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標題: 106興大附中記憶版 [打印本頁]

作者: koeagle 時間: 2017-4-27 22:02 標題: 106興大附中記憶版

寫得比較簡略，還缺兩題。

附件: [106興大附中] 106興大附中.pdf (2017-4-27 22:02, 71.55 KB) / 該附件被下載次數 10302
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作者: dels 時間: 2017-4-27 22:23 標題: 回復 1# koeagle 的帖子

真正的第2題是：三角形有一內角為120度且三邊成等差，試求三邊長的比（由大到小）

作者: SCCDCD 時間: 2017-4-27 23:15

附上官方版試題與答案

想問12跟15題

附件: 興大附中106學年度第1次教甄數學科試題.pdf (2017-4-27 23:15, 67.71 KB) / 該附件被下載次數 11410
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作者: james2009 時間: 2017-4-27 23:51

感謝S大!
我將檔案合併並轉正

附件: 興大附中106學年度第1次教甄數學科試題&答案.pdf (2017-4-27 23:51, 54.57 KB) / 該附件被下載次數 9440
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作者: litlesweetx 時間: 2017-4-28 07:48

想請教9,12,14,15
謝謝^^

作者: ssdddd2003 時間: 2017-4-28 12:39 標題: 回復 5# litlesweetx 的帖子

第14題
設\(P,Q\)為橢圓\(\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)上兩動點，\(P\)在第一象限，\(Q\)在第二象限，且\(\angle POQ=90^{\circ}\)(\(O\)為原點)，求\(\triangle POQ\)的最小面積為　　　。
[解答]
應該是這樣做沒錯，也有想過先算橢圓內接正方形再除以4，結果答案一樣，不知道觀念上對不對?

我的解法是參考板上另一篇文章https://math.pro/db/thread-621-1-1.html

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作者: shiauy 時間: 2017-4-28 12:52

15.
設\(A,B,C,D,E,F\)為相異的六個新城市，現要開闢新的道路連接這六個城市，規定任兩城市間均可選擇恰鋪一條路或者不鋪路。若兩城市之間可以經由所鋪設之道路，從其中一城市到達另一城市，我們就稱兩城市連通。要使得這六個城市兩兩之間均連通，求鋪路的方法數為　　　。
[解答]
找不到遞迴，只好慢慢算
把所有的方法-不連通的情形
n=1 (1)
n=2 (1,1)
n=3 (1,1,1)(2,1)
n=4 (1,1,1,1)(2,1,1)(3,1)(2,2)
n=5 (1,1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,1)(4,1)(3,2)(2,2,1)
n=6 (1,1,1,1,1,1)(2,1,1,1,1)(3,1,1,1)(4,1,1)(5,1)(4,2)(3,3)(3,2,1)(2,2,2)(2,2,1,1)
每個數字代表互相連通城市的數量
則

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作者: ssdddd2003 時間: 2017-4-28 15:38

想請問7.10.13 ^^
特別13題算了快一小時還是算不出來 >“<

作者: pgcci7339 時間: 2017-4-28 16:45

填充13.
設\(c\)為大於1的實數，\(\Omega_c\)表二次曲線\(y=cx(1-x)\)與\(x\)軸所圍的封閉區域，若直線\(y=x\)將\(\Omega_c\)分成兩塊等面積的區域，求\(c\)的值為　　　。
[解答]

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=4000&k=7ff8737cd8a4fcfb9d1684370aee8af2&t=1732232174

作者: thepiano 時間: 2017-4-28 17:58 標題: 回復 8# ssdddd2003 的帖子

第 7 題
\(z\in C\)且\(|\;z|\;=1\)，\(|\;z^2-z+=1|\;\)的最大值為\(M\)，最小值為\(m\)，求\(M+m=\)　　　。
第10題
\(\displaystyle f(n)=\sum_{k=1}^n\frac{1}{(2k)(2k-1)}\)，求極限\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}f(n)=\)　　　。
[解答]
請參考 http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=2746

113.6.20補充
我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615

第 9 題
空間中有一光源位於\((0,2,2)\)，將\(xz\)平面上的圓\(\cases{x^2+(z-1)^2=1\cr y=0}\)照射在\(xy\)平面上，求此圓在\(xy\)平面上的軌跡方程式　　　。
[解答]
https://math.pro/db/thread-674-1-1.html

作者: thepiano 時間: 2017-4-28 21:05 標題: 回復 5# litlesweetx 的帖子

第 12 題
設\(x,y,z\)為非負實數，且\(x+2y+3z=1\)。求\(2x^2y+12y^2z+9z^2x\)的最大值為　　　。
[解答]
請參考 http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=2747

作者: james2009 時間: 2017-4-28 23:51

14題
設\(P,Q\)為橢圓\(\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)上兩動點，\(P\)在第一象限，\(Q\)在第二象限，且\(\angle POQ=90^{\circ}\)(\(O\)為原點)，求\(\triangle POQ\)的最小面積為　　　。
[解答]
提供另一做法
更正:最後等不等號方向錯誤...抱歉

圖片附件: 18156884_1430611260294017_6455298264427888960_n.jpg (2017-4-28 23:51, 35.73 KB) / 該附件被下載次數 4229
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作者: ssdddd2003 時間: 2017-4-29 10:58

謝謝老師們的指導，豁然開朗呢^^

作者: peter0210 時間: 2017-4-29 11:26

請教瑋仔老師
１４題中的做法第一步怎麼得的啊？

作者: james2009 時間: 2017-4-29 11:51

回peter老師

公式推倒如附檔

附件: 橢圓上之半徑.pdf (2017-4-29 11:51, 267.95 KB) / 該附件被下載次數 6194
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作者: thepiano 時間: 2017-4-29 20:37 標題: 回復 3# SCCDCD 的帖子

第 15 題
設\(A,B,C,D,E,F\)為相異的六個新城市，現要開闢新的道路連接這六個城市，規定任兩城市間均可選擇恰鋪一條路或者不鋪路。若兩城市之間可以經由所鋪設之道路，從其中一城市到達另一城市，我們就稱兩城市連通。要使得這六個城市兩兩之間均連通，求鋪路的方法數為　　　。
[解答]
請參考 http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=2748

作者: 阿光 時間: 2017-4-30 20:44

請問第8和12題要如何解,謝謝

作者: eyeready 時間: 2017-4-30 20:53 標題: 回復 17# 阿光的帖子

第8題
將一個圓分成12個相等的扇形，並用紅藍綠三種顏色塗上顏色，相鄰的扇形顏色不同，則有幾種塗色方法　　　。
[解答]
k個不相同顏色塗n個區域的塗色法
\(
(k-1)^n+(-1)^n \times (k - 1)
\)
\(
因此所求為(3-1)^{12} +(-1)^{12} \times (3-1)=4098
\)
亦可以用遞迴式來求，可設將一圓分成n個相等扇形有a_n 個塗色方法，故
\(
\begin{array}{l}
a_n = a_{n -1} + 2a_{n - 2} {\rm{ }},{\rm{ }}n \ge {\rm{5}},a_1 = 3,a_2 = 6,a_3 = 6,a_4 = 18 \\
\end{array}
\)

第12題 thepiano樓上有PO了

作者: 阿光 時間: 2017-4-30 21:00

謝謝為什麼12題我的電腦看不到解答

作者: 阿光 時間: 2017-4-30 21:41

謝謝

作者: SCCDCD 時間: 2017-5-2 12:29 標題: 回復 16# thepiano 的帖子

感謝鋼琴老師！

作者: rotch 時間: 2017-5-2 14:51 標題: 回復 12# james2009 的帖子

您好：
我從倒數第三行起就看不懂如何往下推了

作者: eyeready 時間: 2017-5-2 18:30 標題: 回復 22# rotch 的帖子

應該是這樣吧？

圖片附件: image.jpg (2017-5-2 18:30, 77.87 KB) / 該附件被下載次數 4001
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4034&k=d0e37bfa6ca602a01e0bec36119faa5d&t=1732232174

作者: rotch 時間: 2017-5-2 20:52 標題: 回復 23# eyeready 的帖子

感恩您的說明

作者: d3054487667 時間: 2017-5-3 21:21

想請教第11題，謝謝！

作者: thepiano 時間: 2017-5-3 23:52 標題: 回復 25# d3054487667 的帖子

第 11 題
\(\displaystyle A=\frac{1}{2}\left[\matrix{\displaystyle cos\frac{2\pi}{n}&-sin\frac{2\pi}{n}\cr sin\frac{2\pi}{n}&cos\frac{2\pi}{n}}\right]\)，\(x_1=1,y_1=0\)，\(\left[\matrix{x_{k+1}\cr y_{k+1}}\right]=A\left[\matrix{x_k\cr y_k}\right],k\in N\)，平面上\(O(0,0),P_k(x_k,y_k),P_{k+1}(x_{k+1},y_{k+1}),\)所圍三角形面積為\(S_k\)，求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}(n\times \sum_{k=1}^n S_k)\)　　　。
[解答]
請參考附件

附件: 20170504.pdf (2017-5-3 23:52, 105.84 KB) / 該附件被下載次數 5217
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作者: eyeready 時間: 2017-5-4 00:06 標題: 回復 26# thepiano 的帖子

解法一樣小弟就刪帖，不獻醜了！>"<

作者: d3054487667 時間: 2017-5-4 09:21 標題: 回復 26# thepiano 的帖子

謝謝 thepiano 老師，我知道我哪裡出問題了，沒注意到sin2(pi)/n恆正可以去掉絕對值，謝謝指教

作者: cefepime 時間: 2017-5-7 23:49

12.
設\(x,y,z\)為非負實數，且\(x+2y+3z=1\)。求\(2x^2y+12y^2z+9z^2x\)的最大值為　　　。
[解答]
一個與 thepiano 老師雷同的作法。

原題即: a, b, c 為非負實數，a + b + c = 1，求 a²b + b²c + c²a 的最大值。

解: 不妨設 a ≥ b，a ≥ c。因 a²b + b²c + c²a - (ab² + bc² + ca²) = (a-b)(a-c)(b-c)，可進一步設 a ≥ b ≥ c，則 ab ≥ ac ≥ bc。

由排序不等式: a²b + b²c + c²a ≤ a²b + abc + bc² = b (a² + ac + c²) = b [ (a+c)² - ac ]

當 b 為定值時 (則 a+c 亦然)，右式在 c = 0 時有最大值，且可取得等號。

故原題化為: 非負實數 a + b = 1，求 a²b 的最大值。則由 AM ≥ GM 得最大值 = 4/27。

作者: YAG 時間: 2017-5-9 18:37 標題: 請問填充六

請問填充六謝謝

作者: zidanesquall 時間: 2017-5-9 20:31 標題: 回復 30# YAG 的帖子

一個四面體的每一個面都是邊長分別為6,9,9的三角形，求該四面體體積　　　。
[解答]

畫出來，四個面都會是等腰三角形

設\(\overline{BC}\)中點為\(M\)、\(\overline{AD}\)中點為\(N\)、高為\(h\)

則\(\overline{AM}=\overline{DM}=6\sqrt{2}\)，因為都是等腰三角形，所以\(A\)到底面積的高，垂足會落在\(\overline{BD}\)上，先可得到\(\overline{MN}=3\sqrt{7}\)

\(\displaystyle\frac{\overline{DM}\times h}{2}=\frac{6\times\overline{MN}}{2}\rightarrow h=\displaystyle\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{2}}\)
體積就可以直接算，\(V=\displaystyle\frac{1}{3}\times 6\times 6\sqrt{2}\times\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{2}}\times \frac{1}{2}=18\sqrt{7}\)

圖片附件: IMG_7956.JPG (2017-5-9 20:32, 1.2 MB) / 該附件被下載次數 5806
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作者: thepiano 時間: 2017-5-9 20:40 標題: 回復 30# YAG 的帖子

第 6 題
一個四面體的每一個面都是邊長分別為6,9,9的三角形，求該四面體體積　　　。
[解答]
菱形 ABCD，AB = BC = CD = DA = 9，AC = 6，BD = 2√(9^2 - 3^2) = 12√2
設 AC 和 BD 交於 E，則 BE = DE = 6√2

沿對角線 AC 摺起，讓 B 和 D 的距離為 6，即為題目的四面體
四面體以 △ABC 為底面，高為 △BED 中，D 到 BE 的距離

△ABC = 18√2
△BEC = 9√7，C 到 BE 的距離 = (3/2)√14

所求 = (1/3) * 18√2 * (3/2)√14 = 18√7

作者: thepiano 時間: 2017-5-9 20:50 標題: 回復 31# zidanesquall 的帖子

最後面是乘以1/2吧？

作者: zidanesquall 時間: 2017-5-9 21:11 標題: 回復 33# thepiano 的帖子

對！沒發現我少打了，感謝鋼琴老師！

作者: YAG 時間: 2017-5-9 22:05

謝謝 thepiano 和 zidanesquall 老師

作者: cefepime 時間: 2017-6-22 23:56

6.
一個四面體的每一個面都是邊長分別為6,9,9的三角形，求該四面體體積　　　。
[另解]
4個面皆全等的四面體，可視為在一長方體上取 4 個不共稜的頂點所連接而成 (或說是由一長方體"切"下來的)

令此長方體邊長為 a，a，b，則 a² + a² = 36，a² + b² = 81

⇒ a = √18，b = 3√7

所求 = (1/3)*a²b = 18√7

14.
設\(P,Q\)為橢圓\(\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)上兩動點，\(P\)在第一象限，\(Q\)在第二象限，且\(\angle POQ=90^{\circ}\)(\(O\)為原點)，求\(\triangle POQ\)的最小面積為　　　。
[另解]
考慮橢圓與以其長軸為直徑的圓之關係

令 OP 與 x 軸正向夾角 = θ，tan θ = t

題目所求為角度 α+β 最大時的情形，其中 tan α = t*(2/√3)，tan β = (1/t)*(2/√3)

利用 tan (α+β) = (-2√3)*(t + 1/t) 與 AM-GM 知，此時 t = 1，即 θ = 45°

在 (x²/4) + (y²/3) = 1 上，令 P (x₀，x₀)，所求 = x₀² = 12/7

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