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標題: 104高雄市聯招 [打印本頁]

作者: 瓜農自足 時間: 2015-6-20 02:30 標題: 104高雄市聯招

因為心血來潮想複習Latex，跟朋友使用texmaker摸索許久，僅供參考~!

thepiano解題
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=4225

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作者: bugmens 時間: 2015-6-20 08:55

1.
求所有滿足\( (m+n)^m=n^m+1413 \)的所有正整數\( m,n \)。

滿足\( (m+n)^n =m^n+2012 \)之所有正整數數對\( (m,n) \)為。
連結有解答
(101文華高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1462&page=4#pid12726)

7.
如圖所示，扇形\( AOB \)之圓心角\( ∠AOB=60^{\circ} \)，半徑\( \overline{AB}=1 \)，則內接\( PQRS \)(\( P,Q \)在圓弧\( AB \)上)之最大面積為。

8.
隨意將編號1至7的七張卡片排成一列，恰有三張卡片所排的順序與它的編號相同的機率為。
連結有解答
(95台灣師大　推薦甄選入學，http://www.lungteng.com.tw/LungT ... BF%EF%B8%D5%C3D.doc)

12.
將與2015互質的正整數由小到大排列，則第2015個數為。

將與105互質的所有正整數由小到大排成一個數列，則此數列第2014項為？
連結有答案
(103桃園高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1881&page=1#pid10251)

作者: cathy80609 時間: 2015-6-21 23:30

第三題

拋磚引玉，小弟先來獻醜了。

這一次去寫還是有一些題目沒辦法在第一時間內想到，

一開始看到第三題就先跳過，最後再回來寫，發現應該不難，但是寫到一半就打鐘了...

於是回來就把題目都補算過一遍!!

如有錯誤敬請板上各位大大指正，謝謝。

3.
已知直角\(\Delta ABC\)的兩股邊長分別為\(a,b\)，\(\displaystyle sinA=\frac{1}{2}\sqrt{a^{1-log_a b}}\)，試證明：\(log(a+b)-log \sqrt{6}=\frac{1}{2}(log a+log b)\)
[解答]
由正弦定理\(\displaystyle \frac{a}{sinA}=\frac{a}{\frac{1}{2}\sqrt{a^{1-log_a b}}}=\frac{2a}{\sqrt{\frac{a}{b}}}=2\sqrt{ab}=2R\)
因為\(\Delta ABC\)為直角三角形，故斜邊長為\(2\sqrt{ab}\)
由題意可列出\(\sqrt{a^2+b^2}=2\sqrt{ab}\)
\(a^2+b^2=4ab\)，故\((a+b)^2=6ab\)
經過開根號，移項，即為題目所求\(\displaystyle \frac{a+b}{\sqrt{6}}=\sqrt{ab}\)。

作者: tuhunger 時間: 2015-6-23 00:48 標題: 第1,2題

如圖檔, 有錯請指教,感恩~
1.
求所有滿足\((m+n)^m=n^m+1413\)的所有正整數\(m,n\)。

2.
證明\(x^8-x^5+x^2+x+1=0\)沒有實根。

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作者: tuhunger 時間: 2015-6-23 01:23 標題: 第4,5題

4.
設\(x,y\)為實數，且\(x,y\)滿足條件\((x-2)^2+(y-2)^2=3\)，則\(\displaystyle \frac{y}{x}\)之最小值　　　。

5.
\(x \in R\)，若\(f(x)=x^3+ax^2+bx+5\)在\(x=1\)時有極小值為2，則\(f(x)\)的極大值為　　　。

如圖檔, 有錯請指教,感恩~

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作者: tuhunger 時間: 2015-6-23 01:44 標題: 第6題

6.
四邊形\(ABCD\)，對角線\(\overline{AC}\)與\(\overline{BD}\)交於\(P\)點，若\(\Delta ABP\)的三邊長為\(5,6,7\)，且\(\vec{AC}=2\vec{AB}+3\vec{AD}\)，求四邊形\(ABCD\)的面積為　　　。

如圖檔, 有錯請指教,感恩~

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作者: tuhunger 時間: 2015-6-23 02:06 標題: 第7題

7.
扇形\(AOB\)之圓心角\(∠AOB=60^{\circ}\)，半徑\(\overline{OA}=1\)，則內接矩形\(PQRS\)(\(R,Q\)在圓弧\(AB\)上)之最大面積為　　　。

如圖檔, 有錯請指教,感恩~

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作者: tuhunger 時間: 2015-6-23 08:05 標題: 第8,9題

8.
隨意將編號1至7的七張卡片排成一列，恰有三張卡片所排的順序與它的編號號相同的機率為　　　。

9.
試求\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{4n^2}\left[\sqrt{4n^2-1^2}+\sqrt{4n^2-2^2}+\ldots+\sqrt{4n^2-n^2} \right]=\)　　　。

112.5.29補充
試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{1}{4n^2}(\sqrt{4n^2-1}+\sqrt{4n^2-4}+\sqrt{4n^2-9}+\ldots+\sqrt{4n^2-n^2})=\)
(112高雄市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3751-1-1.html)

如圖檔, 有錯請指教,感恩~

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作者: homepage 時間: 2015-6-23 16:40 標題: 關於第九題

根據第九題只有n個數字
所以那個1/2應該提出來使得最後的答案還要*1/2？

作者: larson 時間: 2015-6-23 17:38 標題: 回復 4# tuhunger 的帖子

第2題出處，嚴鎮軍，初中數學競賽教程
第13~14頁，不需要微分即可說明清楚

作者: cathy80609 時間: 2015-6-23 17:48 標題: 回復 9# homepage 的帖子

這一題是切成 2n等份唷!

[ 本帖最後由 cathy80609 於 2015-6-23 05:58 PM 編輯 ]

作者: homepage 時間: 2015-6-23 18:04

可是裡面的切割部分只切了N份啊？從1/2n~n/2n

作者: thepiano 時間: 2015-6-23 19:46 標題: 回復 12# homepage 的帖子

是切 n 等分沒錯，只有積到 1/2

作者: peter0210 時間: 2015-6-23 19:47

想請教最後一題
有沒有什麼計算比較簡便的方法呢

小弟算了好幾次都算不出正確的答案

作者: cathy80609 時間: 2015-6-23 20:05 標題: 回復 12# homepage 的帖子

不好意思，是我錯了!!

請問鋼琴老師，是把0~1/2切成n等分這樣子對嗎??

作者: thepiano 時間: 2015-6-23 20:45

引用:

原帖由 cathy80609 於 2015-6-23 08:05 PM 發表
是把0~1/2切成n等分這樣子對嗎??

對

作者: cefepime 時間: 2015-6-23 22:12

2. 證明 x⁸ - x⁵ + x² + x + 1 = 0 沒有實根。

這個題目的係數有"投機取巧"的方法 :

i. 當 |x| ≥ 1，原式左 = ( x⁸- x⁵) + (x² + x) + 1 ≥ 0 + 0 + 1 > 0

ii. 當 |x| < 1，原式左 = (1 + x ) + (x² - x⁵) + x⁸> 0 + 0 + 0 = 0

得證。

109.5.30補充
證明\(f(x)=x^8-x^5+x^2+x+1=0\)沒有實根。
(109高雄市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3338-1-1.html)

110.2.27補充
對於實數\(x\)，求證\(\displaystyle x^8-x+\frac{3}{4}\)恆大於0。
(建中通訊解題第145期)

作者: homepage 時間: 2015-6-23 22:33

所以第九題的答案應該是 1/24 + 根號3/16？

作者: thepiano 時間: 2015-6-23 22:48 標題: 回復 18# homepage 的帖子

第 9 題
阿基鴻德兄的答案是正確的

作者: g112 時間: 2015-6-23 22:49

想請問一下13和15題

13題邊長是根號98,所以把98拆成3個整數的平方和然後討論
除了這方法外有沒有其他方法

15題
除了硬算外有其他方法嗎?

作者: pretext 時間: 2015-6-24 00:11 標題: 回復 20# g112 的帖子

第13題我是用向量還有點到平面的距離來做，我覺得簡單一點～

作者: pretext 時間: 2015-6-24 00:21 標題: 回復 15# cathy80609 的帖子

由於習慣切成n等分
所以我的做法是這樣

\(\displaystyle \frac{1}{4}\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n \left(\frac{1}{n}\right)\sqrt{4-\left(\frac{i}{n}\right)^2}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{4}\int_0^1 \sqrt{4-x^2}dx\)

作者: tuhunger 時間: 2015-6-24 00:30 標題: 第10,11題

10.
在擲一個公正骰子的遊戲中規定：若遊戲者在一次投擲中擲出的點數並非6點，則此遊戲者只能拿到\(m\)元並停止遊戲；若遊戲者擲出6點，怎可獲得獎金10元並有再次擲骰子的機會。已知一遊戲者要玩這個遊戲直到他擲到非6點才停止遊戲的得獎金期望值5元，則\(m=\)　　　。

如圖檔, 有錯請指教,感恩~

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作者: tuhunger 時間: 2015-6-24 00:42 標題: 第12題

12.
將與2015互質的正整數由小到大排列，則第2015個數為　　　。

如圖檔, 有錯請指教,感恩~

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作者: tuhunger 時間: 2015-6-24 01:21 標題: 第14題

14.
若多項式方程式\(x^3+4x^2+5x-8=0\)的三根為\(\alpha,\beta,\gamma\)，試求以\(\displaystyle \frac{2}{\alpha+2},\frac{2}{\beta+2},\frac{2}{\gamma+2}\)為三根的多項式方程式。

如圖檔, 有錯請指教,感恩~ 小弟能力有限,104高市聯招解到此

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作者: valkyriea 時間: 2015-6-24 11:25 標題: 第15題

15.
令\(\displaystyle N=\sum_{k=1}^{2015}k\left[log_2 k \right]\)，其中\(\left[log_2 k \right]\)表不大於\(log_2 k\)的最大整數，試問\(N\)除以1000的餘數為　　　。

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作者: valkyriea 時間: 2015-6-24 13:53 標題: 第13題

13.
給定空間中四點\(A(a_1,a_2,a_3),B(2,-3,6),C(11,1,5),D(6,d_2,d_3)\)，若\(A,B,C,D\)四點形成一正四面體，且\(a_1,a_2,a_3,d_2,d_3\)皆為整數，試求\(A\)點坐標。

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作者: cauchys 時間: 2015-6-24 22:18 標題: 第2題

第2題
證明\(x^8-x^5+x^2+x+1=0\)沒有實根。
[證明]
\(f(x)=x^8-x^5+x^2+x+1\)
　\(\displaystyle =(x^4-\frac{1}{2}x)^2-\frac{1}{4}x^2+x^2+x+1\)
　\(\displaystyle =(x^4-\frac{1}{2}x)^2+\frac{3}{4}x^2+x+1\)
　\(\displaystyle =(x^4-\frac{1}{2}x)^2+\frac{3}{4}(x^2+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9})+1-\frac{1}{3}\)
　\(\displaystyle =(x^4-\frac{1}{2}x)^2+\frac{3}{4}(x^2+\frac{2}{3})^2+\frac{2}{3}\)
∴\(f(x)\)恆正即\(f(x)=0\)無實根

作者: cefepime 時間: 2015-6-25 18:09

第 15 題
令\(\displaystyle N=\sum_{k=1}^{2015}k\left[log_2 k \right]\)，其中\(\left[log_2 k \right]\)表不大於\(log_2 k\)的最大整數，試問\(N\)除以1000的餘數為　　　。

N = S1 - S2，其中:

S1 = 10*(1 + 2 + ... + 2015)

S2 = (n =1 to 10) ∑ [1 + ... + (2ⁿ-1) ] = ∑ (2²ⁿ - 2ⁿ) /2

S1 = 10*(1/2)*2015*2016 ≡ 10*(1/2)*15*16 ≡ 10*20 ≡ 200 (mod 1000)

S2 = (1/3)*2*(4¹° - 1) - 1023 ≡ (1/3)*2*1025*1023 - 1023 ≡ (1/3)*2*25*23 - 23 ≡ (1/3)*150 - 23 ≡ 50 - 23 ≡ 27 (mod 1000)

N = S1 - S2 ≡ 200 - 27 ≡ 173 (mod 1000)

作者: 米斯蘭達 時間: 2015-6-27 11:35 標題: 回復 7# tuhunger 的帖子

請問一下第七題中的ON線段為何是根號三倍的sin

作者: pretext 時間: 2015-6-27 11:52 標題: 回復 30# 米斯蘭達的帖子

因為角SON是30度

作者: 米斯蘭達 時間: 2015-6-27 12:24 標題: 回復 31# pretext 的帖子

喔喔!!!題目沒有看仔細!!!謝謝

作者: yi4012 時間: 2019-5-30 09:43 標題: 回復 8# tuhunger 的帖子

是扇形+三角形
點也標錯不是ABC是OAC

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