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標題: 109新竹建功國中部 [打印本頁]

作者: nansir0936    時間: 2020-6-15 21:43     標題: 109新竹建功國中部

請教13~15

附件: 109新竹建功國中數學試題卷.pdf (2020-6-15 21:43, 287.5 KB) / 該附件被下載次數 559
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作者: bugmens    時間: 2020-6-15 21:55

1.
在一邊長為\(n\)的正方形方格中,以最左下的位置為起始點,向內螺旋的方式排列正整數,如圖所示,
為\(n=3\)與\(n=5\)的排列結果。若\(n=15\),試求左下至右上的對角線上所有元素的和為   
\(\matrix{7&6&5\cr 8&9&4\cr 1&2&3}\)

\(\matrix{13&12&11&10&9\cr 14&23&22&21&8\cr 15&24&25&20&7\cr 16&17&18&19&6\cr 1&2&3&4&5}\)

在一邊長為\(n\)的正方形方格中,以向內螺旋的方式排列正整數,如下所示,為\(n=5\)的排列結果。若\(n=27\),試求左上至右下的對角線上所有元素的和。
\(\matrix{1&2&3&4&5\cr 16&17&18&19&6\cr 15&24&25&20&7\cr 14&23&22&21&8\cr 13&12&11&10&9}\)
thepiano解題
(99家齊女中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=958&page=1#pid2184)

2.
若\(x\)為自然數,\(A\),\(B\),\(C\),\(D\)為\(x\)的最小的四個相異正因數,且滿足\(x=A^2+B^2+C^2+D^2\),試求\(x=\)   
Joy091解題
(100中壢高中二招,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1170&page=3#pid3975)

8.
若有一枚特製的硬幣,出現反面機率為出現正面機率的兩倍,小明擲此硬幣8次,他從數線上的0開始,若投擲的錢幣出現正面,則向數線的正向走1單位;若出現反面,則向數線的負向走1單位。如果他在移動的過程中曾經達到數線正向4的機率為何   

小杰投擲一枚公正的錢幣8次,他從數線上的0開始,若投擲的錢幣出現正面,則向數線的正向走1單位;若出現反面,則向數線的負向走1單位。如果他在移動的過程中曾達到數線正向4的機率為\(\displaystyle \frac{a}{b}\),其中\(a\),\(b\)為互質的正整數,則\(a+b\)之值為何?(例如,他投擲錢幣出現「正反正正正正正正」的情形就有經過正向4)
(A)69   (B)151   (C)257   (D)293   (E)313
連結有解答
(2016AMC12,https://math.pro/db/thread-2445-1-1.html)

9.
\(\sqrt{2499}=\sqrt{A}+\sqrt{B}\),且\(A<B<1000\),則\(B-A\)之值為   

\(\sqrt{2009}=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)且\(0<x<y\),求整數對\((x,y)\)?
https://math.pro/db/thread-664-1-1.html

12.
圓\(O\)中兩條互相垂直的弦將圓\(O\)分成四部分:\(S_1\)、\(S_2\)、\(S_3\)、\(S_4\)。若\(\overline{AB}\)和\(\overline{CD}\)的弦心距分別為3和5,則\((S_1+S_3)-(S_2+S_4)=\)   

一個半徑為10的圓被兩條互相垂直的直線分成四個部分,面積分別為\(R_1\)、\(R_2\)、\(R_3\)、\(R_4\),且\(R_1>R_2>R_3>R_4\),若圓心到此兩條直線的距離分別為4和3,求\(R_1-R_2-R_3+R_4=\)?
(A)40 (B)44 (C)48 (D)52 (E)56
thepiano解題
(103台南一中數理暨語文資優班,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2283&page=1#pid13606)

13.
設\(D\)、\(E\)分別在\(\Delta ABC\)的\(\overline{AC}\)和\(\overline{AB}\)上,\(\displaystyle \frac{\overline{AE}}{\overline{EB}}=1\)、\(\displaystyle \frac{\overline{AD}}{\overline{DC}}=\frac{2}{3}\),若\(\Delta ABC\)的面積為40,則四邊形\(AEFD\)的面積為   

\(\Delta ABC\)中,\(\overline{CD}\)交\(\overline{BE}\)於\(F\),已知\(\Delta BDF\)面積為10,\(\Delta BCF\)面積為20,\(\Delta CEF\)面積為16,則四邊形區域\(ADFE\)之面積為   。
(100苑裡高中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1178&page=2#pid4270)

19.
將長方形\(ABCD\)沿著對角線\(\overline{AC}\)摺起,使得平面\(ABC\)與平面\(ADC\)互相垂直,若\(\overline{AB}=2\),\(\overline{BC}=1\),試求\(\overline{BD}=\)   
[公式]
\(\displaystyle \sqrt{\frac{a^4+b^4}{a^2+b^2}}\)

將一塊邊長\(\overline{AB}=a\)公分\((a>0)\)、\(\overline{BC}=b\)公分\((b>0)\)的長方形鐵片\(ABCD\)沿對角線\(\overline{BD}\)對摺後豎立,使得平面\(ABD\)與平面\(CBD\)垂直,則\(A\)、\(C\)兩點(在空間的距離\(\overline{AC}=\)   
(107松山工農,https://math.pro/db/thread-2972-1-1.html)

20.
正方形\(ABCD\)中,\(\Delta ABF\)、\(\Delta CEF\)及\(\Delta DAE\)的面積分別為4、5、6,請問\(\Delta AEF\)的面積為何?

計算2.
有一平行四邊形\(ABCD\),若過頂點\(A\)作一圓,且分別交\(\overline{AB}\)、\(\overline{AD}\)及對角線\(\overline{AC}\)或其延長線於\(E\)點、\(F\)點、\(G\)點。請利用托勒密定理證明:\(\overline{AC}\times \overline{AG}=\overline{AB}\times \overline{AE}+\overline{AD}\times \overline{AF}\)
hua0127解題
https://math.pro/db/thread-1896-1-1.html

計算4.
實係數方程式\(x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0\)有四根為\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)、\(\omega\),其中\(\alpha+\beta=3+4i\)且\(\gamma \omega=5+2i\),則\(a+b+c+d=\)   

實係數方程式\(x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0\)有四根為\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)、\(\omega\),其中\(\alpha+\beta=3+6i\)且\(\gamma\omega=4+3i\),則\(a+b+c+d=\)   
weiye解題
(107建國中學二招,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2970&page=2#pid19057)

已知\(a,b,c,d\)為實數,且方程式\(x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0\)有四個虛根,其中兩根的乘積為\(13+i\),另外兩根的和為\(3+4i\),求 \(a,b\)之值?
https://math.pro/temp/qq60.pdf
作者: nansir0936    時間: 2020-6-16 12:53     標題: 回復 2# bugmens 的帖子

感謝老師
作者: thepiano    時間: 2020-6-16 17:19     標題: 回復 1# nansir0936 的帖子

第 14 題
正方形\(ABCD\),其中\(\overline{CB}=\overline{CF}\)、\(\overline{EG}// \overline{AB}\)、\(\overline{EG}=3\)、\(\overline{FG}=1\),求正方形邊長為何?

參考附圖,答案是 6

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作者: nansir0936    時間: 2020-6-16 21:55     標題: 回復 4# thepiano 的帖子

跟老師一樣延長了EG,結果就卡關了,平分角BCF才是關鍵啊,謝謝老師指點迷津!
作者: abc409212000    時間: 2020-6-17 00:10

想請教一下填充第4,5,6,11,15,16題
話說這份有答案嗎?
想確認一下
可能錯很多,煩請大力指正!

[ 本帖最後由 abc409212000 於 2020-6-18 18:14 編輯 ]

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作者: thepiano    時間: 2020-6-17 09:02     標題: 回復 6# abc409212000 的帖子

第8題
若有一枚特製的硬幣,出現反面機率為出現正面機率的兩倍,小明擲此硬幣8次,他從數線上的0開始,若投擲的錢幣出現正面,則向數線的正向走1單位;若出現反面,則向數線的負向走1單位。如果他在移動的過程中曾經達到數線正向4的機率為何   

硬幣不是公正的,答案應是\(\displaystyle \frac{209}{6561}\)

第18題
直線\(L_1\)經\(A(1,1,0)\)、\(B(2,1,1)\),直線\(L_2\)經\(C(1,1,1)\)、\(D(1,3,2)\),另一直線\(L_3\)過\(E(2,0,1)\)且與\(L_1\)、\(L_2\)均相交,則\(L_2\)、\(L_3\)之交點坐標為   

104桃園高中考過,答案應是 (1,-1,0)

其它您寫的答案都是正確的
作者: thepiano    時間: 2020-6-17 14:41     標題: 回復 6# abc409212000 的帖子

第 4 題
若\(a=4sin20^{\circ}+tan20^{\circ}\)且\(\displaystyle b=\frac{1}{sin10^{\circ}}-4sin70^{\circ}\),則\(\displaystyle \frac{a}{b}=\)   
[解答]
分開算,a = √3,b = 2

第 5 題
將任意三位數重複寫兩次構成一個新的六位數,例如:135135、256256…。像這樣的六位數中,能被2821整除的最小數為   
[解答]
2821 = 7 * 13 * 31
任意三位數重複寫兩次構成的六位數是 1001 = 7 * 11 * 13 的倍數
所以所求 = 1001 * 31 * 4

第 6 題
\(\Delta ABC\)中,\(\overline{CA}=\overline{CB}\)且\(∠C=20^{\circ}\),分別在\(\overline{AC}\)、\(\overline{BC}\)上取\(D\)點、\(E\)點,使得\(∠DAE=10^{\circ}\)、\(∠EBD=20^{\circ}\),請問\(∠AED\)的度數為   

幾何名題,做法 google 一下

第 11 題
二次函數\(y=ax^2+bx+c\)的圖形一部分如圖所示,則\(a\)值的範圍為   
[解答]
過 (0,1),c = 1
過 (1,0),a + b + c = 0,b = - a - 1
開口朝下,a < 0,頂點又在第二象限,b < 0
故 -1 < a < 0
作者: abc409212000    時間: 2020-6-17 14:57     標題: 回復 7# thepiano 的帖子

感謝thepiano老師,已重新修改為正確答案
順手附上第八題修正後過程,供參考

圖片附件: 109建功8.png (2020-6-17 14:57, 107.12 KB) / 該附件被下載次數 101
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作者: 王重鈞    時間: 2020-6-18 10:00     標題: #回覆15題

如圖,在正五邊形\(ABCDE\)內取一點\(F\),使得\(\overline{AF}=\overline{AE}\)、\(\overline{FC}⊥ \overline{CD}\),求\(∠AFE=\)   度。

淺見提供

圖片附件: 80C0A98A-F20D-487B-A17D-B67D6CEB36D6.jpeg (2020-6-18 10:00, 70.75 KB) / 該附件被下載次數 103
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作者: thepiano    時間: 2020-6-18 12:03     標題: 回復 6# abc409212000 的帖子

第16題
如圖,\(\Delta ABC\)中,\(\overline{CD}\)、\(\overline{BE}\)分別為兩邊上的高且交於\(F\)點。若\(\overline{AB}=7\)、\(\overline{BC}=5\)、\(\overline{DE}=3\),則\(\overline{BE}\)的長度為何?   
[解答]
B、C、E、D四點共圓
\(\begin{align}
  & \Delta ADE\sim \Delta ACB \\
& \frac{\overline{AE}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{DE}}{\overline{CB}} \\
& \frac{\overline{AE}}{7}=\frac{3}{5} \\
& \overline{AE}=\frac{21}{5} \\
& \overline{BE}=\sqrt{{{\overline{AB}}^{2}}-{{\overline{AE}}^{2}}}=\frac{28}{5} \\
\end{align}\)

不過如此一來,\(\overline{BE}>\overline{BC}\),不合,故此題應送分

[ 本帖最後由 thepiano 於 2020-6-18 12:22 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2020-6-18 12:11     標題: 回復 6# abc409212000 的帖子

參考答案如下:
http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=3215

[ 本帖最後由 thepiano 於 2020-6-18 12:25 編輯 ]
作者: abc409212000    時間: 2020-6-18 18:22

感謝thepaino、王重鈞老師!!
問題皆已解決,附上第六題可參考網站
https://nbhwj.com/2013/10/%E4%B8 ... %E6%96%B9%E6%B3%95/
作者: abc409212000    時間: 2020-6-19 17:12

想說嘗試看看第六題代數解
接下來卻卡關...
再麻煩各位老師

圖片附件: 109建功6.png (2020-6-19 17:12, 81.41 KB) / 該附件被下載次數 95
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5555&k=6f5f89a3aaf2edf0be201226f4d1145d&t=1601106028


作者: 王重鈞    時間: 2020-6-19 21:39     標題: 回覆14#

淺見分享

圖片附件: 031C08DF-9180-46D4-AF5D-389A9E5615D5.jpeg (2020-6-19 21:39, 1.58 MB) / 該附件被下載次數 109
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5556&k=bb31f519cbacfb0b79be331c2f3f99a3&t=1601106028


作者: abc409212000    時間: 2020-6-19 22:19     標題: 回復 15# 王重鈞 的帖子

真是太感謝您了!
作者: 王重鈞    時間: 2020-6-19 23:51     標題: 回覆16#

不客氣!很少來逛這裡 能幫上忙我也很開心!
作者: satsuki931000    時間: 2020-7-14 09:22

計算第一題的想法 還請各位大神檢驗一下是否正確
已知\(f(x)=|\;log x|\;\),若\(0<a<b\)且\(f(a)=f(b)\),其中\(a,b\)為實數,證明:\(a+2b>3\)。
[解答]
設\(A(a,-log(a))\)、\(B(b,log(b))\)
由題目條件,可知\(\displaystyle b=\frac{1}{a}\),且\(0<a<1\)
故\(\displaystyle a+2b=a+\frac{2}{a} \)在\(0<a<1\)為遞減函數
可知\(\displaystyle a+\frac{2}{a}>3\)

感謝鋼琴老師糾正筆誤
作者: thepiano    時間: 2020-7-14 12:44     標題: 回復 18# satsuki931000 的帖子

A(a,-log(a))
作者: mojary    時間: 2020-9-15 09:15     標題: 填七

設平面上有\(\Delta ABC\)與\(\Delta PQR\),若\(2\vec{PA}+\vec{PB}+\vec{PC}=\vec{BC}\),\(\vec{QA}+3\vec{QB}+\vec{QC}=\vec{CA}\),\(\vec{RA}+\vec{RB}+4\vec{RC}=\vec{AB}\),求\(\Delta PQR\)與\(\Delta ABC\)之面積比值   
[解答]
可能太簡單,乏人問津,小弟自告奮勇。

\(2\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{BC}\)
\(\overrightarrow{QA}+3\overrightarrow{QB}+\overrightarrow{QC}=\overrightarrow{CA}\)
\(\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{RB}+4\overrightarrow{RC}=\overrightarrow{AB}\)

\(2\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{PC}\)
\(3\overrightarrow{QB}+\overrightarrow{QC}=\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{QA}\)
\(\overrightarrow{RA}+4\overrightarrow{RC}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{RB}\)

\(2\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{BP}\)
\(3\overrightarrow{QB}+\overrightarrow{QC}=\overrightarrow{CQ}\)
\(\overrightarrow{RA}+4\overrightarrow{RC}=\overrightarrow{AR}\)

\(\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{BP}\)  
\(3\overrightarrow{QB}=2\overrightarrow{CQ}\)
\(2\overrightarrow{RC}=\overrightarrow{AR}\)
....能找到P在\(\overline{AB}\)上,且\(\overline{AP}:\overline{PB}=1:1\)
Q在\(\overline{BC}\)上,\(\overline{BQ}:\overline{QC}=2:3\)
R在\(\overline{AC}\)上,\(\overline{AR}:\overline{RC}=2:1\)
方能找到\(\Delta PQR:\Delta ABC\)的比值了。

[ 本帖最後由 mojary 於 2020-9-15 09:41 編 ]




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