98玉井工商

填充第12題
設\(x,y \in R\)，若\(x^2+(y-1)^2 \le 1\)，求\( \displaystyle \frac{x+y+1}{x-y+3} \)之最大值為？
[解答]
題目的\( \displaystyle x^2+(y-1)^2 \leq 1 \)表示一個圓心在(0,1)半徑1的圓盤
這圓盤上的點都讓\( \displaystyle x+y+1以及x-y+3 \)的值為正
所求的式子如果改成
\( \displaystyle \frac{\displaystyle\frac{x+y+1}{\sqrt{2}}}{\displaystyle\frac{x-y+3}{\sqrt{2}}} \)
就成了到這兩線的距離比
如附圖
這個距離比就變成 \( \displaystyle \tan{\angle{BAE}} \)
所以最大值發生在切線時
不難知道此時\( \displaystyle \angle{BAE}=75^o \)
故最大值為\( \displaystyle 2+\sqrt{3} \)

6.
設\( f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5) \)，求\( f(f(x)) \)除以\( f(x) \)的餘式為？
相同問題
設\( f(x)=(x-1)(x-2)...(x-100) \)，試求\( f(f(x)) \)除以\( f(x) \)之餘式？
(2003TRML個人賽)
假如TRML這題有先準備的話(100!)，玉井工商這題可是看題目寫答案(5!)

11.
\( \displaystyle a_{n}=\sum^{n}_{k=1} \sqrt{k(k+1)} \)，則\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n^2}= \)？
類似題
試求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} (\ \frac{1}{n^2} \sum^{n}_{k=1} \sqrt{k(k+2)} )\ \)
(97中和高中)
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47364(連結已失效)
第39樓thepiano給了答案，玉井工商這題也是一樣

112.4.24補充
設\(a_k=\sqrt{1+2+\ldots+k}\)，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n a_k\right)\)
(112台南女中，https://math.pro/db/thread-3730-1-1.html)

12.
設\( x,y \in R \)，若\( x^2+(y-1)^2 \le 1 \)，求\( \displaystyle \frac{x+y+1}{x-y+3} \)之最大值為？
補上出處
設\( P(x,y) \)為\( x^2+(y-1)^2 \le 1 \)上任一點，則\( \displaystyle \frac{x+y+1}{x-y+3} \)之最大值？
(高中數學101　P220)
\( x,y \)是實數，滿足\( x^2+(y-1)^2 \le 1 \)，求\( \displaystyle \frac{x-y+1}{x+y+3} \)的極大值及極小值？
h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=33485(連結已失效)

二、設n為自然數，試證\( 5^n \ge 1+4n \sqrt{5^{n-1}} \)
相同題目
證明：\( \forall n \in N \)，\( 3^n \ge 1+2n \sqrt{3^{n-1}} \)
(98慈大附中，臺南慈中)
https://math.pro/db/thread-725-1-1.html

請教一下第15題

除了利用Jacobian之外還有他法嗎？

填充題，第 15 題，

以 \(O\) 為原點之坐標平面，若 \(\displaystyle \overrightarrow{OP}=\left(3\sin\alpha+\cos\beta, \sin\alpha+3\cos\beta\right)\)，

\(\displaystyle 0\le\alpha\le\frac{\pi}{6},0\le\beta\le\frac{\pi}{3}\)，則 \(\overrightarrow{OP}\) 之一切 \(P\) 點所成區域的面積為何？




解答：

\(\displaystyle \overrightarrow{OP}=\sin\alpha\cdot (3,1)+\cos\beta\cdot (1,3)\)，

因為 \(\displaystyle 0\le\alpha\le\frac{\pi}{6},\;0\le\beta\le\frac{\pi}{3}\)，

所以 \(\displaystyle 0\le\sin\alpha\le\frac{1}{2},\;\frac{1}{2}\le\cos\beta\le 1\).


因此，\(P\) 點所成區域的面積\(\displaystyle =\left(\frac{1}{2}-0\right)\left(1-\frac{1}{2}\right)\cdot\{(3,1)\mbox{ 與 } (1,3) \mbox{所形成的平行四邊形面積}\}\)

\(\displaystyle \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=\frac{1}{4}|\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
   3 & 1  \\
   1 & 3  \\
\end{array}} \right||=2.\)

15.
以O為原點之坐標平面，若\( OP=(3sin \alpha+cos \beta,sin \alpha+3cos \beta) \)，\( 0\le \alpha \le \frac{\pi}{6} \)，\( 0\le \beta \le \frac{\pi}{3} \)，則\( \vec{OP} \)之一切P點所成區域的面積為？
[解答]
假設\( P=(x,y) \)
\( \Bigg[\ \matrix{x \cr y} \Bigg]\ =\Bigg[\ \matrix{3 & 1 \cr 1 & 3} \Bigg]\ \Bigg[\ \matrix{sin \alpha \cr cos \beta} \Bigg]\ \)
\( \Bigg[\ \matrix{x \cr y} \Bigg]\ \)的面積=\( \Bigg\vert\ \matrix{3 & 1 \cr 1 & 3} \Bigg\vert\ \)×\( \Bigg[\ \matrix{sin \alpha \cr cos \beta} \Bigg]\ \)的面積=\( 8 \cdot \frac{1}{4}=2 \)
又慢了一步,我對latex指令太不熟悉了

謝謝兩位老師的解惑

看來還有許多要努力的學問

繼續加油

可以請教一下 第9題的作法是 要把\(F\)點，對\( y=x\)做對稱，再用對稱點找最短距離嗎?
如果是這樣的話  這個最短距離要怎麼找??
還是有別的做法呢??
謝謝

9.
\(P\)為曲線\(y=x^2+2\)上之動點，\(A\)為直線\(y=x\)上之動點，且\(F(2,3)\)求\(\overline{FA}+\overline{AP}\)之最小值。
[解答]
對稱點為\( (3,2) \)，P點為\( (x,x^2+2) \)
最短距離為\( \sqrt{(x-3)^2+x^4} \)
令\( f(x)=(x-3)^2+x^4 \)，\( f'(x)=2(x-1)(2x^2+2x+3) \)
當\( x=1 \)時有最小值\( \sqrt{5} \)

我想請問第18題

另外,第16題我的想法不知那裡錯了
分母:(6!)/(2!*2!*2!)=90
分子:aabb=>(c3取2)*2!,cc分別插入aa和bb之間,所以,6*1=6
        abab=>(c3取2)*2!,cc插入(5*4)/2!,所以,6*10=60
        abba=>(c3取2)*2!,一個c插入bb之間,另一個c有4個位置,所以,6*4=24
        結果分子得到6+60+24=90跟分母一樣,請問我錯在哪了,正確方法呢?

再加一題,填充第2題,我的算法是sin(pi/3)改成cos(2pi/3),所以我算出n=3,請問該如何算,謝謝