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標題: 110新北市高中聯招 [打印本頁]

作者: bugmens    時間: 2021-5-8 14:08     標題: 110新北市高中聯招



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作者: bugmens    時間: 2021-5-8 14:09

1.
在滿足\(11x^2-16xy+11y^2=1\)的實數數對\((x,y)\)中,\(x^2+y^2\)的最大可能值為何?

設x,y為實數,且滿足\( x^2+xy+y^2=6 \),若\( x^2+y^2 \)的最大值為M,最小值為m,試求M+m=?
(A) 10 (B) 12 (C) 14 (D) 16
(100全國高中聯招,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1163&page=1#pid3807)

4.
在三角形\(ABC\)中,已知\(3cosA+5sinB=6\),\(3sinA+5cosB=-1\),則\(sinC=\)?

在三角形\(ABC\)中,\(5sinA+6cosB=7\),\(6sinB+5cosA=4\),則\(sinC=\)?
(97高中數學能力競賽第二區筆試二試題,https://math.pro/db/thread-919-1-1.html)

7.
不等式\(|\;x+y|\;+|\;x+2y|\;+|\;2x+y|\;\le 8\)在\(xy-\)平面上所表示區域面積為?

滿足\(  |\; x |\;+|\; y |\;+|\; x+y-1 |\; = 1 \)的所有點\( (x,y) \)在坐標平面上所形成的區域面積為   
(102松山工農,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1655&page=1#pid8768)

坐標平面上,不等式\( |\; x |\;+|\; y |\;+|\; x+y |\; \le 2 \)所圍成之區域面積為   
(104鳳山高中,https://math.pro/db/thread-2244-1-1.html)

9.
已知一正三角形內有一點\(P\),\(P\)點到三頂點的距離分別為3、4、5,則此正三角形面積為何?

若△ABC為一正三角形,且在此三角形內部中有一點P使得\( \overline{AP}=3 \),\( \overline{BP}=4 \),\( \overline{CP}=5 \),試問此正三角形之邊長為何?
(2008TRML團體賽)

10.
用1、2、3、4這四數字排成長度為5的字串,其中1出現偶數次的字串有多少個?
(例如:22311就是其中一個,22334也是)
[提示]
\(f(n)=\frac{1}{2}(4^n+2^n)\),\(f(5)=\frac{1}{2}(4^5+2^5)=528\)

求\(0,1,2,3\)所組成的\(n-\)序列含偶數個0的序列數。
(97中山大學雙週一題,https://math.pro/db/thread-626-1-1.html)
作者: thepiano    時間: 2021-5-8 14:28

第 6 題
104 新竹女中考過類似題

設任取之三數分別是 a、b、c,其中 a < b < c
把此三數由編號小到大排成一列會產生 4 個空隙
再把剩下的 6 個數平均分配到這 4 個空隙,每個空隙是 3/2 個數
所求 = 3/2 + 1 = 5/2

第 10 題
要小心,沒有 1 的也要算進去

沒有 1:有 3^5 = 243 個
2 個 1:有 C(5,2) * 3^3 = 270 個
4 個 1:有 C(5,4) * 3 = 15 個
計 528 個
作者: 呆呆右    時間: 2021-5-8 14:36

第1題
看成中心在(0,0)的斜橢

第2題
即解一點在平面上的投影點

第3題
可知(x-3)^2為因式,且f(0)=-2,f’(0)=1
設f(x)=(x-3)^2(ax+b)
f’(x)=2(x-3)(ax+b)+(x-3)^2*a
f(0)=-2,f’(0)=1代入上面兩式
即可解得f(x)

第4題
題目的兩式個別平方再相加
依序利用平方關係、和角公式、補角關係sinC=sin(pi-(A+B))

第7題
如附圖,小心討論

請教8題

[ 本帖最後由 呆呆右 於 2021-5-8 14:42 編輯 ]

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作者: Uukuokuo    時間: 2021-5-8 14:48

填充二是(-1,4,2)????
作者: 呆呆右    時間: 2021-5-8 14:56     標題: 回復 5# Uukuokuo 的帖子

(-1,4,-2)
原始的解答打錯了
作者: 彤仔    時間: 2021-5-8 17:33

請問第十題
2個1我想成兩種狀況
1.  2同3異 : 11234。   5!/2!=60
2.  2同2同1異: 11223,11224,11332,11334,11442,11443  
    ( 5!/2!2!)*6=180
    這樣我算到240種 但是一直找不到錯在哪
作者: 呆呆右    時間: 2021-5-8 17:34     標題: 回復 7# 彤仔 的帖子

沒有1的(0個1),沒有算到

另外少了
11+3同、1111+1異 等等

[ 本帖最後由 呆呆右 於 2021-5-8 17:36 編輯 ]
作者: 彤仔    時間: 2021-5-8 20:35     標題: 回復 8# 呆呆右 的帖子

謝謝解答!

想請教填充1和8   謝謝
作者: Ellipse    時間: 2021-5-8 21:09     標題: 回復 1# bugmens 的帖子

這張也有很多考古題(出題老師命題費真好賺)
那個這幾年常關心新北高中聯招考題的教授,應該不會再出來發表意見了
因為這次聯招會可能不敢再找他們命題(去年有一半以上比例都出連續某幾年北X區能力競賽題目)

填充1:
至少4種以上做法,其中一種方法如下
令x²+y²=A ,則xy=(11A-1)/16
(x-y)²=x²+y²-2xy=A-2(11A-1)/16= (-3A+1)/8 ≧0
-3A+1≧0 , A≦ 1/3
其他想法請多思考喔

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2021-5-8 21:20 編輯 ]
作者: laylay    時間: 2021-5-8 21:21     標題: 回復 9# 彤仔 的帖子

填充1.
令   s=x+y   , t=xy ,則 s^2-4t=(x-y)^2>=0 => s^2>=4t
原式=>   11(s^2-2t)-16t=1  => 38t+1=11(s^2)>=11(4t)  =>  t<=1/6
x^2+y^2=(16t+1)/11<=1/3...此為最大值,此時 x=y=+-1/ ㄏ6


填充8.
由四複數和=0 以及四複數平方和為正實數可知此四複數輻角為  -a,a,PI-a,PI+a (a為銳角) ,
四複數平方和=4cos(2a)=1 =>cos(2a)=1/4
所求=4*sina*cosa=2sin(2a)=(ㄏ15)/2

[ 本帖最後由 laylay 於 2021-5-8 22:30 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2021-5-8 21:22     標題: 回復 9# 彤仔 的帖子

第 1 題
再提供另一解法
11x^2 - 16xy + 11y^2 = 1 旋轉 45 度,可得 x^2 / (1/3) + y^2 / (1/19) = 1
所求 = 1/3

第 8 題
只有我覺得條件不夠嗎?
作者: matsunaga2034    時間: 2021-5-8 22:06     標題: 回復 12# thepiano 的帖子

第8題條件其實夠了
因為S1=0 假設其中一個點是 a+bi 則4的點依序為  -a+bi -a-bi a-bi
又S2=1 => 4(a^2-b^2)=1 => a^2-b^2=1/4 另外單位圓上 a^2+b^2=1
所以 a^2=5/8 b^2=3/8
a= 根號10 / 4  b=根號6 / 4 四邊形面積= 4ab = 根號15 / 2
作者: 呆呆右    時間: 2021-5-8 22:23     標題: 回復 13# matsunaga2034 的帖子

請問是先當成擺正的矩形,以特例求解嗎?
一般而言,四個點的分佈,感覺沒有那麼完美
作者: 呆呆右    時間: 2021-5-8 22:27

第一題,拉格朗日乘子法
其實就是會解出長軸、短軸
一者為x+y=0,另一者為x-y=0
(可知會是偏掉45度的橢圓)

[ 本帖最後由 呆呆右 於 2021-5-8 22:33 編輯 ]

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作者: laylay    時間: 2021-5-8 22:39     標題: 回復 14# 呆呆右 的帖子

當四複數和為0時可知 (z3+z4)=-(z1+z2),從向量的觀點去看便可知此四邊形一定是斜的或平的矩形,
但平方和為正實數時,那麼此四邊形就只能是平的矩形了.

[ 本帖最後由 laylay 於 2021-5-8 22:52 編輯 ]
作者: 呆呆右    時間: 2021-5-8 22:43     標題: 回復 16# laylay 的帖子

知道了,我會試著思考原因的!
作者: thepiano    時間: 2021-5-8 22:50     標題: 回復 13# matsunaga2034 的帖子

您的假設真漂亮,小弟想不到啊,受教了
作者: 5pn3gp6    時間: 2021-5-8 22:55

引用:
原帖由 呆呆右 於 2021-5-8 22:23 發表
請問是先當成擺正的矩形,以特例求解嗎?
一般而言,四個點的分佈,感覺沒有那麼完美
如果還是不行,也可以參考這樣的做法
想法跟matsunaga2034老師是類似的

阿對了,圖形隨意畫的,當作示意圖參考就好

[ 本帖最後由 5pn3gp6 於 2021-5-8 22:56 編輯 ]

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作者: tsusy    時間: 2021-5-8 22:56     標題: 回復 13# matsunaga2034 的帖子

填充 8. 條件應該是夠的,但這件事沒有這麼顯然?
(1) 此四邊形為矩形:
把複數 \( x + yi (x,y \in \mathbb R) \) 對應成向量 \( (x,y) \)

則 \( z_1 + z_2 + z_3 + z_4 \) 對應向量加法的圖形是一個邊長為 1 的菱形。

再把向量的起點,移至原點,可得四個向量的終點 (原 \( z_i \) 的位置) 恰為矩形(或正方形)的四個頂點

(2) \( S_2 \) 並非旋轉不變量,因而不能透過旋轉而不失一般性假設矩形的邊形和坐標軸平行。

利用虛部為 \( S_2 \) 的虛部為 0,可論證出正方形或邊長與坐標軸平行的矩形,

前者正方形與 \( S_1 = 0 \) 矛盾,後者與 13# 的假設相同
作者: Superconan    時間: 2021-5-8 23:47

引用:
原帖由 Uukuokuo 於 2021-5-8 14:48 發表
填充二是(-1,4,2)????
官網已公告答案修正


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作者: laylay    時間: 2021-5-9 08:01     標題: 填充6.

他們給的答案是 5/2 是三數相異時的期望值,
此期望值=1/C( 9,3)*[1*C(8,2)+2*C(7,2)+3*C(6,2)+...+7*C(2,2)]
              =1/C( 9,3)*{[C(8,2)+C(7,2)+C(6,2)+...+C(2,2)]+[C(7,2)+C(6,2)+...+C(2,2)]+...+[C(2,2)]}
              =1/C( 9,3)*{C(9,3)+C(8,3)+C(7,3)+...+C(3,3)}
              =1/C( 9,3)*{C(10,4)}=10/4=5/2
可是題目只說從1--9 隨機取三數,求 E(最小數)
故所求=1/9^3*[1*(9^3-8^3)+2*(8^3-7^3)+3*(7^3-6^3)+........+8*(2^3-1^3)+9*1]
           =1/9^3*(1^3+2^3+.....+9^3)
           =1/9^3*(1+2+....+9)^2=25/9   才對
本題改考1--99  取3數 並分相異跟可重複兩個狀況較好,這樣就不能硬算.

[ 本帖最後由 laylay 於 2021-5-9 09:43 編輯 ]
作者: laylay    時間: 2021-5-9 09:04     標題: 回復 4# 呆呆右 的帖子

填充7.
由原式易知圖對稱原點,所以只需在過原點的半平面2x+y>=0 上討論求面積再兩倍即可.....
當x+2y>=0, x+y>=0  時  得4x+4y<=8   =>  x+y<=2
當x+2y<=0, x+y>=0  時  得x<=4
當x+2y<=0, x+y<=0  時  得y>=-4
此時得四邊形其面積為1/2* |   2,   4 , 4 ,-2 , 2 |=1/2*[(-8-8+16+8)-(-16-16+4+8)]=14
                                            | -4,   -4 ,-2 ,4 ,-4 |
故所求=14*2=28

[ 本帖最後由 laylay 於 2021-5-9 09:21 編輯 ]
作者: 呆呆右    時間: 2021-5-9 09:34     標題: 回復 22# laylay 的帖子

題目確實應該要說
從1,2,...,9中,「隨機取出『相異』三數」
比較完整

但是「隨機取出三數」
語意上蠻自然會理解成,C(9,3),然後使用古典機率
否則前面說的「隨機」,反而變得意義不明。
作者: matsunaga2034    時間: 2021-5-9 09:43     標題: 回復 18# thepiano 的帖子

我考試時也沒想到.... 考完發現 題目都會寫 但時間不夠用XDDD
作者: icegoooood    時間: 2021-5-16 21:21

求各位大佬填充9.10解法 ><

10我怎麼才解300多組...

想了一陣子還是沒解出來

[ 本帖最後由 icegoooood 於 2021-5-16 21:25 編輯 ]
作者: Ellipse    時間: 2021-5-16 22:21

引用:
原帖由 icegoooood 於 2021-5-16 21:21 發表
求各位大佬填充9.10解法 ><

10我怎麼才解300多組...

想了一陣子還是沒解出來
填充9:
這個已經是"化石"等級的題目了
我最早看到這題是在民92年
之後到今年的教甄題,這題已出現過無數次了
以下是一個解題的視頻
https://www.doubtnut.com/questio ... -then-find-a-297467

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2021-5-16 22:30 編輯 ]
作者: czk0622    時間: 2021-5-16 23:43     標題: 回復 26# icegoooood 的帖子

填充10.
\(0\) 個\(1\) : \(3^5=243\)
\(2\) 個\(1\) 分 \(11AAA、11AAB、11234\) 三型
\(11AAA\) : \(\displaystyle C^{3}_{1}\times \frac{5!}{2!3!}=30\)
\(11AAB\) : \(\displaystyle C^{3}_{2}\times 2! \times \frac{5!}{2!2!}=180\)
\(11234\)  : \( \frac{5!}{2!}=60\)
\(4\) 個\(1\) 分 \(1111A\) 一型
\(1111A\) : \(\displaystyle C^{3}_{1}\times \frac{5!}{4!}=15\)
所以共:\(243+30+180+60+15=528\)

[ 本帖最後由 czk0622 於 2021-5-17 12:47 編輯 ]
作者: tsusy    時間: 2021-5-17 10:33     標題: 回復 27# Ellipse 的帖子

填充 9.
化石等級,已濃縮到一行速算
\( \frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}(3^{2}+4^{2}+5^{2})}{4}+3\cdot\frac{1}{2}\cdot3\cdot4)=9+\frac{25\sqrt{3}}{4} \)

作法也是轉,但我的是內部三個都轉出去。
作者: icegoooood    時間: 2021-5-17 12:01     標題: 都搞定了~ 謝謝

在此謝謝
Ellipse
czk0622
寸絲老師們的解法以及想法~

感激不盡><~     兩題都弄懂了~
作者: eggsu1026    時間: 2021-5-22 10:29

第 8 題

圖片附件: 97868.jpg (2021-5-22 10:29, 664.1 KB) / 該附件被下載次數 150
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6022&k=f29a3733c6bb70e4260afb982f9b162d&t=1628030657


作者: happysad    時間: 2021-5-23 21:09

鋼琴大大您好:
請問最後一行:3/2 + 1 是什麼意思?

[quote]原帖由 thepiano 於 2021-5-8 14:28 發表
第 6 題
104 新竹女中考過類似題

設任取之三數分別是 a、b、c,其中 a < b < c
把此三數由編號小到大排成一列會產生 4 個空隙
再把剩下的 6 個數平均分配到這 4 個空隙,每個空隙是 3/2 個數
所求 = 3/2 + 1 = 5/2
作者: thepiano    時間: 2021-5-23 22:32     標題: 回復 32# happysad 的帖子

1 個空隙的平均數加上 1 個最小的數
作者: happysad    時間: 2021-5-23 22:49

謝謝大大的答覆。
但我不懂之處,在於 3/2 +1 = 5/2 (個數)  算是數字的"個數",而題目求得是"最小數"  這兩個可以看成相同的意義嗎?  為何意義相同?
引用:
原帖由 thepiano 於 2021-5-23 22:32 發表
1 個空隙的平均數加上 1 個最小的數

作者: thepiano    時間: 2021-5-24 08:18     標題: 回復 34# happysad 的帖子

想像成 1 ~ 9 這 9 個數字由小到大排成一列去取 3 個
作者: happysad    時間: 2021-5-24 13:53

謝謝大大的回覆~~~
引用:
原帖由 thepiano 於 2021-5-24 08:18 發表
想像成 1 ~ 9 這 9 個數字由小到大排成一列去取 3 個

作者: jackyxul4    時間: 2021-7-5 11:14

計算第一題,答案應該無誤= =

自己多想了的部分不影響最後答案

直線B,C應該是相異兩點B,C,因此當B點的y坐標\( y=-1\pm \frac{1}{2}\sqrt{2}\)的情況,會使得B、C同一解

但是B為某個其他點時,會使得C點的y坐標\( y=-1\pm \frac{1}{2}\sqrt{2}\),因此C的範圍是正確的

(如果題目改問B的範圍,那就是y為實數且\( y\neq -1\pm \frac{1}{2}\sqrt{2}、2\)

[ 本帖最後由 jackyxul4 於 2021-7-7 09:22 編輯 ]

圖片附件: 10151c.gif (2021-7-5 12:13, 1.57 MB) / 該附件被下載次數 30
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作者: jackyxul4    時間: 2021-7-5 11:45

計算2(b)的官方詳解,第二式應該是\((\frac{x}{z})a+(-1)b+(\frac{z}{x})c\),連同下面行列式值也打錯
作者: tuhunger    時間: 2021-7-21 15:01     標題: 填充1

試題多,來點速解法 (剛剛看了,類似綱琴老師的解法)
這種題目常出現在斜45度橢圓 , (x,y)設(t,t)和(t,-t)下去解最快

圖片附件: 未命名.png (2021-7-21 15:01, 39.98 KB) / 該附件被下載次數 13
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6064&k=012c87c978ce016053b9cdd81b777404&t=1628030657






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