AC}\right|}$

註一：在算夾角前，可以將 $\vec{AB},\vec{AC}$ 先適度伸縮，就換變得很好算了。)

註二：甚至不用解出 $a,b$ 的實際值，由 $4a-3b=0\Rightarrow a:b=3:4$，

　　　令 $a=3t, b=4t$，其中 $t>0$，

　　　即可得 $\displaystyle\cos\angle BAC = \frac{\vec{AB}\cdot\vec{AC}}{\left|\vec{AB}\right|\left|\vec{AC}\right|}$ 之值。

作者: mathca 時間: 2015-12-26 21:44 標題: 回復 47# weiye 的帖子

感謝提示。這個想法有點神─伸縮放大。

作者: mathca 時間: 2016-1-5 13:38 標題: 回復 16# weiye 的帖子

請教：
計算題第 4 題： http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1437 當中第二題─源自大陸張才元老師的附檔中
定理二， Q之座標 ( a^2 / x0 , 0 ) 如何算出，感謝。

作者: thepiano 時間: 2016-1-5 17:20 標題: 回復 49# mathca 的帖子

焦半徑和內分比

作者: mathca 時間: 2016-1-5 18:27 標題: 回復 50# thepiano 的帖子

假設 Q之座標 ( q , 0 ) ， F1、F2
內分比：PF1：PF2= c+q ： c-q
-> c*PF1 - q*PF1 = c*PF2 + q*PF2
-> c*2a=q*(PF1+PF2) 之後...還請再指教，感謝。 (有點不知道焦半徑怎用)

作者: thepiano 時間: 2016-1-5 21:04 標題: 回復 51# mathca 的帖子

當P在雙曲線右支上時，$\overline{P{{F}_{1}}}=\frac{c}{a}{{x}_{0}}+a,\overline{P{{F}_{2}}}=\frac{c}{a}{{x}_{0}}-a$

當P在雙曲線左支上時，$\overline{P{{F}_{1}}}=-\frac{c}{a}{{x}_{0}}-a,\overline{P{{F}_{2}}}=a-\frac{c}{a}{{x}_{0}}$

作者: mathca 時間: 2016-1-5 22:36 標題: 回復 52# thepiano 的帖子

以上各長度算法，除了搭配：
P(x0,y0)、F(c,0)右支
(x - x0) / (y - y0) = (x0 - c) / (y0 - 0) = (x-c) / (y-0) .......直線方程
x0^2 / a^2 + y0^2 /b^2 = 1 ........P點在橢圓上
c^2 = a^2 + b^2
推導，請教有無較簡潔看法算出此線段。感謝。

作者: thepiano 時間: 2016-1-8 16:01 標題: 回復 54# mathca 的帖子

計算第 3 題
參考 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1437#p3296

作者: mathca 時間: 2016-1-8 18:43 標題: 回復 55# thepiano 的帖子

感謝。
附註：mathpro計算題第3題 = 美夢成真http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1437#p3296 第1題。

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0