標題: 113武陵高中 [打印本頁]

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作者: q1214951    時間: 2024-4-14 20:55     標題: 113武陵高中

如附檔

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作者: Ellipse    時間: 2024-4-15 11:45

一堆考古題...

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作者: Hawlee    時間: 2024-4-15 14:33

想請問計算3

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作者: thepiano    時間: 2024-4-15 15:52     標題: 回覆 3# Hawlee 的帖子

計算第 3 題

S_(n+1) = a_1 + a_2 + ... + a_(n+1) ≦ ra_n = r[S_n - S_(n-1)]

S_n ≧ S_(n-1) + [S_(n+1)/r] ≧ 2√[S_(n-1)S_(n+1)/r]

(S_n)^2 ≧ (4/r)S_(n-1)S_(n+1)

S_(n-1)S_(n+1) ≦ (r/4)(S_n)^2

S_(n+1)/S_n ≦ (r/4)[S_n/S_(n-1)] ≦ [(r/4)^2][S_(n-1)/S_(n-2)] ≦ ... ≦ [(r/4)^(n-1)](S_2/S_1)

若 0 ＜ r ＜ 4，當 n → ∞，[(r/4)^(n-1)](S_2/S_1) = 0，不合

故 r ≧ 4

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作者: bugmens    時間: 2024-4-15 18:18

1.
求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+3n}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+6n}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+9n}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n^2+3n^2}}\right)=\)　　　。
我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615

試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left[\frac{1}{\sqrt{n^2+2n}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+4n}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n^2+2n^2}}\right]=\)？
(A)\(\sqrt{2}-1\)　(B)\(\sqrt{3}-1\)　(D)\(2(\sqrt{2}-1)\)　(D)\(2(\sqrt{3}-1)\)
(112新竹市國中聯招，https://math.pro/db/thread-3763-1-1.html)

2.
若過原點有三條相異直線與\(y=x^3+ax^2+1\)相切，試求實數\(a\)之範圍為　　　。
相關問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1644&page=2#pid8567
連結有解答，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1162&page=1#pid4118

6.
設函數\(f\)滿足\(f(1)=2\)，且對每一個正整數\(x\)，\(f(x+3)\ge f(x)+3\)，\(f(x+1)\le f(x)+1\)都成立，試求\(f(2024)=\)　　　。

設函數\(f\)滿足\(f(1)=2\)，且對每一個正整數\(x\)，\(\cases{f(x+3)\ge f(x)+3\cr f(x+1)\le f(x)+1}\)都成立，試求\(f(2011)=\)　　　。
(100麗山高中，https://math.pro/db/thread-1138-1-1.html)
連結有解答，http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=6212#p6212

7.
動物園用以下方式建立了一個大型鳥籠：在一個邊長為 10 公尺的正方形平台上，立起兩支以底面對角線為直徑的半圓形鋼架，落腳點就在平台上的四個頂點上，而交叉點在底面中心的正上方；然後在鋼架上張起鐵絲網，使得每個水平面上的鐵絲網都是頂點落在鋼架上的正方形，
試求 此鳥籠的容積為　　　。
113.4.20
看了ruee29的解答發現這不是牟合方蓋
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=741&page=1#pid1294

8.
設\(\displaystyle a=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{99}}\)，求\(a\)的整數部分為　　　。
連結有解答，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=156&page=1#pid3048

9.
已知\(\Gamma\)：\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)，過\(P(3\sqrt{3},1)\)，求
(1)\(a+b\)之最小值為　　　。
(2)承(1)，此時\(\Gamma\)方程式為　　　。
(高中數學101 P242 ，95台中一中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1072&page=1#pid2814)
我的教甄準備之路　廣義的柯西不等式，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1075

10.
已知多項式函數\(f(x)=2x^3-3x^2+4x-2\)，則\(\displaystyle \sum_{i=1}^{113}f\left(\frac{i}{113}\right)=\)　　　。

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作者: Hawlee    時間: 2024-4-15 21:08     標題: 回覆 4# thepiano 的帖子

謝謝老師

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作者: Hawlee    時間: 2024-4-15 21:09

想再請問12,13

[ 本帖最後由 Hawlee 於 2024-4-15 21:23 編輯 ]

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作者: thepiano    時間: 2024-4-15 22:49     標題: 回覆 7# Hawlee 的帖子

第 12 題
原點 O，OP = 2√5，OM = ON = 6

作矩形 PMQN
易知 OP^2 + OQ^2 = OM^2 + ON^2
OQ = 2√13
Q 在以原點為圓心，半徑 2√13 的圓上

|向量 PM + 向量 PN| = |向量 PQ| 的最小值出現在 O、P、Q 共線時
此時 PQ = 2√13 - 2√5


第 13 題
定座標 A(0，2)、B(4，2)、C(x，y)、M(x - 2，0)、N(x + 2，0)

利用 CA^2 = CM^2
可得 C 之軌跡為拋物線 x^2 = 4y，焦點 F(0，1)，準線 y = -1

d + BC = CF - 1 + BC，最小值出現在 F、C、B 共線時
所求 = BF - 1 = √17 - 1

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作者: Hawlee    時間: 2024-4-15 22:53     標題: 回覆 8# thepiano 的帖子

不好意思，請問 OP^2 + OQ^2 = OM^2 + ON^2這邊為甚麼成立?

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作者: thepiano    時間: 2024-4-15 22:59     標題: 回覆 9# Hawlee 的帖子

過 O 分別作平行 PM 和 PN 的直線
再用畢氏定理湊一下就可以了

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作者: Hawlee    時間: 2024-4-15 23:04     標題: 回覆 10# thepiano 的帖子

喔喔，看出來了非常感謝!

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作者: s7908155    時間: 2024-4-16 10:28

想問填充11

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作者: thepiano    時間: 2024-4-16 10:56     標題: 回覆 12# s7908155 的帖子

第 11 題
S_1 = a_1 是 6 的倍數之機率 = 1/6

S_2 = S_1 + a_2 是 6 的倍數之機率 = S_1 * (1/6) + (1 - S_1) * (1/6) = 1/6
第 1 個 1/6 是 a_2 = 6 之機率
第 2 個 1/6 是當 S_1 ≡ 1 (mod 6)，a_2 ≡ 5 (mod 6) 的機率，S_1 ≡ 2 (mod 6)，a_2 ≡ 4 (mod 6) 的機率，依此類推 ...

S_n 是 6 的倍數之機率都是 1/6
所求 = 113/6

[ 本帖最後由 thepiano 於 2024-4-16 11:08 編輯 ]

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作者: JJM    時間: 2024-4-16 13:01

請教第4題、第14題的做法，謝謝

[ 本帖最後由 JJM 於 2024-4-16 13:10 編輯 ]

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作者: thepiano    時間: 2024-4-16 15:38     標題: 回覆 14# JJM 的帖子

第 4 題
定座標 A(1，0)、B(-1/2，√3/2)、C(cosθ，sinθ)，0 ≦ θ ≦ (2/3)π
cosθ = x - y/2
sinθ = (√3/2)y

x - y = cosθ - (1/√3)sinθ
剩下的就簡單了


第 14 題
z_1 = a + bi，z_2 = c + di

a + 2c = 0
b - 2d = -1
ac - bd = -3
ad + bc = 1

a = -2c 和 b = 2d - 1 代入後兩式
可解出 (a，b，c，d) = (2，1，-1，1) or (2，-2，-1，-1/2)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2024-4-16 16:02 編輯 ]

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作者: JJM    時間: 2024-4-16 20:21     標題: 回覆 15# thepiano 的帖子

懂了，謝謝老師！

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作者: aizin    時間: 2024-4-16 22:41     標題: 113武陵高中計算題2

想請教113武陵高中計算題2，感謝老師。

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作者: thepiano    時間: 2024-4-16 23:13     標題: 回覆 17# aizin 的帖子

計算第 2 題
先證 a^3 + b^3 ≧ a^2b + ab^2
輪換的三式相加後，可得
2(a^3 + b^3 + c^3) ≧ a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2
3(a^3 + b^3 + c^3) ≧ (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2)
(a^3 + b^3 + c^3)/(a^2 + b^2 + c^2) ≧ (1/3)(a + b + c)
輪換的四式相加後，可得題目要證的不等式

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作者: Ellipse    時間: 2024-4-17 00:15

引用:

原帖由 aizin 於 2024-4-16 22:41 發表
想請教113武陵高中計算題2，感謝老師。

某年能力競賽題目
另證明: (大同小異的證法)
利用兩次科西不等式得
(a^3+b^3+c^3)/(a²+b²+c² )≧(a²+b²+c² )/(a+b+c)≧(a+b+c)/3
再做其他三式輪換,相加可證得

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2024-4-17 00:26 編輯 ]

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作者: ruee29    時間: 2024-4-20 02:19

試著整理填充題解答 供參
https://drive.google.com/file/d/ ... view?usp=drive_link

[ 本帖最後由 ruee29 於 2024-4-20 12:22 編輯 ]

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作者: fierthe    時間: 2024-4-22 11:45

第 10 題
用三次函數的對稱中心在 x=1/2，可得原式 = 112 * f(1/2) + f(1) = -55。
（k=113 時沒有另一個對應的項，所以另外加）

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作者: ChuCH    時間: 2024-6-17 20:00

請教填充3

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作者: Ellipse    時間: 2024-6-17 21:45

引用:

原帖由 ChuCH 於 2024-6-17 20:00 發表
請教填充3

#3
令(4y-7z)/x=(2x-2z)/(5y)=(x+2y)/z=t
t*x-4y+7z=0
-2x+5t*y+2z=0
-x-2y+t*z=0
令△=
|t    -4    7  |
|-2   5t    2 |  =0
|-1   -2    t  |
5t^3+31t+36=0 ,解出t=-1
代入原式得x:y:z= (-9):4:1

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2024-6-17 21:49 編輯 ]

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作者: swallow7103    時間: 2024-6-25 10:08     標題: 填充第9題

我跟廣義柯西不等式不熟...
以下提供兩個微積分的解法，大同小異。

(Sol1) Lagrange multiplier
令\( \displaystyle g(a,b) = \frac{27}{a^2} + \frac{1}{b^2}-1、f(a,b)=a+b\)，所求為 \( f(a,b) \) 的最小值，\( a,b \)須滿足\( g(a,b)=0 \)。
定義\( \displaystyle \nabla{f}=( \frac{\partial{f}}{\partial{a}}, \frac{\partial{f}}{\partial{b}} )\)。
極值發生時\( \nabla{g}= \lambda \nabla{f} \)，for some real number \( \lambda\)，是故：
\( \displaystyle (-\frac{54}{a^3}, -\frac{2}{b^3})=( \lambda, \lambda ) \)，因此\( \displaystyle -\frac{54}{a^3} = -\frac{2}{b^3} \)，即\( \displaystyle a^3=27b^3  (或是 a=3b) \)
因此\( a=6, b=2 \)，由大致函數圖形可判斷此時為最小值。

(Sol2) Implicit Differentiation
將 \( b視為a的函數\)，並將\( \frac{27}{a^2} + \frac{1}{b^2}-1=0 \)對\( a \) 做微分，可得\( \displaystyle -\frac{54}{a^3}-\frac{2}{b^3} ( \frac{db}{da} )=0 \)。
設 a+b=k ，則在以a為橫軸，b為縱軸的平面上，a+b=k 是一條斜率為-1的直線，將\( \frac{db}{da}=-1\)帶入上式，可得\( a^3=27b^3\)，後續計算就跟上面一樣。

[ 本帖最後由 swallow7103 於 2024-6-25 10:11 編輯 ]

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