Math Pro 數學補給站

標題: 110臺北市高中聯招 [打印本頁]

作者: Superconan 時間: 2021-5-9 18:20 標題: 110臺北市高中聯招

請教計算第 3 題、第 4 題

110.05.12
試題疑義後，多選第 3 題原答案 ACDE 改成 ACD 。

附件: 03數學科試題.pdf (2021-5-9 18:20, 433.84 KB) / 該附件被下載次數 11856
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6004&k=1dee91347a42cfc767bd149ff081e922&t=1765134874

附件: 03數學科參考答案.pdf (2021-5-9 18:20, 102.14 KB) / 該附件被下載次數 11831
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6005&k=5f5f2e4dc911c19f62f08df5e0f01d1d&t=1765134874

圖片附件: 1100512筆試疑義.PNG (2021-5-14 00:31, 108.07 KB) / 該附件被下載次數 7261
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6015&k=acf5d0ff0161ce537d1475b7cdcd98fa&t=1765134874

作者: bugmens 時間: 2021-5-9 18:39

二、非選擇題
(一)填充題
2.
求方程式\(\root 3\of{(10+x)^2}+\root 3\of{(3+x)^2}=\root 3\of{(10+x)(-3-x)}+7\)的所有解。
(91台灣師大推薦甄試，97中和高中，https://math.pro/db/thread-2418-1-1.html)

解方程\(\root 3\of{(8-x)^2}+\root 3\of{(27+x)^2}=\root 3\of{(8-x)(27+x)}+7\)？
(高中數學競賽教程P388)

3.
將4個a，2個b及2個c共8個字母排成一列，則相同字母不相鄰的排法有幾種？
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1610&page=1#pid8194

4.
已知\(f(x)\)為10次多項式，且滿足\(\displaystyle f(k)=\frac{1}{k},k=1,2,3,\dots,11\)，求\(f(12)\)之值。
請參閱https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1195&page=1#pid4108

7.
已知\(n\)為正整數，且方程式\(x^{10}+(nx-1)^{10}=0\)的10個複數根為\(z_k,\overline{z_k}(k=1,2,3,4,5)\)，求\(\displaystyle \sum_{k=1}^5\frac{1}{z_k \overline{z_k}}\)。(以\(n\)表示)
(1994AIME，https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_13)

103大同高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1873&page=2#pid10169

107建國中學，https://math.pro/db/thread-2946-1-5.html

二、計算證明題
1.
五人進行「剪刀、石頭、布」的猜拳，五人同時出拳，若能分出勝負（例如：兩人出剪刀，三人出石頭時，算是分出勝負；但五人都出剪刀時，不算分出勝負），則猜拳停止；若分不出勝負，則繼續猜拳，直到分出勝負為止。試求猜拳次數的期望值。

112.7.5補充
112金門高中考相同題目，https://math.pro/db/thread-3771-1-1.html

以剪刀，石頭，布猜拳。
(a)若兩人猜，平均要猜幾次才分勝負。
(b)現有三人一起猜拳(三人一起出拳)。若兩人勝一人，則勝者二人繼續猜。若一人勝二人，此人勝出。問平均要猜幾次，才能剛好有一人勝出。
(95台大數學甄選入學)

2.
在坐標平面上，\(A,B,C\)三點形成直角三角形，其中\(∠C=90^{\circ}\)，\(\overline{AB}\)，又過\(A\)與\(B\)兩點的中線方程式分別為\(y=x+2021\)與\(y=2x+110\)。試求三角形\(ABC\)的面積。

老師要求小明用已知的\(A\)、\(B\)、\(C\)三個點求出\(\Delta ABC\)的三條中線方程式，但小明求出其中兩條中線的方程式為\(x+y=1\)、\(3x+2y=4\)後，卻忘了頂點\(A(2,1)\)以外的兩個點之坐標。若\(G\)為\(\Delta ABC\)之重心，請選出正確的選項。
(1)重心\(G\)為\((2,-1)\)
(2)點\(D(2,-2\)為\(∠A\)對邊的中點
(3)\(6,-7\)為\(\Delta ABC\)其中一個頂點
(4)\(\vec{AB}\)與\(\vec{AG}\)在\(\vec{AC}\)上的正射影向量相同
(5)\(\Delta ABC\)的面積為24
(102台中區模擬考，https://math.pro/db/thread-10-1-1.html)

作者: laylay 時間: 2021-5-9 19:21 標題: 回復 1# Superconan 的帖子

計算證明題3.
正三角形\(ABC\)的邊長為1，且\(D\)、\(E\)分別為邊\(\overline{AB}\)、\(\overline{AC}\)上的點。將三角形\(ADE\)沿線段\(\overline{DE}\)摺疊時，頂點\(A\)恰落在邊\(\overline{BC}\)上，試問在此條件下，線段\(\overline{AD}\)的最小值等於多少？
[解答]
設 A對DE的對稱點為F,  a=角BAF
則 AF/sin60度=1/sin(60度+a) ,
   AD=(AF/2)/cosa=ㄏ3/[ 4sin(60度+a)*cosa]
      =ㄏ3/[ 4(sin60度*cosa+cos60度*sina)*cosa]
      =ㄏ3/[sin(2a)+ㄏ3*cos(2a)+ㄏ3]>=ㄏ3/(2+ㄏ3)=2ㄏ3-3,此數為所求
      此時 a=15度 , AE<AE/sin75度=AD/sin45度<1/2/sin45度<1,D在AB上,E在AC上,沒有問題

作者: flyinsky218 時間: 2021-5-9 19:35

計算三垂直時會有最小值
想問計算2

圖片附件: 261E442E-4DB9-4F76-9954-BBF7B0010219.jpeg (2021-5-9 19:35, 85.04 KB) / 該附件被下載次數 7332
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6006&k=ce378e80004ac6378e75cdab60c8e475&t=1765134874

作者: czk0622 時間: 2021-5-9 19:39 標題: 回復 1# Superconan 的帖子

計算證明題4.
設數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)滿足\(\displaystyle a_n=\int_0^1 (1-x^2)^{\frac{n}{2}}dx\)，\(n=0,1,2,3,\ldots\)。
(1)證明：\(\displaystyle a_n=\frac{n}{n+1}a_{n-2},n\ge 2\)。
(2)試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\)的值。
[解答]
計算4(1)
\(a_{n}=\int^{1}_{0}(1-x^{2})^{n/2}dx\)
\( \ \ \ =\int^{\pi/2}_{0}\cos^{n}{\theta}d{\sin{\theta}}(=\int^{\pi/2}_{0}\cos^{n+1}{\theta}d{\theta}\))
\( \ \ \ =\cos^{n}{\theta}\sin{\theta}|^{\pi/2}_{0}+\int^{\pi/2}_{0}n\cos^{n-1}{\theta}\sin^{2}{\theta}d{\theta}\)
\( \ \ \ =n\int^{\pi/2}_{0}\cos^{n-1}{\theta}(1-\cos^{2}{\theta})d{\theta}\)
\( \ \ \ =n\int^{\pi/2}_{0}\cos^{n-1}{\theta}d{\theta}-n\int^{\pi/2}_{0}\cos^{n+1}{\theta}d{\theta}\)
\( \ \ \ =na_{n-2}-na_{n}\)
整理得
\(\displaystyle a_{n}=\frac{n}{n+1}a_{n-2}\)

計算4(2)
考慮 \(0\leq \theta \leq \pi/2\Rightarrow0\leq \cos{\theta}\leq 1\Rightarrow\cos^{n}{\theta}\) 遞減\(\Rightarrow a_{n}\) 遞減
即 \(\displaystyle \frac{a_{n+2}}{a_{n}}\leq \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\leq \frac{a_{n+1}}{a_{n+1}}=1\)
又因 \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n+2}}{a_{n}}=1\)
由夾擠定理得 \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=1\)

作者: thepiano 時間: 2021-5-9 20:59

計算第 2 題
中山大學雙週一題
http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2014s/2ans.pdf
103 臺中女中也考過類似題

計算第 3 題
97 年數學能力競賽嘉義區複賽第 3 題
連結已失效h ttp://e-tpd.kssh.khc.edu.tw/sys/read_attach.php?id=3824

110.5.10版主補充
97高中數學能力競賽，https://math.pro/db/thread-919-1-1.html

作者: laylay 時間: 2021-5-9 21:00 標題: 填充7.

已知\(n\)為正整數，且方程式\(x^{10}+(nx-1)^{10}=0\)的10個複數根為\(z_k,\overline{z_k}(k=1,2,3,4,5)\)，求\(\displaystyle \sum_{k=1}^5 \frac{1}{z_k \overline{z_k}}\)。(以\(n\)表示)
[解答]
令 w=cos18度+isin18度 , nx-1=x*w^(2k+1) => x=1/(n-w^(2k+1)) ,k=0,1,2..9
所求=(n-w)(n-w^19)+(n-w^3)(n-w^17)+(n-w^5)(n-w^15)+(n-w^7)(n-w^13)+(n-w^9)(n-w^11)
=5n^2+5

作者: czk0622 時間: 2021-5-9 21:15 標題: 回復 4# flyinsky218 的帖子

計算證明題2.
在坐標平面上，\(A,B,C\)三點形成直角三角形，其中\(\angle C=90^{\circ}\)，\(\overline{AB}=60\)，又過\(A\)與\(B\)兩點的中線方程式分別為\(y=x+2021\)與\(y=2x+110\)。試求三角形\(ABC\)的面積。
[解答]
計算2另解
設 \(\overline{BC}=2a\)，中點為 \(M_{A} \)、\(\overline{AC}=2b\)，中點為 \(M_{B} \)、重心為 \(G\)，
\(\displaystyle \tan{M_{A}GB}=\frac{2-1}{1+2*1}=\frac{1}{3}\)，\(\displaystyle \sin{AGB}=\frac{1}{\sqrt{10}}\)、\(a^{2}+b^{2}=900\)
由中線定理得
\(\overline{AM_{A}}^{2}=3b^{2}+900\)、\(\overline{BM_{B}}^{2}=3a^{2}+900\)
由 \(\displaystyle \Delta AGB=\frac{1}{3}\Delta ABC\) 得
\(\displaystyle \frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\overline{AM_{A}}\times \frac{2}{3}\overline{BM_{A}}\times \sin{AGB}=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times (2a)\times(2b)\)
整理得 \(ab=200\)，
\(\Delta ABC=\frac{1}{2}\times (2a)\times(2b)=2ab=400\)

作者: satsuki931000 時間: 2021-5-9 21:17

計算1.
五人進行「剪刀、石頭、布」的猜拳，五人同時出拳，若能分出勝負（例如：兩人出剪刀，三人出石頭時，算是分出勝負；但五人都出剪刀時，不算分出勝負），則猜拳停止；若分不出勝負，則繼續猜拳，直到分出勝負為止。試求猜拳次數的期望值。
[解答]
考場當下不知道怎麼回事以為是要求出留到最後一人為勝利者時的猜拳次數期望值
嫌麻煩就沒算了回頭來看發現超級送分
不分勝負機率為\(\displaystyle \frac{17}{27}\)
\(\displaystyle E(X)=\frac{10}{27}+\frac{17}{27}[E(X)+1]\)
得\(\displaystyle E(X)=\frac{27}{10}\)

填充6
已知\(\Delta OAB\)內接於拋物線\(y^2=8x\)，其中\(O\)為原點，且此內接三角形的垂心恰為拋物線的焦點，求\(\Delta OAB\)的外接圓之圓心坐標。
[解答]
令\(A(2t^2,4t),B(2s^2,4s)\),則過A，B的兩條高的直線方程式分別為
\(\displaystyle y-4t=\frac{-s}{2}x+st^2\)
\(\displaystyle y-4s=\frac{-t}{2}x+ts^2\)
整理可得\(\displaystyle 4=\frac{-1}{2}x-st\)且\(x=2\)，得\(st=-5\)
代回去直線方程式得到\(s=-t\)，可知\(\displaystyle t=\sqrt{5},s=-\sqrt{5}\)
所以\(\displaystyle A(10,4\sqrt{5}),B(10,-4\sqrt{5})\)
易知所求外心為\((9,0)\)

作者: thepiano 時間: 2021-5-9 21:41 標題: 回復 4# flyinsky218 的帖子

計算第 3 題
補一下圖

圖片附件: 20210509.jpg (2021-5-9 21:41, 60.5 KB) / 該附件被下載次數 7146
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6007&k=054cacdb9d0fdc1b7b4dcb07f115a30d&t=1765134874

作者: Superconan 時間: 2021-5-10 01:22

請教多選第 3 題的 (E) 選項

作者: yosong 時間: 2021-5-10 01:38 標題: 回復 11# Superconan 的帖子

點\(A(e,1)\)在函數\(f(x)=lnx\)的圖形上，圓\(Q\)(\(Q\)為該圓的圓心)與\(y=f(x)\)的圖形在\(A\)點有共同的切線，且圓\(Q\)又與\(x\)軸相切於\(B\)點。選出正確的選項。
(A)以\(A\)為切點的切線斜率為\(\displaystyle \frac{1}{e}\)
(B)直線\(\overline{AQ}\)的方程式為\(y-1=e(x-e)\)
(C)\(Q\)點落在拋物線\(\displaystyle y=\frac{1}{2}(x-e^2)+\frac{1}{2}\)上
(D)\(Q\)點在\(\overline{AB}\)的中垂線上
(E)\(B\)點坐標為\((\sqrt{e^2+1},0)\)
[解答]
(E)
過A點的切線方程式為y-1=(x-e)/e
則A和y軸交點(y=0代入)為O(0,0)
故OA長=OB長=√e^2+1 故B(√(e^2+1) , 0)或(-√(e^2+1) , 0)
感謝大家指正,答案應該有兩個圓

作者: BambooLotus 時間: 2021-5-10 11:14

多選第三答案應更正為ACD 圓有兩個，希望有去考的考生可以提試題疑慮，剩40分鐘

作者: Superconan 時間: 2021-5-10 13:02 標題: 回復 13# BambooLotus 的帖子

請問圓有哪兩個？

作者: czk0622 時間: 2021-5-10 14:02 標題: 回復 14# Superconan 的帖子

如圖

圖片附件: 螢幕擷取畫面 2021-05-10 140124.png (2021-5-10 14:02, 45.62 KB) / 該附件被下載次數 3381
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6008&k=cf41ae4b1027cc57d0322aaeeab34d98&t=1765134874

作者: thepiano 時間: 2021-5-10 14:17 標題: 回復 13# BambooLotus 的帖子

改成 B 點坐標為 (±√(e^2 + 1)，0) 才對

作者: ChuCH 時間: 2021-5-10 15:42 標題: 回復 8# czk0622 的帖子

請問tan這個是怎麼得來的謝謝

作者: enlighten 時間: 2021-5-10 15:46

請教第8題

作者: ChuCH 時間: 2021-5-10 16:06

8.
\(ABCDE\)為一正五邊形，令\(\Delta ABE\)為三角形\(ABE\)的面積。
試求：正五邊形\(ABCDE\)的面積與三角形\(ABE\)的面積之比值，即\(\frac{正五邊形的面積}{\Delta ABE}\)之值。

圖片附件: S__66052255.jpg (2021-5-10 16:06, 169.85 KB) / 該附件被下載次數 4189
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6009&k=133a99e483dcbf6a9bd1d4253ccf1454&t=1765134874

作者: icegoooood 時間: 2021-5-10 16:30

不好意思，小弟尚菜

想求填充2.6與多選2的解法 (複數的部分好菜..)

點了Bugmens老師的連結進去，但沒看到解法

作者: ChuCH 時間: 2021-5-10 16:49

2.
求方程式\(\root 3 \of{(10+x)^2}+\root 3 \of{(3+x)^2}=\root 3 \of{(10+x)(-3-x)}+7\)的所有解\(x\)。

圖片附件: 21049F20-C7C8-4C27-9855-5DBAC51CFADA.jpeg (2021-5-10 16:49, 1.89 MB) / 該附件被下載次數 4007
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6011&k=ea8ba86802d9ae8c6971dd8860bc8012&t=1765134874

作者: czk0622 時間: 2021-5-10 17:26 標題: 回復 17# ChuCH 的帖子

tan兩線夾角\(\displaystyle =\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\)

作者: 呆呆右 時間: 2021-5-10 19:47 標題: 多選1(E)

多選1(E)
大概能知道是考「黎曼重排定理」
可是想不出實際的例子

想請教各位老師們，協助提供實際的例子

作者: tsusy 時間: 2021-5-10 21:13 標題: 回復 23# 呆呆右的帖子

1.
下列關於數列與級數的述敘，選出正確的選項。
(A)一個數列有可能同時是等比數列也是等差數列
(B)一個數列有可能不是等比數列也不是等差數列
(C)若\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)發散，則\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{2n}\)必發散
(D)若\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，則\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{2n}\)必收斂
(E)若\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，則\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(a_{4n-3}+a_{4n-1}+a_{2n})\)必收斂
[解答]
(E) 反例
\( a_{n}=(-1)^{n+1}\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+2}} \)

\( a_{n} \) 遞減，且 \( \lim\limits _{n\to\infty}a_{n}=0 \)，因此 \( \sum\limits _{n=1}^{\infty}a_{n} \) 收斂，令 \( A=\sum\limits _{n=1}^{\infty}a_{n} \)

\( \sum\limits _{k=1}^{n}\left(a_{4k-3}+a_{4k-1}+a_{2k}\right)=\left(\sum\limits _{k=1}^{2n}a_{k}\right)+\left(\sum\limits _{k=n+1}^{2n}a_{2k-1}\right) \)

其中 \( \sum\limits _{k=1}^{2n}a_{k}\to A \), \( \sum\limits _{k=n+1}^{2n}a_{2k-1}=\sum\limits _{k=n+1}^{2n}\frac{1}{\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k+1}}=\frac{\sqrt{4n+1}-\sqrt{2n+1}}{2}=\frac{\sqrt{n}}{2}\left(\sqrt{4+\frac{1}{n}}-\sqrt{2+\frac{1}{n}}\right) \)。

因此 \( n \to \infty \) 時，\( \sum\limits _{k=1}^{n}\left(a_{4k-3}+a_{4k-1}+a_{2k}\right) \) 的極限不存在

作者: Ellipse 時間: 2021-5-10 23:55

引用:

原帖由 icegoooood 於 2021-5-10 16:30 發表
不好意思，小弟尚菜

想求填充2.6與多選2的解法 (複數的部分好菜..)

點了Bugmens老師的連結進去，但沒看到解法

多選2
2.
在複數平面上，\(z,z^2,z^3\)構成一個直角三角形的三個頂點，且\(|\;z|\;=2\)。請問下列哪些選項，可以是主輻角\(Arg(z)\)的值？
(A)\(\pi\)　(B)\(\displaystyle \frac{2\pi}{3}\)　(C)\(\displaystyle \frac{3\pi}{2}\)　(D)\(\displaystyle \frac{4\pi}{3}\)　(E)\(\displaystyle \frac{5\pi}{3}\)
[解答]
假設A點:z=2(cosθ+i*sinθ) ,B點:z² ,C點 :z^3
(1)若∠A為直角,則(z^3-z) /(z²-z)= z+1 =(2cosθ+1)+i*2sinθ
且2cosθ+1=0 ,cosθ= -1/2 ,θ=2π/3 或4π/3
(2)若∠B為直角,則(z^3-z²) /(z-z²)= -z= -2cosθ-i*2sinθ
且 -2cosθ=0 ,θ=π/2 或3π/2
(3)若∠C為直角,則(z-z^3)/(z²-z^3)= (1+z)/z =(1/z) +1 =[(1/2)cos(-θ)+1] +(1/2)sin(-θ)*i
且(1/2)cos(-θ)+1 =(1/2)cosθ+1=0 ,cosθ= -2 不合

註:當然可以把五個選項逐一代入檢驗

作者: 呆呆右 時間: 2021-5-11 00:15 標題: 回復 24# tsusy 的帖子

謝謝寸絲老師的幫忙！

作者: icegoooood 時間: 2021-5-11 17:00 標題: 謝謝各位老師~

謝謝 ChuCH老師以及Ellipse老師的解答!!!!

感激不盡~ 覺得又學到了很多技巧XD

作者: happysad 時間: 2021-5-11 21:05

請教 (17/27)(E(X)+1) 怎麼解釋? 謝謝。

引用:

原帖由 satsuki931000 於 2021-5-9 21:17 發表
計算1 考場當下不知道怎麼回事以為是要求出留到最後一人為勝利者時的猜拳次數期望值
嫌麻煩就沒算了回頭來看發現超級送分
不分勝負機率為\(\displaystyle \frac{17}{27}\)
\(\displaystyle E(X)=\frac{10}{27}+\fr ...

作者: satsuki931000 時間: 2021-5-11 21:43 標題: 回復 28# happysad 的帖子

不分勝負的話平均還要在E(X)次但因為前面有猜過一次了所以E(X)+1

作者: 呆呆右 時間: 2021-5-11 23:29

分出勝負的機率是10/27
也就是平均而言，27場會有10場分出勝負
期望值2.7場能分出勝負(也就是倒數)

不過考試我不才敢這樣寫XD

作者: Uukuokuo 時間: 2021-5-12 12:56

請問填充5??

作者: satsuki931000 時間: 2021-5-12 13:08 標題: 回復 31# Uukuokuo 的帖子

填充5.
已知\(A\)為\(\{\;1,2,\ldots,110 \}\;\)的子集合，且\(A\)中任兩個元素之和都不為6的倍數，求集合\(A\)的元素個數之最大值。
[解答]
6k有18個，6k+1，6k+2的數字各有19個
6k+3，6k+4，6k+5各有18個

取6k+1，6k+2全部的數字，再多取6k，6k+3的數字各一個，共38+2=40個

作者: happysad 時間: 2021-5-12 15:10

感謝大大的回覆~~~

引用:

原帖由 satsuki931000 於 2021-5-11 21:43 發表
不分勝負的話平均還要在E(X)次但因為前面有猜過一次了所以E(X)+1

作者: tuhunger 時間: 2021-5-16 23:16 標題: 手寫詳解

除了第一題感覺很clean外, 其它解法整理於此

圖片附件: a1.jpg (2021-5-16 23:16, 346.97 KB) / 該附件被下載次數 3300
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6016&k=b439784a744e7f04fcb0b6c5376ff743&t=1765134874

圖片附件: a2.jpg (2021-5-16 23:16, 459.03 KB) / 該附件被下載次數 3321
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6017&k=15db14be4a48c4025ee84618db844c00&t=1765134874

圖片附件: a3.jpg (2021-5-16 23:16, 403.09 KB) / 該附件被下載次數 3415
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6018&k=a6d8f9448b6380b6b09d6c2b1dc7ca63&t=1765134874

作者: tuhunger 時間: 2021-5-17 00:47 標題: 回復 1# tuhunger 的帖子

這是110北市聯招
太久沒po文，po錯地方，找不到刪除方式。板主可砍了

110.5.17版主補充
將文章合併到110台北市高中聯招

作者: anyway13 時間: 2021-5-22 22:04 標題: 請教選擇1(C),(D)的反例

板上老師好

想請問(C),(D)的反例沒查到想請問一下

作者: PDEMAN 時間: 2021-5-22 23:20 標題: 回復 36# anyway13 的帖子

下列關於數列與級數的述敘，選出正確的選項。
(A)一個數列有可能同時是等比數列也是等差數列
(B)一個數列有可能不是等比數列也不是等差數列
(C)若\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)發散，則\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{2n}\)必發散
(D)若\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，則\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{2n}\)必收斂
(E)若\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，則\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(a_{4n-3}+a_{4n-1}+a_{2n})\)必收斂
[解答]
第一題反例

圖片附件: A9F1CB59-999F-4B51-B543-801A7EE31449.jpeg (2021-5-22 23:22, 48.53 KB) / 該附件被下載次數 3079
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6025&k=d294f1cb2326c423fce101c1233b8cb9&t=1765134874

作者: anyway13 時間: 2021-5-22 23:39 標題: 回復 37# PDEMAN 的帖子

謝謝PDEMAN老師提供反例

作者: nanpolend 時間: 2021-5-26 20:59 標題: 回復 33# happysad 的帖子

補充多人平手機率算法
https://www.wincenter.com.tw/blog/teacher/paper-scissors-stone

作者: 彤仔 時間: 2021-6-3 10:43 標題: 回復 25# Ellipse 的帖子

複數的內容我也很弱，現在都不知道該如何補救
想請問老師，為何兩個複數相減並相除後，實部會為0呢? 謝謝

作者: Ellipse 時間: 2021-6-4 10:58

引用:

原帖由彤仔於 2021-6-3 10:43 發表
複數的內容我也很弱，現在都不知道該如何補救
想請問老師，為何兩個複數相減並相除後，實部會為0呢? 謝謝

假設A點:z=2(cosθ+i*sinθ) ,B點:z² ,C點 :z^3
(1)若∠A為直角,則(z^3-z) /(z²-z)= z+1 =(2cosθ+1)+i*2sinθ
且2cosθ+1=0 ,cosθ= -1/2 ,θ=2π/3 或4π/3
..................

用(1)來講解,z^3-z可以想成由A點到C點的向量, 但表法是複數,假設主輻角是θ1
z²-z想成由A到B點的向量,但表法是複數,假設主輻角是θ2
則由複數極式運算可知(z^3-z) /(z²-z) 的主輻角是θ1-θ2
此時θ1-θ2=∠ CAB =90度[ (1)的假設 ]
又設(z^3-z) /(z²-z)=k(cos90 度+i*sin90度)= k(0+i)=ki 可知實數部分為0
所以2cosθ+1=0 ..................

註:其實"最基本的公式就是最重要的",要仔細深入,反覆琢磨複數基本運算,觀念,圖形概念
達到如火純青地步就能靈活運用~

作者: 彤仔 時間: 2021-6-4 19:24 標題: 回復 41# Ellipse 的帖子

感謝老師,我懂了～～

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0