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標題: 110竹科實中 [打印本頁]

作者: flyinsky218    時間: 2021-4-26 14:42     標題: 110竹科實中

只記得少少幾題,希望大家可以幫忙補齊,沒有按照順序

填充8格
1. {1,2,3,...,2021}的子集合中,元素和為奇數的集合個數?
2.一個邊長為2的正立方體,一面上色後再分割為8個邊長為1的正立方體,將8個小正立方體重新拼成邊長2的正立方體,六面都沒有顏色的機率是多少?

計算7題
A.三角形ABC面積為1/4,外接圓半徑為1,abc為三角形三邊長。證明:1/a +1/b + 1/c > sqrt{a}+sqrt{b}+sqrt{c}
G.三個單位圓在三條線上移動,所交集的體積
H.

附件: 110竹科實中題目.pdf (2021-5-24 23:07, 390.51 KB) / 該附件被下載次數 681
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6028&k=16426440828346bbd7d60694377728d6&t=1632635003

附件: 110竹科實中答案.pdf (2021-5-24 23:07, 285.45 KB) / 該附件被下載次數 545
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6029&k=7c0f245f7045c974b49b78e5bb1a22fb&t=1632635003
作者: bugmens    時間: 2021-4-26 15:55

1.
已知一單位圓圓\(O\),且\(\Delta ABC\)為圓\(O\)之內接正三角形。若\(P\)為圓\(O\)上一動點,則\(\overline{PA}\times\overline{PB}\times \overline{PC}\)的最大值為何?
連結有解答
(101武陵高中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1371&page=1#pid5727\)

2.
已知集合\(S=\{\;1,2,3,\ldots,2021 \}\;\),試求:\(S\)的子集合中,元素和是奇數的集合有多少?

已知集合\(S=\{\;1,2,3,\ldots,2018 \}\;\)的子集合共有\(2^{2018}\)個。試求:
(1)\(S\)的子集合中,包含\(1,2,3,4,5\)中至少三個數的集合有多少個?
(2)\(S\)的子集合中,元素和是奇數的集合有多少個?
(107台灣師大申請入學筆試一試題,https://math.pro/db/thread-3090-1-1.html)

8.
已知一個等腰三角形\(ABC\),其中\(\overline{AB}=\overline{AC}=10\),\(\overline{BC}=2\sqrt{5}\),今依序在\(\overline{BC}\)、\(\overline{AC}\)、\(\overline{AB}\)上取各邊中點\(D\)、\(E\)、\(F\),分別將\(\Delta AEF\)、\(\Delta BDF\)、\(\Delta CDE\)沿著\(\overline{EF}\)、\(\overline{DF}\)、\(\overline{DE}\)折起來,使\(A\)、\(B\)、\(C\)三點重合在\(P\)點形成一個四面體\(P-DEF\),則此四面體\(P-DEF\)的體積為   
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=929&page=1#pid1991

D、
已知\(\Delta ABC\)的面積是\(\displaystyle \frac{1}{4}\),其外接圓半徑為1,且\(a,b,c\)為\(\Delta ABC\)的三邊長,試證:\(\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}>\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)。
(高中數學競賽教程P136)

F、
在空間中有三條直線:\(L_1\):\(\cases{x=t \cr y=0\cr z=0},t\in R\),\(L_2\):\(\cases{x=k \cr y=\sqrt{3}k \cr z=0},k\in R\),\(L_3\):\(\cases{x=s \cr y=-\sqrt{3}s\cr z=0},s\in R\),以及三顆半徑為1的球,其球心分別為\(P\)、\(Q\)、\(R\),今使\(P\)在\(L_1\)上移動,\(Q\)在\(L_2\)上移動,\(R\)在\(L_3\)上移動,試問三顆球所經區域,其交集部分的體積為   

三個單位圓在三條線上移動,所交集的體積
不知道是不是這題
https://math.pro/db/thread-2927-1-1.html
作者: kyle12312    時間: 2021-4-27 11:31     標題: 回復 1# flyinsky218 的帖子

小弟幫忙貢獻一下記得的,數字有點忘記
填充
3.An=2^(n-1),Bn為logAn、logAn+1(log底數2)的等差中項,求sigma(-1)^k*(Bk)^2,(k=1~2n)
6.(Sn)^2=sigma(An)^3,求A1+A2+...+A109
8.等腰三角形,摺起來算四面體體積(類似:寸斯518)
計算
A.一直線過(0,0,0)、(1,1,1),且與平面(題目有給)的夾角costheta為1/6,求此平面
B.雙曲線(題目有給),焦點F1、F2,通過F2焦弦與雙曲線交AB兩點,問F1 A B為成三角形面積最小值,並證明
E.0、Z、1/Z、Z+1/Z圍成的平行四邊形,面積為(考試有給),d=z+1/z最小值,求d^2
G.小明要跟爸媽對戰三局,爸比媽棋藝高,小明必須要連勝兩局才算獲勝,小明策略是先跟媽媽下,請問此舉動明智嗎?
H.冰淇淋甜筒的圖形(拜託其他老師附上圖形支援),用正弦算sintheta
作者: kyle12312    時間: 2021-4-27 11:36     標題: 回復 2# bugmens 的帖子

只記得這題是求三球柱相交體積,可是三球柱並不是兩兩垂直
作者: Superconan    時間: 2021-5-24 12:30

學校公告試題和答案了,不知道為何檔案上傳後,名稱變成亂碼

110.05.24版主補充
將題目移到第一篇文章
作者: satsuki931000    時間: 2021-5-24 23:43

以下提供計算題小弟有算的答案 有錯還請不吝指教

A.\(\displaystyle E:13x-11y-2z=0\)或\(2x-y-z=0\)

B.最小值\(\displaystyle \frac{45}{2}\)

C.\(\displaystyle d^2\geq \frac{50}{37}\) (感謝寸斯老師糾正)

D.\(abc=1\)且\(a,b,c\)不完全相等,算幾即可證明出來

E.否

G.\(\displaystyle  \sqrt{\frac{5-\sqrt{5+4\sqrt{5}}}{8}}\)

另外想請教計算F,填充6

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2021-5-28 21:09 編輯 ]
作者: tsusy    時間: 2021-5-25 14:02     標題: 回復 6# satsuki931000 的帖子

填充 6.
每一個小正立方體有六個面,組合大立方體時,
小正立方體有三個面在大立方體的面上,有三個面在內部。

依題意之染色,有四個小正立方體有一面染色,故所求 = \( (\frac{3}{6})^{4}=\frac{1}{16} \)

F. 先考慮在 \( z = k \) (\( -1<k<1 \)) 的截面上,三個球被截出一樣大的圓,其半徑為 \( r=\sqrt{1-k^{2}} \)
三個圓隨著球移體,所經區域為一長條介在兩條距離為 \( 2r \) 平行直線,此兩直線與原本的 \( L_i \) 平行。共同區域的邊界所在直線為 \( y=\pm r \), \( \sqrt{3} x \pm y = \pm 2r \) (z=k 截面上的六條直線)

故共同區域為一正六邊形,其邊長為 \( \frac{2}{\sqrt{3}}r \),其面積為 \( \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot6\cdot (\frac{2}{\sqrt{3}}r)^2 = 2\sqrt{3} r^2 \)

故所求體積為 \( 2\sqrt{3}\int_{-1}^{1}(1-z^{2})dz=2\sqrt{3}(z-\frac{z^{3}}{3})\Big|_{-1}^{1}=\frac{8}{3}\sqrt{3} \)
作者: tsusy    時間: 2021-5-25 16:19     標題: 回復 6# satsuki931000 的帖子

C. 他是要算最小值,\( \frac{50}{37} \)
發生在 \( |z|=1 \), 幅角 \( \theta \) 滿足 \( \cos\theta=\frac{5}{\sqrt{74}} \) 且 \( Re(z)>0 \) 的時候

[ 本帖最後由 tsusy 於 2021-5-25 16:20 編輯 ]
作者: satsuki931000    時間: 2021-5-25 17:18

引用:
原帖由 tsusy 於 2021-5-25 16:19 發表
C. 他是要算最小值,\( \frac{50}{37} \)
發生在 \( |z|=1 \), 幅角 \( \theta \) 滿足 \( \cos\theta=\frac{5}{\sqrt{74}} \) 且 \( Re(z)>0 \) 的時候
感謝寸絲老師糾正 我找到我哪邊寫錯了
所求為平行四邊形對角線長度平方:\(\displaystyle r^2+\frac{1}{r^2}-2cos2\theta \geq 2-\frac{24}{37}=\frac{50}{37}\)
作者: BambooLotus    時間: 2021-5-29 20:32

填充4 答案應更正為無限多組解
100文華高中
https://math.pro/db/thread-1095-3-1.html
作者: Ellipse    時間: 2021-5-31 10:15

引用:
原帖由 BambooLotus 於 2021-5-29 20:32 發表
填充4 答案應更正為無限多組解
100文華高中
https://math.pro/db/thread-1095-3-1.html
錯的考古題敘述/答案 ,一直重複出現
出題的老師,有沒有認真算過/審題?
等於在浪費考生作答時間...
作者: DavidGuo    時間: 2021-6-1 16:37

F的話, 會算圓柱交積(牟合方蓋)的應該不難想像它的截面是正六邊形,所以用Disk Method來算即可。


有人希望有3D的圖,隨手畫了一下



若想要能夠動,可以到這裡
要自己把part1, 2, 3弄成透明。

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2021-6-1 16:44 編輯 ]

圖片附件: 210090.jpg (2021-6-1 16:42, 55.42 KB) / 該附件被下載次數 214
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6037&k=19c4f5498a5e9434407655c1037469cb&t=1632635003



圖片附件: 1622534919731.jpg (2021-6-1 16:42, 30.71 KB) / 該附件被下載次數 217
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6038&k=772e19e8639e860212c6d459591e8974&t=1632635003



圖片附件: 1622535062807.jpg (2021-6-1 16:42, 36.34 KB) / 該附件被下載次數 209
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6039&k=32d6767de4362c5d20793f9174ef6932&t=1632635003


作者: enlighten    時間: 2021-6-8 23:58     標題: 回復 6# satsuki931000 的帖子

請教D的詳細過程?謝謝
作者: PDEMAN    時間: 2021-6-9 10:46     標題: 回復 13# enlighten 的帖子

參考看看

圖片附件: 11B64DD1-4FAE-4B36-BA19-F8385CE4A401.jpeg (2021-6-9 10:46, 584.06 KB) / 該附件被下載次數 165
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6043&k=424130d0cfc194b8d96d3f94959c0c8e&t=1632635003


作者: enlighten    時間: 2021-6-9 22:42     標題: 回復 14# PDEMAN 的帖子

謝謝解惑,再請教G小題,謝謝

[ 本帖最後由 enlighten 於 2021-6-9 23:19 編輯 ]
作者: PDEMAN    時間: 2021-6-10 05:13     標題: 回復 15# enlighten 的帖子

G題

圖片附件: 2DACDF3E-5B16-44A0-ACF7-20C6691F2161.jpeg (2021-6-10 05:13, 833.86 KB) / 該附件被下載次數 161
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6044&k=7ed65d0fecb59f8bf8f33bb3f8edd711&t=1632635003


作者: enlighten    時間: 2021-6-10 23:25     標題: 回復 16# PDEMAN 的帖子

感謝解惑
作者: shihqua    時間: 2021-9-14 08:51

不好意思想請教填充第五題。謝謝
作者: PDEMAN    時間: 2021-9-14 12:00     標題: 回復 18# shihqua 的帖子

填充五

[ 本帖最後由 PDEMAN 於 2021-9-14 14:15 編輯 ]

圖片附件: C8D41A00-7D46-4F41-8E1C-4A823B243D7C.jpeg (2021-9-14 14:15, 446.58 KB) / 該附件被下載次數 7
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6133&k=b06a4c2e42e1591e2f649ebc442333ff&t=1632635003


作者: shihqua    時間: 2021-9-14 13:43

引用:
原帖由 PDEMAN 於 2021-9-14 12:00 發表
填充五
謝謝PDEMAN老師,我看懂了,感恩
你的第一行是否有筆誤呢?
作者: PDEMAN    時間: 2021-9-14 14:17     標題: 回復 20# shihqua 的帖子

對 ,謝謝!我有改了。




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