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標題: 105台南女中 [打印本頁]

作者: 六道 時間: 2016-4-24 18:30 標題: 105台南女中

今天台南女中跟台南二中同一天考試
這是校方提供的題目和解答請大大們撥冗看看謝謝

105.4.26補充
美夢成真教甄論壇的討論
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=6061

附件: 台南女中105學年度第1次教師甄選數學科試題 (.pdf (2016-4-24 18:30, 155.03 KB) / 該附件被下載次數 15445
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附件: 105台南女中學年度第1次教師甄選數學科參考解答.pdf (2016-4-24 18:30, 160 KB) / 該附件被下載次數 14951
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作者: 六道 時間: 2016-4-24 18:34 標題: 回復 1# 六道的帖子

填充14
已知\( A(−4,13,1) \)、\( B(4,8,5) \)，若點\( P \)在平面\( E \)：\(x+3y-z=1 \)上，試求當\( \overline{PA}^2+\overline{PB}^2 \)有最小值時，\( P \)點之坐標　　　

在下野人獻曝解這題...
這題要先求出\( A\)點到平面\(E\)的距離，然後求\(B\)點到平面\(E\)的距離
得到這兩個距離的比值之後就是\( \overline{AP}\)比\( \overline{PB} \) 的比例
接下來只要用分點座標公式即可求出\(P\)點座標

作者: bugmens 時間: 2016-4-24 18:57

填充題
1.
\(n\)為自然數，若\( \displaystyle a_1=\frac{1}{2} \)，\( a_{n+1}=2(a_n+1) \)，求數列\( \)的第100項\(a_{100}=\)　　　。
(我的教甄準備之路　求數列一般項，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid9507)

9.
\(a_n\)為\( \displaystyle \frac{1}{n},\frac{2}{n},\frac{3}{n},\ldots,\frac{n}{n} \)這\(n\)個數的標準差，求\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n\)之值　　　

將\( \displaystyle \frac{1}{n},\frac{2}{n},\ldots,\frac{n}{n} \)等\(n\)個數的算術平均數記為\(a_n\)，其標準差記為\(b_n\)，則\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\)　　　，\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n=\)　　　。
(81大學聯考，https://math.pro/db/thread-2441-1-1.html)

計算題
1.
\(n\)為正整數，証明：\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k \cdot k!=(n+1)!-1 \)
[提示]
\( k \cdot k!=(k+1)!-k! \)

2.
\(f(x) \)是二次多項式，若實數\(a,b,c\)使得\( f(15)=af(11)+bf(12)+cf(14) \)，求\(a+b+c\)。
[解答]
差分
\( \matrix{f(11)&　&f(12)&　&f(13)&　&f(14)&　&f(15) \cr
　&f(12)-f(11)&　&f(13)-f(12)&　&f(14)-f(13)&　&f(15)-f(14)&　\cr
　&　&f(13)-2f(12)+f(11)&　&f(14)-2f(13)+f(12)&　&f(15)-2f(14)+f(13)&　&　}\)

得到
\( f(13)-2f(12)+f(11)=f(14)-2f(13)+f(12)=f(15)-2f(14)+f(13) \)

\( f(13)-2f(12)+f(11)=f(14)-2f(13)+f(12) \)　，　\( 3f(13)=f(14)+3f(12)-f(11) \)
\( f(14)-2f(13)+f(12)=f(15)-2f(14)+f(13) \)　，　\( f(15)+3f(13)=3f(14)+f(12) \)
兩式相減得
\( f(15)=2f(14)-2f(12)+f(11) \)

延伸閱讀
巴貝奇定理，https://math.pro/db/thread-673-1-1.html

作者: 八神庵 時間: 2016-4-24 20:56

引用:

原帖由六道於 2016-4-24 06:34 PM 發表
14.已知 A(−4,13,1) 、 B(4,8,5) ，若點 P 在平面 E：x+3y-z=1 上，試求當PA^2+PB^2有最小值時， P 點之坐標

在下野人獻曝解這題...
這題要先求出\( A\)點到平面\(E\)的距離然後求\(B\)點到平面\(E\)的距離
得到這兩個距離的比值之後就 ...

敝人的作法比較投機
先求\(A\)在平面\(E\)的投影點\(A'\)
再求\(B\)在平面\(E\)的投影點\(B'\)
則線段\(A'B'\)的中點即為所求

作者: 八神庵 時間: 2016-4-24 20:59

引用:

原帖由 bugmens 於 2016-4-24 06:57 PM 發表
1.
\(n\)為自然數，若\( \displaystyle a_1=\frac{1}{2} \)，\( a_{n+1}=2(a_n+1) \)，求數列\( \)的第100項\(a_{100}=\)　　　。
(我的教甄準備之路　求數列一般項，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid ...

bugmens大
我也用差分
不過因為這個是二次多項式
三次的差分為0
即\(f(x+3)-3f(x+2)+3f(x+1)-f(x)=0\)
\(x=11\)與12代入相加即為所求
不過南女公佈的參考解法為Lagrange 插值多項式....
真的很無言....

作者: chiang 時間: 2016-4-25 21:36 標題: 請教填充3、4題

請教大大
填充3、4題
完全不知道如何下手!!......沮喪中

謝謝您

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作者: Ellipse 時間: 2016-4-25 23:08

引用:

原帖由 chiang 於 2016-4-25 09:36 PM 發表
請教大大
填充3、4題
完全不知道如何下手!!......沮喪中
3290
謝謝您

空間中三非零向量\(\vec{OA},\vec{OB},\vec{OC}\)，\(∠AOB=30^{\circ}\)，\(∠BOC=45^{\circ}\)，\(∠COA=60^{\circ}\)，令\(\theta\)為平面\(AOB\)及平面\(BOC\)的法向量夾角，則\(|\;cos \theta|\;=\)　　　。

匆忙解題,字跡醜請見諒~~

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作者: weiye 時間: 2016-4-26 11:18 標題: 回復 6# chiang 的帖子

第五題
空間中三非零向量\(\vec{OA},\vec{OB},\vec{OC}\)，\(∠AOB=30^{\circ}\)，\(∠BOC=45^{\circ}\)，\(∠COA=60^{\circ}\)，令\(\theta\)為平面\(AOB\)及平面\(BOC\)的法向量夾角，則\(|\;cos \theta|\;=\)　　　。

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作者: weiye 時間: 2016-4-26 11:27 標題: 回復 6# chiang 的帖子

第四題
紅、藍、綠、白四種顏色塗在下面的四個格子中，一個格子塗一種顏色，而每個顏色可重複使用，但翻轉相同視為同一種塗法(即紅、藍、綠、白與白、綠、藍、紅視為同一種)。則總共有　　　種不同的塗法。
☐☐☐☐

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作者: byron0729 時間: 2016-4-26 20:32

想請教11.12.13~~懇請賜教

作者: thepiano 時間: 2016-4-26 21:06 標題: 回復 10# byron0729 的帖子

第12題
函數\(f(x)=x^3-9x^2+15x-7\)圖形的切線中，過點\(P(0,a)\)的恰有相異兩條，求\(a\)之值=　　　。
[解答]
過切點\(\left( t,{{t}^{3}}-9{{t}^{2}}+15t-7 \right)\)的切線為\(y-\left( {{t}^{3}}-9{{t}^{2}}+15t-7 \right)=\left( 3{{t}^{2}}-18t+15 \right)\left( x-t \right)\)
過 P(0，a)
\(\begin{align}
& a-\left( {{t}^{3}}-9{{t}^{2}}+15t-7 \right)=\left( 3{{t}^{2}}-18t+15 \right)\left( 0-t \right) \\
& a=-2{{t}^{3}}+9{{t}^{2}}-7 \\
\end{align}\)
恰有兩條相異切線，表示\(y=a\)，和\(y=-2{{t}^{3}}+9{{t}^{2}}-7\)恰有兩交點
\(\begin{align}
& y'=-6{{t}^{2}}+18t=0 \\
& t=0\ or\ 3 \\
& a=-7\ or\ 20 \\
\end{align}\)

作者: csihcs 時間: 2016-4-26 21:21

填充4
紅、藍、綠、白四種顏色塗在下面的四個格子中，一個格子塗一種顏色，而每個顏色可重複使用，但翻轉相同視為同一種塗法(即紅、藍、綠、白與白、綠、藍、紅視為同一種)。則總共有　　　種不同的塗法。
☐☐☐☐
[解答]
任意填色：
４＊４＊４＊４＝２５６

１＆４同色and２＆３同色：
會有自身旋轉後為自己。
但是任意填色時，就不會排出２個。
如：ＡＢＢＡ、ＡＡＡＡ等。
因此，不需要除以２。
共計有（４＊１）＊（４＊１）＝１６

而其餘的部分：
ＡＢＣＤ和ＤＣＢＡ要視為１種。
ＡＢＣＡ和ＡＣＢＡ要視為１種。
ＡＢＢＣ和ＣＢＢＡ要視為１種。
因此，需要除以２。

故此，
（２５６－１６）／２＋１６＝１３６。

作者: csihcs 時間: 2016-4-26 21:22

填充13
求區域\( S=\{\; (x,y)|\; 0\le a \le 1,0 \le b \le 1,x=a+b+1,y=2a-3b+1 \}\; \)所圍成的區域面積　　

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作者: thepiano 時間: 2016-4-26 21:46 標題: 回復 10# byron0729 的帖子

填充第11題
\( \displaystyle f(x)=\int_2^x (t-7)(t+3)dt \)，求曲線\( y=f(x) \)的所有切線中，斜率最小的切線方程式　　　
[解答]
\( f ' (x) = (x - 7)(x + 3) = (x - 2)^2 - 25 \)
\( x = 2 \)時，斜率最小是\( -25 \)
\( f(2) = 0 \)
所求為\( y = -25(x - 2) \)

作者: cefepime 時間: 2016-4-27 00:23

填充 5
空間中三非零向量\( \vec{OA} \),\( \vec{OB} \),\( \vec{OC} \)，\( ∠AOB=30^{\circ} \)，\( ∠BOC=45^{\circ} \)，\( ∠COA=60^{\circ} \)，令\( \theta \)為平面\( AOB \)及平面\( BOC \)的法向量夾角，則\( |\; cos \theta |\;= \)　　　
[解答]
既然二面角的度量，是取與交線垂直的平面角，不妨直接令 AB⊥OB， CB⊥OB，所求即 |cos∠ABC|。

令 AB = 1，則 OA = 2，OB = BC = √3，OC = √6 。

由餘弦定理:

△AOC 中，AC² = 10 - 2√6

△ABC 中， |cos∠ABC| = | (1 + 3 - AC²) / 2√3 | = | (2√6 - 6) / 2√3 | = √3 - √2

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作者: mcgrady0628 時間: 2016-4-27 15:22

可以問第10題嗎？

謝謝

[ 本帖最後由 mcgrady0628 於 2016-4-27 04:53 PM 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2016-4-27 16:06 標題: 回復 16# mcgrady0628 的帖子

填充第10題
\( (x+\sqrt{3})^{21}+(1-x)^{32}=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_{32}x^{32} \)，若\( a_0 -a_2+a_4-a_6+\ldots+a_{32}=2^k \)，求\( k= \)　　　
[解答]
\(f\left( x \right)={{\left( x+\sqrt{3} \right)}^{21}}+{{\left( 1-x \right)}^{32}}\)
所求為\(f\left( i \right)\)的實部
\(\begin{align}
& f\left( i \right)={{\left( i+\sqrt{3} \right)}^{21}}+{{\left( 1-i \right)}^{32}} \\
& ={{\left[ {{\left( i+\sqrt{3} \right)}^{3}} \right]}^{7}}+{{\left[ {{\left( 1-i \right)}^{2}} \right]}^{16}} \\
& ={{\left( 8i \right)}^{7}}+{{\left( -2i \right)}^{16}} \\
& ={{2}^{16}}-{{8}^{7}}i \\
\end{align}\)

作者: mcgrady0628 時間: 2016-4-27 16:10 標題: 回復 17# thepiano 的帖子

感謝鋼琴大大！

作者: jackyxul4 時間: 2016-6-22 14:56 標題: 回復 13# csihcs 的帖子

挑個計算錯，應該是\(2x+y=5b+1 \)，不是\(5b+3\)。

但其實因為平移不影響面積，因此這一題一開始就直接看成\(a+b\)與\(2a-3b\)圍成的區域

用二階行列式可以求出來是\(a\)和\(b\)圍成區域的5倍。

作者: anyway13 時間: 2016-10-15 19:06 標題: 請教填充第三題

\(z\)是一個複數，\( |\; z-i |\;=1 \)，\( i=\sqrt{-1} \)，則\( (3+4i)z \)實部的最大值為　　　

想請問版上老師第三題是令\( z=a+bi \)帶入\( |\; z-i |\;=1 \)得到第一式\( a^2+(b-1)^2=1 \)

接者帶入\( (3+4i)z \)中得到\( (3a-4b)+(4a+3b)i \)因為是要求實部的部分為最大

所以令\( k=3a-4b \)整理得\( \displaystyle a=\frac{k+4b}{3} \)然後帶入第一式得\( 25b^2+24kb-18b+k^2=0 \)

利用\(b\)是實數判別式\(\ge\) 最後得到\( \displaystyle k \le \frac{9}{17} \) or \( \displaystyle k \ge \frac{9}{7} \) ......和公告得答案不同

可以請問一下哪裡做錯了嗎? 謝謝!

作者: thepiano 時間: 2016-10-15 21:05 標題: 回復 20# anyway13 的帖子

是\(25{{b}^{2}}+\left( 8k-18 \right)b+{{k}^{2}}=0\)才對

作者: anyway13 時間: 2016-10-16 00:10 標題: 回復 21# the piano 的帖子

是我算錯了! 謝謝鋼琴老師

作者: exin0955 時間: 2016-12-26 19:48 標題: 回復 4# 八神庵的帖子

想請教八神庵&六道大大
我用對稱的概念去求點P為(-8/5,14/5,29/5)跟六道大大的解法答案一樣但是最小值3877/25約155.08
八神庵大大的解法簡單易懂跟官方答案一樣但我帶進去檢驗最小值為190 想請問哪個才是正確答案呢

作者: tsusy 時間: 2016-12-26 21:25 標題: 回復 23# exin0955 的帖子

按您的 \( P(-\frac{8}{5},\frac{14}{5},\frac{29}{5}) \)

所算出來的 \( \overline{PA}^2+\overline{PB}^2 = (-\frac{8}{5}+4)^{2}+(\frac{14}{5}-13)^{2}+(\frac{29}{5}-1)^{2}+(-\frac{8}{5}-4)^{2}+(\frac{14}{5}-8)^{2}+(\frac{29}{5}-5)^{2} = \frac{4797}{25}=191.88 \)

所以，猜測是單純計算錯誤，只是在用第一種方法時不小心計算錯誤而已

作者: exin0955 時間: 2016-12-26 23:16 標題: 回復 24# tsusy 的帖子

感謝寸絲老師的解惑

作者: satsuki931000 時間: 2021-3-13 11:10

填充4
這類問題直接用Burnisde Lemma都可解決
\(\displaystyle \frac{1}{2}(4^4+4^2)=136\)

作者: 呆呆右 時間: 2021-5-11 21:59 標題: 計算2

f(x)是二次多項式，若實數a,b,c使得
f(15)=af(11)+bf(12)+cf(14)，求a+b+c
答案為f(15)=1f(11)+(-2)f(12)+2f(14)
a+b+c=1

想請教題目本身是否有bug
倘若f(11),f(12),f(14),f(15)有任何一者為0
(不必然發生，但可能發生）
則a,b,c將非定值，無a+b+c可言

抑或是任意給定實際一個f(x)
a,b,c的選取理應都會有無限多種

請問
題目的意思是指，無關乎f(x)為何
總是有唯一一組a,b,c滿足要求
然後找出那一組a,b,c嗎？

單就題目的敘述，我覺得邏輯上有問題
因為「若...則...」，有可能不成立

[ 本帖最後由呆呆右於 2021-5-11 22:03 編輯 ]

作者: Chen 時間: 2021-6-20 17:13 標題: 回復 26# satsuki931000 的帖子

厲害，謝謝分享Burnisde's Lemma.

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