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標題: 多項式,共軛複數與虛根成對出現的考題 [打印本頁]

作者: weiye    時間: 2008-2-15 10:49     標題: 多項式,共軛複數與虛根成對出現的考題

已知\(a,b,c,d\)為實數,且方程式\(x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0\)有四個虛根,其中兩根的乘積為\(13+i\),另外兩根的和為\(3+4i\),求\(a,b\)之值?
[解答]

https://math.pro/temp/qq60.pdf



另解:直接利用根與係數關係式 ( Viète's formulas )
\[ a = -\left(\alpha+\overline{\alpha}+\beta+\overline{\beta}\right), \]
\[ b = \left(\alpha+\beta\right)\left(\overline{\alpha}+\overline{\beta}\right)+\alpha\beta+\overline{\alpha}\overline{\beta}, \]
\[ c = -\left(\alpha\beta\left(\overline{\alpha}+\overline{\beta}\right)+ \overline{\alpha}\overline{\beta}\left(\alpha+\beta\right)\right),\]
\[ d = \alpha\beta\overline{\alpha}\overline{\beta}.\]

113.2.2補充
\(a,b,c,d\)為實數,已知方程式\( x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0 \)有四個虛根,此四根中,其中二根的乘積為\( 13+i \),另二根的和為\(3+4i \),求\(a,b\)的值?
(97全國高中聯招)

\( f(x)=x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx-13 \),\( a,b,c,d \in R \),若\( f(x)=0 \)有四個虛根\( r_1 \),\( r_2 \),\( r_3 \),\( r_4 \),滿足\( r_1+r_2=1-i \),\( r_3 \cdot r_4=2-3i \),則\( 2a+b+c+d= \)?
(98彰化女中,https://math.pro/db/thread-741-1-1.html)

設\( f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d \)為一實係數多項式,已知\( f(x)=0 \)沒有實根,設\( r_1 \),\( r_2 \),\( r_3 \),\( r_4 \)為\( f(x)=0 \)的四個複數根,且\( r_1+r_2=3-i \),\( r_3 \cdot r_4=4+3i \),其中\( i=\sqrt{-1} \),則\( a+b+c+d= \)?
(99嘉義高工,https://math.pro/db/thread-964-1-1.html)

設實係數方程式\(x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0\),有四個相異虛根,其中兩根的和是\(2+3i\),另兩根的乘積是\(4+3i\),則\(b\)值為   
(99關西高中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=966&page=1#pid2238)




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