標題: 109板橋高中 [打印本頁]

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作者: johncai    時間: 2020-6-7 20:13     標題: 109板橋高中

如題

附件: 數學定稿0607(公告版).pdf (2020-6-7 20:13, 260.96 KB) / 該附件被下載次數 10553
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5510&k=32aca50416d034d7081abb47bb466714&t=1732256512

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作者: bugmens    時間: 2020-6-7 20:20

2.
若複數(\(z^2-8\))與(\(z^2+8\))的主幅角分別為\(\displaystyle \frac{5\pi}{6}\)與\(\displaystyle \frac{\pi}{3}\)，求複數\(z=\)　　　。(請以標準式作答)

若複數\(z+2\)的主幅角是\(\displaystyle \frac{\pi}{3}\)，\(z-2\)的主幅角是\(\displaystyle \frac{5\pi}{6}\)，則複數\(z=\)　　　。
(105文華高中代理，https://math.pro/db/thread-2545-1-1.html)

4.
設四次多項式\(f(x)=-x^4+2x^3-x^2+2x\)，選取積分區間\(a\le x \le b\)使得定積分\(\displaystyle \int_a^b f(x)dx\)達到最大值，求此定積分的最大值　　　。

設四次多項式\(f(x)=-x^4+x^3-x^2+x\)，選取積分區間\(a\le x \le b\)，使得定積分\(\displaystyle \int_a^b f(x)dx\)得到最大值，求此最大值為　　　。
連結有解答
(101中科實中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1318&page=4#pid5078)

6.
數字都是"1"的數列1,11,111,1111,----(第\(k\)項是\(k\)個1)-----，設此數列前100項的和是\(S\)，求\(S\)的末10位數的數字是　　　。(例如：12345678的末6位數的數字是"345678")

1+11+111+1111+………………+1111……111111（加到第2002位數）結果中，數碼1出現了幾次？
https://math.pro/db/thread-2152-1-1.html

8.
有10張椅子排成一列，甲、乙、丙、丁、戊5人分成三組入座，三組人數分別為1人、2人、2人，求同組相鄰，不同組不相鄰之坐法有　　　種。

將12張相同椅子排成一列，甲乙丙丁戊己庚七人分成三組入座，三組人數各為1人、3人、3人，則同組相鄰，不同組不相鄰之坐法有　　　種。
(99中一中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=929&page=3#pid12701)

9.
\(\Delta OAB\)中，若\(\vec{OA}\cdot \vec{AB}=x\)，\(\vec{AB}\cdot \vec{BO}=y\)，\(\vec{BO}\cdot \vec{OA}=z\)，試以\(x,y,z\)來表示\(\Delta OAB\)的面積為　　　。

類似題
\(\vec{AB}\cdot \vec{AC}=-12\)、\(\vec{BA}\cdot \vec{BC}=22\)、\(\vec{CA}\cdot \vec{CB}=30\)，求\(\Delta ABC\)面積。
https://math.pro/db/thread-433-1-1.html

10.
設\(A(0,0,6)\)，\(B(0,0,20)\)為空間中的兩個定點，\(P(x,y,0)\)為一個動點，若\(0 \le x \le 15\)，\(0\le y \le 15\)，\(∠APB\ge 30^{\circ}\)，求\(P\)點之軌跡所成之圖形的面積　　　。
thepiano解題，http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=6944#p6944
(100基隆高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1195&page=1#pid14570)


11.
將三個邊長為12 的正方形紙片，分別取其中相鄰兩邊中點的連線切成一個等腰直角三角形和一個五邊形。如下圖二，將這3 個等腰直角三角形、3 個五邊形和1 個邊長為6 2的正六邊形，沿著粗線向上折成一角錐多面體，求此角錐多面體的體積是　　　。(紙片厚度忽略不計)
連結有解答
(1985AIME，https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_15)

計算1.
平面上有一橢圓，已知其焦點為\((0,0)\)和\((8,8)\)，且\(y=x+2\sqrt{2}\)為此橢圓的切線，則此橢圓的方程式為何？(請表示為\(Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey=4\)的型式)
更多類似題目
圓錐曲線的光學性質，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1807

https://www.facebook.com/photo.p ... 57414126&type=3

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作者: zidanesquall    時間: 2020-6-7 20:41

計算1.
有一橢圓的焦點為(0,0)及(8,8)，切線為\( y=x+2\sqrt{2} \)，則此橢圓方程式為何？（請表達為\( Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey=4\)）

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作者: whatbear    時間: 2020-6-7 21:29

計算3

證明數列<\(a_n\)>遞增且有界， \(a_n=(1+\frac{1}{n})^n\)

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作者: Ellipse    時間: 2020-6-7 21:33

引用:

原帖由 zidanesquall 於 2020-6-7 20:41 發表
計算1.
有一橢圓的焦點為(0,0)及(8,8)，切線為\( y=x+2\sqrt{2} \)，則此橢圓方程式為何？（請表達為\( Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey=4\)）

利用橢圓光學性質+定義做比較快

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作者: Ellipse    時間: 2020-6-7 21:36

引用:

原帖由 whatbear 於 2020-6-7 21:29 發表
計算3

證明數列遞增且有界， \(a_n=(1+\frac{1}{n})^n\)

很老的考古題了

遞增:證明a_(n+1)>=a_n (利用算幾不等式)
上界:利用二項式定理+不等式+無窮等比級數

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作者: BambooLotus    時間: 2020-6-7 22:02

雖然複試撞期，還是去練筆幫忙拿個計算題出來，憑印象的，有錯請指證
計算2
\([x]\)表不大於\(x\)的最大整數，\(\langle x\rangle\)表不小於\(x\)的最小整數
試求方程式\(x(2x+1)-2x([x]+\langle x\rangle)+2([x]^2+{\langle x\rangle}^2)=67\)

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作者: Almighty    時間: 2020-6-7 22:52     標題: 填充11題

透過強大腦力想像的圖形
然後剩下的就是利用各種四面體找底面、高
找三個椎體體積（綠色、藍色、紫色)
（得先知道～等腰三角的點會在外面！！！）

[ 本帖最後由 Almighty 於 2020-6-7 23:40 編輯 ]

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作者: Superconan    時間: 2020-6-8 01:37

此版本檔案說明如下：
前兩頁為官方公告版去除參考解答，方便印下來練習用。
第三頁有計算題與證明題，
而最後兩頁為官方公告版，含參考解答。
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若計算題與證明題的題目有誤，可以再留言告知～

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作者: Ellipse    時間: 2020-6-8 08:36

引用:

原帖由 Superconan 於 2020-6-8 01:37 發表
此版本檔案說明如下：
前兩頁為官方公告版去除參考解答，方便印下來練習用。
第三頁有計算題與證明題，
而最後兩頁為官方公告版，含參考解答。
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若計算題與證明題的題目有誤，可以再留言告知～ ...

看完這題目,預測這張7x分以上進複試

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作者: peter0210    時間: 2020-6-8 13:26

填充7，有錯，還請指正，謝謝

圖片附件: 1591593898814.jpg (2020-6-8 13:26, 104.77 KB) / 該附件被下載次數 2639
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作者: pad1214    時間: 2020-6-8 14:37

填充7
假設tanx=a 因為x在第一象限 則a為任意正數
原式可換成 f(a) = 1/a + 15a + 25a^2  , a>0
計算f'(a)=0 時 a=1/5
故最小值為 f(1/5) = 9
有錯誤請指證謝謝

[ 本帖最後由 pad1214 於 2020-6-8 17:06 編輯 ]

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作者: Ellipse    時間: 2020-6-8 17:30

引用:

原帖由 pad1214 於 2020-6-8 14:37 發表
填充7
假設tanx=a 因為x在第一象限 則a為任意正數
原式可換成 f(a) = 1/a + 15a + 25a^2  , a>0
計算f'(a)=0 時 a=1/5
故最小值為 f(1/5) = 9
有錯誤請指證謝謝

用微分方式做. 應該會比較省時間

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作者: BambooLotus    時間: 2020-6-8 18:07     標題: 回復 10# Ellipse 的帖子

最低錄取分數64，64分至少5個

這樣練筆也不算當壞人卡位了吧?

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作者: Ellipse    時間: 2020-6-8 20:01

引用:

原帖由 BambooLotus 於 2020-6-8 18:07 發表
最低錄取分數64，64分至少5個

這樣練筆也不算當壞人卡位了吧?

會估7x分進複試,是因為這張有2小時(14題),比較有充裕時間可想
只有幾題比較麻煩 ,其他有些是考古題或是只要稍微想一下,不難解出的題型

一旦進複試就好好好把握,說不定可以翻盤
考生們請加油~

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作者: Harris    時間: 2020-6-8 21:15

想請問計算二，有試過x不可能是整數，
再假設x=n+a，其中a為0至1的小數，稍微估算了n應該是5，求出一組解為5.5。
但原式感覺有兩組解，想請問其他老師是否較完整算法？

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作者: Ellipse    時間: 2020-6-8 22:22

引用:

原帖由 Harris 於 2020-6-8 21:15 發表
想請問計算二，有試過x不可能是整數，
再假設x=n+a，其中a為0至1的小數，稍微估算了n應該是5，求出一組解為5.5。
但原式感覺有兩組解，想請問其他老師是否較完整算法？ ...

請參考下列的連結
https://www.facebook.com/groups/chetingmath/

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作者: leonyo    時間: 2020-6-9 08:43     標題: 回復 16# Harris 的帖子

我也是這樣做啊，這樣不夠完整嗎？頂多是我連負整數那邊都檢驗了，
「感覺」有兩組解的感覺從何而來？強調算式、邏輯的重要性，就是為了避免直覺的謬誤啊~

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作者: leonyo    時間: 2020-6-9 08:43

引用:

原帖由 Harris 於 2020-6-8 21:15 發表
想請問計算二，有試過x不可能是整數，
再假設x=n+a，其中a為0至1的小數，稍微估算了n應該是5，求出一組解為5.5。
但原式感覺有兩組解，想請問其他老師是否較完整算法？ ...

我也是這樣做啊，這樣不夠完整嗎？頂多是我連負整數那邊都檢驗了，
「感覺」有兩組解的感覺從何而來？強調算式、邏輯的重要性，就是為了避免直覺的謬誤啊~

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作者: XINHAN    時間: 2020-6-9 10:33     標題: 分享手寫訂正

分享手寫訂正，希望大家指教、指錯。
幾題都是出考場才想到有粗心，扼腕ＯＴＺ

附件: 109板中.pdf (2020-6-9 10:33, 376.18 KB) / 該附件被下載次數 3756
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5523&k=e438255654b0577e92f2150459252afa&t=1732256512

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作者: yi4012    時間: 2020-6-9 10:54     標題: 計算第一題

A(0，0)B(8，8)
做C和B對稱於Y=X+2根號2，C在(8-2根號2，8+2根號2)
AC中點就是橢圓短軸一點，令為D
D在(4-根號2，4+根號2)
AC長為長軸長=12
最後利用橢圓任意P點，PA+PB=2a=12
整理就是答案，不過此題有要求格式
答案為：
5X^2-8XY+5Y^2-8X-8Y=4

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作者: Harris    時間: 2020-6-9 14:10     標題: 回復 18# leonyo、17# Ellipse 的帖子

老師不好意思可能原文意思表達不清楚，造成您的誤會。
會想提出問題是因為計算題並無公布答案，主要是不確定自己的作法是否為最佳，才至板上發問。
是我的感覺錯了，也感謝其他有幫忙解答的幾位老師，受教了。

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作者: BambooLotus    時間: 2020-6-9 14:44     標題: 回復 22# Harris 的帖子

小弟最後分數是填充2題再-12，所以只能提供給你我整個手寫的狀況

計算1.光學性質加橢圓定義
沒看到常數項要擺右邊，所以只有化簡成一般式

計算2.\(x\)為整數時用牛頓說無有理根，\(x\)非整數時再做細節討論

證明1.遞增如XINHAN老師的方法(最主要時間都拿去回想鋼琴老師當年那張半圓的圖，沒時間想算幾怎麼成行的只好換方法)
          收斂是用ln直接找出收斂值並用遞增說明為上界
這樣總計是-12

[ 本帖最後由 BambooLotus 於 2020-6-9 14:47 編輯 ]

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作者: Ellipse    時間: 2020-6-9 17:11

引用:

原帖由 BambooLotus 於 2020-6-9 14:44 發表
小弟最後分數是填充2題再-12，所以只能提供給你我整個手寫的狀況

計算1.光學性質加橢圓定義
沒看到常數項要擺右邊，所以只有化簡成一般式

計算2.\(x\)為整數時用牛頓說無有理根，\(x\)非整數時再做細節討論

證明1.遞增 ...

證明1 若記憶版沒有錯的話, 題目只說要證遞增+上界,這個上界取3就好.應不需要證明收斂於e
因證明e比較不容易,寫不嚴謹反而會被扣分

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2020-6-9 17:26 編輯 ]

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作者: satsuki931000    時間: 2020-6-10 08:08     標題: 回復 24# Ellipse 的帖子

請問橢圓老師

所以直接證明這個數列的極限為e
可以直接說明這個數列有界 是這樣的意思嗎?

另外 想請教一下您說的上界為3的寫法

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2020-6-10 09:54 編輯 ]

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作者: jerryborg123    時間: 2020-6-10 09:32     標題: 回復 25# satsuki931000 的帖子

我也是用上界為3的寫法
將原式用二項式定理展開
逐項比對會發現 原式 <1+(1+1/2+(1/2)^2+...)=3

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作者: Ellipse    時間: 2020-6-10 09:34

引用:

原帖由 satsuki931000 於 2020-6-10 08:08 發表
請問橢圓老師

所以直接證明這個數列的極限為e
可以直接說明這個數略有界 是這樣的意思嗎?

另外 想請教一下您說的上界為3的寫法

他應該是要考你們會不會證明此數列遞增+有上界 ( 則此數列為收斂數列)
不曉得直接說明數列的極限是e會不會給分?
上界為3的寫法如下~~

圖片附件: 1591752473921.jpg (2020-6-10 09:34, 81.1 KB) / 該附件被下載次數 3004
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5528&k=291c8dd76af466582426b1a1d4d026f9&t=1732256512

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作者: jackyxul4    時間: 2021-3-7 16:37

填充11另解法18*18*18/6-3*6*6*6/6=864

圖片附件: 未命名.png (2021-3-7 16:37, 140.59 KB) / 該附件被下載次數 2543
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5781&k=10b61581a20f96419cbfdc8cd95a43a3&t=1732256512

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