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標題: 103台中二中 [打印本頁]

作者: Herstein 時間: 2014-5-24 13:11 標題: 103台中二中

已公布試題，請各位老師享用

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-5-25 08:15 AM 編輯 ]

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作者: bugmens 時間: 2014-5-24 14:06

4.
設有一奇數n以及角度\( \theta \)，使得聯立方程式\( \displaystyle \cases{3^n y+(sin 2\theta)^n z=0 \cr (1+sec \theta)^n x+z=0 \cr -x+(1+csc \theta)^n y=0} \)的解\( (x,y,z) \)不只一組，則\( sin\theta+cos \theta \)為　　。
(98筆試一，臺灣師大數學系大學甄選入學指定項目甄試試題，http://www.math.ntnu.edu.tw/down/archive.php?class=105)

5.
設\( 0 \le x \le 2 \pi \),\( 0 \le y \le 2 \pi \)，則方程式\( \displaystyle cos4x+2sin^2 \frac{y}{2}=1 \)之圖形所圍成的區域面積為　　。
(92筆試二，臺灣師大數學系大學甄選入學指定項目甄試試題，http://www.math.ntnu.edu.tw/down/archive.php?class=105)

9.
4乘4的數獨是用1,2,3,4填入4乘4的方格中。每一行及每一列都須包含1~4，不能缺少也不能重複，粗線圍起來的區域(正方形的4格)也是填入1~4，不能缺少也不能重複。今將1~4填入這16格且要符合上述規則，則共有　　種不同的方法。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1190&page=2#pid4897

10.
木匠師父把一個邊長2公分的正方體，雕琢成一個實心的物體，由上方俯視為邊長2公分的正方形，前視圖及右視圖皆是半徑1公分的圓，則此物體的最大體積為　(10)　立方公分。
牟合方蓋

求計算\( x^2+y^2\le 1 \)，\( y^2+z^2\le 1 \)之共同部分體積
(98彰化女中，https://math.pro/db/thread-741-1-1.html)

GGB檔下載

計算4.
甲袋裝有1個黑球和\( (k-1) \)個白球，而乙袋裝有k個白球(\( k \ge 2 \))。今從甲袋與乙袋同時取出一球放入對方袋中，這動作稱為換球一次。對每個正整數n，令\( P_n \)表示換球n次後，黑球仍在甲袋的機率。
試求：(1)\( P_n \)　　(2)\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n \)
(96筆試一，臺灣師大數學系大學甄選入學指定項目甄試試題，http://www.math.ntnu.edu.tw/admiss/recruit.php?Sn=14)
(103桃園高中，https://math.pro/db/thread-1881-1-1.html)
解答下載

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-5-24 09:00 PM 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2014-5-24 14:37

填3:  (98南一中類似考題)
下面度省略
如附件圖,假設O(0,0)
A1:z1=(1/2)(cos60+i*sin60)    ,a1=OA1=1/2
A2:z2=(z1)(1/2)(cos60+i*sin60)    ,a2=OA2=1/4
A3:z3=(z2)(1/2)(cos60+i*sin60)    ,a3=OA3=1/8
.......
(A1A2)²=(1/2)²+(1/4)²-2(1/2)(1/4)cos60
A1A2=√3 /4
易知所求為首項=√3 /4,公比=1/2 的無窮等比級數和
=(√3 /4) / (1-1/2)
=√3 / 2

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-24 09:04 PM 編輯 ]

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作者: Ellipse 時間: 2014-5-24 15:41

填充8:
如附件.gif
[(x-3)²+(y-2)²]^0.5 +(y+4) =10
整理得(x-3)²= -8(y-4)
-5<x<11

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-24 04:03 PM 編輯 ]

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作者: loveray 時間: 2014-5-24 21:28

請問填充2和5，感恩！

作者: thepiano 時間: 2014-5-24 21:40

第5題
\(\begin{align}
& \cos \left( 4x \right)=1-2{{\sin }^{2}}\left( \frac{y}{2} \right) \\
& \cos \left( 4x \right)=\cos \left( y \right) \\
\end{align}\)
......

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-5-24 09:41 PM 編輯 ]

作者: loveray 時間: 2014-5-24 21:58

因為也是算到這卡住，能否請鋼琴老師再詳細說明一下，謝謝。

作者: Ellipse 時間: 2014-5-24 22:45

引用:

原帖由 loveray 於 2014-5-24 09:58 PM 發表
因為也是算到這卡住，能否請鋼琴老師再詳細說明一下，謝謝。

幫忙回答,如附件
cos(4x)=cosy
case(i) :
4x=y+2kπ (k= -1,0,1,2,3,4)
case(ii):
4x= -y+2kπ (k=0,1,2,3,4,5)
易知所求紅色面積占正方形ABCD的3/8
所求=(2π)*(2π)*3/8=3π²/2

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-24 10:57 PM 編輯 ]

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作者: 阿光 時間: 2014-5-25 21:23

請問填充2和7，感恩！

作者: hua0127 時間: 2014-5-25 21:32 標題: 回復 5# loveray 的帖子

填充第2題：
只能提供庶民法：
因這題統計的範圍涵蓋全班，故以下我所用的估計全以母體為基準
假設全班有n人，每個人的選擇題為x分，計算題為y分，則根據題意，
\(\frac{\sum{{{x}_{i}}}}{n}=52,\frac{\sum{{{y}_{i}}}}{n}=18,\sqrt{\frac{1}{n}\sum{{{x}_{i}}^{2}}-{{52}^{2}}}=8,\sqrt{\frac{1}{n}\sum{{{y}_{i}}^{2}}-{{18}^{2}}}=15\), 可推知
\(\frac{\sum{{{x}_{i}}^{2}}}{n}={{8}^{2}}+{{52}^{2}},\frac{\sum{{{y}_{i}}^{2}}}{n}={{15}^{2}}+{{18}^{2}}\) 及每個人的數學平均 \(\frac{\sum{\left( {{x}_{i}}+{{y}_{i}} \right)}}{n}=70\)
又由相關係數已知 \(0.6=\frac{\frac{1}{n}\sum{\left( {{x}_{i}}-52 \right)\left( {{y}_{i}}-18 \right)}}{8\cdot 15}\Rightarrow \frac{\sum{{{x}_{i}}{{y}_{i}}}}{n}=18\cdot 56\)
故所求為\[\sqrt{\frac{1}{n}\sum{{{\left( {{x}_{i}}+{{y}_{i}} \right)}^{2}}}-{{70}^{2}}}=\sqrt{\frac{\sum{{{x}_{i}}^{2}}}{n}+\frac{\sum{{{y}_{i}}^{2}}}{n}+\frac{2\sum{{{x}_{i}}{{y}_{i}}}}{n}-{{70}^{2}}}=\sqrt{433}\]

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-25 09:34 PM 編輯 ]

作者: hua0127 時間: 2014-5-25 21:40 標題: 回復 9# 阿光的帖子

填充第7題：
考慮黎曼和，原式為
\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\left( \frac{1}{n}\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\frac{2}{n}\sqrt{1+\frac{2}{n}}+\ldots +\frac{n}{n}\sqrt{1+\frac{n}{n}} \right)=\int_{0}^{1}{\left( x\sqrt{1+x} \right)dx}=\int_{0}^{1}{\left( {{\left( 1+x \right)}^{\frac{3}{2}}}-{{\left( 1+x \right)}^{\frac{1}{2}}} \right)dx}=\frac{4\left( \sqrt{2}+1 \right)}{15}\)

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-25 09:49 PM 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2014-5-25 22:09 標題: 回復 10# hua0127 的帖子

填2. 另解

選擇題 (Y) 對計算題 (X) 的迴歸直線方程為 \( y=\frac{8}{25}x+\frac{1156}{25} \)

而分數的關係式為 \( y_{i}=\frac{8}{25}x_{i}+\frac{1156}{25}+e_{i} \)，其中 \( Cov(X,E)=0 \), \( Var(E)=(1-0.6^{2})Var(Y) \)。
(紅字是重點，利用 \( Cov(Z+W)=Cov(Z,Z)+2Cov(Z,W)+Cov(W,W),Cov(Z,Z)=Var(Z), Cov(W,Z) = r_{z,w} \sigma_z\sigma_w \) 可證明之)

總分 \(X+Y: x_{i}+y_{i}=\frac{33}{25}x_{i}+\frac{1156}{25}+e_{i} \)

\( Var(X+Y)=(\frac{33}{25})^{2}\cdot225+(1-\frac{9}{25})\cdot8^{2}=433 \)，故標準差為 \( \sqrt{433} \)。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-25 10:26 PM 編輯 ]

作者: hua0127 時間: 2014-5-25 22:18 標題: 回復 12# tsusy 的帖子

寸絲兄還是一如以往的殺~~你早一些些我也不用打那麼長了XD

作者: tsusy 時間: 2014-5-25 22:33 標題: 回復 13# hua0127 的帖子

你的方法有你的方法的好處，親民易懂；我這樣寫，說不定有人覺得很詭異，跟天書一樣

我剛好記得那奇怪的式子，一般高一的課本或教師手冊很少把迴歸直線、相關係數談的這麼細

之前做教甄某題的時候，曾經重推一下這件事。

令我訝異的是，康熹版的高一課本，竟然那一段，用誤差來解釋相關係數：誤差的變異數，只有原變異數的 \( (1-r^2) \) 倍。

不過後來康熹好像又對課本做來修改，那段不知道還在不在？

紅字的另一個解釋，是線性代數正射影、正交分解的觀點，把 \( Cov(X,Y) \) 或 \( r \) 當作在處理內積、正射影係數，

正交分解完後，\( X \perp E \), \( E \) 的長度可用畢氏定理計算，翻譯回 Var, Cov 的語言，就是 \( Cov(X,E) = 0, Var(E) = (1-r^2) Var(Y) \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-25 10:53 PM 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2014-5-26 09:59

無聊做一下，填充 1.

可分成(依序紅黃藍綠)奇奇奇奇、奇奇偶偶，轉換成方程式的非負整數解

\( (2x+1) + (2y+1) + (2z+2) + (2w+2) = 30 \) 或 \( (2x+1) + (2y+1) + (2z+1) + (2w+1) = 30 \)

\( \Rightarrow x+y+z+w = 12 or 13 \)

故所求 = \( H^4_{12} + H^4_{13} = 1015 \)

作者: thepiano 時間: 2014-5-26 10:51

引用:

原帖由 tsusy 於 2014-5-26 09:59 AM 發表
無聊做一下，填充 1.

可分成(依序紅黃藍綠)奇奇奇奇、奇奇偶偶，轉換成方程式的非負整數解

\( (2x+1) + (2y+1) + (2z+2) + (2w+2) = 30 \) 或 \( (2x+1) + (2y+1) + (2z+1) + (2w+1) = 30 \)

帥喲!這個方法快多了
不過這麼快就算出來，您很快就會又無聊了

作者: 小蝦米 時間: 2014-5-26 15:57

計算 5
請問各位大大，過程方面是對的嗎？
不好意思我不熟語法所以用寫的...

感謝thepiano老師 hua0127老師
我修正了算式，大家參考一下^ ^

[ 本帖最後由小蝦米於 2014-5-27 12:24 AM 編輯 ]

圖片附件: 20140526_235736.jpg (2014-5-27 00:24, 849.43 KB) / 該附件被下載次數 7041
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作者: hua0127 時間: 2014-5-26 16:26 標題: 回復 14# tsusy 的帖子

昨天晚上看到這必殺後就一直在玩味這個神奇的結果
跟寸絲兄所說的依樣，可以用線代的觀點去詮釋

有興趣的可以參考以前我很喜歡的一個線代的網站：線代啟示錄
http://goo.gl/JwYZrf ：從線性變換解釋最小平方近似
http://goo.gl/VaqcpS ：相關係數
http://goo.gl/4wwPCw ：樣本平均數、變異數和共變異數
裡面有提到寸絲兄所說的一些重要觀念

BTW，利用寸絲兄提示的公式推導的過程中
\(Cov\left( X+Y,X+Y \right)=Cov\left( X,X \right)+2Cov\left( X,Y \right)+Cov\left( Y,Y \right)\)得到了
\(Var\left( X+Y \right)=Var\left( X \right)+Var\left( Y \right)+2Cov\left( X,Y \right)\), 是以前統計常用的公式(慚愧，忘得差不多了囧…) 將這個公式套入本題也有一些妙用，所求
\[Var\left( X+Y \right)=Var\left( X \right)+Var\left( Y \right)+2\cdot {{r}_{xy}}\cdot {{\sigma }_{x}}\cdot {{\sigma }_{y}}={{8}^{2}}+{{15}^{2}}+2\cdot \left( 0.6 \right)\cdot 8\cdot 15=433\]

答案即為\(\sqrt{433}\), 其實也是借花獻佛，換湯不換藥而已XD

作者: thepiano 時間: 2014-5-26 16:54

引用:

原帖由 小蝦米 於 2014-5-26 03:57 PM 發表
計算 5
請問各位大大，過程方面是對的嗎？
不好意思我不熟語法所以用寫的...

應該還有 x = 100，p = 1，q = -1，此時 2p^2 - q^2 = 1

作者: tsusy 時間: 2014-5-26 17:09 標題: 回復 18# hua0127 的帖子

hua0127 的這個方法寫得更清楚、簡潔，雖然本質差不多

但是我的寫法，還繞一點不必要的路 \( Var(E) \)，考試的時候記得要這樣做

作者: 小蝦米 時間: 2014-5-26 17:59 標題: 回復 19# thepiano 的帖子

非常謝謝鋼琴老師！
平方那邊沒考慮得很周全

作者: esthlover 時間: 2014-5-26 20:17

請問計算第3題的做法為何?

作者: shingjay176 時間: 2014-5-26 20:35 標題: 回復 22# esthlover 的帖子

http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=3328
美夢成甄網站，鋼琴老師已經解答了。

作者: hua0127 時間: 2014-5-27 00:47 標題: 回復 3# Ellipse 的帖子

橢圓兄真的很貼心，有時覺得圖片一貼出來算式似乎也可以不用打了(Calculate without word?)XD
小弟比較偷懶，用代數去做：
先觀察\(z=\frac{1}{2}\left( \cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3} \right)\Rightarrow \left| {{z}^{k}} \right|={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{k}}\) 且\(\left| z-1 \right|=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
原式 \(\sum\limits_{k=1}^{\infty }{\left| {{z}^{k+1}}-{{z}^{k}} \right|}=\sum\limits_{k=1}^{\infty }{\left| {{z}^{k}} \right|\left| z-1 \right|}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sum\limits_{k=1}^{\infty }{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{k}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

作者: David 時間: 2014-5-27 12:27

能不能請問填充第四題, 謝謝.

作者: thepiano 時間: 2014-5-27 12:52

請參考

圖片附件: 20140527_2.jpg (2014-5-27 12:52, 91.35 KB) / 該附件被下載次數 7594
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作者: David 時間: 2014-5-27 12:58 標題: 回復 26# thepiano 的帖子

這....也太神妙了吧! 謝謝!

作者: hua0127 時間: 2014-5-27 13:32 標題: 回復 27# David 的帖子

利用\(\Delta =\det \left( \begin{matrix}
0 & {{3}^{n}} & {{\left( \sin 2\theta  \right)}^{n}}  \\
{{\left( 1+\sec \theta  \right)}^{n}} & 0 & 1  \\
-1 & {{\left( 1+\csc \theta  \right)}^{n}} & 0  \\
\end{matrix} \right)=0\)
也可以得到鋼琴老師那神奇的式子
\({{\left( 1+\sec \theta  \right)}^{n}}{{\left( 1+\csc \theta  \right)}^{n}}=\frac{{{3}^{n}}}{{{\left( \sin 2\theta  \right)}^{n}}}\)

作者: David 時間: 2014-5-27 20:56 標題: 回復 28# hua0127 的帖子

想再請問計算2, 謝謝幫忙!

作者: thepiano 時間: 2014-5-27 21:20

計算第2題
設
\(\begin{align}
  & {{z}_{1}}=\cos \alpha +i\sin \alpha  \\
& {{z}_{2}}=\cos \beta +i\sin \beta  \\
& {{z}_{3}}=\cos \gamma +i\sin \gamma  \\
\end{align}\)

\(\begin{align}
  & \cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =0 \\
& \sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =0 \\
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}}=0 \\
& \overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{3}}}=0 \\
& {{z}_{1}}\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}\overline{{{z}_{2}}}={{z}_{3}}\overline{{{z}_{3}}}=1 \\
&  \\
& {{z}_{1}}^{2}+{{z}_{2}}^{2}+{{z}_{3}}^{2} \\
& ={{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}} \right)}^{2}}-2\left( {{z}_{1}}{{z}_{2}}+{{z}_{2}}{{z}_{3}}+{{z}_{3}}{{z}_{1}} \right) \\
& =-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}{{z}_{3}}\left( \overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{3}}} \right) \\
& =0 \\
&  \\
& \cos 2\alpha +\cos 2\beta +\cos 2\gamma =0 \\
& \sin 2\alpha +\sin 2\beta +\sin 2\gamma =0 \\
\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-5-27 09:59 PM 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2014-5-27 21:24 標題: 回復 29# David 的帖子

計算 2

1. 先證 \( \cos(\alpha-\beta)=-\frac{1}{2} \)

\( (\cos\alpha+\cos\beta)^{2}+(\sin\alpha+\sin\beta)^{2}=\cos^{2}\gamma+\sin^{2}\gamma \)

\( \Rightarrow2+2\cos(\alpha-\beta)=1\Rightarrow\cos(\alpha-\beta)=\frac{-1}{2} \)

2. 再證 \( \cos(\alpha+\beta)=-(\cos2\alpha+\cos2\beta) \)

\( \cos2\beta+\cos2\gamma=2\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)=-\cos(\alpha+\beta) \) by 1

3. 證明 \( \cos2\alpha+\cos2\beta+\cos2\gamma=0 \)

\( (\cos\alpha+\cos\beta)^{2}-(\sin\alpha+\sin\beta)^{2}=\cos^{2}\gamma-\sin^{2}\gamma \)

\( \Rightarrow\cos2\alpha+\cos2\beta+2\cos(\alpha+\beta)=\cos2\gamma \)

\( \cos2\alpha+\cos2\beta+\cos2\gamma=0 \) by 2

4. 先證 \( \sin(\alpha+\beta)=-(\sin2\alpha+\sin2\beta) \)

\( \sin2\alpha+\sin2\beta=2\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta) \)

\( \Rightarrow\sin2\alpha+\sin2\beta=-\sin(\alpha+\beta) \) by 1

5. 證明 \( \sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma =0 \)

\( \sin\gamma\cos\gamma=(\sin\alpha+\sin\beta)(\cos\alpha+\cos\beta) \) ，和差化積得

\( \Rightarrow\frac{1}{2}\sin2\gamma=2^{2}\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \)

\( \Rightarrow\frac{1}{2}\sin2\gamma=\sin(\alpha+\beta)\cdot(1+\cos(\alpha-\beta)) \)

\( \Rightarrow\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma \) by 1,4.

另證. 向量 \( (\cos\alpha, \sin\alpha), (\cos \beta, \sin \beta), (\cos \gamma. \sin \gamma) \) 頭尾相連形成一個三角形，故兩兩夾 \( 120^\circ \)。

不失一般性，可假設 \( \beta = \alpha + 120^\circ \), \( \gamma = \alpha - 120^\circ \)，代入，和角公式，即得證。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-27 10:17 PM 編輯 ]

作者: hua0127 時間: 2014-5-27 22:04 標題: 回復 29# David 的帖子

令\({{z}_{1}}=\cos \alpha +i\sin \alpha ,{{z}_{2}}=\cos \beta +i\sin \beta ,{{z}_{3}}=\cos \gamma +i\sin \gamma \)
則\({{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}}=0\), \(\overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{3}}}=\frac{1}{{{z}_{1}}}+\frac{1}{{{z}_{2}}}+\frac{1}{{{z}_{3}}}=0\Rightarrow \frac{{{z}_{1}}{{z}_{2}}+{{z}_{2}}{{z}_{3}}+{{z}_{3}}{{z}_{1}}}{{{z}_{1}}{{z}_{2}}{{z}_{3}}}=0\Rightarrow {{z}_{1}}{{z}_{2}}+{{z}_{2}}{{z}_{3}}+{{z}_{3}}{{z}_{1}}=0\)
故\({{z}_{1}}^{2}+{{z}_{2}}^{2}+{{z}_{3}}^{2}={{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}} \right)}^{2}}-2\left( {{z}_{1}}{{z}_{2}}+{{z}_{2}}{{z}_{3}}+{{z}_{3}}{{z}_{1}} \right)=0\), 可推知
\(\cos 2\alpha +\cos 2\beta +\cos 2\gamma =\sin 2\alpha +\sin 2\beta +\sin 2\gamma =0\)

其實就是鋼琴大的方法，只是移項的方式不同XD

作者: David 時間: 2014-5-27 22:06 標題: 回復 31# tsusy 的帖子

謝謝各位大師的講解. 推導的這麼精采, 小弟真是即高興又想哭(終於深深體會什麼叫哭笑不得)....唉!

作者: Ellipse 時間: 2014-5-30 09:59

引用:

原帖由 David 於 2014-5-27 10:06 PM 發表
謝謝各位大師的講解. 推導的這麼精采, 小弟真是即高興又想哭(終於深深體會什麼叫哭笑不得)....唉!

印象中這題在仿間高中數學參考書內會有~

作者: superlori 時間: 2014-5-30 11:22 標題: 回復 31# tsusy 的帖子

跟寸絲的作法很類似
不過我是跟鋼琴大一樣
先令Z_1,Z_2,Z_3然後此三點為單位圓上三點
做到cos(alpha-beta)=-1/2
同理cos(beta-gamma)=-1/2
cos(gamma-alpha)=-1/2
不失一般性beta=alpha+120度,gamma=alpha+240度
就可以證出來了。

作者: 瓜農自足 時間: 2014-5-30 17:37

想請問計算題一，五。

[ 本帖最後由瓜農自足於 2014-5-30 05:40 PM 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2014-5-30 18:20

計算一
一個正方體可做8個，9個正方體就72個，再加上邊長為\(\sqrt{6}\)的 8 個正三角形，共 80 個
感謝 saqwsaqw 老師指正

計算五
第二頁小蝦米老師已解

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-8-6 01:45 PM 編輯 ]

作者: 瓜農自足 時間: 2014-5-30 18:43

謝謝鋼琴師說明，了解了。

作者: saqwsaqw 時間: 2014-8-6 12:13

回復 37# thepiano 的帖子
正方體邊的中點也可以做8個正三角形

作者: thepiano 時間: 2014-8-6 13:43 標題: 回復 39# saqwsaqw 的帖子

對，還有 8 個邊長為\(\sqrt{6}\)的正三角形，感謝指正

忽然想起這題去年明倫高中考過

作者: weiye 時間: 2015-6-7 10:16 標題: 回復 17# 小蝦米的帖子

(相片裁切，左下最後一行少掉一句 "或 \((p,q)=(-1,1)\)")

圖片附件: 2015-06-07 10.09.13.jpg (2015-6-7 10:16, 1.09 MB) / 該附件被下載次數 8720
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