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98玉井工商

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98玉井工商

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98玉井工商.pdf (746.67 KB)

2009-7-2 20:10, 下載次數: 9378

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填充第12題
xyR,若x2+(y1)21,求xy+3x+y+1之最大值為?
[解答]
題目的x2+(y1)21表示一個圓心在(0,1)半徑1的圓盤
這圓盤上的點都讓x+y+1以及xy+3的值為正
所求的式子如果改成
2xy+32x+y+1
就成了到這兩線的距離比
如附圖
這個距離比就變成 tanBAE 
所以最大值發生在切線時
不難知道此時BAE=75o 
故最大值為2+3 

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98玉井工商填充12.JPG (15.37 KB)

2009-7-2 21:46

98玉井工商填充12.JPG

名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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6.
f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5),求f(f(x))除以f(x)的餘式為?
相同問題
f(x)=(x1)(x2)(x100),試求f(f(x))除以f(x)之餘式?
(2003TRML個人賽)
假如TRML這題有先準備的話(100!),玉井工商這題可是看題目寫答案(5!)

11.
an=nk=1k(k+1) ,則limnn2an=
類似題
試求limn( 1n2nk=1k(k+2))  
(97中和高中)
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47364(連結已失效)
第39樓thepiano給了答案,玉井工商這題也是一樣

112.4.24補充
ak=1+2++k ,試求limn1n2nk=1ak 
(112台南女中,https://math.pro/db/thread-3730-1-1.html)

12.
xyR,若x2+(y1)21,求xy+3x+y+1之最大值為?
補上出處
P(xy)x2+(y1)21上任一點,則xy+3x+y+1之最大值?
(高中數學101 P220)
xy是實數,滿足x2+(y1)21,求x+y+3xy+1的極大值及極小值?
h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=33485(連結已失效)

二、設n為自然數,試證5n1+4n5n1 
相同題目
證明:nN3n1+2n3n1 
(98慈大附中,臺南慈中)
https://math.pro/db/thread-725-1-1.html

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請教一下第15題

除了利用Jacobian之外還有他法嗎?

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填充題,第 15 題,

O 為原點之坐標平面,若 \displaystyle \overrightarrow{OP}=\left(3\sin\alpha+\cos\beta, \sin\alpha+3\cos\beta\right)

\displaystyle 0\le\alpha\le\frac{\pi}{6},0\le\beta\le\frac{\pi}{3},則 \overrightarrow{OP} 之一切 P 點所成區域的面積為何?




解答:

\displaystyle \overrightarrow{OP}=\sin\alpha\cdot (3,1)+\cos\beta\cdot (1,3)

因為 \displaystyle 0\le\alpha\le\frac{\pi}{6},\;0\le\beta\le\frac{\pi}{3}

所以 \displaystyle 0\le\sin\alpha\le\frac{1}{2},\;\frac{1}{2}\le\cos\beta\le 1.


因此,P 點所成區域的面積\displaystyle =\left(\frac{1}{2}-0\right)\left(1-\frac{1}{2}\right)\cdot\{(3,1)\mbox{ 與 } (1,3) \mbox{所形成的平行四邊形面積}\}

\displaystyle \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=\frac{1}{4}|\left| {\begin{array}{*{20}{c}}    3 & 1  \\    1 & 3  \\ \end{array}} \right||=2.

多喝水。

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15.
以O為原點之坐標平面,若 OP=(3sin \alpha+cos \beta,sin \alpha+3cos \beta) 0\le \alpha \le \frac{\pi}{6} 0\le \beta \le \frac{\pi}{3} ,則 \vec{OP} 之一切P點所成區域的面積為?
[解答]
假設 P=(x,y)
\Bigg[\ \matrix{x \cr y} \Bigg]\ =\Bigg[\ \matrix{3 & 1 \cr 1 & 3} \Bigg]\ \Bigg[\ \matrix{sin \alpha \cr cos \beta} \Bigg]\
\Bigg[\ \matrix{x \cr y} \Bigg]\ 的面積= \Bigg\vert\ \matrix{3 & 1 \cr 1 & 3} \Bigg\vert\ × \Bigg[\ \matrix{sin \alpha \cr cos \beta} \Bigg]\ 的面積= 8 \cdot \frac{1}{4}=2
又慢了一步,我對latex指令太不熟悉了

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謝謝兩位老師的解惑

看來還有許多要努力的學問

繼續加油

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可以請教一下 第9題的作法是 要把F點,對 y=x做對稱,再用對稱點找最短距離嗎?
如果是這樣的話  這個最短距離要怎麼找??
還是有別的做法呢??
謝謝

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9.
P為曲線y=x^2+2上之動點,A為直線y=x上之動點,且F(2,3)\overline{FA}+\overline{AP}之最小值。
[解答]
對稱點為 (3,2) ,P點為 (x,x^2+2)
最短距離為 \sqrt{(x-3)^2+x^4}
f(x)=(x-3)^2+x^4 f'(x)=2(x-1)(2x^2+2x+3)
x=1 時有最小值 \sqrt{5}

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我想請問第18題

另外,第16題我的想法不知那裡錯了
分母:(6!)/(2!*2!*2!)=90
分子:aabb=>(c3取2)*2!,cc分別插入aa和bb之間,所以,6*1=6
        abab=>(c3取2)*2!,cc插入(5*4)/2!,所以,6*10=60
        abba=>(c3取2)*2!,一個c插入bb之間,另一個c有4個位置,所以,6*4=24
        結果分子得到6+60+24=90跟分母一樣,請問我錯在哪了,正確方法呢?

再加一題,填充第2題,我的算法是sin(pi/3)改成cos(2pi/3),所以我算出n=3,請問該如何算,謝謝

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