內湖二招

2.
設有一個邊長為3的正\(\triangle ABC\)，點\(P\)在\(\triangle ABC\)的內部，若\(\overline{PB}=2,\overline{PC}=\sqrt{5}\)，求\(\overline{PA}^2\)為　　　。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2259&page=1#pid13359

4.
求\(C_1^{2025}-C_3^{2025}+C_5^{2025}-C_7^{2025}+\ldots-C_{2023}^{2025}+C_{2025}^{2025}\)之值為　　　。

(1)\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}C_{2k-1}^{2n} \)
(2)\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}(-1)^k C_{2k-1}^{2n} \)
(99新竹高中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=947&page=1#pid2109)

證明：\((C_0^n-C_2^n+C_4^n-\ldots)^2+(C_1^n-C_3^n+C_5^n-\ldots)^2=2^n\)。
(110全國高中聯招，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3530&page=1#pid23124)

5.
已知一個邊長為2正四面體\(ABCD\)，且\(M\)是\(\overline{CD}\)中點，設點\(A\)對於平面\(BCD\)的對稱點為\(A'\)，點\(B\)對於平面\(ACD\)的對稱點為\(B'\)，求\(\triangle A'MB'\)的面積為　　　。

有一邊長為2的正四面體\(ABCD\)，設\(A'\)為\(A\)對平面\(BCD\)的對稱點，\(B'\)為\(B\)對平面\(ACD\)的對稱點，試求出四面體\(A'CB'D\)的體積維何？
(114高師大附中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3963&page=1#pid27063)

請教第 13、14 題

[ 本帖最後由 Superconan 於 2025-5-31 11:18 編輯 ]

第 14 題
所求即 △BCD 面積
= △ABC + △ACD - △ABD

第 13 題
直線 OA：y = (b/a)x
直線 CB：y = (b/a)x + 1

對每一正整數 k，都恰有一個格子點 P_k(k，t) 位於 OABC 的內部
其中 0 < k < a
bk/a < t < (bk/a) + 1

P_k 到 OA 的距離 = |bk - at|/√(b^2 + a^2)

△OP_kA = (1/2) * OA * |bk - at|/√(b^2 + a^2) = |bk - at|/2
|bk - at| 是正整數，所求之最小值為 1/2
例如：取 a = 2，b = 1，k = 1，t = 1

若要嚴謹，要證明 (a，b) = 1，存在 (k，t) 使得 bk - at = -1，且 (k，t) 在 OABC 內部

[ 本帖最後由 thepiano 於 2025-5-31 18:22 編輯 ]

請教7、11、17，謝謝!

引用:

原帖由 lisa2lisa02 於 2025-5-31 19:15 發表
請教7、11、17，謝謝!

#7
假設C點(-1+2t,2-2t,-t) ,D點(1+s,3+2s,5-2s),其中s,t為實數
向量CD=(2+s-2t,1+2s+2t,5-2s+t)垂直(2,-2,-1)
向量CD=(2+s-2t,1+2s+2t,5-2s+t)垂直(1,2,-2)
解出t=-1/3,s=2/3 ,所以C(-5/3,8/3,1/3),D(5/3,13/3,11/3)
線段CD=[(10/3)²+(5/3)²+(10/3)²]^0.5=5
AD=(2²+5²)^0.5=√29 ,AB=[(√29)²+2²]^0.5=√33

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2025-5-31 23:18 編輯 ]

第 11 題
球蓋體積 = [π * h^2 * (3R - h)]/3
其中 R 是球的半徑，h 是球蓋的高度

球 A 與球 B 的交集體積是球蓋體積的 2 倍
此時 R = 1，h = 1 - r/2
交集體積 = [π * (1 - r/2)^2 * (3 - 1 + r/2)]/3 = π(r^3 - 12r + 16)/12

球 A 與球 B 的聯集體積 V = 兩球體積和 - 交集體積
= (8/3)π - π(r^3 - 12r + 16)/12
= π(-r^3 + 12r + 16)/12

第17題，供參～

JPEG影像-4028-9866-CD-0.jpeg (788.04 KB)

2025-6-1 00:54

謝謝橢圓老師、鋼琴老師、peipei老師的回覆