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標題: 103高中數學能力競賽 [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2015-1-3 08:45 標題: 103高中數學能力競賽

網頁h ttp://www.math.ntnu.edu.tw/workshop/103hsm/index.php?menu=exam　網頁已失效

歷屆試題下載https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514

104.1.5補充
新竹高中公布部分試題解答h ttp://b001.hchs.hc.edu.tw/files/15-1001-7430,c403-1.php　(網址已失效)

附件: 103高中數學能力競賽決賽試題.pdf (2015-1-3 08:45, 147.37 KB) / 該附件被下載次數 15162
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附件: 103高中數學能力競賽-口試試題.zip (2015-1-3 08:45, 758.17 KB) / 該附件被下載次數 15193
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作者: bugmens 時間: 2015-1-3 08:46

若兩正數\( \alpha \)和\( \beta \)滿足\( log_9 \alpha=log_{12}\beta=log_{16}(\alpha+\beta) \)，試求\( \displaystyle log_5 \frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha \beta} \)之值。
(103複賽口試-台南)
類題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=808&page=1#pid1518

對任意正整數\( n \)，試證：\( n^5-n \)必為\( 30 \)的倍數。
(103複賽口試-高雄市)
類題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1593&page=1#pid8065

請問整數\( \displaystyle \left[ \frac{10^{20000}}{10^{100}+3} \right] \)以十進位表示出來時的個位數字為何？其中\( [x] \)表示不大於\( x \)的最大整數。
(103複賽筆試(一)-中投)
類題https://math.pro/db/thread-708-1-1.html

設\( n \)是大於1的正整數且使得\( (31.5)^n+(32.5)^n \)為正整數，求所有\( n \)的可能值為何？
(103複賽筆試(一)-台南)

求所有的正整數\( n \)，使得\( (108.5)^n+(147.5)^n \)是正整數。
(建中通訊解題第76期，http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathwe ... 30-15&Itemid=37)

袋中有黑白球各一顆，每次從袋中任取一球，取出的球不放回，但再放進一顆黑球，令\( a_n \)為第\( n \)次取到黑球的機率。
(1)寫出\( a_n \)的遞迴關係式。
(2)求\( a_n \)的一般式。
(103複賽筆試(一)-花蓮市)

如右圖，已知\( \overline{AM} \)為\( \Delta ABC \)邊\( \overline{BC} \)上的中線，任作一直線交\( \overline{AB} \)，\( \overline{AC} \)，\( \overline{AM} \)於P,Q,N三點。求證：\( \displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{AP}},\frac{\overline{AM}}{\overline{AN}},\frac{\overline{AC}}{\overline{AQ}} \)成等差數列。
(103複賽筆試(一)-屏東)
(建中通訊解題第78期，http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathwe ... 30-15&Itemid=37)

試求方程式\( \displaystyle x^4+4^x+4^{-x}=\frac{21}{4} \)的所有實數解。
(103複賽筆試(一)-高雄市)

證明：對任意正實數\( a,b,c \)，不等式\( \sqrt{a^2+b^2-\sqrt{3}ab}+\sqrt{b^2+c^2-bc}+\sqrt{c^2+a^2-\sqrt{3}ca}\ge \sqrt{3}a \)恆成立，並給出等號成立的充要條件。
(103複賽筆試(一)-新北市)
類題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=951&page=2#pid2371

如圖，\( A,B,C,D,E \)是半徑為1的半圓周上之相異點，其中\( \overline{AE} \)為直徑。設\( \overline{AB}=a \)，\( \overline{BC}=b \)，\( \overline{CD}=c \)，\( \overline{DE}=d \)。試證：\( a^2+b^2+c^2+d^2+abc+bcd<4 \)。
(103複賽筆試(一)-臺北市)

[解答]初中數學競賽教程P296
連\( \overline{AC} \)，\( \overline{DE} \)。
∵\( ∠B=180^{\circ}-∠AEC \)，
∴\( \overline{AC}^2=a^2+b^2-2ab cos B=a^2+b^2+2ab cos ∠ AEC \)。
而\( 2 cos ∠AEC=\overline{CE}>c \)(∵\( ∠D是鈍角 \))
∴\( \overline{AC}^2>a^2+b^2+abc \)。同理，\( \overline{CE}^2>c^2+d^2+bcd \)。
再由勾股定理，得\( a^2+b^2+c^2+d^2+abc+bcd<\overline{AC}^2+\overline{CE}^2=\overline{AE}^2=4 \)。

對每一正整數\( n \)，\( f(n)+f(n+3)=n^2 \)恆成立，若\( f(93)=93 \)，求\( f(30) \)。
(103複賽筆試(二)-中投)

袋子裡有5個紅球，6個白球，7個黑球，每次隨機抽出一球不放回，直到抽完袋中所有的球。求下列各事件的機率：
(1)最後抽出的球是紅色的。(2)紅球最先被抽完。
(103複賽筆試(二)-中投)

實數\( \alpha \)與\( \beta \)滿足方程式\( \alpha^3-3\alpha^2+5\alpha=4 \)及\( \beta^3-3\beta^2+5\beta=2 \)，求\( \alpha+\beta= \)？
(103複試筆試(二)-台南)
[提示]
\( (\alpha-1)^3+2(\alpha-1)-1=0 \)
\( (1-\beta)^3+2(1-\beta)-1=0 \)

已知\( x,y \)是實數，且\( \cases{(x-11)^5+15(x-11)=5 \cr (y-4)^5+15(y-4)=-5} \)，則\( x+y= \)？
(建中通訊解題第53期，http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathwe ... 30-15&Itemid=37)

若\( \displaystyle x=\sum_{k=1}^{2499}\frac{1}{\sqrt{k}} \)，求\( x \)的整數部分。
(103複賽筆試(二)-屏東)
類題https://math.pro/db/thread-156-1-1.html

設\( \alpha \)、\( \beta \)為正整數，且\( \displaystyle \frac{52}{303}<\frac{\alpha}{\beta}<\frac{16}{91} \)，試求當\( \beta \)為最小時，則\( \displaystyle \frac{\alpha}{\beta} \)的值為何。
(103複賽筆試(二)-高雄市)

設\( \Delta ABC \)中，最大角\( A \)為最小角\( B \)的2倍。若\( \Delta ABC \)三邊長為連續的正整數，則其三邊長的和為。
(103複賽筆試(二)-新竹市)
解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1078

設\( \displaystyle f(x)=\frac{2^x-2}{2^x+2} \)，求\( \displaystyle \sum_{n=1}^{2014}f \left( \frac{n}{1007} \right) \)。
(103複賽筆試(二)-嘉義)
[提示]
\( \displaystyle f(2-x)=\frac{2^{2-x}-2}{2^{2-x}+2}=\frac{2^{1-x}-1}{2^{1-x}+1}=\frac{2-2^x}{2+2^x} \)
\( \displaystyle f(x)+f(2-x)=0 \)

已知\( \displaystyle \sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+\ldots+\sqrt{1+\frac{1}{102^2}+\frac{1}{103^2}} \)為有理數，則此有理數為。
(103複賽筆試(二)-臺北市)
(我的教甄準備之路　裂項相消，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678)
(建中通訊解題第88期，http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathwe ... 30-15&Itemid=37)

已知\( \Delta ABC \)中，\( \overline{AB}=6 \)，\( \overline{BC}=5 \)，\( \overline{CA}=7 \)；\( P \)為其三邊上或內部的任一點，\( D,E \)及\( F \)分別在\( \overline{AB} \)、\( \overline{BC} \)及\( \overline{CA} \)三邊上且\( \overline{PD}⊥ \overline{AB} \)、\( \overline{PE}⊥ \overline{BC} \)及\( \overline{PF}⊥ \overline{CA} \)；則\( \overline{PD}+\overline{PE}+\overline{PF} \)的最小值為。
(103複賽筆試(二)-臺北市)
(104松山家商，https://math.pro/db/thread-2284-1-1.html)

108.5.18補充
長方體\(ABCDEFGH\)中，對角線\(\overline{CE}\)與不相鄰邊之距離分別為\(\displaystyle 2\sqrt{5},\frac{30}{\sqrt{13}},\frac{15}{\sqrt{10}}\)，求此長方體體積。
(新北市口試試題)

一長方體的最長對角線，與不相鄰邊之距離分別為\(\displaystyle 2\sqrt{5},\frac{30}{\sqrt{13}},\frac{15}{\sqrt{10}}\)，求此長方體體積。
(108新北市高中聯招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3133&page=2#pid19907)

圖片附件: 103複賽筆試(一)-臺北市.gif (2015-1-6 21:05, 3.75 KB) / 該附件被下載次數 11155
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2651&k=4ac45cb07aad20be29b7fa807a7187dc&t=1732259005

作者: Ellipse 時間: 2015-1-3 10:32

引用:

原帖由 bugmens 於 2015-1-3 08:46 AM 發表
若兩正數\( \alpha \)和\( \beta \)滿足\( log_9 \alpha=log_{12}\beta=log_{16}(\alpha+\beta) \)，試求\( \displaystyle log_5 \frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha \beta} \)之值。
(103複賽口試-台南)

對任意正整數 ...

好多考古題~(在歷屆教甄題目中)
出題老師要更用心~

作者: arend 時間: 2015-1-9 18:16 標題: 回復 2# bugmens 的帖子

請教:對所有整數n, n^5-n恆為30的倍數
怎麼證明? 我試用"歸納法",可是最後
不知如何證明k(k+1)(k+2)(k^2+2k+2)為30的倍數

謝謝

作者: tsusy 時間: 2015-1-9 18:42 標題: 回復 4# arend 的帖子

103. 高雄市口試

質因數分解 \( 30 = 2 \times 3 \times 5 \)

證明，該分解式分別被 2,3,5 整除即可。

2,3 的情況很容易證

而 5 的情況，以費馬小定理得證，或分成 \(n \equiv 0,1,2,3,4 \) (mod 5) 討論亦可

P.S. 麻煩補個分區題號，以方便以後的人查詢

作者: cefepime 時間: 2015-1-9 20:16

對任意(正)整數 n ，試證：n⁵ - n
必為 30 的倍數。

n⁵ - n

= n (n⁴ - 1)

= (n-1) n (n+1) (n²+1)

= (n-1) n (n+1) (n²-4+5)

= (n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) + 5 (n-1) n (n+1)

必為 30 的倍數。

作者: arend 時間: 2015-1-9 22:21

引用:

原帖由 cefepime 於 2015-1-9 08:16 PM 發表
對任意(正)整數 n ，試證：n⁵ - n
必為 30 的倍數。

n⁵ - n

= n (n⁴ - 1)

= (n-1) n (n+1) (n²+1)

= (n-1) n (n+1) (n²-4+5)

= (n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) + 5 (n-1) n (n+1)

必為 30 的倍數。

...

謝謝

作者: 瓜農自足 時間: 2015-1-9 23:26

(103複賽筆試(二)-臺北市)
首帖最後一題
小弟解法為座標化，但碰到一些問題，想請教版友
A擺在座標原點，\(\overline{AB}\)在正x軸
\( \overset{\longleftrightarrow }{AC}  \)直線方程: \(2 \sqrt{6}x-5y=0       \)
\(\overset{\longleftrightarrow }{BC}  \)直線方程: \( 2 \sqrt{6}x+y-12\sqrt{6}=0 \)
\(\displaystyle \{P \in \{(x,y)| y=mx, 0\leq m \leq \frac{2\sqrt{6}}{5},0 \leq x \leq\frac{12\sqrt{6}}{m+2\sqrt{6}}\}  \)
\(d(P, \overline{AB} )=mx \)
\(\displaystyle d(P,\overline{BC})=\frac{12\sqrt{6}-y-2\sqrt{6}x}{5} \)
\(\displaystyle d(P,\overline{AC})=\frac{2\sqrt{6}x-5y}{7}             \)
所求=\(\displaystyle \frac{(3m-4\sqrt{6})x+84\sqrt{6}}{35} \) 如何最小化呢?

作者: tsusy 時間: 2015-1-10 00:22 標題: 回復 8# 瓜農自足的帖子

103複賽筆試(二)-臺北市第四題

換一個想法，承 #8 坐標的想法，坐標化之後，三個距離 \( \overline{PD}, \overline{PE}, \overline{PF} \) 可以表示成 \( x,y \) 的一次式，其中 \( (x,y) \) 為 \( P \) 點之坐標 (由位置可去絕對值)

故此求極問題轉換後為線性規劃問題，僅需帶入三頂點，可得最大值、最小值分別為 \( \frac{6\sqrt{21}}{5}, \frac{6\sqrt{21}}{7} \)。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2015-1-10 01:28 PM 編輯 ]

作者: arend 時間: 2015-1-10 20:32

請教:
袋中有黑白球各一顆，每次從袋中任取一球，取出的球不放回，但再放進一顆黑球，令an為第n次取到黑球的機率。
(1)寫出an的遞迴關係式。

答案是否為a_n=(3/4)a_(n-1)

謝謝

作者: thepiano 時間: 2015-1-10 21:10 標題: 回復 10# arend 的帖子

102 新北市高中聯招計算第一題
可參考
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=3032

作者: 瓜農自足 時間: 2015-1-11 17:11 標題: 回復 9# tsusy 的帖子

謝謝寸絲大費神幫解，豁然開朗，感激不盡! 好有趣

作者: tsyr 時間: 2015-3-12 18:33

不好意思，可以請教嘉義區的筆試一第二和三題嗎?

謝謝!

圖片附件: 1.png (2015-3-12 18:33, 78.87 KB) / 該附件被下載次數 5511
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2694&k=da0d6604d6ec5aa0e2b9ed1cf4dddc47&t=1732259005

作者: thepiano 時間: 2015-3-13 12:03 標題: 回復 13# tsyr 的帖子

第三題
令\(\tan \alpha =x,\tan \beta =y,\tan \gamma =z\)
題目轉為：\(0<x,y,z<1,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=\sqrt{3}\)，證明\(\frac{2x}{1-{{x}^{2}}}+\frac{2y}{1-{{y}^{2}}}+\frac{2z}{1-{{z}^{2}}}\ge 9\)
\(\begin{align}
& \frac{2x}{1-{{x}^{2}}}+\frac{2y}{1-{{y}^{2}}}+\frac{2z}{1-{{z}^{2}}} \\
& =\frac{2{{x}^{2}}}{x-{{x}^{3}}}+\frac{2{{y}^{2}}}{y-{{y}^{3}}}+\frac{2{{z}^{2}}}{z-{{z}^{3}}} \\
& \ge \frac{2{{x}^{2}}}{\frac{2}{9}\sqrt{3}}+\frac{2{{y}^{2}}}{\frac{2}{9}\sqrt{3}}+\frac{2{{z}^{2}}}{\frac{2}{9}\sqrt{3}} \\
& =9 \\
\end{align}\)

\(x-{{x}^{3}}\le \frac{2}{9}\sqrt{3}\)這部分可用微分或算幾不等式去做

[ 本帖最後由 thepiano 於 2015-3-13 12:04 PM 編輯 ]

作者: tsyr 時間: 2015-3-13 18:17 標題: 回復 14# thepiano 的帖子

對耶!真是個好做法!
感謝!!

第二題已和同學討論出來了
只要取BC中點，然後找出五點共圓就容易證明了

作者: 克勞棣 時間: 2020-5-31 00:15

引用:

原帖由 arend 於 2015-1-9 18:16 發表
請教:對所有整數n, n^5-n恆為30的倍數
怎麼證明? 我試用"歸納法",可是最後
不知如何證明k(k+1)(k+2)(k^2+2k+2)為30的倍數

謝謝

用費馬小定理就好了
5-1=4
4的正因數有1 ,2 ,4
正因數分別加1，為2 ,3 ,5，其中2 ,3 ,5是質數
故n^5-n為2,3,5的公倍數，即n^5-n為30的倍數

同理(類題)，
73-1=72
72的正因數有1 ,2 ,3 ,4 ,6 ,8 ,9 ,12 ,18 ,24 ,36 ,72
正因數分別加1，為2 ,3 ,4 ,5 ,7 ,9 ,10 ,13 ,19 ,25 ,37 ,73，其中2 ,3 ,5 ,7 ,13 ,19 ,37 ,73是質數
故n^73-n為2 ,3 ,5 ,7 ,13 ,19 ,37 ,73的公倍數，即n^73-n為‭140100870‬的倍數
(不過考試時可不能只寫這樣，還得證明為什麼可以這樣操作才行)

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