標題: 105彰化高中 [打印本頁]

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作者: bugmens    時間: 2016-4-30 00:05     標題: 105彰化高中

105.5.3補充
公告本校105學年度第1次教師甄選第一階段錄取名單
一、第一階段錄取名單請詳見附件公告(本階段數學最低錄取分數為59分，國文最低錄取分數57分)。
二、第一階段錄取進入第二階段甄試人員，請下載口試共同問題表於105年5月8日(星期日)上午8時至8時30分報名時一併繳交。
http://www.chsh.chc.edu.tw/files/14-1000-7229,r44-1.php

附件: 105彰化高中.pdf (2016-4-30 00:05, 308.87 KB) / 該附件被下載次數 10714
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3316&k=5d2252fcc069d430ee514d6ae4e4ac41&t=1713970717

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作者: bugmens    時間: 2016-4-30 00:06

2.
設甲乙兩袋球，甲袋有一白球一黑球，乙袋有一白球，從甲袋隨機取一球放入乙袋，再從乙袋隨機取一球放回甲袋，完成這樣的動作稱為一局，試求\(n\)局後甲袋有一白球一黑球的機率為何？
(101文華高中，shiauy提供的詳解https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1333&page=7#pid5410)
(110彰化女中，https://math.pro/db/thread-3514-1-1.html)


6.
\(P\)為正三角形\( \Delta ABC \)內的一點，其中\( \overline{PA}=4 \)、\(\overline{PB}=5\)、\(\overline{PC}=3\)，試求\( \Delta ABC \)的面積。
建中通訊解題第106期有這類問題的解答，http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathwe ... 30-15&Itemid=37
或是參考這篇https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2259&page=1#pid13359


7.
若多項式\( (1+x+x^2+x^3+x^4)^{11}=1+a_1 x+a_2 x^2+\ldots+a_{43}x^{43}+x^{44} \)，試求\( a_6= \)？

若多項式\( (1+x+x^2+x^3+x^4)^{11} \)的展開式為\( 1+a_1x+a_2x^2+a+\ldots+a_{43}a^{43}+x^{44} \)，試求實數\(  a_{2} \)之值。
(90全國高中數學競賽　高屏區，http://www.tcfsh.tc.edu.tw/media ... -26-17-14-2-nf1.pdf　第14頁)


9.
設\(x,y \in R\)，則\( \sqrt{x^2+y^2-2x+4y+9}+\sqrt{x^2+y^2+6x-4y+38} \)的最小值為何？
[提示]
\(\sqrt{(x-1)^2+(y+2)^2+(0-2)^2}+\sqrt{(x+3)^2+(y-2)^2+(0-5)^2}\)


14.
\( \displaystyle \sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\ldots+\sqrt{1+\frac{1}{2015^2}+\frac{1}{2016^2}}= \)？
(建中通訊解題第88期有解答，http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathwe ... 30-15&Itemid=37)


15.
如圖，若\(\overline{AB}\)為直徑，\(O\)為圓心，\(E\)、\(F\)為圓上兩相異點，\(D\)在\(\overline{OB}\)上且\(∠OED=∠OFD=20^{\circ}\)，\(∠AOE=60^{\circ}\)，求\(∠BOF=\)？

下圖表示以\(C\)為圓心，\(\overline{AB}\)為直徑之半圓，設\(E\)，\(F\)為半圓周上兩相異點，\(D\)點在\(\overline{BC}\)上且有\( ∠CED=∠CFD=10^{\circ} \)，若\(∠ACE=40^{\circ} \)，試求\( ∠BCF \)的度數。
(88高中數學能力競賽，http://www.tcfsh.tc.edu.tw/media ... -26-17-13-2-nf1.pdf　第22頁)


17.
若對\( n=4,6,8,10 \)，實數\(a,b,c,d\)滿足\( \displaystyle \frac{a^2}{n^2-3^2}+\frac{b^2}{n^2-5^2}+\frac{c^2}{n^2-7^2}+\frac{d^2}{n^2-9^2}=1 \)，求\(a^2+b^2+c^2+d^2=\)？

Determine \( w^2+x^2+y^2+z^2 \) if
\( \displaystyle \frac{x^2}{2^2-1}+\frac{y^2}{2^2-3^2}+\frac{z^2}{2^2-5^2}+\frac{w^2}{2^2-7^2}=1 \)
\( \displaystyle \frac{x^2}{4^2-1}+\frac{y^2}{4^2-3^2}+\frac{z^2}{4^2-5^2}+\frac{w^2}{4^2-7^2}=1 \)
\( \displaystyle \frac{x^2}{6^2-1}+\frac{y^2}{6^2-3^2}+\frac{z^2}{6^2-5^2}+\frac{w^2}{6^2-7^2}=1 \)
\( \displaystyle \frac{x^2}{8^2-1}+\frac{y^2}{8^2-3^2}+\frac{z^2}{8^2-5^2}+\frac{w^2}{8^2-7^2}=1 \)
(1984AIME，https://www.artofproblemsolving. ... Problems/Problem_15)
(104第二學期中山大學雙週一題，http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2016s/3ans.pdf)
(建中通訊解題第72期)

110.2.10補充
已知實數\(a,b,c\)滿足下列條件：
\(\cases{\displaystyle \frac{a}{1^2+2^2}+\frac{b}{2^2+3^2}+\frac{c}{2^2+5^2}=1\cr
\frac{a}{1^2+4^2}+\frac{b}{3^2+4^2}+\frac{c}{4^2+5^2}=1\cr
\frac{a}{1^2+6^2}+\frac{b}{3^2+6^2}+\frac{c}{5^2+6^2}=1}\)
試求\(a+b+c\)之值。
(109高中數學能力競賽　高雄市複試筆試一，https://math.pro/db/thread-3467-1-1.html)

112.5.7補充
若實數\(x\)、\(y\)、\(z\)滿足\(\cases{\displaystyle \frac{x}{1^2+4^2}+\frac{y}{1^2+5^2}+\frac{z}{1^2+6^2}=1 \cr
\frac{x}{2^2+4^2}+\frac{y}{2^2+5^2}+\frac{z}{2^2+6^2}=1 \cr
\frac{x}{3^2+4^2}+\frac{y}{3^2+5^2}+\frac{z}{3^2+6^2}=1}\)，求\(x+y+z=\)　　　。
(112全國高中聯招，https://math.pro/db/thread-3740-1-1.html)

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作者: Ellipse    時間: 2016-4-30 09:39

引用:

原帖由 bugmens 於 2016-4-30 12:05 AM 發表
　

#14
琴生不等式~~

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作者: 小蝦米    時間: 2016-4-30 11:47

# 7
請問用H(11,6)-C(11,1)H(11,1)是對的嗎?

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作者: thepiano    時間: 2016-4-30 14:37     標題: 回復 4# 小蝦米 的帖子

這樣答案是7887，跟小弟算的一樣

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作者: EZWrookie    時間: 2016-4-30 14:58

想請教 1 4 10  這三題
另外想請問 這幾題的答案是否正確?　2. 2/3
                                                                  12. 1/2
                                                                  16. (根號６-根號４)/4
謝謝各位前輩。

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作者: thepiano    時間: 2016-4-30 15:25     標題: 回復 6# EZWrookie 的帖子

第 1 題
把 y、z、u 用 x 來表示

第 4 題
根與係數搭配柯西

第 10 題
(10a + b)^2 = 100a^2 + 20ab + b^2
b^2 的十位要奇數

另外
第 2 題的答案應是要以 n 來表示
第 12 題答案正確
第 16 題小弟是算 3

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作者: EZWrookie    時間: 2016-4-30 16:39     標題: 回復 7# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師的講解， 2 10 16 這三題都解決了!
1. 4.這兩題還在思考中。

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作者: 小蝦米    時間: 2016-4-30 18:57     標題: 回復 5# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師!

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作者: peter0210    時間: 2016-4-30 21:04

請教13題，小弟一直算1/3

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作者: thepiano    時間: 2016-4-30 21:50     標題: 回復 10# peter0210 的帖子

第 13 題
您的答案正確

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作者: agan325    時間: 2016-4-30 22:38

想要請問 #5 #15 #16 這三題
多謝各位老師們

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作者: thepiano    時間: 2016-4-30 23:04

引用:

原帖由 agan325 於 2016-4-30 10:38 PM 發表
想要請問 #5 #15 #16 這三題

第5題
分別用\(a=\frac{x-3}{x+1},x=\frac{3+a}{1-a}\)和\(b=\frac{3+x}{1-x},x=\frac{b-3}{1+b}\)代入原方程，可得兩方程，再解聯立

第15題
見圖，圖上的C請自行改成O

第16題
先解\(1+i\)的三次方根，再分別算\(\tan \frac{\pi }{12},\tan \frac{9\pi }{12},\tan \frac{17\pi }{12}\)的值

[ 本帖最後由 thepiano 於 2016-4-30 11:08 PM 編輯 ]

圖片附件: 20160119_2.jpg (2016-4-30 23:04, 46.42 KB) / 該附件被下載次數 4667
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3317&k=6c29ce46d34b3b8373f9b6e8de1ea9fa&t=1713970717

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作者: agan325    時間: 2016-4-30 23:20     標題: 回復 13# thepiano 的帖子

非常感謝鋼琴師 大力解決我的疑惑

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作者: chiang    時間: 2016-5-1 22:29

引用:

原帖由 peter0210 於 2016-4-30 09:04 PM 發表
請教13題，小弟一直算1/3

請教
這題怎算?
我想用座標，可是掛點，轉不出頭緒

另，再追問12題,
謝謝

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作者: litlesweetx    時間: 2016-5-2 01:12

12題
可以變成1+2a/x-a 再試試看

13題
R對PQ垂足點H
再求RH  RA  HA 應該就可以求高了

想問一下18的證明
我把它移項<0  然後再來是用公式展開嗎??
做不出來可以請老師提示一下嗎??

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作者: thepiano    時間: 2016-5-2 12:10     標題: 回復 16# litlesweetx 的帖子

第18題
\(\begin{align}
  & {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}\ge 3abc \\
& {{a}^{3}}+{{b}^{3}}\ge {{a}^{2}}b+{{b}^{2}}a \\
& {{b}^{3}}+{{c}^{3}}\ge {{b}^{2}}c+{{c}^{2}}b \\
& {{c}^{3}}+{{a}^{3}}\ge {{c}^{2}}a+{{a}^{2}}c \\
\end{align}\)

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作者: leo790124    時間: 2016-5-2 14:53     標題: 回復 17# thepiano 的帖子

請問下面三條式子是利用到排序不等式嗎?

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作者: cefepime    時間: 2016-5-2 14:59

13.
注意到 RA, RP, RQ 兩兩垂直，故 R-APQ 體積 = (1/6)*(1/2)*(1/2)*1 = (1/3)*(a△APQ)*h
又 a△APQ = 1 - (1/4) - (1/4) - (1/8) = 3/8，得 h = 1/3

想用坐標的話:
令 R 為原點，RQ, RP, RA 分別為 x, y, z 軸正向
由截距式，APQ 平面方程式: 2x + 2y + z = 1
再由距離公式: h = 1/√(4+4+1) = 1/3

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作者: CyberCat    時間: 2016-5-2 16:09     標題: 回復 18# leo790124 的帖子

\( a^{3}+b^{3}= ( \frac{a^{3}}{3}+\frac{a^{3}}{3}+\frac{b^{3}}{3}) +( \frac{a^{3}}{3}+\frac{b^{3}}{3}+\frac{b^{3}}{3})
\geq  3\sqrt[3]{\frac{a^{6}b^{3}}{27}} + 3\sqrt[3]{\frac{a^{3}b^{6}}{27}} = a^{2}b+ab^{2} \)

同理可得 另兩式

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作者: cefepime    時間: 2016-5-2 16:20

18. a, b, c ∈ R⁺，證明 3(a³ + b³ + c³) ≥ (a + b + c) (ab + bc + ca)。

thepiano 老師的方法大概是最簡潔的!


個人嘗試:


1. 排序不等式及其衍申

1-1 排序不等式 / Chebyshev 不等式

3 (a³ + b³ + c³) ≥ (a + b + c) (a² + b² + c²) ≥ (a + b + c) (ab + bc + ca)，得證。

1-2 微微對偶不等式

a³ + b³ + c³ ≥ 3abc
a³ + b³ + c³ ≥ a²b + b²c + c²a
a³ + b³ + c³ ≥ a²c + b²a + c²b

三式相加，得證。


2. Jensen 不等式

3 (a³ + b³ + c³) ≥ (a + b + c)³ / 3

(a + b + c)² ≥ 3 (ab + bc + ca)

綜上得證。


3. 柯西不等式(推廣型) [不知道教甄是否允許逕用此法?]

(a³ + b³ + c³) (1 +1 +1) (1 + 1 + 1) ≥ (a + b + c)³

(a³ + b³ + c³) (b³ + c³ + a³) (1 + 1 + 1) ≥ (ab + bc + ca)³

二式相乘，開立方，得證。


4. Muirhead 不等式

因 (3, 0, 0) 蓋 (1, 1, 1) ⇒ a³ + b³ + c³ ≥ 3abc

因 (3, 0, 0) 蓋 (2, 1, 0) ⇒ 2a³ + 2b³ + 2c³ ≥ a²b + b²c + c²a + ab² + bc² + ca²

二式相加，得證。


[ 本帖最後由 cefepime 於 2016-6-22 02:22 PM 編輯 ]

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作者: Sandy    時間: 2016-5-2 16:38     標題: 回復 4# 小蝦米 的帖子

第七題直接算，計算過程有點冗長

可以請教一下想法嗎？

謝謝

[ 本帖最後由 Sandy 於 2016-5-2 04:42 PM 編輯 ]

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作者: thepiano    時間: 2016-5-2 21:14     標題: 回復 18# leo790124 的帖子

\(\begin{align}
  & {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}\ge ab \\
& \left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)\ge ab\left( a+b \right) \\
& {{a}^{3}}+{{b}^{3}}\ge {{a}^{2}}b+{{b}^{2}a} \\
\end{align}\)

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作者: thepiano    時間: 2016-5-2 21:18     標題: 回復 22# Sandy 的帖子

第 7 題
a_1 + a_2 + ... + a_11 = 6
0 ≦ a_1，a_2，...，a_11 ≦ 4
所以要扣掉 a_1，a_2，...，a_11 = 6 和 a_1，a_2，...，a_11 = 5 的情形

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作者: thepiano    時間: 2016-5-2 21:21     標題: 回復 21# cefepime 的帖子

教甄可用廣義柯西不等式

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作者: eyeready    時間: 2016-5-2 23:24     標題: 回復 22# Sandy 的帖子

看成11個相同的袋子，每個袋子最多有4顆球 全部共有6顆，放法有

H(11,6)-C(11,1)*H(11,1)=7887

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作者: eyeready    時間: 2016-5-2 23:51

小弟算的參考答案，有錯誤請指正
1 83
2 [(1/4)^n+2]*(1/3)
3 26根號2
4  (x-0.5)^8
5  太難打了
6 (36+25根號3)*(1/4)
7 7887
8 4根號593
9 9
10 404
11 369/400
12 1/2
13 1/3
14 2015又2015/2016
15 20°
16 3
17 52
18 排序不等式

[ 本帖最後由 eyeready 於 2016-5-3 10:49 AM 編輯 ]

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作者: jackyxul4    時間: 2016-5-3 00:07     標題: 回復 27# eyeready 的帖子

4.http://www.wolframalpha.com/input/?i=(x-0.5)%5E8

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作者: gamaisme    時間: 2016-5-3 08:48     標題: 回復 27# eyeready 的帖子

eyeready您好
4. 應該打錯了是(x-1/2)^8才對

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作者: eyeready    時間: 2016-5-3 09:24     標題: 回復 29# gamaisme 的帖子

已更正，感謝！

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作者: CyberCat    時間: 2016-5-4 09:57     標題: 回復 27# eyeready 的帖子

不好意思，請問一下第8題您如何計算的?
我算出來的答案跟你不一樣(且大很多

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作者: thepiano    時間: 2016-5-4 10:27     標題: 回復 31# CyberCat 的帖子

第 8 題
當 AE 和 BD 交於 P 時，PE + PC = AE 有最小值

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作者: CyberCat    時間: 2016-5-4 10:38     標題: 回復 32# thepiano 的帖子

感謝鋼琴老師提點，我懂了！！

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作者: hsifeht    時間: 2016-5-5 13:52     標題: 回復 13# thepiano 的帖子

鋼琴老師好 :
看了第五題的題示後
小弟還是不會做 XD

可否請老師再仔細說明 ， 謝謝 !

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作者: thepiano    時間: 2016-5-5 14:31     標題: 回復 34# hsifeht 的帖子

第5題
請參考
https://dl.dropboxusercontent.com/u/53005093/20160501_3.docx

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作者: hsifeht    時間: 2016-5-9 16:50     標題: 回復 35# thepiano 的帖子

小弟謝謝鋼琴老師 !! 謝謝 !!

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作者: laylay    時間: 2016-5-10 19:05     標題: 回復 10# peter0210 的帖子

沒錯,1/6(1/2)(1/2)(1)=1/3(1-1/8-1/4-1/4)h
h=1/3

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作者: shihtc    時間: 2016-5-11 15:02     標題: 想再請問第4題

雖有提示，但第4題還是不知如何下手，可否再請教一下。謝謝

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作者: thepiano    時間: 2016-5-11 15:22     標題: 回復 38# shihtc 的帖子

第4題
\(\begin{align}
  & {{x}_{1}}+x{}_{2}+\cdots +{{x}_{8}}=4 \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}{{x}_{3}}+\cdots +{{x}_{7}}{{x}_{8}}=7 \\
&  \\
& {{x}_{1}}^{2}+x{{{}_{2}}^{2}}+\cdots +{{x}_{8}}^{2} \\
& ={{\left( {{x}_{1}}+x{}_{2}+\cdots +{{x}_{8}} \right)}^{2}}-2\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}{{x}_{3}}+\cdots +{{x}_{7}}{{x}_{8}} \right) \\
& =2 \\
&  \\
& {{\left( {{x}_{1}}+x{}_{2}+\cdots +{{x}_{8}} \right)}^{2}}\le \left( {{x}_{1}}^{2}+x{{{}_{2}}^{2}}+\cdots +{{x}_{8}}^{2} \right)\left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}}+\cdots +{{1}^{2}} \right) \\
\end{align}\)
等號成立於\({{x}_{1}}={{x}_{2}}=\cdots ={{x}_{8}}=\frac{1}{2}\)

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作者: ferng    時間: 2016-6-16 15:23     標題: 請問第10題

在1^2, 2^2, 3^2,...., 2016^2這些數中十位數字為奇數的數共有幾個？
piano老師講解的，不太懂，可以教一下嗎？
謝謝！

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作者: thepiano    時間: 2016-6-16 15:40     標題: 回復 40# ferng 的帖子

\({{\left( 10a+b \right)}^{2}}=100{{a}^{2}}+20ab+{{b}^{2}}\)

20ab的十位數字一定是偶數，所以\({{b}^{2}}\)的十位數字一定要奇數，才能符合所求
而\({{b}^{2}}\)的十位數字要奇數，b不是4就是6

[ 本帖最後由 thepiano 於 2016-6-16 03:41 PM 編輯 ]

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作者: ferng    時間: 2016-6-16 16:48

謝謝piano老師，我解出來了。

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作者: swallow7103    時間: 2016-6-17 17:57     標題: 第一題

注意到 x, y, z ,u 都要是正整數，
所以x,y,z都要解出來檢查是否符合，
(例如：若\( \Delta_y=17u \)，u 就要取34而x 最小166)
不能只算其中一項。

[ 本帖最後由 swallow7103 於 2016-6-17 05:58 PM 編輯 ]

附件: 105彰中1.pdf (2016-6-17 17:58, 173.49 KB) / 該附件被下載次數 6123
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3498&k=2ea316f683e1efb95d3fd7da1a08b341&t=1713970717

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作者: cefepime    時間: 2016-6-18 22:37

1. 下列方程組

x + y = 3*(z + u)

x + z = 4*(y + u)

x + u = 5*(y + z)

的解 (x, y, z, u)，其中 x，y，z 與 u 皆為正整數，求 x 可能的最小值為何?


構想: 由於本題係數分配的特殊性，可以用小學生式的想法解題。

解: 題目三式，分別給出了 x+y，x+z，與 x+u 對於 x+y+z+u 的比值，依序為: 3/4，4/5，5/6。

⇒ x / (x+y+z+u) = [ (3/4) + (4/5) + (5/6) -1 ] / 2 = 83/120

至此，因 83 是質數，且 120 為 4，5，6 之公倍數，即知 x 的最小值 = 83。

(當然亦可依序由藍減綠，得 x : y : z : u = 83 : 7 : 13 : 17 ⇒ 所求 = 83)

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