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標題: 110臺南女中 [打印本頁]

作者: Superconan 時間: 2021-4-18 15:58 標題: 110臺南女中

110.04.19
數學科：填充題第 19 題答案更正為：48
---
110.04.20
數學科：填充題第 10 題答案更正為：23/9

[ 本帖最後由 Superconan 於 2021-4-20 15:16 編輯 ]

附件: 110學年度第一次教師甄選數學科試題及參考答案(110.04.20).pdf (2021-4-20 15:03, 1.16 MB) / 該附件被下載次數 6372
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https://math.pro/db/attachment.php?aid=5876&k=b77a70ac8487422aac835774d10ff29a&t=1714061121

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=5877&k=6e55fc4ce2d5d7c0eabf4c172dbe3ad1&t=1714061121

圖片附件: 截圖 2021-04-20 下午3.07.23.png (2021-4-20 15:13, 135.72 KB) / 該附件被下載次數 4055
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作者: bugmens 時間: 2021-4-18 17:16

12.
試問滿足$m^3+n^3+99mn=33^3$且$m \cdot n\ge 0$的序對$(m,n)$有　　　組整數解。

試問滿足$ m^3+n^3+99mn=33^3 $且$ m \cdot n \ge 0 $之序對$ (m,n) $有幾組整數解？(A)2　(B)3　(C)33　(D)35　(E)99
(102玉里高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1730&page=1#pid9847)

13.
有100扇門，分別編號1~100號，一開始全部都是關閉，按第一次為開，第二次為關，第三次為開…依此類推(也就是按奇數次為開、偶數次為關)，編號 1~100 號同學，但是6號同學沒來，只有 99 位同學。若每人將自己編號的倍數按一次，例如:1號同學將全部的門都按1次，2號同學會將 2、4、6、8、…、100 的門都按 1 次。請問這100 扇門最後有　　　扇門是打開的？
完全平方數
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=786&page=1#pid1446

22.
$\Delta ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，且$3\overline{AD}=2\overline{DE}=\overline{EB}$，已知$∠ACD=\alpha$，$∠DCE=\beta$，$∠ECB=\gamma$，$\displaystyle \frac{sin\alpha\cdot sin\gamma}{sin\beta}$之值為　　　。

直角$\Delta ABC$的斜邊為$\overline{AB}$，若$\overline{AC}=1$，$\overline{BC}=3$，$\overline{AB}$的三等分點為$D$、$E$，且$∠ACD=\alpha$，$∠DCE=\beta$，$∠ECB=\gamma$。則$\displaystyle \frac{sin\beta}{sin\alpha \cdot sin\gamma}=$　　　。
(106台中一中，https://math.pro/db/thread-2738-1-1.html)

作者: cut6997 時間: 2021-4-18 18:31 標題: 想請教第5題

第5題
令xy=t,則可以整理出所求為14t(t-23)/(7t-1) +9
算出t=15+4sqr(14)代入硬暴可以得到答案
可是我在考場沒勇氣帶入一個看起來消不掉的根號
想請教各位老師正確的作法

作者: Ellipse 時間: 2021-4-18 18:38 標題: 回復 1# Superconan 的帖子

#12 考古題
m^3+n^3+99m*n=33^3
m^3+n^3+(-33)^3-3m*n*(-33)=(1/2)[m+n-33][(m-n)² +(n+33)² +(m+33)² ]=0
m+n=33 或 m=n= -33
因為m,n>=0 ,所以
(m,n)=(0,33),(1,32),(2,31),...................,(33,0)及(-33,-33)
共35組

＃13 考古題
(98全國聯招,選擇1)

作者: Ellipse 時間: 2021-4-18 19:16 標題: 回復 3# cut6997 的帖子

因為(7x-1/y)(y-7/x)=7[xy+1/(xy)]-50=7*30-50=160
且7x-1/y=16,所以y-7/x=10
可得2xy-20x=14
所求=(2xy-20x)+9=14+9=23

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2021-4-18 20:47 編輯 ]

作者: koeagle 時間: 2021-4-18 19:17

想請教10、11、16、19，謝謝。

作者: cut6997 時間: 2021-4-18 19:34 標題: 回復 6# koeagle 的帖子

11倒回來換
1白可換2黑或2白->+1白或+2黑
1黑可換1白和1黑->+1白
故若最後為1黑則起始黑必為奇數

作者: thepiano 時間: 2021-4-18 19:42 標題: 回復 6# koeagle 的帖子

第 11 題
每次操作後，黑球的數量一直維持偶數，所以剩 1 顆黑球的機率是 0

作者: thepiano 時間: 2021-4-18 20:02 標題: 回復 6# koeagle 的帖子

第 16 題
視為拋物線 y^2 = 4x 上一點 (t^2，2t) 到 (5，3) 的距離減去 t^2
所求即 (5，3) 到焦點 (1，0) 的距離加 1

作者: tsusy 時間: 2021-4-18 20:04 標題: 回復 1# Superconan 的帖子

填充 19. 公告答案 24，應為 48，以下為算式。
設空間中三向量 $ \vec{a} $、$ \vec{b} $、$ \vec{c} $所展開的四面體體積為 $ V $，$ S= \{P∣\vec{OP}= \alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma \vec{c} $，$ |\alpha| \le 1 $， $ |\alpha+\beta| \le 1 $ ， $ |\alpha+\beta+\gamma| \le1 \} $ 的體積為 $ kV $，則實數 $ k $ 的值為__________。

解. 考慮 $ e = \alpha $, $ f = \alpha +\beta $, $ g = \alpha + \beta + \gamma $
$ F(e,f,g) = \alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma \vec{c} = e\vec{a}+ (f-e) \vec{b}+ (g-f) \vec{c} $

$ J_{F}(e,f,g) = \begin{bmatrix}\vec{a}-\vec{b}\\
\vec{b}-\vec{c}\\
\vec{c}
\end{bmatrix}^{T} $

$ kv = |\int_{S}dxdydz| =\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}| \begin{vmatrix}\vec{a}-\vec{b}\\
\vec{b}-\vec{c}\\
\vec{c}
\end{vmatrix}|dedfdg=|\begin{vmatrix}\vec{a}\\
\vec{b}\\
\vec{c}
\end{vmatrix}| \int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}dedfdg = 6V\times8 = 48V $

作者: 5pn3gp6 時間: 2021-4-18 20:39

計算四
雖然校方已經有這題的詳解了，不過還是分享一下
https://www.geogebra.org/m/d3mgqnsd
因為做法習慣不同，所以答案略為不同，但本質是一樣的
我做出來的是$y=1-\cos(x)$
　
而若半徑為$r$、截面與底面的夾角為$\beta$
則為 $\displaystyle y=r\left(1-\cos\left(\frac{x}{r}\right) \right)\tan\beta $

作者: tsusy 時間: 2021-4-18 20:44 標題: 回復 6# koeagle 的帖子

填充 10. 算出來，還是和答案不同，空間感不是很好，如有錯誤，還請指正

平面 H 和平面 ABC 交於 $ \overline{BC'} $，其中 $ C'(0,3,0) $
平面 H 和平面 DEF 交於 $ \overline{E'F'} $，其中 $ E'(\frac23,\frac13,2) $, $ F'(0,1,2) $
平面 H 和平面 BCFE 交於 $ \overline{BC''} $，其中 $ C''(0,2,1) $
平面 H 和直線 AD 交於 $ D'(0,0,3) $，

圖形如下參考

所求體積 = 角錐 ABC'D' - 角錐 DE'F'D' - 角錐 CC'C''B (皆體積)

$ \frac{1}{6} |\begin{vmatrix}2 & 1 & 0\\
0 & 3 & 0\\
0 & 0 & 3
\end{vmatrix}| - \frac{1}{6} |\begin{vmatrix}\frac23 & \frac13 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{vmatrix}| - \frac{1}{6} |\begin{vmatrix}0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
2 & -1 & 0
\end{vmatrix}| = 3-\frac{1}{9}-\frac{3}{9} = \frac{23}{9} $

[ 本帖最後由 tsusy 於 2021-4-20 21:31 編輯 ]

圖片附件: 2021.04.18.110台南女中10.png (2021-4-18 20:53, 12.42 KB) / 該附件被下載次數 2420
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5867&k=738f9655f7bc0d943b2a55200c3af947&t=1714061121

作者: craig100 時間: 2021-4-18 21:31

第六題是不是要算 $\sum r_n$ 啊？
我算 $\sum a_n$ 發散

[ 本帖最後由 craig100 於 2021-4-18 21:32 編輯 ]

作者: ibvtys 時間: 2021-4-18 21:32

想請教1.3.9

作者: tsusy 時間: 2021-4-18 21:41 標題: 回復 13# craig100 的帖子

填充 6. 根與係數關係知 $ a_n =r_n +r_{n+1} $
若 $ \sum r_n $ 收斂，則 $ \sum a_n $ 也會收斂。
反之，若 $ \sum a_n $ 發散，則 $ \sum r_n $ 也會發散。

再檢查一下細節吧，$ a_n, r_n $ 都和等比相關，級數和應當是會收斂的

作者: chihming 時間: 2021-4-18 22:01 標題: 回復 14# ibvtys 的帖子

第1題，在沒有計算機的估算底下如何找最大值呢?  也想請教請教
         因為我是用微分等於零然後再用計算機估算的
                     考試沒有計算機
                  那怎麼找呢 ?

作者: zidanesquall 時間: 2021-4-18 22:03 標題: 回復 13# craig100 的帖子

我是列前幾項就有找到規律，奇數項跟偶數項會是等比數列，就直接無窮等比級數

作者: tsusy 時間: 2021-4-18 22:04 標題: 回復 16# chihming 的帖子

填充1. $k,k+1 $ 代入相除

作者: andy2361336 時間: 2021-4-18 22:05

1. 利用比較法設n=k為最大值
則n=k代入需大於等於n=k+1代入

9.分別假設角A和角Q利用共用邊找出關係
配合面積公式會造出一元二次式求極值即可

[ 本帖最後由 andy2361336 於 2021-4-18 22:08 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2021-4-18 22:07 標題: 回復 14# ibvtys 的帖子

第 9 題
101 中正高中二招計算題二
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1446&page=6#pid10008

作者: thepiano 時間: 2021-4-18 22:46 標題: 回復 14# ibvtys 的帖子

第 3 題
設 AC 和 OB 交於 E
AE / CE = 12 / 40 = 3 / 10

△AOE = 18 * (10/13) = 180/13
△ABE = 20 - 180/13 = 80/13
OE / BE = (180/13) / (80/13) = 9 / 4

向量 OE = (3/13)向量 OA + (10/13)向量 OC
向量 OB = (13/9)(3/13)向量 OA + (13/9)(10/13)向量 OC = (1/3)向量 OA + (10/9)向量 OC

作者: ibvtys 時間: 2021-4-18 23:16

感謝大家 , 已訂正完畢(除了10.19答案有問題)

作者: cut6997 時間: 2021-4-19 14:50 標題: 請教第8題

我的做法如下:

可是這是因為給的條件剛好除以兩者長度後為兩單位向量加總
想知道是否有較一般化(不需題目給的係數剛好可以得到角平分線)或更好的算法

圖片附件: 8.jpg (2021-4-19 14:50, 26.37 KB) / 該附件被下載次數 2430
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5872&k=535a29e0d4f79791aa964c5c36e44b98&t=1714061121

作者: thepiano 時間: 2021-4-19 15:05 標題: 回復 23# cut6997 的帖子

第 8 題
Z_1 = 2(cosα + isinα)，Z_ 2 = 3(cosβ + isinβ)
3Z_1 - 2Z_2 = 3/2 - i

6(cosα - cosβ) = 3/2
-12sin[(α + β)/2]sin[(α - β)/2] = 3/2

6(sinα - sinβ) = -1
12cos[(α + β)/2]sin[(α - β)/2] = -1

tan[(α + β)/2] = 3/2
sin(α + β) = 12/13，cos(α + β) = -5/13

Z_1Z_2 = 6[cos(α + β) + isin(α + β)]
= (-30/13) + (72/13)i

作者: g112 時間: 2021-4-19 15:26

13題完全平方數+6的倍數扣“36”

[ 本帖最後由 g112 於 2021-4-19 15:51 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2021-4-19 15:51 標題: 回復 25# g112 的帖子

第 13 題
若全部 100 個同學都有來，應是完全平方數 (有 10 個) 會打開
但 6 號同學沒來，故 36 號門，被按了偶數次，是關閉，其餘 9 扇門是打開

1 ~ 100 中，除了 36 外，6 的倍數有 [100 / 6] - 1 = 15 個
編號是這 15 個數的門，也會被按奇數次，是打開

故所求 = 9 + 15 = 24

作者: g112 時間: 2021-4-19 15:52

引用:

原帖由 thepiano 於 2021-4-19 15:51 發表
第 13 題
若全部 100 個同學都有來，應是完全平方數 (有 10 個) 會打開
但 6 號同學沒來，故 36 號門，被按了偶數次，是關閉，其餘 9 扇門是打開

1 ~ 100 中，除了 36 外，6 的倍數有 [100 / 6] - 1 = 15 個
編號是這 15 個數的門 ...

謝謝老師，剛發問完就想到盲點了XD

作者: mean4136 時間: 2021-4-19 19:28 標題: 回復 22# ibvtys 的帖子

校方已公告，填充第19題答案更正為：48

作者: tsusy 時間: 2021-4-19 19:44 標題: 回復 28# mean4136 的帖子

看到更正了，謝謝，另外第 10 題的話，我再算算。

題外話，順帶查一下公告，找到有趣公告

18-11001成績公告及申訴說明：
截取部分內文如下：
「2. 數學科筆試基本分數提高30分：因本次數學科筆試試題偏難且題數多，應考人平均分數為11.62分」

這應該是為了擊敗從老師
(註：簡章規定：數學科筆試佔總成績 30%、總成績未達75分者不予錄取。)

作者: Superconan 時間: 2021-4-19 19:45 標題: 回復 29# tsusy 的帖子

我剛剛算第 10 題的答案跟老師您的一樣，會不會官方是錯誤的？

作者: thepiano 時間: 2021-4-19 19:53 標題: 回復 29# tsusy 的帖子

小女剛回來說，昨天南女挑燈夜戰改考卷

結果數學科老師最早下班

這份題目，平均只有十幾分，真的太扯了

作者: satsuki931000 時間: 2021-4-19 21:59

第21題
小弟積分$\displaystyle \int_{3}^5 x\sqrt{25-x^2}=\frac{64}{3}$
比解答的$\displaystyle \frac{32}{2}$多一倍
想請教是否哪邊沒有考慮到

作者: tsusy 時間: 2021-4-19 22:10 標題: 回復 32# satsuki931000 的帖子

21. 平均值，您忘了除以 2

作者: satsuki931000 時間: 2021-4-19 22:28 標題: 回復 33# tsusy 的帖子

感謝寸絲老師

事後想想這樣寫說不定比較不會錯
$\displaystyle \frac{1}{2}\times \frac{2}{n} \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n (3+\frac{2k}{n})\sqrt{25-(3+\frac{2k}{n}})^2
=\frac{1}{2}\int_3^5 x\sqrt{25-x^2}$

小弟一開始假設分割n等分,結果每一單位的間距弄錯成$\displaystyle \frac{1}{n}$導致答案多一倍

作者: johncai 時間: 2021-4-20 10:13 標題: 回復 31# thepiano 的帖子

數學科筆試基本分數提高30分：因本次數學科筆試試題偏難且題數多，
應考人平均分數為 11.62 分，因此經 110 年 4 月 19 日 110 學年度第一
次教師甄選委員會決議，除缺考外，其餘應考人之筆試基本分數由 0 分
調整為 30 分，對應考人之分數差距無任何影響。

300多個數學老師去考數學~平均分數11.62分XDD

作者: Ellipse 時間: 2021-4-20 11:41

引用:

原帖由 tsusy 於 2021-4-19 19:44 發表
看到更正了，謝謝，另外第 10 題的話，我再算算。

題外話，順帶查一下公告，找到有趣公告

18-11001成績公告及申訴說明：
截取部分內文如下：
「2. 數學科筆試基本分數提高30分：因本次數學科筆試試題偏難且題數多，應考人平均分數為1 ...

回想起以前教甄還有遇到過IMO題型, 要準備那種含xy項圓錐曲線題型( 需會坐標軸旋轉處理掉xy項,大判別,小判別,不變量........)
有時超級難算又容易算錯,不過現在這類題型都不太會出現了
現在要準備教甄的課綱教材也比以前少很多了
希望考生能多加油~~

作者: cut6997 時間: 2021-4-20 12:44

引用:

原帖由 johncai 於 2021-4-20 10:13 發表
數學科筆試基本分數提高30分：因本次數學科筆試試題偏難且題數多，
應考人平均分數為 11.62 分，因此經 110 年 4 月 19 日 110 學年度第一
次教師甄選委員會決議，除缺考外，其餘應考人之筆試基本分數由 0 分
調整為 30 分，對應 ...

主要是這次答案卷上直接標明不允許跳題作答(要跳的話要先留位置)，我想多少會有點影響，但平均11分倒是有點出乎意料

作者: Ellipse 時間: 2021-4-20 13:11

引用:

原帖由 cut6997 於 2021-4-20 12:44 發表

主要是這次答案卷上直接標明不允許跳題作答(要跳的話要先留位置)，我想多少會有點影響，但平均11分倒是有點出乎意料

應該沒什麼差,這也有包括來考試的考生來源
有的是剛畢業或是國中老師,比較不熟悉高中教甄考法
以及其他考生解題熟練度(但不全是這原因)

作者: 5pn3gp6 時間: 2021-4-20 14:22

引用:

原帖由 tsusy 於 2021-4-19 19:44 發表
看到更正了，謝謝，另外第 10 題的話，我再算算。

題外話，順帶查一下公告，找到有趣公告

18-11001成績公告及申訴說明：
截取部分內文如下：
「2. 數學科筆試基本分數提高30分：因本次數學科筆試試題偏難且題數多，應考人平均分數為1 ...

第10題答案有更正了，更正為　$\frac{23}{9}$
即是老師所算出的答案

公告出處 https://tinyurl.com/vyx6n4ar

作者: 哨義恆 時間: 2021-4-20 20:05

想請問第7題
有沒有除了討論轉1,2,3,4,5,6,7,8次的個數之外的方法？
考場當下要很有勇氣和時間才能這樣算，

作者: math1 時間: 2021-4-20 20:20 標題: 複試

請問台南女中是不是沒有公布錄取分數呀？

作者: cut6997 時間: 2021-4-20 20:35

引用:

原帖由 math1 於 2021-4-20 20:20 發表
請問台南女中是不是沒有公布錄取分數呀？

55進複試，也就是原始成績25分就進複試了
可是筆試佔30%滑進複試應該機會不大

[ 本帖最後由 cut6997 於 2021-4-20 20:36 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2021-4-20 21:04 標題: 回復 40# 哨義恆的帖子

第 7 題
這題很多學校考過了 ......

轉彎的情形有 "→↑" 和 "↑→"
捷徑之走法相當於把 5 個 → 和 4 個 ↑ 排成一列的排法
"→↑" 可放的位置有 8 個，其餘的 4 個 → 和 3 個 ↑ 有 C(7，4) 種排法
同理，"↑→" 亦同
所求 = [C(7，4) * 8 * 2] / C(9，5) = 40/9

[ 本帖最後由 thepiano 於 2021-4-20 21:05 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2021-4-20 21:09 標題: 回復 42# cut6997 的帖子

是啊，筆試原始最高是 40 幾分，這樣比 25 分，總分多了 6 分
試教要多 12 分，才能板回來

作者: tsusy 時間: 2021-4-20 21:11 標題: 回復 43# thepiano 的帖子

填充 7. 這題算是有點難的考古題吧，我的印象之中還沒有出現太多次，還是印象太久遠了。補上兩題考古題，以及一串舊的討論串

A 在方格的左下角，B 在方格的右上角，各有 9 個→與↑ ，求 A 到 B 走捷徑轉彎數之期望值。 (99高雄高中)
答案在這，有一串討論 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1441&page=5#pid12007

有 3 個「+」，4 個「-」，排成一列。若一列中一個「+-」或一個「-+」我們說：有一個「變號」。問 3 個「+」，4 個「-」排成一列，變號個數的期望值？(99彰化女中)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2021-4-21 09:26 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2021-4-20 21:23 標題: 回復 45# tsusy 的帖子

您這次舉出兩題錯誤，給南女的出題老師上了寶貴的一課

作者: laylay 時間: 2021-4-23 10:31 標題: 22.

畫矩形ACBF,設直線CD交直線AF於G,直線CE交直線BF於H
則cotACD=AC/[(2/9)BC],cotBCE=BC/[(6/5)AC]
1/所求=cos(ACD+BCE)/(sinACD*sinBCE)=(CC-SS)/SS=cotACD*cotBCE-1=15/4-1=11/4
故所求=4/11

作者: laylay 時間: 2021-4-23 11:21 標題: 8.

3Z1跟2Z2都是長6,以原點O為圓心半徑6畫圓,3Z1在P跟2Z2在Q,PQ中點為M
則OM上有一複數為(2+3i), 其平方為(-5+12i),長13
(3Z1)(2Z2)=6*6*(-5+12i)/13
所以Z1Z2=6*(-5+12i)/13=-30/13+(72/13)i

17.
   ㄏ5*ㄏ4PI / |  3  , 1  | = 2ㄏ5PI/23
                     |  2 , -7  |

18.
   A至L投影點C(0,3,1),兩點距離ㄏ2
   B至L投影點D(3,0,7),兩點距離ㄏ5
   CP

D=ㄏ2 : ㄏ5 ,所求=3ㄏ2 / (ㄏ2+ㄏ5)= -2+ㄏ10

[ 本帖最後由 laylay 於 2021-4-23 14:25 編輯 ]

作者: math1 時間: 2021-4-24 15:28 標題: 第四題

想請問第四題，謝謝

作者: thepiano 時間: 2021-4-24 16:04 標題: 回復 49# math1 的帖子

第 4 題
請參考
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=29584#p29584

[ 本帖最後由 thepiano 於 2021-4-24 16:54 編輯 ]

作者: math1 時間: 2021-4-24 16:46 標題: 回復 50# thepiano 的帖子

打不開耶，謝謝鋼琴老師～

作者: thepiano 時間: 2021-4-24 16:54 標題: 回復 51# math1 的帖子

已修正

作者: math1 時間: 2021-4-24 17:37 標題: 回復 52# thepiano 的帖子

謝謝！

作者: math1 時間: 2021-4-25 14:41 標題: 回復 10# tsusy 的帖子

寸絲老師，第19題能再更詳細解釋嗎？謝謝！
另外，想請教20題以及計算第三題為什麼最小的x可以這樣假設呢？
謝謝

[ 本帖最後由 math1 於 2021-4-25 15:32 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2021-4-25 18:23 標題: 回復 54# math1 的帖子

第 19 題，我換個方法順帶畫個圖
如圖 $\mathop {OA}\limits^ \rightharpoonup = - \mathop {OE}\limits^ \rightharpoonup = \mathop a\limits^ \rightharpoonup $, $\mathop {FA}\limits^ \rightharpoonup = \mathop {ED}\limits^ \rightharpoonup = 2\mathop b\limits^ \rightharpoonup $, $\mathop {GA}\limits^ \rightharpoonup = \mathop {HD}\limits^ \rightharpoonup = \mathop {FI}\limits^ \rightharpoonup = \mathop {EJ}\limits^ \rightharpoonup = 2\mathop c\limits^ \rightharpoonup $

滿足$|\alpha | \le 1$, $|\alpha + \beta | \le 1$, $\mathop {OP}\limits^ \rightharpoonup = \alpha \mathop a\limits^ \rightharpoonup + \beta \mathop b\limits^ \rightharpoonup $，點 P 所形成圖形為平行四邊形 $ADEF$，其中 $\overline {AD} ,\overline {EF} $ 滿足 $\alpha + \beta = 1, - 1$，平行的四邊形內，與$\overline {AD} $平行的線段亦滿足 $\alpha + \beta $ 為常數(在線段上為常數)。

又題意中，$|\alpha + \beta + \gamma | \le 1$，因此 $ - (\alpha + \beta ) - 1 \le \gamma \le - (\alpha + \beta ) + 1$，故滿足題意之點 P 所形成的圖形為平行六面體 $ADJI - GHEF$

所求體積 $ = |\det \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop {AD}\limits^ \rightharpoonup }&{\mathop {AI}\limits^ \rightharpoonup }&{\mathop {AG}\limits^ \rightharpoonup }\end{array}} \right)|$ $ = |\det \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2\mathop a\limits^ \rightharpoonup + 2\mathop b\limits^ \rightharpoonup }&{-2\mathop b\limits^ \rightharpoonup + 2\mathop c\limits^ \rightharpoonup }&{ - 2\mathop c\limits^ \rightharpoonup }\end{array}} \right)|$ $ = 8|\det \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop a\limits^ \rightharpoonup }&{\mathop b\limits^ \rightharpoonup }&{\mathop c\limits^ \rightharpoonup }\end{array}} \right)| = 48$

註：以上向量，皆視作 $ 3 \times 1 $ 的矩陣

[ 本帖最後由 tsusy 於 2021-4-25 21:52 編輯 ]

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作者: tsusy 時間: 2021-4-25 19:38 標題: 回復 54# math1 的帖子

計算 3. 自己重寫，沒有那樣令 $ x $，前半部不重要，紅字的部分應該才是重點。

令 $f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{99} {[{2^k}x]} $，則$f(x)$為遞增函數。
對於任意整數 n, $f(x + n) = f(n) + f(x)$, $f(n) = n \cdot ({2^{100}} - 1) $。(修正原兩個 k 混用，表達錯誤)

設 ${x_0}$ 為滿足題意之實數。
$f({2^{134}}) = {2^{234}} - {2^{134}} < {2^{234}}$，
令 ${x_1} = {x_0} - {2^{134}}$，則 ${x_1}$ 為最小的實數滿足 $f({x_1}) = {2^{134}}$。

而 $f({2^{34}}) = {2^{134}} - {2^{34}} < {2^{134}}$，
令 ${x_2} = {x_1} - {2^{34}}$，則 ${x_2}$ 為最小的實數滿足$f({x_2}) = {2^{34}}$，

而 $f({2^{ - 66}}) = \sum\limits_{k = 0}^{99} {[{2^{k - 66}}] = {2^{34}} - 1} $。

設 $0 < x \le {2^{ - 99}}$，則 $0 < {2^{ - 66}} + x < {2^{ - 65}}$，
當 $0 \le k \le 65$ 時，$[{2^k} \cdot ({2^{ - 66}} + x)] = 0 = [{2^k} \cdot ({2^{ - 66}})]$
當 $66 \le k \le 98$ 時，$[{2^k} \cdot ({2^{ - 66}} + x)] = {2^{k - 66}} + [{2^k}x] = [{2^k} \cdot ({2^{ - 66}})]$
$[{2^{99}}({2^{ - 66}} + x)] = \left\{ \begin{array}{l}{2^{33}} = [{2^{99}} \cdot ({2^{ - 66}})]{\rm{, if }}x < {2^{ - 99}}\\{2^{33}} + 1{\rm{, if }}x = {2^{ - 99}}\end{array} \right.$

因此有 ${x_2} = {2^{ - 66}} + {2^{ - 99}}$ 為最小實數滿足 $f({x_2}) = {2^{34}}$，故所求 ${x_0} = {2^{134}} + {2^{34}} + {2^{ - 66}} + {2^{ - 99}}$

[ 本帖最後由 tsusy 於 2021-4-27 19:41 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2021-4-25 19:41 標題: 回復 54# math1 的帖子

第 20 題
a_(n + 3) + a_(n + 1) = a_(n + 2) + a_n
a_4 + a_2 = a_3 + a_1
a_5 + a_3 = a_4 + a_2
a_5 = a_1
同理 a_100 = a_24 = 71，a_99 = a_75 = 13

所求 = (- a_1 + a_2 - a_3 + a_4) + (- a_5 + a_6 - a_7 + a_8) + ...... + (- a_97 + a_98 - a_99 + a_100) + (- a_101 + a_102)
= - a_101 + a_102
= a_99 - a_100
= - 58

[ 本帖最後由 thepiano 於 2021-4-25 19:42 編輯 ]

作者: laylay 時間: 2021-4-26 12:55 標題: 二.計算1.

a+b+c=0
-6-3abc=a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(........)=0 => abc=-2
(a-b)^2=(a+b)^2-4ab>=0 => c [(a+b)^2] - 4abc<=0 (c<0)
=> c(-c)^2+8<=0 => c^3<=-8 => c<= -2 , 故 c的最大值為 -2 , 此時 a=b=1

[ 本帖最後由 laylay 於 2021-4-26 12:56 編輯 ]

作者: nanpolend 時間: 2021-4-26 23:26 標題: 回復 14# ibvtys 的帖子

1.附圖形

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2021-4-26 23:29 編輯 ]

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作者: nanpolend 時間: 2021-4-26 23:54 標題: 回復 59# nanpolend 的帖子

填充2
牛頓法
等比級數1+1/4+1/16=....=1/(1-1/4)=4/3

作者: math1 時間: 2021-4-27 11:12 標題: 回復 55# tsusy 的帖子

寸絲老師，想請問19題為什麼AD邊是a+b＝1呢？謝謝
另外想請問為什麼計算三f(k)是那樣呢？

[ 本帖最後由 math1 於 2021-4-27 11:37 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2021-4-27 11:33 標題: 回復 10# tsusy 的帖子

計 3. 55# $ f(k) $ 我的記號混用了，sorry，沒注意到原本的 Sigma 也是用 k，兩個 k 要用不同的記號表示才可以。
對於任意整數 n, $f(x + n) = f(n) + f(x)$, $f(n) = n \cdot ({2^{100}} - 1) $。

填充 7. 原 10# 處，代換間的 Jacobian Matrix 實際上固定的，也就是說它實際上是個線性變換
(其實應該在算 Jacobian Matrix 之前，就知道了)
所以我們也會用線性變換來處理的方法：

令集合 ${S_0} = \{ (\alpha ,\beta ,\gamma )^T \mid |\alpha | \le 1,|\alpha + \beta | \le 1,|\alpha + \beta + \gamma | \le 1\} $, ${S_1} = \{ (u,v,w)^T \mid |u| \le 1,|v| \le 1,|w| \le 1\} $
以下將 ${\mathbb{R}^3}$ 及 ${\mathbb{R}^3}$ 中向量皆記為 $3 \times 1$ 階的矩陣。$V_{S_0},V_{S_1}, V_S$ 分別表示 ${S_0},{S_1},S$ 的體積。

$\begin{array}{*{20}{l}}{{T_1}:}&{{S_0} \to {\mathbb{R}^3},}\\{}&{(\alpha ,\beta ,\gamma )^T \mapsto {{ {\alpha \mathop a\limits^ \rightharpoonup + \beta \mathop b\limits^ \rightharpoonup + \gamma \mathop c\limits^ \rightharpoonup } }}.}\end{array} $

以上關係可表示為 ${ {\alpha \mathop a\limits^ \rightharpoonup + \beta \mathop b\limits^ \rightharpoonup + \gamma \mathop c\limits^ \rightharpoonup } } = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop a\limits^ \rightharpoonup }&{\mathop b\limits^ \rightharpoonup }&{\mathop c\limits^ \rightharpoonup }\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}\alpha \\\beta \\\gamma \end{array}} \right) $，

因此線性變換 ${T_1}$ 將 ${S_0}$ 映射至 $S$，故有 ${V_S} = |\det (\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop a\limits^ \rightharpoonup }&{\mathop b\limits^ \rightharpoonup }&{\mathop c\limits^ \rightharpoonup }\end{array})|{V_{{S_0}}} = 6V \cdot {V_{{S_0}}} $。

$\begin{array}{*{20}{l}}{{T_2}:}&{{S_0} \to {\mathbb{R}^3},}\\{}&{(\alpha ,\beta ,\gamma )^T \mapsto (\alpha ,\alpha + \beta ,\alpha + \beta + \gamma )^T.}\end{array} $

以上關係可表示為 $\left( {\begin{array}{*{20}{c}}\alpha \\{\alpha + \beta }\\{\alpha + \beta + \gamma }\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}\alpha \\\beta \\\gamma \end{array}} \right) $，

因此線性變換 ${T_2}$ 將 ${S_0}$ 映射至 ${S_1}$，故有 ${V_{{S_1}}} = |\det (\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{array}} \right))|{V_{{S_0}}} = {V_{{S_0}}} $。
而 ${V_{{S_1}}} = {2^3} = 8$，故 ${V_S} = 6V \cdot 8 = 48V $。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2021-4-27 19:41 編輯 ]

作者: nanpolend 時間: 2021-4-27 19:33 標題: 回復 13# craig100 的帖子

如下圖

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作者: nanpolend 時間: 2021-4-27 20:56 標題: 回復 43# thepiano 的帖子

補充
期望值=次數*機率
把A當原點
右上算轉向一次
X軸方向能放5個右上
Y軸方向能放3個右上
共8個
上右一樣8個
算式如鋼琴大大同

作者: nanpolend 時間: 2021-4-28 23:07 標題: 回復 1# Superconan 的帖子

填14
微積分基本定理公式
f'(2)=0 可求得a=-2
f''(x)=0
x=1 or x=-2(不合)一階導數=0
帶回f(1)=-114/5
計算小心三分真難賺

作者: nanpolend 時間: 2021-4-29 00:08 標題: 回復 65# nanpolend 的帖子

請教填充題15

作者: anyway13 時間: 2021-4-29 00:24 標題: 填充15.請參考

請參考附件

圖片附件: 16196270189427579694697838943932.jpg (2021-4-29 00:24, 1.71 MB) / 該附件被下載次數 1715
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5926&k=7c7f1cc7470ab2891b0b5ec384481cdb&t=1714061121

作者: Ellipse 時間: 2021-4-29 00:37

引用:

原帖由 nanpolend 於 2021-4-29 00:08 發表
請教填充題15

這題很久以前就出現過了(查到最早出現在2003)
以下連結出現在2011
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2412

作者: nanpolend 時間: 2021-4-29 01:49 標題: 回復 9# thepiano 的帖子

請教16題
畫圖形後依然看不懂

作者: thepiano 時間: 2021-4-29 08:14 標題: 回復 69# nanpolend 的帖子

第 16 題
寫詳細一點好了

| t^2 - √[(t^2 - 5)^2 + (2t - 3)^2] |
= | √[(t^2 - 5)^2 + (2t - 3)^2]- t^2|
= | √[(t^2 - 5)^2 + (2t - 3)^2]- (t^2 + 1) + 1 |
= | AB - AF + 1 |
≦ | BF + 1 |
= 6
等號成立於 A、F、B 共線，且 F 在線段 AB 上

√[(t^2 - 5)^2 + (2t - 3)^2] 是拋物線 y^2 = 4x 上一點 A(t^2，2t) 到 B(5，3) 的距離
焦點 F(1，0)，t^2 + 1 是 A 到準線 x = -1 的距離 = AF

作者: nanpolend 時間: 2021-4-30 18:25 標題: 回復 70# thepiano 的帖子

懂了感謝鋼琴大大

作者: nanpolend 時間: 2021-5-2 02:10 標題: 回復 47# laylay 的帖子

請教
cotACD=AC/[(2/9)BC],cotBCE=BC/[(6/5)AC]
相似形嗎?

作者: Lyndagm 時間: 2021-5-2 22:59 標題: 想問第19題

各位老師們好～
今天在彰女一樣卡關同一題，想用A點對包含於L的平面E的對稱點A’
再連接B點但是依舊解不開
想問問老師們是不是觀念有誤呢？
謝謝

作者: cut6997 時間: 2021-5-3 09:19 標題: 回復 73# Lyndagm 的帖子

算垂足和距離用分點公式，平面中不用這方法是因為通常給的距離醜到開不出根號

作者: laylay 時間: 2021-5-3 09:56 標題: 回復 72# nanpolend 的帖子

是的

作者: jeanvictor 時間: 2021-5-11 07:09

引用:

原帖由 thepiano 於 2021-4-19 15:05 發表
第 8 題
Z_1 = 2(cosα + isinα)，Z_ 2 = 3(cosβ + isinβ)
3Z_1 - 2Z_2 = 3/2 - i

6(cosα - cosβ) = 3/2
-12sin[(α + β)/2]sin[(α - β)/2] = 3/2

6(sinα - sinβ) = -1
12cos[(α + β)/2]sin[(α - β ...
tan[(α + β)/2] = 3/2
sin(α + β) = 12/13，cos(α + β) = -5/13

Z_1Z_2 = 6[cos(α + β) + isin(α + β)]
= (-30/13) + (72/13)i

請問為什麼怎麼判斷sin是正，cos是負的呢? 感恩~

作者: thepiano 時間: 2021-5-11 10:19 標題: 回復 76# jeanvictor 的帖子

tan[(α + β)/2] = 3/2 > 1
(α + β)/2 > π/4
α + β > π/2

作者: jeanvictor 時間: 2021-5-11 20:50

引用:

原帖由 thepiano 於 2021-5-11 10:19 發表
tan[(α + β)/2] = 3/2 > 1
(α + β)/2 > π/4
α + β > π/2

原來如此~ 謝謝喔^^

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