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標題: 114高師大附中 [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2025-4-14 15:51 標題: 114高師大附中

　

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作者: bugmens 時間: 2025-4-14 15:51

1.
等腰直角\(\triangle ABC\)中，\(\angle A=90^{\circ}\)，\(D\)為\(\overline{BC}\)的中點，四邊形\(DEFG\)為正方形，且點\(F\)為\(\overline{AC}\)邊上。若\(\overline{BE}=\sqrt{3}\cdot \overline{CG}\)，\(\overline{BC}=4\)，試求正方形\(DEFG\)的面積之值？
(105第二次學測北模，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2663&page=1#pid16416)

2.
設\(z\)是1的7次方根，\(z\ne 1\)，試求\(z+z^2+z^4=\)？
(連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3512&page=1#pid22742)

9.
若數列\(\langle a_n\rangle\)中每一項均為正數，設數列\(\langle a_n\rangle\)之前項\(n\)的和為\(S_n\)。已知\(\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{4S_k}{a_k+2}=S_n\)，試求\(a_n\)及\(S_n\)(皆以\(n\)的式子表示)。

作者: idsharon 時間: 2025-4-15 11:09 標題: 請教第5題和10題

請教第5題和10題

[ 本帖最後由 idsharon 於 2025-4-15 12:45 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2025-4-15 13:18 標題: 回覆 3# idsharon 的帖子

第 10 題
在圓 O 內，畫一內接直角△ABC，其中 AB 是直徑，∠C 是直角

在圓內取一點 D (和 C 分別在 AB 的不同側)，使 ∠ADB 為鈍角
作 AH 垂直直線 DB 於 H

向量 DA = 向量 a，DA = 4
向量 DB = 向量 b，DB = 6
向量 DC = 向量 c

向量 AC = 向量 c - 向量 a
向量 BC = 向量 c - 向量 b

向量 a 在向量 b 上的正射影長 = DH = 1
BH = 7，AH = √15，AB = 8

所求為 DC 的最大值，此時 C 為直線 OD 與圓 O 之交點
DC = OC + OD = 4 + √10
其中 OD 可用餘弦定裡求出

作者: thepiano 時間: 2025-4-15 14:17 標題: 回覆 3# idsharon 的帖子

第 5 題
有一邊長為2的正四面體\(ABCD\)，設\(A'\)為\(A\)對平面\(BCD\)的對稱點，\(B'\)為\(B\)對平面\(ACD\)的對稱點，試求出四面體\(A'CB'D\)的體積維何？
[解答]
定座標 B(0，0，0)、C(2，0，0)、D(1，√3，0)、A(1，(1/3)√3，(2/3)√6)
△ACD 重心 G(4/3，(4/9)√3，(2/9)√6)

A'(1，(1/3)√3，(-2/3)√6)、B'(8/3，(8/9)√3，(4/9)√6)

平面 A'CD 的方程式：-2√2x - (2/3)√6y + (2/3)√3z + 4√2 = 0

△A'CD 面積 = △ACD 面積 = √3
B' 到平面 A'CD 的距離 = (10/27)√6
四面體 A'CB'D 的體積 = (1/3) * √3 * (10/27)√6 = (10/27)√2

114.5.14補充
已知一個邊長為2正四面體\(ABCD\)，且\(M\)是\(\overline{CD}\)中點，設點\(A\)對於平面\(BCD\)的對稱點為\(A'\)，點\(B\)對於平面\(ACD\)的對稱點為\(B'\)，求\(\triangle A'MB'\)的面積為　　　。
(114內湖高中二招，https://math.pro/db/thread-3998-1-1.html)

114.5.27補充
給定一個邊長為9的正四面體\(ABCD\)，設\(A'\)為\(A\)對於平面\(BCD\)的對稱點，\(B'\)為\(B\)對於平面\(ACD\)的對稱點，則線段\(\overline{A'B'}\)之長為　　　。
(114屏東高中，https://math.pro/db/thread-4002-1-1.html)

作者: idsharon 時間: 2025-4-16 08:58 標題: 感謝鋼琴老師解說

作者: zj0209 時間: 2025-4-23 07:50

想請教一下第六題！謝謝！

作者: cut6997 時間: 2025-4-23 09:16 標題: 回覆 7# zj0209 的帖子

6.令q=(1-p),X為機率為p的幾何分布
Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2
其中E(X^2)=(p/q)S_inf
=>180p/q=q/p^2+(1/p)^2
=>180p^3=2-3p+p^2
到這邊為止是正常的計算量
接下來我不知道有什麼好辦法去解出這個p=0.2...
靠一次因式演驗法嗎?
如果你真的能算出p=0.2
則第三次成功=pq^2=16/125

作者: zj0209 時間: 2025-4-23 09:54

謝謝 cut6997 老師的提點！我來試試看

作者: jerryborg123 時間: 2025-5-7 16:05

5.前面算的跟鋼琴老師一樣，不過到求高這邊怎麼算都不對，請問錯在哪？

圖片附件: S__5283842.jpg (2025-5-7 16:05, 156.95 KB) / 該附件被下載次數 2456
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7528&k=090e01767b49db6f9c39577f608b6bc7&t=1769613353

作者: thepiano 時間: 2025-5-7 16:56 標題: 回覆 10# jerryborg123 的帖子

分母要開根號

作者: 張文馨 時間: 2025-5-11 19:42 標題: 想請教第7題謝謝

作者: cut6997 時間: 2025-5-11 20:22 標題: 回覆 12# 張文馨的帖子

7.
若a=(a+b)/2
=>a=b 不合
=>1/a=(a+b)/2
=>若a<1則b>1 (否則(a+b)/2<1也需倒數)，同理，若a>1則b<1
=>(1/a)^2=b
=>2=a^2+1/a
可看出1是a的根,解出a另外兩根

作者: Ellipse 時間: 2025-5-11 20:30

引用:

原帖由 張文馨 於 2025-5-11 19:42 發表

討論一下:
loga,logb若為同號代入原式得a=1或0皆不合
所以loga,logb必為異號
假設loga=-t ,則logb=2t, 得b=a^(-2)代入
log((a+b)/2)=t( -t不合)
(a+1/a² )/2=1/a ,a^3-2a+1=0
(a-1)(a² +a-1)=0
a=(-1+√5)/2 (a=1,(-1-√5)/2不合)
b=a^(-2) =(3+√5)/2

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2025-5-11 20:36 編輯 ]

作者: 張文馨 時間: 2025-5-11 20:41 標題: 回覆 13# cut6997 的帖子

非常感謝

作者: 張文馨 時間: 2025-5-11 20:42 標題: 回覆 14# Ellipse 的帖子

感謝

作者: lovejade 時間: 2025-5-19 20:51

想請問第4題，謝謝

作者: tsusy 時間: 2025-5-19 22:35 標題: 回覆 17# lovejade 的帖子

計算4. 若點 \( A(a,b) \) 在三角形 \( ORQ \) 內(含邊形) 且在 \( \Omega \) 中
則 \( 2a-b \ge 0 \), \( a \le 1 \), \( b \ge 0 \)
\( \begin{cases}
2a-b\leq a\le1-(2a-b)\\
2a-b\le b\le2-(2a-b)
\end{cases} \)

整理得 \( \begin{cases}
2a-b & \ge0\\
a & \le1\\
b & \ge0\\
3a-b & \le1\\
a-b & \le0
\end{cases} \)

圖形為三角形，其頂點為 \( O(0,0), U(\frac12,\frac12), Q(1,2) \)

同理，若點 \( A(a,b) \) 在三角形 \( OPQ \) 內(含邊形) 且在 \( \Omega \) 中，也得三角形，其頂點為 \( O(0,0), V(\frac12,\frac32), Q(1,2) \)

故 \( \Omega \) 即(平行)四邊形 \( OUQV \)，容易計算其面積為 \( \frac12 \)

作者: lovejade 時間: 2025-5-20 13:04 標題: 回覆 18# tsusy 的帖子

謝謝寸絲老師!

作者: ruee29 時間: 2025-7-7 17:35

整理了高師大附中解答，不確定有沒有寫錯，供參考

附件: 114高師大附中.pdf (2025-7-7 17:35, 1.78 MB) / 該附件被下載次數 627
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7639&k=278e5fa1506324c6e055f408cc897f82&t=1769613353

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