Math Pro 數學補給站

標題: 105師大附中代理 [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2016-6-28 21:21 標題: 105師大附中代理

　

附件: 105師大附中代理題目.pdf (2016-6-28 21:21, 107.46 KB) / 該附件被下載次數 17376
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3548&k=f355402bc54768c340d9517288602f15&t=1775135620

附件: 105師大附中代理答案.pdf (2016-6-28 21:21, 98.47 KB) / 該附件被下載次數 16889
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3549&k=7e56421554ef45185e700804d21f5357&t=1775135620

作者: bugmens 時間: 2016-6-28 21:23

13.
\( \Bigg\{\; \matrix{(x-1)^3+(x-1)(2016)=-105 \cr (y-1)^3+(y-1)(2016)=105} \)，求\( x+y= \)　　　。

計算題
1.
設\(x,y,z\)均為整數且滿足\(\cases{x^3+y^3+z^3=132\cr x+y+z=6}\)，求\(|\;x|\;+2|\;y|\;+|\;z|\;\)的所有可能值為何？

求所有整數\(x,y,z\)滿足\(\cases{x+y+z=4\cr x^3+y^3+z^3=88}\)
(111高中數學能力競賽　彰雲嘉區複賽試題一，https://math.pro/db/thread-3782-1-1.html)

115.3.31補充
滿足方程組\(\cases{x+y+z=0\cr x^3+y^3+z^3=-18}\)的整數序對\((x,y,z)\)總共有　　　組。
(2025TRML，https://math.pro/db/thread-4038-1-1.html)

作者: swallow7103 時間: 2016-6-28 21:46

第13題沒有說 x, y 是實數...
這樣會有9個答案XD 而且不太好算吧！

作者: eyeready 時間: 2016-6-29 19:24

填充第3
設實係數多項式\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)，若\(f(7)=k_1f(3)+k_2f(5)+k_3f(9)+k_4f(11)\)，求\(|\;k_1|\;+|\;k_2|\;+|\;k_3|\;+|\;k_4|\;\)之值為　　　。
[解答]
小弟提供插值解法，如果用差分應該可以更快，不過小弟跟它不熟.....
設\(\displaystyle f(x)=f(3)\times\frac{(x-5)(x-9)(x-11)}{(-2)\times(-6)\times(-8)}+f(5)\times\frac{(x-3)(x-9)(x-11)}{2\times(-4)\times(-6)}+f(9)\times\frac{(x-3)(x-5)(x-11)}{6\times4\times(-2)}+f(11)\times\frac{(x-3)(x-5)(x-9)}{8\times6\times2}\)

當\(x=7\)時：
\(\displaystyle k_1=\frac{2\times(-2)\times(-4)}{(-2)\times(-6)\times(-8)}=-\frac{1}{6}\)
\(\displaystyle k_2=\frac{4\times(-2)\times(-4)}{2\times(-4)\times(-6)}=\frac{2}{3}\)
\(\displaystyle k_3=\frac{4\times2\times(-4)}{6\times4\times(-2)}=\frac{2}{3}\)
\(\displaystyle k_4=\frac{4\times2\times(-2)}{8\times6\times2}=-\frac{1}{6}\)
\(\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{5}{3}\)

作者: cefepime 時間: 2016-6-29 22:06

填充題3. 設實係數多項式 f (x) = x³ + ax² + bx + c，若 f (7) = k₁*f (3) + k₂*f (5) + k₃*f (9) + k₄*f (11)，求 |k₁| + |k₂| + |k₃| + |k₄| 之值。

解: 利用巴貝奇定理，有

f (3) - 4*f (5) + 6*f (7) - 4*f (9) + f (11) = 0

所求 = 5/3。

作者: dark30932 時間: 2016-7-5 13:41

第5題
從連續正整數：1、2、3、……、20 中任取相異三數為一組，
(1)試求總共有　　　組。
(2)令\(x\)為每組中最小的數，求所有\(x\)值的平均為　　　。
[解答]
(1) \(C^{20}_{3} = 1140\)
(2) 所求 \(\displaystyle= \frac{1 \times C^{19}_{2} + 2 \times C^{18}_{2} + 3 \times C^{17}_{2} + \dots + 18 \times C^{2}_{2}}{C^{20}_{3}} = \frac{\displaystyle \sum_{k=1}^{18} k \cdot C^{20-k}_{2}}{C^{20}_{3}}\)
\(\displaystyle= \frac{\displaystyle \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{18} k(20-k)(19-k)}{C^{20}_{3}} = \frac{\displaystyle \sum_{k=1}^{18} (k^3 - 39k^2 + 380k)}{2 \times C^{20}_{3}} = \frac{21}{4}\)

作者: dark30932 時間: 2016-7-5 13:44

第六題
若\(x^2+(\sqrt{m}-12)x+(\sqrt{m}-1)=0\)的二根均為正整數，試求所有\(m\)的和為　　　。
[解答]
設兩正整數根為 \(\alpha, \beta\)，不妨設 \(\alpha \le \beta\)，
則依照根與係數得 \(\begin{cases} \alpha + \beta = 12 - \sqrt{m} & \cdots ① \\ \alpha\beta = \sqrt{m} - 1 & \cdots ② \end{cases}\)
由 \(① + ②\) 得 \(\alpha + \beta + \alpha\beta = 11\Rightarrow (\alpha + 1)(\beta + 1) = 12\)
(i) 若 \(\alpha = 1, \beta = 5 \Rightarrow \sqrt{m} = 6 \Rightarrow m = 36\)
(ii) 若 \(\alpha = 2, \beta = 3 \Rightarrow \sqrt{m} = 7 \Rightarrow m = 49\)
所求 \(= 36 + 49 = 85\)

作者: dark30932 時間: 2016-7-5 14:13

第10題
數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)首項\(a_1=1\)，令\(S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n\)且滿足\(S_n=4(a_{n+1}-1),\forall n\ge 1\)，若\(S_n>400\)，試求最小的\(n\)值為　　　。
[解答]
\(\begin{aligned} S_n &= a_1 + \dots + a_{n-1} + a_n = 4a_{n+1} - 4 \\
-) \quad S_{n-1} &= a_1 + \dots + a_{n-1} \quad \quad = 4a_n - 4 \\
& \underline{\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad} \\
a_n &= 4a_{n+1} - 4a_n \end{aligned}\)
\(\displaystyle \Rightarrow 5a_n = 4a_{n+1} \Rightarrow a_{n+1} = \frac{5}{4}a_n\)
\(\displaystyle S_n = 1 + \frac{5}{4} + \left(\frac{5}{4}\right)^2 + \dots + \left(\frac{5}{4}\right)^{n-1} = \frac{\left(\displaystyle\frac{5}{4}\right)^n - 1}{\displaystyle\frac{5}{4}-1} > 400\)
\(\displaystyle \Rightarrow \left(\frac{5}{4}\right)^n > 101\)
\(\Rightarrow n(\log 5 - 2\log 2) > 2\)
\(\Rightarrow 0.097n > 2.000 \Rightarrow n \ge 20\ldots\)
\( \Rightarrow\)所求 \(= 21\)

作者: dark30932 時間: 2016-7-5 14:13

第11題
令\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)、\(d\)為正整數，若\(7\le a\le b\le c\le d\le e\le 11\)，試求\((a,b,c,d,e)\)有　　　組不同解。
[解答]
所求\(\displaystyle=H^{5}_{5}=C^{9}_{5}=C^{9}_{4}=\frac{9\times 8\times 7\times 6}{24}=18\times 7=126\)

作者: dark30932 時間: 2016-7-5 14:16

另外想要問第12題數列的問題，因為數列太多的技巧了~這一題要利用什麼技巧破題呢?有請各位老師解答。

作者: eyeready 時間: 2016-7-5 14:57 標題: 回復 10# dark30932 的帖子

數列\(\langle\;a_n\rangle\;_{n=1}\)滿足\(a_n=a_{n-1}-a_{n-2},n
\ge 3\)，且\(a_{100}=100\)，\(a_{200}=200\)，求\(a_{300}=\)　　　。
[解答]
提供参考解法

圖片附件: image.jpg (2016-7-5 14:57, 40.48 KB) / 該附件被下載次數 6310
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3568&k=5b6de809382864bd3f5c4810015b8ffb&t=1775135620

作者: gamaisme 時間: 2016-7-5 15:15 標題: 回復 11# eyeready 的帖子

想請教第7題
題目沒有X的2次項嗎?

作者: thepiano 時間: 2016-7-5 15:26 標題: 回復 12# gamaisme 的帖子

漏打了

作者: dark30932 時間: 2016-7-5 16:15 標題: 回復 11# eyeready 的帖子

感謝您~
原來可以這樣看規律阿~
眼界大開

作者: dark30932 時間: 2016-7-5 16:17

想請問第二題，小弟知道圖形為折線圖，但是折線圖的最低點要怎麼求呢?
請網上的老師開示~謝謝

作者: eyeready 時間: 2016-7-5 16:27 標題: 回復 15# dark30932 的帖子

小弟淺見
第二題的圖形為「平底型」，非尖底型，因此取值範圍在50-51其值皆相同，故可取50代入即是最小值（絕對值函數最小值發生在中位數）

作者: 阿光 時間: 2016-8-2 21:14

想請教填充4和14題,謝謝

作者: thepiano 時間: 2016-8-2 21:38 標題: 回復 17# 阿光的帖子

第4題
\(12\times {{10}^{8}}=10\times 10\times 200\times 60000<A<20\times 20\times 300\times 70000=84\times {{10}^{8}}\)
另解
\(A=\left( {{2}^{2}}-1 \right)\left( {{2}^{2}}+1 \right)\left( {{2}^{4}}+1 \right)\left( {{2}^{8}}+1 \right)\left( {{2}^{16}}+1 \right)={{2}^{32}}-1\)

作者: thepiano 時間: 2016-8-2 23:08 標題: 回復 17# 阿光的帖子

第14題
\(\begin{align}
& \sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left\{ \frac{\sum\limits_{k=1}^{{{2}^{n}}-1}{\left[ {{\log }_{2}}k \right]}}{{{3}^{n}}} \right\}} \\
& =\frac{1\times 2}{3{}^{2}}+\frac{1\times 2+2\times 4}{3{}^{3}}+\frac{1\times 2+2\times 4+3\times 8}{3{}^{4}}+...+\frac{1\times 2+2\times 4+3\times 8+...+\left( n-1 \right)\times {{2}^{n-1}}}{3{}^{n}} \\
& =\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{\left( n-2 \right)\times {{2}^{n}}+2}{{{3}^{n}}}} \\
& =\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\left( n-2 \right)\times {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{n}}}+2\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{1}{{{3}^{n}}}} \\
& =\frac{8}{3}+\frac{1}{3} \\
& =3 \\
\end{align}\)

作者: andy2361336 時間: 2016-8-3 15:44 標題: 回復 6# dark30932 的帖子

第五題第二小題
1*C(19,2)+2*C(18,2)+3*C(17,2)+...+18*C(2,2)=C(20,3)+C(19,3)+...+C(4,3)+C(2,2) = C(20,4) (巴斯卡定理)

所求之平均值為C(20,4)/C(20,3)=21/4

作者: Nan3010 時間: 2023-5-8 21:40

想請問填充2、8、9、13，謝謝各位老師~

作者: Ellipse 時間: 2023-5-9 09:26

引用:

原帖由 Nan3010 於 2023-5-8 21:40 發表
想請問填充2、8、9、13，謝謝各位老師~

填2:
找1,2,.........,100的中位數

填13:
令a=x-1,b=y-1
a^3+2016a+105=0-------(1)
b^3+2016b-105=0--------(2)
(1)+(2) 得(a+b)(a²+b²-ab+2016)=0
a+b=0 ,(x-1)+(y-1)=0 ,x+y=2
(但a²+b²-ab+2016
=(a-b/2)² +3b²/4 +2016 >0)

作者: Nan3010 時間: 2023-5-9 21:14 標題: 回覆 22# Ellipse 的帖子

謝謝老師~

作者: DavidGuo 時間: 2023-5-9 22:52 標題: 第8題

引用:

原帖由 Nan3010 於 2023-5-8 21:40 發表
想請問填充2、8、9、13，謝謝各位老師~

\((x^2-x+2)=(x-1)^2+1\geq1>0\)所以不用管
然後\((x-1)\)在分母，所以\(x\neq1\)
剩下的化成一次因式，且由小到大排好\((x-(-2))(x-(-1))(x-(-1))(x-1)(x-3)\leq0\)
所以從右邊數過來偶數區間\(1\leq x\leq3\)、\(-1\leq x\leq -1\)、\(x\leq -2\)，
整理以上，得\(1<x\leq3\)或\(x=-1\)或\(x\leq -2\)。

作者: DavidGuo 時間: 2023-5-9 23:05 標題: 第9題

引用:

原帖由 Nan3010 於 2023-5-8 21:40 發表
想請問填充2、8、9、13，謝謝各位老師~

\(\displaystyle\log_3(3^x+26)<\frac x2+1+\log_34=\log_34(3^{\frac x2+1})\)
因為\(\log_3x\)是嚴格遞增函數，所以
\(\displaystyle3^x+26<4(3^{\frac x2+1})=12\times3^{\frac x2}\)
推得\(\displaystyle\left(3^{\frac x2}\right)^2-12\times3^{\frac x2}+26<0\)
所以\(\displaystyle3<3^{\frac x2}<9\)，
又因\(3^x\)是嚴格遞增函數，所以\(\displaystyle1<\frac x2<2\)，推得\(2<x<4\)。

作者: johncai 時間: 2024-1-18 10:25 標題: 回覆 2# bugmens 的帖子

請問建中通訊解題53期那題題目有誤嗎?
是不是應該是(y-4)^5?
因為連結網址也連結不上去
謝謝

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0