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標題: 112全國聯招 [打印本頁]

作者: BambooLotus 時間: 2023-5-6 12:02 標題: 112全國聯招

112全國聯招
計算一不知道什麼時候才能改個數據，每次答案都一樣
這幾年全國難度都算穩定，有好好寫考古題要考80應該不難

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作者: thepiano 時間: 2023-5-6 12:47

計算題參考答案
第 1 題 260
100 華江高中二招
101 能力競賽，北一區
105 餐旅高中
109 新北市高中聯招

第 2 題 (e^2 + 1)/4

第 3 題 √3 - √2
105 臺南女中

作者: satsuki931000 時間: 2023-5-6 12:55

計算第2題
求\(\displaystyle \int_1^e x ln xdx=\)
[解答]
分部積分反導函數\(\displaystyle \frac{1}{2}x^2\ lnx-\frac{1}{4}x^2\)
所求為\(\displaystyle \frac{1}{4}e^2+\frac{1}{4}\)

作者: bugmens 時間: 2023-5-6 12:56

2.
若\(a\)為實數，\(A=\left[\matrix{1&a \cr -1&-2} \right]\)，且\(A^3=I\)，試求：\(A+2A^2+3A^3+\ldots+20A^{20}=\)　　　。

5.
\(\displaystyle a_n=\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\frac{n}{n^2+3^2}+\ldots+\frac{n}{n^2+n^2}\)，求\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\)　　　。

極限\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left[\frac{n}{1^2+n^2}+\frac{n}{2^2+n^2}+\ldots+\frac{n}{n^2+n^2}\right]=\)？
(A)0　(B)\(\displaystyle \frac{1}{e}\)　(C)1　(D)\(\displaystyle \frac{\pi}{4}\)
(97台北縣國中聯招)

類似題
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+k^2}=\)
(A)\(ln(\sqrt{2}+1)\)　(B)\(ln2\)　(C)\(\displaystyle \frac{\pi}{4}\)　(D)\(\displaystyle \frac{1}{2}ln2\)
(99全國高中聯招，https://math.pro/db/thread-978-1-1.html)

6.
若實數\(x\)、\(y\)、\(z\)滿足\(\cases{\displaystyle \frac{x}{1^2+4^2}+\frac{y}{1^2+5^2}+\frac{z}{1^2+6^2}=1 \cr
\frac{x}{2^2+4^2}+\frac{y}{2^2+5^2}+\frac{z}{2^2+6^2}=1 \cr
\frac{x}{3^2+4^2}+\frac{y}{3^2+5^2}+\frac{z}{3^2+6^2}=1}\)，求\(x+y+z=\)　　　。
相關題目https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2492&page=1#pid15192

已知實數\(a,b,c\)滿足下列條件：
\(\cases{\displaystyle \frac{a}{1^2+2^2}+\frac{b}{2^2+3^2}+\frac{c}{2^2+5^2}=1\cr
\frac{a}{1^2+4^2}+\frac{b}{3^2+4^2}+\frac{c}{4^2+5^2}=1\cr
\frac{a}{1^2+6^2}+\frac{b}{3^2+6^2}+\frac{c}{5^2+6^2}=1}\)
試求\(a+b+c\)之值。
(109高中數學能力競賽　高雄市複試筆試一，https://math.pro/db/thread-3467-1-1.html)

二、計算證明題
1.
將長\(\overline{AB}=240\)，寬\(\overline{BC}=288\)的長方形紙張對摺，讓頂點\(C\)剛好落在線段\(\overline{AB}\)的中點\(M\)上，如下圖所示。若\(\overline{EF}\)是摺線，則摺線\(\overline{EF}\)的長度為多少？
(101高中數學能力競賽　花蓮區筆試一試題，http://pisa.math.ntnu.edu.tw/fil ... s_writtenexam_1.pdf
109新北市高中聯招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3351&page=1#pid21536)

作者: godofsong 時間: 2023-5-6 16:38

這是部分題目的過程，若有錯誤請不吝指正，謝謝！
註：填充8題號誤植，應為第9題

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作者: Ellipse 時間: 2023-5-6 21:38

引用:

原帖由 BambooLotus 於 2023-5-6 12:02 發表
112全國聯招
計算一不知道什麼時候才能改個數據，每次答案都一樣
這幾年全國難度都算穩定，有好好寫考古題要考80應該不難

這張考卷比去年簡單一些,也是一堆考古題
但要在100分鐘內寫完24題(包括花時間的複選,手寫的計算)
除了拚熟練度也要拚手速
考慮到算錯失誤率,80分以上應該也不會太多人
我預測是65~75分進複試

作者: BambooLotus 時間: 2023-5-6 22:15

引用:

原帖由 Ellipse 於 2023-5-6 21:38 發表

這張考卷比去年簡單一些,也是一堆考古題
但要在100分鐘內寫完24題(包括花時間的複選,手寫的計算)
除了拚熟練度也要拚手速
考慮到算錯失誤率,80分以上應該也不會太多人
我預測是65~75分進複試 ...

我自己也是預測大約是73，理由大概如下
全國的題數永遠都是固定的，之前就跟朋友找出全國必上的遊戲規則
我們都會說只要滿足7272(單7多2填7計2)，這裡合計73，保底就有複試(不論難易度，如果偏難就是保底正取)

如果自己有擅長的大題就可以彌補其他，譬如我考三年全國單選只錯過1題，我就可以補填充的計算錯誤
當然心理壓力時間壓力導致分數不如預期那都是自己要去克服的，最常唸學生的事換自己的時候總不能就變成藉口吧

不過照去年分發的狀況想要拿到斗高這種學校筆試最好要維持在90而且複試不能太差比較有機會競爭

作者: Ellipse 時間: 2023-5-6 22:32

引用:

原帖由 BambooLotus 於 2023-5-6 22:15 發表

我自己也是預測大約是73，理由大概如下
全國的題數永遠都是固定的，之前就跟朋友找出全國必上的遊戲規則
我們都會說只要滿足7272(單7多2填7計2)，這裡合計73，保底就有複試(不論難易度，如果偏難就是保底正取)

如果自己有擅 ...

可以進全國複試,應該不會太差
複試分數大概可以分三類: (1)79分以下 (2)80分~84分 (3)85分以上這三種
聽說打太低(79分以下)或太高(90分以上),評審還要寫報告
基本上不要有失誤,應該都在(2)類左右 (表現平平就在80分附近)
(3)類以上要看教學累積的功力&口試臨場反應
小弟是有一年(2)類,隔年因有進複試經驗達(3)類

作者: CYC 時間: 2023-5-6 22:36

請問單選3、填充3

作者: satsuki931000 時間: 2023-5-6 22:39 標題: 回覆 7# BambooLotus 的帖子

口試一直是我弱項
成績表單一排幾乎都是試教<口試
然後我口試<試教 (85UP)

作者: satsuki931000 時間: 2023-5-6 23:13 標題: 回覆 9# CYC 的帖子

選擇三
求曲線\(x^2+xy+y^2=3\)在點\((1,1)\)上的切線方程式？
(A)\(-2x+y=-1\)　(B)\(x+y=2\)　(C)\(x+3y=4\)　(D)\(2x+y=3\)
[解答]
隱微分法\(\displaystyle y'=\frac{-2x-y}{x+2y} , (1,1)\)帶入得到斜率，再求直線

填充三
連續投擲一枚均勻的硬幣10次，令隨機變數\(X\)代表正面出現的次數。若\(X\)的算術平均數為\(\mu\)，標準差為\(\sigma\)，則\(X\)會落在與其平均相距小於或等於一個標準差範圍內的機率\(P(\mu-\sigma\le X \le \mu+\sigma)\)為何？　　　。
[解答]
\(\displaystyle E(X)=5 , \sqrt{Var(X)}=\frac{\sqrt{10}}{2}\)
所以所求機率為隨機變數\(X=4,5,6\)的情形
之後直接求機率相加即可

作者: Ellipse 時間: 2023-5-6 23:29

引用:

原帖由 satsuki931000 於 2023-5-6 22:39 發表
口試一直是我弱項
成績表單一排幾乎都是試教

我覺得口試他們除了看您教育方面的知識
講話流暢度,表達能力之外,還有一個重點
就是去看您備審資料所具備的能力表現
例如:數學的專業程度(寫數學程式,數學動畫,數學軟體使用能力....)
帶科展(最好是到全國),發表文章等........
越多項,越有加分效果

作者: chu 時間: 2023-5-6 23:40 標題: 填3

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作者: thepiano 時間: 2023-5-7 00:04

單選第 7 題
甲、乙、丙三人到迴轉壽司餐廳用餐。餐廳現有10種壽司，每種壽司僅剩2盤。假設每種壽司每個人至多只能拿1盤，用餐完後發現每種壽司都至少有人拿了1盤。試問三人拿取壽司的組合共有多少種？
(A)\(2^{10}\)　(B)\(6^{10}\)　(C)\(7^{10}\)　(D)\(8^{10}\)。
[解答]
對任一種壽司而言，要嘛兩盤都被拿走，要嘛只有一盤被拿走，而這兩種情況都各有 3 種情形
故所求 = 6^10

填充第 8 題
已知\(a>0\)是無理數，若\(P=a^3+3a^2-16a+6\)，\(Q=a^2-2a\)，且\(P\)、\(Q\)皆為有理數，則\(a=\)　　　。
[解答]
Q = (a - 1)^2 - 1 是有理數
可令 a = 1 + √b，其中 b 是有理數，√b 是無理數
P / Q = (a + 5) + [(-6a + 6) / Q] = 6 + √b + [-6√b / (b - 1)] 是有理數
1 + [(-6) / (b - 1)] = 0
b = 7

作者: CYC 時間: 2023-5-7 07:00 標題: 回覆 11# satsuki931000 的帖子

感謝老師回覆

作者: CYC 時間: 2023-5-7 07:00 標題: 回覆 13# chu 的帖子

感謝老師回覆

作者: jackyxul4 時間: 2023-5-8 10:00 標題: 回覆 11# satsuki931000 的帖子

選擇三
求曲線\(x^2+xy+y^2=3\)在點\((1,1)\)上的切線方程式？
(A)\(-2x+y=-1\)　(B)\(x+y=2\)　(C)\(x+3y=4\)　(D)\(2x+y=3\)
[解答]
要快就是一眼看穿法，對稱在y=x，所以切線必為x+y=2

要穩就是代圓錐曲線切線公式

作者: coco0128 時間: 2023-12-30 12:30 標題: 回覆 5# godofsong 的帖子

不好意思
想請問一下
填充9 如何看出EF兩點可以直接假設其中一個座標為2啊？
謝謝您我卡好久噗

作者: royan0837 時間: 2023-12-31 00:35 標題: 回覆 18# coco0128 的帖子

畫一條過A點平行BC的直線，找到另外兩個交點。

另外想請教計算3

作者: thepiano 時間: 2023-12-31 09:03 標題: 回覆 19# royan0837 的帖子

計算第 3 題
空間中三個非零向量\(\vec{OA}\)、\(\vec{OB}\)、\(\vec{OC}\)滿足\(\angle AOB=30^{\circ}\)，\(\angle BOC=45^{\circ}\)及\(\angle COA=60^{\circ}\)，令\(\theta\)為平面\(AOB\)與平面\(BOC\)的兩面角，試求\(|\;cos \theta|\;=\)？
[解答]
作平面 PQR 垂直 OB，交 OA 於 P，交 OB 於 Q，交 OC 於 R
則 θ = ∠PQR

令 PQ = a，則 OP = 2a，OQ = QR = √3a，OR = √6a
在 △OPR 中，先用餘弦定理求出 PR^2 = (10 - 2√6)a^2
再 △PQR 中，再用餘弦定理求出 cosθ = √2 - √3
所求 = √3 - √2

作者: coco0128 時間: 2024-1-4 19:56 標題: 回覆 19# royan0837 的帖子

謝謝您

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