標題:
多項式，共軛複數與虛根成對出現的考題
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作者:
weiye
時間:
2008-2-15 10:49
標題:
多項式，共軛複數與虛根成對出現的考題
已知\(a,b,c,d\)為實數，且方程式\(x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0\)有四個虛根，其中兩根的乘積為\(13+i\)，另外兩根的和為\(3+4i\)，求\(a,b\)之值？
[解答]
https://math.pro/temp/qq60.pdf
另解：直接利用根與係數關係式 (
Viète's formulas
)
\[ a = -\left(\alpha+\overline{\alpha}+\beta+\overline{\beta}\right), \]
\[ b = \left(\alpha+\beta\right)\left(\overline{\alpha}+\overline{\beta}\right)+\alpha\beta+\overline{\alpha}\overline{\beta}, \]
\[ c = -\left(\alpha\beta\left(\overline{\alpha}+\overline{\beta}\right)+ \overline{\alpha}\overline{\beta}\left(\alpha+\beta\right)\right),\]
\[ d = \alpha\beta\overline{\alpha}\overline{\beta}.\]
113.2.2補充
\(a,b,c,d\)為實數,已知方程式\( x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0 \)有四個虛根,此四根中,其中二根的乘積為\( 13+i \),另二根的和為\(3+4i \),求\(a,b\)的值？
(97全國高中聯招)
\( f(x)=x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx-13 \)，\( a,b,c,d \in R \)，若\( f(x)=0 \)有四個虛根\( r_1 \)，\( r_2 \)，\( r_3 \)，\( r_4 \)，滿足\( r_1+r_2=1-i \)，\( r_3 \cdot r_4=2-3i \)，則\( 2a+b+c+d= \)？
(98彰化女中，
https://math.pro/db/thread-741-1-1.html
)
設\( f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d \)為一實係數多項式，已知\( f(x)=0 \)沒有實根，設\( r_1 \)，\( r_2 \)，\( r_3 \)，\( r_4 \)為\( f(x)=0 \)的四個複數根，且\( r_1+r_2=3-i \)，\( r_3 \cdot r_4=4+3i \)，其中\( i=\sqrt{-1} \)，則\( a+b+c+d= \)？
(99嘉義高工，
https://math.pro/db/thread-964-1-1.html
)
設實係數方程式\(x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0\)，有四個相異虛根，其中兩根的和是\(2+3i\)，另兩根的乘積是\(4+3i\)，則\(b\)值為
。
(99關西高中，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=966&page=1#pid2238
)
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