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標題: 112台南女中 [打印本頁]

作者: weiye 時間: 2023-4-16 14:13 標題: 112台南女中

112台南女中

附件: 112台南女中_教師甄選數學科試題及參考答案.pdf (2023-4-16 14:13, 323.49 KB) / 該附件被下載次數 5078
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作者: s7908155 時間: 2023-4-16 18:31

可以問填充4、9、13、18嗎？謝謝

作者: thepiano 時間: 2023-4-16 20:04 標題: 回覆 2# s7908155 的帖子

第 9 題
設\(n\)為正整數，若\(n^2+3n+43\)為完全平方數，則\(n^2+3n+43=\)？
[解答]
(n + 1)^2 < n^2 + 3n + 43 < (n + 7)^2
一一檢驗 n^2 + 3n + 43 = (n + 2)^2，(n + 3)^2，(n + 4)^2，(n + 5)^2，(n + 6)^2
可得 n = 39

第 13 題
將寫有自然數\(1,2,\ldots,6\)的6張紙條隨機排放成一列，先將第一張紙條拿在手中，然後從第二張紙條開始，依序看下去，直到第6張。依序看到第6張的過程中，如果看到紙條上的數目字比手中的大，就放下手中的紙條，把數目字大的那張換到手中，直到看到第6張。試求更換次數的期望值。
[解答]
第 2 張紙條比第 1 張紙條大的機率是 1/2，更換 1 次
第 3 張紙條比第 1 張和第 2 張紙條都大的機率是 1/3，更換 1 次
：
：
所求 = 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6

作者: peter0210 時間: 2023-4-16 20:21

第四題
設\(\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\)，試求\(\displaystyle \omega^2\sum_{k=1}^{96}(-1)^{k+1}k\omega^{k-1}=\)？
[解答]

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作者: Jimmy92888 時間: 2023-4-16 20:40

引用:

原帖由 s7908155 於 2023-4-16 18:31 發表
可以問填充4、9、13、18嗎？謝謝

第18題，
平面上有一直線\(L\)，已知\(A(7,3)\)到\(L\)的距離為6，\(B(6,6)\)到\(L\)的距離為3，\(C(−2,0)\)到\(L\)的距離。
[解答]
令圓C1以A為圓心6為半徑，與圓C2以B為圓心3為半徑
所以L為圓C1與圓C2的公切線，求出L後，再求C與L的距離

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作者: Ellipse 時間: 2023-4-16 21:11

引用:

原帖由 Jimmy92888 於 2023-4-16 20:40 發表

第13題，
令圓C1以A為圓心7為半徑，與圓C2以B為圓心3為半徑
所以L為圓C1與圓C2的公切線，求出L後，再求C與L的距離

平面上有一直線\(L\)，已知\(A(7,3)\)到\(L\)的距離為6，\(B(6,6)\)到\(L\)的距離為3，\(C(−2,0)\)到\(L\)的距離。
[解答]
這題應該是#18
(更正)
抱歉~我誤以為您的兩切點為同一點
L的確是C1與C2的公切線

但斜的公切線應該比較不好求吧?

可以設L:x+by+c=0 (注意此假設無法表示水平線)
利用點到直線距離公式解出b= -4/3 ,c=7
則L:3x-4y+21=0
另一條L:y=9(水平線)
.....

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作者: thepiano 時間: 2023-4-16 22:07 標題: 回覆 6# Ellipse 的帖子

連接 A、B、C 三點剛好是以角 A 為直角的直角三角形
除了 y = 9 很顯然之外
分別從 A、B、C 三點往 L 作垂線，利用直角三角形三邊長和子母相似，可很快求出另一個答案

作者: Jimmy92888 時間: 2023-4-16 23:13

引用:

原帖由 Ellipse 於 2023-4-16 21:11 發表
這題應該是#18
上述這樣的說法應該不對喔,
假設A到L的距離=AP (P為垂足)
假設B到L的距離=AQ (Q為垂足)
那麼P,Q 不會是同一點

可以設L:x+by+c=0 (注意此假設無法表示水平線)
利用點到直線距離公式解出b= -4/3 ,c=7 ...

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作者: 5pn3gp6 時間: 2023-4-21 09:42

13.
將寫有自然數\(1,2,\ldots,6\)的6張紙條隨機排放成一列，先將第一張紙條拿在手中，然後從第二張紙條開始，依序看下去，直到第6張。依序看到第6張的過程中，如果看到紙條上的數目字比手中的大，就放下手中的紙條，把數目字大的那張換到手中，直到看到第6張。試求更換次數的期望值。
[解答]
第13題鋼琴老師的方法真的太漂亮了
每次期望值的題目，總是可以看到非常漂亮、抓住期望值核心的手法。

這裡我也分享我自己的作法，可能也是比較多人用的手法

設\(E_n\)為總共發1,2,3,...,n張牌時，換牌次數的期望值，

當n號牌(最大號)排在第k張位置時，不論前面的牌，看牌看到第k張，必定要換牌一次，而且之後就不會再換牌了。
　
所以當n號牌排在第k張位置時，換牌次數為前k-1張牌換牌次數再+1，

故n號牌排在第k張位置時的換牌次數期望值為\(E_{k-1}+1\)

n號牌排在第k張位置的機率為\(\frac{1}{n}\)，

故\(\displaystyle E_k=\frac{1}{n}\cdot 0+\frac{1}{n}(E_1+1)+\frac{1}{n}(E_2+1)+\frac{1}{n}(E_3+1)+\cdots+\frac{1}{n}(E_{n-1}+1)\)

\(\displaystyle E_1=0、E_2=\frac{1}{2}(E_1+1)=\frac{1}{2}、E_3=\frac{1}{3}(E_1+1)+\frac{1}{3}(E_2+1)=\frac{5}{6}\)

\(E_4=\frac{13}{12}、E_5=\frac{77}{60}、E_6=\frac{522}{360}=\frac{29}{20}\)

作者: YangRB 時間: 2023-4-24 13:19 標題: 提問

懇請老師解惑
填充8,10,12
謝謝老師

作者: thepiano 時間: 2023-4-24 13:51 標題: 回覆 10# YangRB 的帖子

第 8 題
小南打算接下來的9天每天都會從土司、小籠包、鍋貼三種選擇一種當作當天的早餐，但不連續兩天吃土司，則這9天早餐安排的方式有幾種？
[解答]
5 天吃吐司，2^4 * C(5，5)
4 天吃吐司，2^5 * C(6，4)
3 天吃吐司，2^6 * C(7，3)
2 天吃吐司，2^7 * C(8，2)
1 天吃吐司，2^8 * C(9，1)
0 天吃吐司，2^9
加起來

作者: thepiano 時間: 2023-4-24 14:17 標題: 回覆 10# YangRB 的帖子

第 10 題
坐標平面上，有一直線\(L\)和\(y=x^4-3x^2+2x+3\)相切於相異兩點，直線\(L\)的方程式為？
[解答]
令直線 L 的方程式為 y = mx + n
y = x^4 - 3x^2 + 2x + 3 與直線 L 相切於相異兩點
表示 x^4 - 3x^2 + 2x + 3 = mx + n 有兩相異重根
令兩相異重根為 a 和 b
(x - a)^2(x - b)^2 = x^4 - 3x^2 + (2 - m)x + (3 - n)
分別比較兩邊的 x^3、x^2、x 和常數項係數，可得
-2a - 2b = 0
a^2 + 4ab + b^2 = -3
-2a^2b - 2ab^2 = 2 - m
a^2b^2 = 3 - n

化簡可得 m = 2，n = 3/4

作者: bugmens 時間: 2023-4-24 16:53

填充題
1.
將地球儀設定成一個坐標空間，其中球心為原點\(O\)，地球儀上\(A\)，\(B\)兩個城市的坐標分別為\(A(1,0,0)\)，\(\displaystyle B\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)，而\(C\)城市正好是\(A\)，\(B\)兩個城市之間最短路徑的中點，試求\(C\)城市的坐標為？

假設地球為一球體，今以地球球心為原點，地球半徑為單位長，建立一直角坐標系。設地球表面上有甲乙丙三地，甲、乙兩地的坐標分別為\( (1,0,0) \)、\( \displaystyle (\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}) \)，而丙地正好是甲地之間最短路徑的中點，則丙地的坐標為？
(90自然組大學聯考，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=960&page=1#pid2178)

5.
設\(f(x)=\sqrt{10x-x^2}-\sqrt{16x-x^2-60}\)，求\(f(x)\)的最大值。
我的教甄準備之路　兩根號的極值問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174
[解答]
\(\sqrt{10x-x^2}\)為圓方程式\((x-5)^2+y^2=25\)的上半圓
\(\sqrt{16x-x^2-60}\)為圓方程式\((x-8)^2+y^2=4\)的上半圓
當\(x=6\)時，兩半圓\(y\)坐標相減有最大值\(2\sqrt{6}\)

試求\(f(x)=\sqrt{8x-x^2}-\sqrt{14x-x^2-48}\)的最大值？
(1993AHSME，https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_26)
[解答]
\(\sqrt{8x-x^2}\)為圓方程式\((x-4)^2+y^2=16\)的上半圓
\(\sqrt{14x-x^2-48}\)為圓方程式\((x-7)^2+y^2=1\)的上半圓
當\(x=6\)時，兩半圓\(y\)坐標相減有最大值\(2\sqrt{3}\)

9.
設\(n\)為正整數，若\(n^2+3n+43\)為完全平方數，則\(n^2+3n+43=\)？

15.
設\(0\le x\le 4\pi\)，試求\(9cos^2x-3sinx-7=0\)的所有根的總和。

設\(0\le x\le 2\pi\)，試問\(tan^2x-9tanx+1=0\)之各根總和為　　　。
(A)\(\displaystyle \frac{\pi}{2}\)　(B)\(\pi\)　(C)\(\displaystyle \frac{3\pi}{2}\)　(D)\(3\pi\)　(E)\(4\pi\)
(1989AHSME，https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_28)

16.
若\(S_n=1+2+3+\ldots+n\)，\(\displaystyle T_n=\frac{S_2}{S_2-1}\times \frac{S_3}{S_3-1}\times \frac{S_4}{S_4-1}\times \ldots \times \frac{S_n}{S_n-1}\)，其中\(n=2,3,4,\ldots\)。則\(T_{1998}=\)？

對每個大於1的正整數\(n\)，令\(T_n=1+2+3+\ldots+n\)，\(\displaystyle P_n=\frac{T_2}{T_2-1}\times \frac{T_3}{T_3-1}\times \ldots \times \frac{T_n}{T_n-1}\)，則\(P_{2003}=\)　　　。(以最簡分數表示)
(92高中數學能力競賽北區第三區試題二)

計算證明題
1.
設整數\(x,y\)滿足\(logx+logy\)為整數，但\(logx\)、\(logy\)及\(logx^3y^2\)都不是整數，若\(x^3y^2\)是一個6位數，則求所有的整數數對\((x,y)\)。
(103新北市高中聯招，https://math.pro/db/thread-1913-1-1.html)

3.
設\(a_k=\sqrt{1+2+\ldots+k}\)，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n a_k\right)\)
我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615

\(\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^n \sqrt{k(k+1)}\)，則\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{n^2}=\)？
(98玉井工商，https://math.pro/db/thread-811-1-1.html)

作者: YangRB 時間: 2023-4-24 17:20 標題: 感謝

謝謝老師

作者: tsusy 時間: 2023-4-24 21:27 標題: 回覆 10# YangRB 的帖子

填充12題
設正四面體\(P-ABC\)的高為\(\overline{PO}\)，\(M\)為\(\overline{PO}\)的中點，過\(\overline{AM}\)作與稜\(\overline{BC}\)平行的平面，將正四面體截成上下兩部分，令含\(P\)點的部分為上部分且體積為\(m\)，另一部分體積為\(n\)，試求\(\displaystyle \frac{m}{n}=\)？
[解答]
令 \( Q \) 為 \( \overline{BC} \) 中點，\( N \) 為直線 \( AM \) 和平面 \( PBC \) 的交點

\( \Delta POQ \) 的三邊(及延長線上) \( A, M, N \) 共線，由孟氏定理可得 \( \overline{QN}:\overline{NP} =3:2 \)

\( PBC \)面上的截痕過 \( N \) 且平行於 \( BC \)
故 \( \displaystyle \frac{m}{正四面體體積} = (\frac 2{2+3})^2 = \frac 4{25}\)
(以 \( A \) 為頂點做高，底面積之比)

故所求 \( \frac mn =\frac 4{21} \)
(以 \( A \) 為頂點做高，底面積之比)

作者: enlighten0626 時間: 2023-4-25 11:11

請教第7題

作者: weiye 時間: 2023-4-25 11:31 標題: 回覆 16# enlighten0626 的帖子

第 7 題：
圓內接四邊形\(ABCD\)中，\(\overline{BD}=2\sqrt{5}\)，且\(\displaystyle \vec{AC}=\frac{3}{2}\vec{AB}+\frac{5}{2}\vec{AD}\)。則\(\overline{AC}=\)？
[解答]
設 \(\overline{AC}\) 與 \(\overline{BD}\) 交於 \(E\)，則

\(\displaystyle \vec{AC} = 4\left(\frac{3}{8}\vec{AB}+\frac{5}{8}\vec{AB}\right) = 4\vec{AE}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \overline{AE}:\overline{EC}=1:3, \overline{BE}:\overline{ED}=3:5\)

由圓的內冪性質， \(\displaystyle \overline{AE}\times\overline{EC}=\overline{BE}\times\overline{ED}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{4}\overline{AC}\times\frac{3}{4}\overline{AC} = \frac{3}{8}\overline{BD}\times\frac{5}{8}\overline{DB}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \overline{AC}=\frac{\sqrt{5}}{2}\overline{BD}=5\) 。

作者: weiye 時間: 2023-4-25 11:50 標題: 回覆 10# YangRB 的帖子

第 8 題：
小南打算接下來的9天每天都會從土司、小籠包、鍋貼三種選擇一種當作當天的早餐，但不連續兩天吃土司，則這9天早餐安排的方式有幾種？
[解答]
設小南接下來的 \(n\) 天每天都會從土司、小籠包、鍋貼三種選擇一種當作當天的早餐，

但不連續兩天吃土司的 \(n\) 天早餐安排法有 \(a_n\) 種，則

\(\displaystyle a_1 = 3, a_2 = 8, a_n = 2\times a_{n-1} + 1\times 2\times a_{n-1}, \forall n\geq 3\)，

（說明：若第一天不吃吐司，則第一天有兩種選擇，且剩下\(n-1\)天有\(a_{n-1}\) 種安排法，

　　　　若第一天吃吐司，則第一、二天共有 \(1\times2\)種選擇，且剩下 \(n-2\) 天有 \(a_{n-2}\) 種安排法。）

得 \(\displaystyle a_3 = 2\left(a_2+a_1\right) = 22, a_4 = 2\left(a_3+a_2\right) = 60, ..., a_9 = 9136\) 。

註：通解 \(\displaystyle a_n = \frac{3-2\sqrt{3}}{6}\left(1-\sqrt{3}\right)^n+\frac{3+2\sqrt{3}}{6}\left(1+\sqrt{3}\right)^n\)

作者: enlighten0626 時間: 2023-4-25 13:09 標題: 回覆 17# weiye 的帖子

謝謝老師，一直忘記有內冪性質可以使用

作者: DavidGuo 時間: 2023-4-26 21:05

南女的題目會不會出太多題？

作者: Ellipse 時間: 2023-4-26 22:05

引用:

原帖由 DavidGuo 於 2023-4-26 21:05 發表
南女的題目會不會出太多題？

應該是考2個小時的
拚速度吧,先挑有把握的寫

之前還有考過別間是四十幾題的選擇題,還要劃卡
時間好像100分鐘,根本寫不完,後面都用猜的...

作者: lisa2lisa02 時間: 2023-9-19 20:20 標題: 提問

想請教老師們填充第六，謝謝

作者: tsusy 時間: 2023-9-20 09:50 標題: 回覆 22# lisa2lisa02 的帖子

填充6.
設\(z\)為複數且虛部不等於0，已知\(|\;z|\;\in N\)且\(\displaystyle \frac{z-1}{z^2}\in R\)，試求\(z=\)？
[解答]
沒有想到什麼特別的方法，就直接硬做
設 \( z = x + yi \)，其中 \( x,y \in {\mathbb{R}} \) 且 \( y \neq 0 \)
令實數 \( r = \frac{z - 1}{z^2} \)
則 \( (x - 1) + yi = r(x^2 - y^2 + 2xyi)\Rightarrow \left\{\begin{array}{cc} x - 1 = r(x^2 - y^2) \\ y = 2rxy  \end{array}\right. \)

又 \( y \neq 0 \)，故 \( r = \frac{1}{2x} \)

\( \Rightarrow 2x^2 - 2x = x^2 - y^2 \)

\( \Rightarrow (x - 1)^2 + y^2 = 1 \Rightarrow | z|  \leq 2 \)
又 \( |z| \in \mathbb N \) 故 \( |z| =1 \) 或 2

若 \( |z| =2 \)，則 \( z = 2 +0i \)，與 \( y \neq 0 \) 矛盾
故 \( |z|=1 \)，即 \( x^2+y^2 =1 \)

代回 \( 2x^2 - 2x = x^2 - y^2 \) 可得 \( x = \frac12, y =  \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \)

故 \( z = \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2} \)

作者: lisa2lisa02 時間: 2023-9-22 15:39 標題: 回覆 23# tsusy 的帖子

謝謝老師的回覆!

作者: 小呆 時間: 2023-10-22 09:41 標題: 提問

想請教老師們填充#19。謝謝

作者: Lopez 時間: 2023-10-22 20:54 標題: 回覆 25# 小呆的帖子

填充19
已知多項式函數\(f(x)\)滿足\(f''(x)-3xf'(x)+9f(x)=0\)且\(f(2)=6\)，令\(\displaystyle g(x)=\int_0^x f(t)dt\)，試求\(g(x)\)的極小值。
[解答]

作者: 小呆 時間: 2023-10-23 08:38 標題: 回覆26#Lopez的帖子

非常謝謝老師的解答！

作者: Hawlee 時間: 2024-4-9 07:49 標題: 回覆 15# tsusy 的帖子

可以請問為什麼
N一定會落在PQ（PBC的高）上嗎？

作者: tsusy 時間: 2024-4-9 09:37 標題: 回覆 28# Hawlee 的帖子

O 在 AQ上、 M 在 PO 上 N 在 AM 上

故 O, M, N 都在 \( \Delta PAQ \) 所在的平面上

所以 N 在平面 PAQ 和 PBC 共同的交線上

作者: Hawlee 時間: 2024-4-11 17:59 標題: 回覆 29# tsusy 的帖子

原來是這樣，感謝

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