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標題: 110竹科實中 [打印本頁]

作者: flyinsky218 時間: 2021-4-26 14:42 標題: 110竹科實中

只記得少少幾題，希望大家可以幫忙補齊，沒有按照順序

填充8格
1. {1,2,3,...,2021}的子集合中，元素和為奇數的集合個數？
2.一個邊長為2的正立方體，一面上色後再分割為8個邊長為1的正立方體，將8個小正立方體重新拼成邊長2的正立方體，六面都沒有顏色的機率是多少？

計算7題
A.三角形ABC面積為1/4，外接圓半徑為1，abc為三角形三邊長。證明：1/a +1/b + 1/c > sqrt{a}+sqrt{b}+sqrt{c}
G.三個單位圓在三條線上移動，所交集的體積
H.

附件: 110竹科實中題目.pdf (2021-5-24 23:07, 390.51 KB) / 該附件被下載次數 8123
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6028&k=eafdda08c8d431aa729007af83a74d36&t=1732251143

附件: 110竹科實中答案.pdf (2021-5-24 23:07, 285.45 KB) / 該附件被下載次數 7054
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6029&k=687504fd438ec3e7cc8dd2ee7d1f21c1&t=1732251143

作者: bugmens 時間: 2021-4-26 15:55

1.
已知一單位圓圓\(O\)，且\(\Delta ABC\)為圓\(O\)之內接正三角形。若\(P\)為圓\(O\)上一動點，則\(\overline{PA}\times\overline{PB}\times \overline{PC}\)的最大值為何？
連結有解答
(101武陵高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1371&page=1#pid5727\)

2.
已知集合\(S=\{\;1,2,3,\ldots,2021 \}\;\)，試求：\(S\)的子集合中，元素和是奇數的集合有多少？

已知集合\(S=\{\;1,2,3,\ldots,2018 \}\;\)的子集合共有\(2^{2018}\)個。試求：
(1)\(S\)的子集合中，包含\(1,2,3,4,5\)中至少三個數的集合有多少個？
(2)\(S\)的子集合中，元素和是奇數的集合有多少個？
(107台灣師大申請入學筆試一試題，https://math.pro/db/thread-3090-1-1.html)

8.
已知一個等腰三角形\(ABC\)，其中\(\overline{AB}=\overline{AC}=10\)，\(\overline{BC}=2\sqrt{5}\)，今依序在\(\overline{BC}\)、\(\overline{AC}\)、\(\overline{AB}\)上取各邊中點\(D\)、\(E\)、\(F\)，分別將\(\Delta AEF\)、\(\Delta BDF\)、\(\Delta CDE\)沿著\(\overline{EF}\)、\(\overline{DF}\)、\(\overline{DE}\)折起來，使\(A\)、\(B\)、\(C\)三點重合在\(P\)點形成一個四面體\(P-DEF\)，則此四面體\(P-DEF\)的體積為　　　。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=929&page=1#pid1991

D、
已知\(\Delta ABC\)的面積是\(\displaystyle \frac{1}{4}\)，其外接圓半徑為1，且\(a,b,c\)為\(\Delta ABC\)的三邊長，試證：\(\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}>\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)。
(高中數學競賽教程P136)

F、
在空間中有三條直線：\(L_1\)：\(\cases{x=t \cr y=0\cr z=0},t\in R\)，\(L_2\)：\(\cases{x=k \cr y=\sqrt{3}k \cr z=0},k\in R\)，\(L_3\)：\(\cases{x=s \cr y=-\sqrt{3}s\cr z=0},s\in R\)，以及三顆半徑為1的球，其球心分別為\(P\)、\(Q\)、\(R\)，今使\(P\)在\(L_1\)上移動，\(Q\)在\(L_2\)上移動，\(R\)在\(L_3\)上移動，試問三顆球所經區域，其交集部分的體積為　　　。

三個單位圓在三條線上移動，所交集的體積
不知道是不是這題
https://math.pro/db/thread-2927-1-1.html

作者: kyle12312 時間: 2021-4-27 11:31 標題: 回復 1# flyinsky218 的帖子

小弟幫忙貢獻一下記得的，數字有點忘記
填充
3.An=2^(n-1)，Bn為logAn、logAn+1(log底數2)的等差中項，求sigma(-1)^k*(Bk)^2，(k=1~2n)
6.(Sn)^2=sigma(An)^3，求A1+A2+...+A109
8.等腰三角形，摺起來算四面體體積(類似:寸斯518)
計算
A.一直線過(0,0,0)、(1,1,1)，且與平面(題目有給)的夾角costheta為1/6，求此平面
B.雙曲線(題目有給)，焦點F1、F2，通過F2焦弦與雙曲線交AB兩點，問F1 A B為成三角形面積最小值，並證明
E.0、Z、1/Z、Z+1/Z圍成的平行四邊形，面積為(考試有給)，d=z+1/z最小值，求d^2
G.小明要跟爸媽對戰三局，爸比媽棋藝高，小明必須要連勝兩局才算獲勝，小明策略是先跟媽媽下，請問此舉動明智嗎?
H.冰淇淋甜筒的圖形(拜託其他老師附上圖形支援)，用正弦算sintheta

作者: kyle12312 時間: 2021-4-27 11:36 標題: 回復 2# bugmens 的帖子

只記得這題是求三球柱相交體積，可是三球柱並不是兩兩垂直

作者: Superconan 時間: 2021-5-24 12:30

學校公告試題和答案了，不知道為何檔案上傳後，名稱變成亂碼

110.05.24版主補充
將題目移到第一篇文章

作者: satsuki931000 時間: 2021-5-24 23:43

以下提供計算題小弟有算的答案有錯還請不吝指教

A.\(\displaystyle E:13x-11y-2z=0\)或\(2x-y-z=0\)

B.最小值\(\displaystyle \frac{45}{2}\)

C.\(\displaystyle d^2\geq \frac{50}{37}\) (感謝寸斯老師糾正)

D.\(abc=1\)且\(a,b,c\)不完全相等，算幾即可證明出來

E.否

G.\(\displaystyle \sqrt{\frac{5-\sqrt{5+4\sqrt{5}}}{8}}\)

另外想請教計算F，填充6

作者: tsusy 時間: 2021-5-25 14:02 標題: 回復 6# satsuki931000 的帖子

填充 6.
每一個小正立方體有六個面，組合大立方體時，
小正立方體有三個面在大立方體的面上，有三個面在內部。

依題意之染色，有四個小正立方體有一面染色，故所求 = \( (\frac{3}{6})^{4}=\frac{1}{16} \)

F. 先考慮在 \( z = k \) (\( -1<k<1 \)) 的截面上，三個球被截出一樣大的圓，其半徑為 \( r=\sqrt{1-k^{2}} \)
三個圓隨著球移體，所經區域為一長條介在兩條距離為 \( 2r \) 平行直線，此兩直線與原本的 \( L_i \) 平行。共同區域的邊界所在直線為 \( y=\pm r \), \( \sqrt{3} x \pm y = \pm 2r \) (z=k 截面上的六條直線)

故共同區域為一正六邊形，其邊長為 \( \frac{2}{\sqrt{3}}r \)，其面積為 \( \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot6\cdot (\frac{2}{\sqrt{3}}r)^2 = 2\sqrt{3} r^2 \)

故所求體積為 \(\displaystyle 2\sqrt{3}\int_{-1}^{1}(1-z^{2})dz=2\sqrt{3}(z-\frac{z^{3}}{3})\Big|_{-1}^{1}=\frac{8}{3}\sqrt{3} \)

112.12.16新增

圖片附件: 三圓柱60度相交.gif (2023-12-16 11:38, 184.04 KB) / 該附件被下載次數 1768
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6828&k=91e1561a56d0f611b3cc465d7c847fe9&t=1732251143

附件: 三圓柱60度相交SketchUp檔.zip (2023-12-16 11:38, 684.69 KB) / 該附件被下載次數 2354
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6829&k=c84b58a18a0e73e8d16ed729dd20ee34&t=1732251143

作者: tsusy 時間: 2021-5-25 16:19 標題: 回復 6# satsuki931000 的帖子

C. 他是要算最小值，\(\displaystyle \frac{50}{37} \)
發生在 \( |z|=1 \), 幅角 \( \theta \) 滿足 \(\displaystyle \cos\theta=\frac{5}{\sqrt{74}} \) 且 \( Re(z)>0 \) 的時候

作者: satsuki931000 時間: 2021-5-25 17:18

引用:

原帖由 tsusy 於 2021-5-25 16:19 發表
C. 他是要算最小值，\( \frac{50}{37} \)
發生在 \( |z|=1 \), 幅角 \( \theta \) 滿足 \( \cos\theta=\frac{5}{\sqrt{74}} \) 且 \( Re(z)>0 \) 的時候

感謝寸絲老師糾正我找到我哪邊寫錯了
所求為平行四邊形對角線長度平方:\(\displaystyle r^2+\frac{1}{r^2}-2cos2\theta \geq 2-\frac{24}{37}=\frac{50}{37}\)

作者: BambooLotus 時間: 2021-5-29 20:32

填充4 答案應更正為無限多組解
100文華高中
https://math.pro/db/thread-1095-3-1.html

作者: Ellipse 時間: 2021-5-31 10:15

引用:

原帖由 BambooLotus 於 2021-5-29 20:32 發表
填充4 答案應更正為無限多組解
100文華高中
https://math.pro/db/thread-1095-3-1.html

錯的考古題敘述/答案 ,一直重複出現
出題的老師,有沒有認真算過/審題?
等於在浪費考生作答時間...

作者: DavidGuo 時間: 2021-6-1 16:37

F的話, 會算圓柱交積(牟合方蓋)的應該不難想像它的截面是正六邊形，所以用Disk Method來算即可。

有人希望有3D的圖，隨手畫了一下

若想要能夠動，可以到這裡
要自己把part1, 2, 3弄成透明。

圖片附件: 210090.jpg (2021-6-1 16:42, 55.42 KB) / 該附件被下載次數 2750
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圖片附件: 1622534919731.jpg (2021-6-1 16:42, 30.71 KB) / 該附件被下載次數 2812
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6038&k=03bbdecdc6de9e6617ead33704a002c9&t=1732251143

圖片附件: 1622535062807.jpg (2021-6-1 16:42, 36.34 KB) / 該附件被下載次數 2723
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6039&k=761f67325a5da5ddb091fb5d559972c9&t=1732251143

作者: enlighten 時間: 2021-6-8 23:58 標題: 回復 6# satsuki931000 的帖子

請教D的詳細過程?謝謝

作者: PDEMAN 時間: 2021-6-9 10:46 標題: 回復 13# enlighten 的帖子

參考看看

圖片附件: 11B64DD1-4FAE-4B36-BA19-F8385CE4A401.jpeg (2021-6-9 10:46, 584.06 KB) / 該附件被下載次數 2199
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6043&k=374efe7df73d90bd08f67f70b72e49bf&t=1732251143

作者: enlighten 時間: 2021-6-9 22:42 標題: 回復 14# PDEMAN 的帖子

謝謝解惑，再請教G小題，謝謝

作者: PDEMAN 時間: 2021-6-10 05:13 標題: 回復 15# enlighten 的帖子

G題

圖片附件: 2DACDF3E-5B16-44A0-ACF7-20C6691F2161.jpeg (2021-6-10 05:13, 833.86 KB) / 該附件被下載次數 2240
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6044&k=55d1b2c16c1485486a219aa9ca42921b&t=1732251143

作者: enlighten 時間: 2021-6-10 23:25 標題: 回復 16# PDEMAN 的帖子

感謝解惑

作者: shihqua 時間: 2021-9-14 08:51

不好意思想請教填充第五題。謝謝

作者: PDEMAN 時間: 2021-9-14 12:00 標題: 回復 18# shihqua 的帖子

填充五
如果\(n\)是一個正整數，當\(n\)是偶數時，定義\(n!!=n\times (n-2)\times(n-4)\times \ldots \times 2\)；當\(n\)是奇數時，定義\(n!!=n \times (n-2)\times (n-4)\times \ldots \times 1\)。比如說，\(8!!=8\times 6 \times 4 \times 2=384\)，\(9!!=9\times 7 \times 5 \times 3\times 1=945\)。求所有使得\(n!!\)整除\(2022!!\)的正整數\(n\)的個數。

圖片附件: C8D41A00-7D46-4F41-8E1C-4A823B243D7C.jpeg (2021-9-14 14:15, 446.58 KB) / 該附件被下載次數 2012
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6133&k=b9a5b787efe6f922b1b912865706f322&t=1732251143

作者: shihqua 時間: 2021-9-14 13:43

引用:

原帖由 PDEMAN 於 2021-9-14 12:00 發表
填充五

謝謝PDEMAN老師，我看懂了，感恩
你的第一行是否有筆誤呢?

作者: PDEMAN 時間: 2021-9-14 14:17 標題: 回復 20# shihqua 的帖子

對，謝謝！我有改了。

作者: anyway13 時間: 2022-11-13 19:52 標題: 請問計算A

板上老師好

複習的時候發現題目上要求的平面E :px+qy+rz=0  (假設法向量(p,q,r) )

之後利用(p,q,r)(1,1,1)=0  得到  p=-q-r,  q=q, r==-p-q

所以  E可以令為  (-q-r)x+qy+rz=0  接下來用(-q-r,q,r)和(1,2,-1)作內積 cos(thea)=正負1/6

然後就卡了

可否解救一下因為當初令的E:為(-q-1)x+qy+z=0 可真的忘記r=1是怎麼得到的

作者: Lopez 時間: 2022-11-14 01:58 標題: 回覆 22# anyway13 的帖子

作者: anyway13 時間: 2022-11-15 20:01 標題: 回覆 23# Lopez 的帖子

謝謝Lopez老師詳細的回答十分感謝

作者: pipi 時間: 2023-1-29 10:36

不好意思，想請教計算Ｂ，謝謝。

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