98玉井工商

填充第12題
設xyR，若x2+(y−1)21，求x−y+3x+y+1之最大值為？
[解答]
題目的x2+(y−1)21表示一個圓心在(0,1)半徑1的圓盤
這圓盤上的點都讓x+y+1以及x−y+3的值為正
所求的式子如果改成
2x−y+32x+y+1
就成了到這兩線的距離比
如附圖
這個距離比就變成 tanBAE 
所以最大值發生在切線時
不難知道此時BAE=75o 
故最大值為2+3 

6.
設f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)，求f(f(x))除以f(x)的餘式為？
相同問題
設f(x)=(x−1)(x−2)(x−100)，試求f(f(x))除以f(x)之餘式？
(2003TRML個人賽)
假如TRML這題有先準備的話(100!)，玉井工商這題可是看題目寫答案(5!)

11.
an=nk=1k(k+1) ，則limnn2an=？
類似題
試求limn( 1n2nk=1k(k+2))  
(97中和高中)
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47364(連結已失效)
第39樓thepiano給了答案，玉井工商這題也是一樣

112.4.24補充
設ak=1+2++k ，試求limn1n2nk=1ak 
(112台南女中，https://math.pro/db/thread-3730-1-1.html)

12.
設xyR，若x2+(y−1)21，求x−y+3x+y+1之最大值為？
補上出處
設P(xy)為x2+(y−1)21上任一點，則x−y+3x+y+1之最大值？
(高中數學101　P220)
xy是實數，滿足x2+(y−1)21，求x+y+3x−y+1的極大值及極小值？
h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=33485(連結已失效)

二、設n為自然數，試證5n1+4n5n−1 
相同題目
證明：nN，3n1+2n3n−1 
(98慈大附中，臺南慈中)
https://math.pro/db/thread-725-1-1.html

請教一下第15題

除了利用Jacobian之外還有他法嗎？

填充題，第 15 題，

以 O 為原點之坐標平面，若 \displaystyle \overrightarrow{OP}=\left(3\sin\alpha+\cos\beta, \sin\alpha+3\cos\beta\right)，

\displaystyle 0\le\alpha\le\frac{\pi}{6},0\le\beta\le\frac{\pi}{3}，則 \overrightarrow{OP} 之一切 P 點所成區域的面積為何？




解答：

\displaystyle \overrightarrow{OP}=\sin\alpha\cdot (3,1)+\cos\beta\cdot (1,3)，

因為 \displaystyle 0\le\alpha\le\frac{\pi}{6},\;0\le\beta\le\frac{\pi}{3}，

所以 \displaystyle 0\le\sin\alpha\le\frac{1}{2},\;\frac{1}{2}\le\cos\beta\le 1.


因此，P 點所成區域的面積\displaystyle =\left(\frac{1}{2}-0\right)\left(1-\frac{1}{2}\right)\cdot\{(3,1)\mbox{ 與 } (1,3) \mbox{所形成的平行四邊形面積}\}

\displaystyle \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=\frac{1}{4}|\left| {\begin{array}{*{20}{c}}    3 & 1  \\    1 & 3  \\ \end{array}} \right||=2.

15.
以O為原點之坐標平面，若 OP=(3sin \alpha+cos \beta,sin \alpha+3cos \beta) ， 0\le \alpha \le \frac{\pi}{6} ， 0\le \beta \le \frac{\pi}{3} ，則 \vec{OP} 之一切P點所成區域的面積為？
[解答]
假設 P=(x,y)
\Bigg[\ \matrix{x \cr y} \Bigg]\ =\Bigg[\ \matrix{3 & 1 \cr 1 & 3} \Bigg]\ \Bigg[\ \matrix{sin \alpha \cr cos \beta} \Bigg]\
\Bigg[\ \matrix{x \cr y} \Bigg]\ 的面積= \Bigg\vert\ \matrix{3 & 1 \cr 1 & 3} \Bigg\vert\ × \Bigg[\ \matrix{sin \alpha \cr cos \beta} \Bigg]\ 的面積= 8 \cdot \frac{1}{4}=2
又慢了一步,我對latex指令太不熟悉了

謝謝兩位老師的解惑

看來還有許多要努力的學問

繼續加油

可以請教一下 第9題的作法是 要把F點，對 y=x做對稱，再用對稱點找最短距離嗎?
如果是這樣的話  這個最短距離要怎麼找??
還是有別的做法呢??
謝謝

9.
P為曲線y=x^2+2上之動點，A為直線y=x上之動點，且F(2,3)求\overline{FA}+\overline{AP}之最小值。
[解答]
對稱點為 (3,2) ，P點為 (x,x^2+2)
最短距離為 \sqrt{(x-3)^2+x^4}
令 f(x)=(x-3)^2+x^4 ， f'(x)=2(x-1)(2x^2+2x+3)
當 x=1 時有最小值 \sqrt{5}

我想請問第18題

另外,第16題我的想法不知那裡錯了
分母:(6!)/(2!*2!*2!)=90
分子:aabb=>(c3取2)*2!,cc分別插入aa和bb之間,所以,6*1=6
        abab=>(c3取2)*2!,cc插入(5*4)/2!,所以,6*10=60
        abba=>(c3取2)*2!,一個c插入bb之間,另一個c有4個位置,所以,6*4=24
        結果分子得到6+60+24=90跟分母一樣,請問我錯在哪了,正確方法呢?

再加一題,填充第2題,我的算法是sin(pi/3)改成cos(2pi/3),所以我算出n=3,請問該如何算,謝謝