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標題: 110新北市高中聯招 [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2021-5-8 14:08 標題: 110新北市高中聯招

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附件: 110新北市高中聯招答案.pdf (2021-5-8 14:08, 181.9 KB) / 該附件被下載次數 6822
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作者: bugmens 時間: 2021-5-8 14:09

1.
在滿足\(11x^2-16xy+11y^2=1\)的實數數對\((x,y)\)中，\(x^2+y^2\)的最大可能值為何？

設x,y為實數，且滿足\( x^2+xy+y^2=6 \)，若\( x^2+y^2 \)的最大值為M，最小值為m，試求M+m=？
(A) 10　(B) 12　(C) 14　(D) 16
(100全國高中聯招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1163&page=1#pid3807)

4.
在三角形\(ABC\)中，已知\(3cosA+5sinB=6\)，\(3sinA+5cosB=-1\)，則\(sinC=\)？

在三角形\(ABC\)中，\(5sinA+6cosB=7\)，\(6sinB+5cosA=4\)，則\(sinC=\)？
(97高中數學能力競賽第二區筆試二試題，https://math.pro/db/thread-919-1-1.html)

7.
不等式\(|\;x+y|\;+|\;x+2y|\;+|\;2x+y|\;\le 8\)在\(xy-\)平面上所表示區域面積為？

滿足\( |\; x |\;+|\; y |\;+|\; x+y-1 |\; = 1 \)的所有點\( (x,y) \)在坐標平面上所形成的區域面積為　　　。
(102松山工農，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1655&page=1#pid8768)

坐標平面上，不等式\( |\; x |\;+|\; y |\;+|\; x+y |\; \le 2 \)所圍成之區域面積為　　　。
(104鳳山高中，https://math.pro/db/thread-2244-1-1.html)

9.
已知一正三角形內有一點\(P\)，\(P\)點到三頂點的距離分別為3、4、5，則此正三角形面積為何？

若△ABC為一正三角形，且在此三角形內部中有一點P使得\( \overline{AP}=3 \)，\( \overline{BP}=4 \)，\( \overline{CP}=5 \)，試問此正三角形之邊長為何？
(2008TRML團體賽)

10.
用1、2、3、4這四數字排成長度為5的字串，其中1出現偶數次的字串有多少個？
(例如：22311就是其中一個，22334也是)
[提示]
\(f(n)=\frac{1}{2}(4^n+2^n)\)，\(f(5)=\frac{1}{2}(4^5+2^5)=528\)

求\(0,1,2,3\)所組成的\(n-\)序列含偶數個0的序列數。
(97中山大學雙週一題，https://math.pro/db/thread-626-1-1.html)

作者: thepiano 時間: 2021-5-8 14:28

第 6 題
104 新竹女中考過類似題

設任取之三數分別是 a、b、c，其中 a < b < c
把此三數由編號小到大排成一列會產生 4 個空隙
再把剩下的 6 個數平均分配到這 4 個空隙，每個空隙是 3/2 個數
所求 = 3/2 + 1 = 5/2

第 10 題
要小心，沒有 1 的也要算進去

沒有 1：有 3^5 = 243 個
2 個 1：有 C(5，2) * 3^3 = 270 個
4 個 1：有 C(5，4) * 3 = 15 個
計 528 個

作者: 呆呆右 時間: 2021-5-8 14:36

第1題
看成中心在(0,0)的斜橢

第2題
即解一點在平面上的投影點

第3題
可知(x-3)^2為因式，且f(0)=-2,f’(0)=1
設f(x)=(x-3)^2(ax+b)
f’(x)=2(x-3)(ax+b)+(x-3)^2*a
f(0)=-2,f’(0)=1代入上面兩式
即可解得f(x)

第4題
題目的兩式個別平方再相加
依序利用平方關係、和角公式、補角關係sinC=sin(pi-(A+B))

第7題
如附圖，小心討論

請教8題

[ 本帖最後由呆呆右於 2021-5-8 14:42 編輯 ]

圖片附件: 40AB4B65-2978-4995-AD81-8F791A51E3D1.png (2021-5-8 14:41, 454.19 KB) / 該附件被下載次數 3997
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作者: Uukuokuo 時間: 2021-5-8 14:48

填充二是(-1,4,2)????

作者: 呆呆右 時間: 2021-5-8 14:56 標題: 回復 5# Uukuokuo 的帖子

(-1,4,-2)
原始的解答打錯了

作者: 彤仔 時間: 2021-5-8 17:33

請問第十題
2個1我想成兩種狀況
1. 2同3異： 11234。 5！/2！=60
2. 2同2同1異： 11223，11224，11332，11334，11442，11443
（ 5！/2！2！）*6=180
這樣我算到240種但是一直找不到錯在哪

作者: 呆呆右 時間: 2021-5-8 17:34 標題: 回復 7# 彤仔的帖子

沒有1的(0個1)，沒有算到

另外少了
11+3同、1111+1異等等

[ 本帖最後由呆呆右於 2021-5-8 17:36 編輯 ]

作者: 彤仔 時間: 2021-5-8 20:35 標題: 回復 8# 呆呆右的帖子

謝謝解答!

想請教填充1和8 謝謝

作者: Ellipse 時間: 2021-5-8 21:09 標題: 回復 1# bugmens 的帖子

這張也有很多考古題(出題老師命題費真好賺)
那個這幾年常關心新北高中聯招考題的教授,應該不會再出來發表意見了
因為這次聯招會可能不敢再找他們命題(去年有一半以上比例都出連續某幾年北X區能力競賽題目)

填充1:
至少4種以上做法，其中一種方法如下
令x²+y²=A ,則xy=(11A-1)/16
(x-y)²=x²+y²-2xy=A-2(11A-1)/16= (-3A+1)/8 ≧0
-3A+1≧0 , A≦ 1/3
其他想法請多思考喔

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2021-5-8 21:20 編輯 ]

作者: laylay 時間: 2021-5-8 21:21 標題: 回復 9# 彤仔的帖子

填充1.
令 s=x+y , t=xy ,則 s^2-4t=(x-y)^2>=0 => s^2>=4t
原式=> 11(s^2-2t)-16t=1 => 38t+1=11(s^2)>=11(4t) => t<=1/6
x^2+y^2=(16t+1)/11<=1/3...此為最大值,此時 x=y=+-1/ ㄏ6

填充8.
由四複數和=0 以及四複數平方和為正實數可知此四複數輻角為 -a,a,PI-a,PI+a (a為銳角) ,
四複數平方和=4cos(2a)=1 =>cos(2a)=1/4
所求=4*sina*cosa=2sin(2a)=(ㄏ15)/2

[ 本帖最後由 laylay 於 2021-5-8 22:30 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2021-5-8 21:22 標題: 回復 9# 彤仔的帖子

第 1 題
再提供另一解法
11x^2 - 16xy + 11y^2 = 1 旋轉 45 度，可得 x^2 / (1/3) + y^2 / (1/19) = 1
所求 = 1/3

第 8 題
只有我覺得條件不夠嗎？

作者: matsunaga2034 時間: 2021-5-8 22:06 標題: 回復 12# thepiano 的帖子

第8題條件其實夠了
因為S1=0 假設其中一個點是 a+bi 則4的點依序為 -a+bi -a-bi a-bi
又S2=1 => 4(a^2-b^2)=1 => a^2-b^2=1/4 另外單位圓上 a^2+b^2=1
所以 a^2=5/8 b^2=3/8
a= 根號10 / 4 b=根號6 / 4 四邊形面積= 4ab = 根號15 / 2

作者: 呆呆右 時間: 2021-5-8 22:23 標題: 回復 13# matsunaga2034 的帖子

請問是先當成擺正的矩形，以特例求解嗎？
一般而言，四個點的分佈，感覺沒有那麼完美

作者: 呆呆右 時間: 2021-5-8 22:27

第一題，拉格朗日乘子法
其實就是會解出長軸、短軸
一者為x+y=0,另一者為x-y=0
(可知會是偏掉45度的橢圓)

[ 本帖最後由呆呆右於 2021-5-8 22:33 編輯 ]

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作者: laylay 時間: 2021-5-8 22:39 標題: 回復 14# 呆呆右的帖子

當四複數和為0時可知 (z3+z4)=-(z1+z2),從向量的觀點去看便可知此四邊形一定是斜的或平的矩形,
但平方和為正實數時,那麼此四邊形就只能是平的矩形了.

[ 本帖最後由 laylay 於 2021-5-8 22:52 編輯 ]

作者: 呆呆右 時間: 2021-5-8 22:43 標題: 回復 16# laylay 的帖子

知道了，我會試著思考原因的！

作者: thepiano 時間: 2021-5-8 22:50 標題: 回復 13# matsunaga2034 的帖子

您的假設真漂亮，小弟想不到啊，受教了

作者: 5pn3gp6 時間: 2021-5-8 22:55

引用:

原帖由 呆呆右 於 2021-5-8 22:23 發表
請問是先當成擺正的矩形，以特例求解嗎？
一般而言，四個點的分佈，感覺沒有那麼完美

如果還是不行，也可以參考這樣的做法
想法跟matsunaga2034老師是類似的

阿對了，圖形隨意畫的，當作示意圖參考就好

[ 本帖最後由 5pn3gp6 於 2021-5-8 22:56 編輯 ]

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作者: tsusy 時間: 2021-5-8 22:56 標題: 回復 13# matsunaga2034 的帖子

填充 8. 條件應該是夠的，但這件事沒有這麼顯然?
(1) 此四邊形為矩形：
把複數 \( x + yi (x,y \in \mathbb R) \) 對應成向量 \( (x,y) \)

則 \( z_1 + z_2 + z_3 + z_4 \) 對應向量加法的圖形是一個邊長為 1 的菱形。

再把向量的起點，移至原點，可得四個向量的終點 (原 \( z_i \) 的位置) 恰為矩形(或正方形)的四個頂點

(2) \( S_2 \) 並非旋轉不變量，因而不能透過旋轉而不失一般性假設矩形的邊形和坐標軸平行。

利用虛部為 \( S_2 \) 的虛部為 0，可論證出正方形或邊長與坐標軸平行的矩形，

前者正方形與 \( S_1 = 0 \) 矛盾，後者與 13# 的假設相同

作者: Superconan 時間: 2021-5-8 23:47

引用:

原帖由 Uukuokuo 於 2021-5-8 14:48 發表
填充二是(-1,4,2)????

官網已公告答案修正

圖片附件: 110.05.08數學科答案修正.PNG (2021-5-8 23:47, 114.45 KB) / 該附件被下載次數 3210
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作者: laylay 時間: 2021-5-9 08:01 標題: 填充6.

他們給的答案是 5/2 是三數相異時的期望值,
此期望值=1/C( 9,3)*[1*C(8,2)+2*C(7,2)+3*C(6,2)+...+7*C(2,2)]
            =1/C( 9,3)*{[C(8,2)+C(7,2)+C(6,2)+...+C(2,2)]+[C(7,2)+C(6,2)+...+C(2,2)]+...+[C(2,2)]}
            =1/C( 9,3)*{C(9,3)+C(8,3)+C(7,3)+...+C(3,3)}
            =1/C( 9,3)*{C(10,4)}=10/4=5/2
可是題目只說從1--9 隨機取三數,求 E(最小數)
故所求=1/9^3*[1*(9^3-8^3)+2*(8^3-7^3)+3*(7^3-6^3)+........+8*(2^3-1^3)+9*1]
         =1/9^3*(1^3+2^3+.....+9^3)
         =1/9^3*(1+2+....+9)^2=25/9 才對
本題改考1--99  取3數並分相異跟可重複兩個狀況較好,這樣就不能硬算.

[ 本帖最後由 laylay 於 2021-5-9 09:43 編輯 ]

作者: laylay 時間: 2021-5-9 09:04 標題: 回復 4# 呆呆右的帖子

填充7.
由原式易知圖對稱原點,所以只需在過原點的半平面2x+y>=0 上討論求面積再兩倍即可.....
當x+2y>=0, x+y>=0  時  得4x+4y<=8 =>  x+y<=2
當x+2y<=0, x+y>=0  時  得x<=4
當x+2y<=0, x+y<=0  時  得y>=-4
此時得四邊形其面積為1/2* | 2, 4 , 4 ,-2 , 2 |=1/2*[(-8-8+16+8)-(-16-16+4+8)]=14
                                          | -4, -4 ,-2 ,4 ,-4 |
故所求=14*2=28

[ 本帖最後由 laylay 於 2021-5-9 09:21 編輯 ]

作者: 呆呆右 時間: 2021-5-9 09:34 標題: 回復 22# laylay 的帖子

題目確實應該要說
從1，2，...，9中，「隨機取出『相異』三數」
比較完整

但是「隨機取出三數」
語意上蠻自然會理解成，C(9,3)，然後使用古典機率
否則前面說的「隨機」，反而變得意義不明。

作者: matsunaga2034 時間: 2021-5-9 09:43 標題: 回復 18# thepiano 的帖子

我考試時也沒想到.... 考完發現題目都會寫但時間不夠用XDDD

作者: icegoooood 時間: 2021-5-16 21:21

求各位大佬填充9.10解法 ><

10我怎麼才解300多組...

想了一陣子還是沒解出來

[ 本帖最後由 icegoooood 於 2021-5-16 21:25 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2021-5-16 22:21

引用:

原帖由 icegoooood 於 2021-5-16 21:21 發表
求各位大佬填充9.10解法 ><

10我怎麼才解300多組...

想了一陣子還是沒解出來

填充9:
這個已經是"化石"等級的題目了
我最早看到這題是在民92年
之後到今年的教甄題,這題已出現過無數次了
以下是一個解題的視頻
https://www.doubtnut.com/questio ... -then-find-a-297467

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2021-5-16 22:30 編輯 ]

作者: czk0622 時間: 2021-5-16 23:43 標題: 回復 26# icegoooood 的帖子

填充10.
\(0\) 個\(1\) : \(3^5=243\)
\(2\) 個\(1\) 分 \(11AAA、11AAB、11234\) 三型
\(11AAA\) : \(\displaystyle C^{3}_{1}\times \frac{5!}{2!3!}=30\)
\(11AAB\) : \(\displaystyle C^{3}_{2}\times 2! \times \frac{5!}{2!2!}=180\)
\(11234\) : \( \frac{5!}{2!}=60\)
\(4\) 個\(1\) 分 \(1111A\) 一型
\(1111A\) : \(\displaystyle C^{3}_{1}\times \frac{5!}{4!}=15\)
所以共:\(243+30+180+60+15=528\)

[ 本帖最後由 czk0622 於 2021-5-17 12:47 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2021-5-17 10:33 標題: 回復 27# Ellipse 的帖子

填充 9.
化石等級，已濃縮到一行速算
\( \frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}(3^{2}+4^{2}+5^{2})}{4}+3\cdot\frac{1}{2}\cdot3\cdot4)=9+\frac{25\sqrt{3}}{4} \)

作法也是轉，但我的是內部三個都轉出去。

作者: icegoooood 時間: 2021-5-17 12:01 標題: 都搞定了~ 謝謝

在此謝謝
Ellipse
czk0622
寸絲老師們的解法以及想法~

感激不盡><~ 兩題都弄懂了~

作者: eggsu1026 時間: 2021-5-22 10:29

第 8 題

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作者: happysad 時間: 2021-5-23 21:09

鋼琴大大您好:
請問最後一行:3/2 + 1 是什麼意思?

[quote]原帖由 thepiano 於 2021-5-8 14:28 發表

第 6 題
104 新竹女中考過類似題

設任取之三數分別是 a、b、c，其中 a < b < c
把此三數由編號小到大排成一列會產生 4 個空隙
再把剩下的 6 個數平均分配到這 4 個空隙，每個空隙是 3/2 個數
所求 = 3/2 + 1 = 5/2

作者: thepiano 時間: 2021-5-23 22:32 標題: 回復 32# happysad 的帖子

1 個空隙的平均數加上 1 個最小的數

作者: happysad 時間: 2021-5-23 22:49

謝謝大大的答覆。
但我不懂之處，在於 3/2 +1 = 5/2 (個數) 算是數字的"個數"，而題目求得是"最小數" 這兩個可以看成相同的意義嗎? 為何意義相同?

引用:

原帖由 thepiano 於 2021-5-23 22:32 發表
1 個空隙的平均數加上 1 個最小的數

作者: thepiano 時間: 2021-5-24 08:18 標題: 回復 34# happysad 的帖子

想像成 1 ~ 9 這 9 個數字由小到大排成一列去取 3 個

作者: happysad 時間: 2021-5-24 13:53

謝謝大大的回覆~~~

引用:

原帖由 thepiano 於 2021-5-24 08:18 發表
想像成 1 ~ 9 這 9 個數字由小到大排成一列去取 3 個

作者: jackyxul4 時間: 2021-7-5 11:14

計算第一題，答案應該無誤= =

自己多想了的部分不影響最後答案

直線B,C應該是相異兩點B,C，因此當B點的y坐標\( y=-1\pm \frac{1}{2}\sqrt{2}\)的情況，會使得B、C同一解

但是B為某個其他點時，會使得C點的y坐標\( y=-1\pm \frac{1}{2}\sqrt{2}\)，因此C的範圍是正確的

(如果題目改問B的範圍，那就是y為實數且\( y\neq -1\pm \frac{1}{2}\sqrt{2}、2\)

[ 本帖最後由 jackyxul4 於 2021-7-7 09:22 編輯 ]

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作者: jackyxul4 時間: 2021-7-5 11:45

計算2(b)的官方詳解，第二式應該是\((\frac{x}{z})a+(-1)b+(\frac{z}{x})c\)，連同下面行列式值也打錯

作者: tuhunger 時間: 2021-7-21 15:01 標題: 填充1

試題多,來點速解法 (剛剛看了,類似綱琴老師的解法)
這種題目常出現在斜45度橢圓 , (x,y)設(t,t)和(t,-t)下去解最快

圖片附件: 未命名.png (2021-7-21 15:01, 39.98 KB) / 該附件被下載次數 2180
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6064&k=c3bde950475d57455a88a6f576618825&t=1732278128

作者: nnkuokuo 時間: 2022-3-9 11:45 標題: 回復 3# thepiano 的帖子

請教老師為什麼可以這樣看，還有最後+1

作者: thepiano 時間: 2022-3-9 12:57 標題: 回復 40# nnkuokuo 的帖子

期望值其實等同平均的概念

平均每個空隙是 3/2 個數，即第 1 個空隙是 3/2 個數，再加 1，即可取到最小數

作者: nnkuokuo 時間: 2022-3-9 14:04 標題: 回復 41# thepiano 的帖子

我在前面文看了很久，真的很難理解，我目前有比較懂，謝謝老師

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