Math Pro 數學補給站

標題: 103桃園高中 [打印本頁]

作者: natureling 時間: 2014-5-5 22:09 標題: 103桃園高中

.

附件: 103桃園高中題目.pdf (2014-5-8 09:30, 372.63 KB) / 該附件被下載次數 27017
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2191&k=0d04d7df0c5a131efb4395a0dcff08c9&t=1714129309

附件: 103桃園高中答案.pdf (2014-5-8 09:30, 216.97 KB) / 該附件被下載次數 25758
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2192&k=d2f8805cec622da07a9db5cda7e0343c&t=1714129309

作者: Ellipse 時間: 2014-5-5 22:44

填6:
已知複數$z_1,z_2$滿足$|\;z_1|\;=|\;z_2|\;=1$，且$\displaystyle z_1+z_2=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$，求$(z_1z_2)^{10}=$　　　。
[解答]
偷懶做法:
取z1=1+0i ,z2=cos120度+i*sin120度
(z1*z2)^10=(cos120度+i*sin120度)^10
=cos1200度+i*sin1200度
=cos120度+i*sin120度
= -1/2+(3^0.5/2)i

圖片附件: 複數乘積.png (2014-5-5 22:45, 191.26 KB) / 該附件被下載次數 10360
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2193&k=19ba61286dd90fe7d105a53c6e360df1&t=1714129309

作者: bugmens 時間: 2014-5-5 22:50

填充7.
將與105互質的所有正整數由小到大排成一個數列，則此數列第2014項為？

將與105互質之所有正整數由小到大排成一數列，求此數列第1000項之值。
(新奧數教程高一第2講　有限集元素的數目，98高雄市聯招，https://math.pro/db/thread-797-1-1.html)

104.6.20新增
將與2015互質的正整數由小到大排列，則第2015個數為。
(104高雄市高中聯招，https://math.pro/db/thread-2290-1-1.html)

111.7.12補充
所有正整數從小排列到大，求與105互質的第1204項的數為何？
(111屏東高中，https://math.pro/db/thread-3663-1-1.html)

112.5.30
將與110互質的所有正整數，從小到大排成數列，求此數列的第2023項。
(112羅東高中，https://math.pro/db/thread-3752-1-1.html)

計算3.
請問：函數$ f(x)=cos \root{3}\of{x} $是不是週期函數？若是，請證明；若不是，也請證明。

證明：函數$ y=sin x^2 $不是一個週期函數。
(奧數教程高一　第10講　三角函數的性質及應用)

計算4.
設甲袋原有$ k-1 $( $ k \ge 2 $ )個白球與1個黑球，而乙袋原有k個白球。今先自甲袋取一球放入乙袋中，再自乙袋取一球放入甲袋中，這動作我們稱之為一局。對每個正整數n，令$ P_n $表示n局後黑球仍在甲袋的機率。
(1)求$ P_2 $。
(2)求$ P_n $。
(3)利用(1)的結果，求$ \displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n $的值。
(96筆試一，臺灣師大數學系大學甄選入學指定項目甄試試題，http://www.math.ntnu.edu.tw/admiss/recruit.php?Sn=14)

圖片附件: 和105互質的正整數.gif (2014-5-5 22:54, 50.91 KB) / 該附件被下載次數 11121
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2194&k=a811970e1b7e82f6d3898616273ae68f&t=1714129309

附件: 96臺灣師大指定項目甄選試題.zip (2014-5-8 09:24, 286.08 KB) / 該附件被下載次數 24424
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2203&k=2a6da7815c65a3cc6caa0c7be009a9ce&t=1714129309

圖片附件: 證明不是週期函數.gif (2014-5-10 04:15, 54.66 KB) / 該附件被下載次數 11357
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2227&k=205a142dd27baa8ad44c8392f7da756f&t=1714129309

作者: tsusy 時間: 2014-5-5 23:45 標題: 回復 1# natureling 的帖子

12.
在整數列$\displaystyle \left[\frac{1^2}{103}\right],\left[\frac{2^2}{103}\right],\left[\frac{3^2}{103}\right],\ldots,\left[\frac{k^2}{103}\right],\ldots,\left[\frac{103^2}{103}\right]$中，共有　　　個互不相等的整數(其中符號[]為高斯符號)。
[解答]
做一下填 12.，
$ \left[\frac{52^{2}}{103}\right]=26+\left[\frac{26}{103}\right] $,
$ 53^{2}=52^{2}+103+2, \left[\frac{53^{2}}{103}\right]=27+\left[\frac{26+2}{103}\right] $
$ 54^{2}=53^{2}+103+4, \left[\frac{54^{2}}{103}\right]=28+\left[\frac{26+2+4}{103}\right] $
$ 55^{2}=54^{2}+103+6, \left[\frac{55^{2}}{103}\right]=29+\left[\frac{26+2+4+6}{103}\right] $
...
$ 103^{2}=102^{2}+103+102 , \left[\frac{103^{2}}{103}\right]=77+\left[\frac{26+2+4+6+\ldots+102}{103}\right] $

所求 $ =103+1-\left[\frac{26+2+4+6+\ldots+102}{103}\right]=78 $。

說明如下：上面的算式計算有幾個相鄰項的差為 2，這些相鄰的差為 2，就產生某個正整數被跳過而沒有出現。

$ (k+1)^2 - k^2 = 2k+1 $，當 $ k \leq 52 $，分子增加不到 103，相鄰項的差至多為 1

而 $ k \geq 53 $ 的情況，我們將第 k 項寫成 $ \left[\frac{k^{2}}{103}\right]=(k-26)+\left[\frac{}{103}\right] $

每次至少增加 1，而當後方的 [ ] 也增加 1 時，就會增加 2。

而後方的 [ ] 如同 $ k \leq 52 $ 之情況，不會產生增加 2，不是加 0 就是加 1

故計算其在 $ k =103 $ 之值為 26，便知這些相鄰項的差有 26 個為 2。

因此從 0~103 的整數中，有 26 個被跳過，所求 = $ 103 + 1 -26 =78 $。

作者: shingjay176 時間: 2014-5-5 23:55 標題: 回復 4# tsusy 的帖子

這題目我寫104個，明知道會錯，應該有些會沒有。但已經餓到受不了。就把104寫下去了

作者: tsusy 時間: 2014-5-6 10:58 標題: 回復 5# shingjay176 的帖子

填 12. 做完發現，其實沒有這麼複雜，做到 $ k=52 $，其實就完成了後，因為 $ k\geq 53 $ 後每項皆相異

故所求 = $ 1 + \left[ \frac{52^2}{103} \right ] + (103 -52) = 78$

作者: terry90618 時間: 2014-5-6 11:51 標題: 填充7

將與105 互質的所有正整數由小到大排成一個數列，則此數列的第2014 項為　　　?
[解答]
我直接算105-35-21-15+7+5+3-1=48(每105個數會跟105互質的個數)
2014/48=41.....46=42..多兩位
105*42=4410 往回推3位 4409 4408 "4406"
很粗淺的方法供參考

作者: wen0623 時間: 2014-5-7 00:09 標題: 回復 7# terry90618 的帖子

105*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7)=48 每４８個—循環
（1,2,4,...101,103,104)
2014＝４8＊４１＋４６（４８個數中第４６個）
ａ_｛2014｝＝ｌ０５＊４１＋101＝４４０６

順便請問，若用Ｘ*（1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7)<=2014解
X<=4405.625（此題是小數，小數是否需進位至4406？以往遇到都是整數，再後往前尋找非3,5,7之倍數）。

作者: uhepotim01 時間: 2014-5-7 13:43

想請教計算證明題第1(2)、3應該如何下手，沒什麼頭緒，謝謝。

作者: leo790124 時間: 2014-5-7 14:45 標題: 回復 4# tsusy 的帖子

第一行就看不懂了><
[52^2/103]=26
為什麼可以寫成34+[26/103]呢???

作者: tsusy 時間: 2014-5-7 14:57 標題: 回復 9# uhepotim01 的帖子

計算1.
已知橢圓$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的焦點為$F_1,F_2$，直線$L$通過$F_1$且與橢圓交於$A,B$兩點，
(1)求$\Delta F_2AB$的周長。
(2)求$\Delta F_2AB$面積的最大值。
[解答]
計算1(2)，我的切入點在線性變換，先把橢圓變成圓 $ x^2 + y^2 =a^2 $

新的弦以 $ \overline{A'B'} $ 表示之，假設其與 $ \overline{F_1F_2} $ 的夾角為 $ \theta $

以 $ \theta $ 表示三角形面積可得 $ \triangle F_2A'B' = \frac12 \times 2c \times 2\sqrt{a^2-c^2\sin^2\theta} \sin\theta $

令 $ t = \sin^2 t $，則上式平方為 $ \triangle'^{2}=4c^{2}(a^{2}t-c^{2}t^{2}) $

當 $ \frac{a^{2}}{2c^{2}}\leq1 $ 時，$ \sin^{2}\theta=t=\frac{a^2}{2c^{2}} $ 時有最大值，開根號再壓扁得最大面積為 $ ab $

當 $ \frac{a^{2}}{2c^{2}}>1 $ 時，$ \theta=\frac{\pi}{2}, t=1 $ 時有最大值，壓扁回橢圓時，該弦就是正焦弦，最大面積為 $ \frac{2b^2c}{a} $

回復 10# leo790124 的帖子
是我不小心寫錯，已修正為 $\displaystyle \left[\frac{52^{2}}{103}\right]=26+\left[\frac{26}{103}\right] $，
也就是 $ 52^2 = 103 \times 26 + 26 $

作者: Sandy 時間: 2014-5-7 15:56

請問填充9，11，謝謝

作者: Pacers31 時間: 2014-5-7 16:26 標題: 回復 12# Sandy 的帖子

第9題：
已知實係數三次函數$\displaystyle f(x)=\frac{a}{3}x^3-bx^2+(2-b)x+1$，$f(x)$在$x=x_1$處有極大值，在$x=x_2$處有極小值，且$0<x_1<1<x_2<2$，則$a+2b$值的範圍為　　　。
[解答]
依題意，即 $f'(x)=ax^2-2bx+(2-b)=0$ 之二根 $x_1$, $x_2$ 滿足 $0<x_1<1<x_2<2$，且 $a>0$

故須滿足 $f'(0)>0$, $f'(1)<0$, $f'(2)>0$ 且 $a>0$

由以上限制範圍作圖，利用線性規劃概念可得所求範圍！

第11題：
已知$\Gamma$為$y=ax^3+bx(a>0,b>0)$，原點$O$為其反曲點，射線$\vec{OA}$在第一象限交$\Gamma$於$A$點。若$P$為曲線段$OA$上一點，且以$P$為切點的切線與$\overline{OA}$平行，則$\displaystyle \frac{弓形APO的面積}{\Delta APO的面積}=$　　　。
[解答]
暫時只想到暴力解，考場要這樣解應該會放棄...

設 $f(x)=ax^3+bx$ $\Rightarrow f'(x)=3ax^2+b$

設切點 $P(t,at^3+bt)$, $t>0$，則 $\overleftrightarrow{OA}:y=f'(t)x$

求 $\overleftrightarrow{OA}$ 與 $\Gamma$ 交點即解方程式 $f'(t)x-ax^3-bx=0$ $\Rightarrow x=\pm \sqrt{3}t,0$

可得交點 $A(\sqrt{3}t,3\sqrt{3}at^3+\sqrt{3}bt)$

由 $O,P,A$ 三點坐標及三角形的行列式面積公式可得三角形 $OAP$ 面積為 $\sqrt{3}at^4$ (意外地不難算...)

而弓形面積 $\displaystyle \int_{0}^{\sqrt{3}t}f'(t)x-ax^3-bx\ dx=\int_{0}^{\sqrt{3}t}-ax(x^2-3t^2)dx=\frac{9}{4}at^4$

故得所求 $\displaystyle =\frac{\frac{9}{4}at^4}{\sqrt{3}at^4}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$

作者: 阿光 時間: 2014-5-7 17:20

想請教填充2 ,3 .5題謝謝

作者: hua0127 時間: 2014-5-7 18:06 標題: 回復 14# 阿光的帖子

填充第二題：
已知$x,y\in R$，$x^2+y^2=25$，試求$\sqrt{8y-6x+50}+\sqrt{8y+6x+50}$的最大值為　　　。
[解答]
利用x^2+y^2=25
把原式拆成 sqrt(x^2+y^2+8y-6x+25) + sqrt(x^2+y^2+8y+6x+25)
               =sqrt( (x-3)^2 + (y+4)^2 ) + sqrt( (x+3)^2 + (y+4)^2 )
看成半徑為5的圓上取一點到 (3,-4) , (-3,-4 )的距離和最大
不難看出取點 (0,5) 時有最大值代入所求為 6 sqrt(10)
抱歉還不太會用語法，這裡的sqrt 是根號的意思
(我會再花時間看一下寸絲兄的教學XD  讓大家傷眼先說聲不好意思

好久沒上來了，這裡還是一樣充滿熱情，最近又想上來練功一下，
吸取各位先進的知識~

作者: tsusy 時間: 2014-5-7 19:06 標題: 回復 15# hua0127 的帖子

填2.
已知$x,y\in R$，$x^2+y^2=25$，試求$\sqrt{8y-6x+50}+\sqrt{8y+6x+50}$的最大值為　　　。
[解答]
我是用了凸函數不等式，對任意 $ a, b>0 $，不等式 $ \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\leq\sqrt{\frac{a+b}{2}} $ 恆成立

以 $ (a,b) = (8y-6x+50, 8y+6x+50) $ 代入得

$ \frac{\sqrt{8y-6x+50}+\sqrt{8y+6x+50}}{2}\leq\sqrt{\frac{16y+100}{2}}=\sqrt{8y+50}\leq\sqrt{90} $

因此 $ \sqrt{8y-6x+50}+\sqrt{8y+6x+50}\leq6\sqrt{10} $

兩個 $ \leq $ 在 $ (x,y)=(0,5) $ 時，等號同時成立

故最大值為 $ 6\sqrt{10} $

回復 13# Pacers31 的帖子

填11.
已知$\Gamma$為$y=ax^3+bx(a>0,b>0)$，原點$O$為其反曲點，射線$\vec{OA}$在第一象限交$\Gamma$於$A$點。若$P$為曲線段$OA$上一點，且以$P$為切點的切線與$\overline{OA}$平行，則$\displaystyle \frac{弓形APO的面積}{\Delta APO的面積}=$　　　。
[解答]
透過伸縮變換，面積比保持不變，故不失一般性可假設曲線方程式為 $ y=x^3+x $

然後做相同的積分

作者: shingjay176 時間: 2014-5-7 19:12 標題: 回復 15# hua0127 的帖子

填充第二題：
已知$x,y\in R$，$x^2+y^2=25$，試求$\sqrt{8y-6x+50}+\sqrt{8y+6x+50}$的最大值為　　　。
[解答]
利用 ${x^2} + {y^2} = 25$
把原式拆成 $\begin{array}{l}
\sqrt {{x^2} + {y^2} + 8y - 6x + 25}  + \sqrt {{x^2} + {y^2} + 8y + 6x + 25} \\
= \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y + 4} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2} + {{\left( {y + 4} \right)}^2}}
\end{array}$
看成半徑為$5$的圓上取一點到 $(3,-4) , (-3,-4 )$的距離和最大
不難看出取點 $(0,5)$ 時有最大值代入所求為  $6\sqrt {10} $

作者: Ellipse 時間: 2014-5-7 19:20

引用:

原帖由 tsusy 於 2014-5-7 07:06 PM 發表
填2. 我是用了凸函數不等式，對任意 $ a, b>0 $，不等式 $ \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\leq\sqrt{\frac{a+b}{2}} $ 恆成立

柯西不等式也可以~

作者: Pacers31 時間: 2014-5-7 19:27 標題: 回復 14# 阿光的帖子

第3題：
已知數值資料$\displaystyle \frac{1}{n},\frac{1}{n},\frac{1}{n},\frac{2}{n},\frac{2}{n},\frac{2}{n},\frac{2}{n},\frac{2}{n},\frac{3}{n},\ldots,\frac{n}{n}$，其中$\displaystyle \frac{i}{n}$有$(2i+1)$個，$i=1,2,3,\ldots,n$，$n\in N$。設此資料算術平均數為$\mu$，母體標準差為$\sigma$，求$\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\mu^2+\sigma^2)=$　　　。
[解答]
設隨機變數 $\displaystyle X=\frac{i}{n}$, $i=1,2,\cdots, or\ n$，滿足 $\displaystyle P\Big(X=\frac{i}{n}\Big)=\frac{2i+1}{\sum_{i=1}^{n}(2i+1)}$

由等式 $E[X^2]=\sigma^2+\mu^2$

可得 $\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}(\sigma^2+\mu^2)=\lim_{n\rightarrow\infty}E[X^2]=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{i=1}^{n}\Big(\frac{i}{n}\Big)^2(2i+1)}{\sum_{i=1}^{n}(2i+1)}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^2}\cdot\frac{\sum_{i=1}^{n}(2i^3+i^2)}{\sum_{i=1}^{n}(2i+1)}=\cdots=\frac{1}{2}$

111.2.22補充
將$ \displaystyle \frac{1}{n},\frac{2}{n},\ldots,\frac{n}{n} $等$n$個數的算術平均數記為$a_n$，其標準差記為$b_n$，則$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=$　　　，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n=$　　　。
(81大學聯考試題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2441&page=1#pid14824)

作者: Ellipse 時間: 2014-5-7 19:29

引用:

原帖由 Pacers31 於 2014-5-7 04:26 PM 發表
第9題：

依題意，即 $f'(x)=ax^2-2bx+(2-b)=0$ 之二根 $x_1$, $x_2$ 滿足 $00$，則 $\overleftrightarrow{OA}:y=f'(t)x$

求 $\overleftrightarrow{OA}$ 與 $\Gamma$ 交點即解方程式 $f'(t)x-ax^3-bx=0$ ...

參考這篇大師們所寫的文章
h ttp://mathcenter.ck.tp.edu.tw/Resources/Ctrl/ePaper/eArticleDetail.aspx?id=604c7541-5cda-4659-aa7b-14369827978b　連結已失效

作者: hua0127 時間: 2014-5-7 21:59 標題: 回復 14# 阿光的帖子

看寸絲兄用凸函數解真是高招，
也感謝興傑兄花費寶貴的時間幫小弟打字XD ，小弟終於研究了轉latex的語法

補個填充第五題：
給定正實數$a$，若$\displaystyle \lim_{x\to \infty}(\frac{x+a}{x-a})^x=e$，則$a=$　　　。(其中$e$為自然對數的底數)
[解答]
(1) 作法1可以利用 \[{e^x}\] 為連續函數，然後用羅必達法則
$ \displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(\frac{{x + a}}{{x - a}})^x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {e^{x\ln (\frac{{x + a}}{{x - a}})}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty }\displaystyle \frac{{\ln (\frac{{x + a}}{{x - a}})}}{{\frac{1}{x}}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{ - \frac{{2a}}{{{{(x - a)}^2}}} \div \frac{{x + a}}{{x - a}}}}{{ - \frac{1}{{{x^2}}}}}}} = {e^{2a}}$

(2) 作法2可以直接利用${e^t} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(1 + \frac{t}{x})^t}$的定義，拆成兩個存在的極限相乘

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{x + a}}{{x - a}}} \right)^x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{{2a}}{{x - a}}} \right)^x} = $
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {{{\left( {1 + \frac{{2a}}{{x - a}}} \right)}^{x - a}} \cdot {{\left( {1 + \frac{{2a}}{{x - a}}} \right)}^a}} \right)$
$=\mathop {\lim }\limits_{(x - a) \to \infty } {(1 + \frac{{2a}}{{x - a}})^{x - a}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{(x - a) \to \infty } {(1 + \frac{{2a}}{{x - a}})^a} = {e^{2a}} \cdot 1 = {e^{2a}}$
然後解出 $a=\frac{1}{2}$

作者: hua0127 時間: 2014-5-7 22:07 標題: 回復 21# hua0127 的帖子

下面的式子語法好像出不來囧，我再研究一下(糗~

作者: shingjay176 時間: 2014-5-7 22:12 標題: 回復 22# hua0127 的帖子

從方程式編輯器把打好的公式，複製後，貼過來網頁。
會出現 $ 的符號。最前面那個要改掉。尾巴最後面那個 $也要改掉。
全部改成 \+( \+) +號拿掉，括號緊貼著斜線。
小括號是不置中。中括號是置中

作者: justine 時間: 2014-5-7 22:15

請問..第4題和第8題該怎麼做呢?
麻煩大家了，謝謝!!

作者: thepiano 時間: 2014-5-7 22:44

第 4 題
將21個相同的球全部放入3個不同的袋子，若每袋至少一球，且任二袋球數和大於第三袋球數，則球數的安排方案共有　　　種。
[解答]
(10，10，1)：3 種
(10，9，2)：6 種
(10，8，3)：6 種
(10，7，4)：6 種
(10，6，5)：6 種
(9，9，3)：3 種
(9，8，4)：6 種
(9，7，5)：6 種
(9，6，6)：3 種
(8，8，5)：3 種
(8，7，6)：6 種
(7，7，7)：1 種
計 55 種

作者: tsusy 時間: 2014-5-8 00:02 標題: 回復 25# thepiano 的帖子

填4.
將21個相同的球全部放入3個不同的袋子，若每袋至少一球，且任二袋球數和大於第三袋球數，則球數的安排方案共有　　　種。
[解答]
也可以用重覆組合做

$ H_{18}^{3}-C_{1}^{3}\cdot H_{8}^{3}=C_{18}^{20}-3\cdot C_{8}^{10}=55 $

其中 $ H_{18}^3 $ 代表至少一個任意分，而 $ H_{21-11-1-1}^3 $ 代表某一個 $ \geq 11 $ 使另兩個相加少於多的這袋，不符合題意要求，需扣除

作者: David 時間: 2014-5-8 12:06

第8題
已知$\Delta ABC$的三邊長$a,b,c$和面積$S$滿足關係式$S=a^2-(b-c)^2$，且$b+c=8$，則$\Delta ABC$的面積$S$的最大值為　　　。
[解答]
代海龍公式:
$$ \sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)}{16}}=a^2-(b-c)^2$$
接著左右平方, 化簡得:
$$
\begin{aligned}
&17a^2-17b^2-17c^2+30bc=0\\
\Rightarrow &\frac{c^2+b^2-a^2}{2bc}=\frac{15}{17}=\cos A\\
\Rightarrow &\sin A=\frac{8}{17}
\end{aligned}
$$
又, 由$b+c=8$及算幾不等式, 得$bc\leq16$
故
$$\triangle ABC = \frac{1}{2}bc\sin A \leq \frac{64}{17}$$

作者: Sandy 時間: 2014-5-8 19:13 標題: 回復 26# tsusy 的帖子

可以考慮把題目轉換成求周長為21的三角形$ABC$
邊長$a,b,c$有多少中排列數

作者: tsusy 時間: 2014-5-8 19:25 標題: 回復 28# Sandy 的帖子

這樣有轉就不就等於沒轉，算的方法還是一模一樣

作者: loveray 時間: 2014-5-8 21:21 標題: 請問填充1

請問填充1

作者: Sandy 時間: 2014-5-8 21:44 標題: 回復 30# loveray 的帖子

向量AD可換成1/3向量AC和2/3向量AB
再利用內積的幾何性質計算

圖片附件: [103桃園填充1] P_20140508_213910.jpg (2014-5-8 21:44, 1.08 MB) / 該附件被下載次數 6128
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2209&k=660174577ad7c345711d4a27c031ef5a&t=1714129309

作者: hua0127 時間: 2014-5-8 21:54 標題: 回復 9# uhepotim01 的帖子

計算第3題我是用反證法：
假設$f(x)=\cos (\sqrt[3]{x})$為週期函數，則存在一個不為0的常數T使得
$f\left( x+T \right)=f(x),\ \ \forall x\Rightarrow \cos \left( \sqrt[3]{x+T} \right)=\cos \left( \sqrt[3]{x} \right)$
取$x=0$代入, 則存在$k\in \mathbb{Z}$ 使得 $\sqrt[3]{T}=2k\pi $,
取$x=T$代入，得$\cos \left( \sqrt[3]{2T} \right)=\cos \left( \sqrt[3]{T} \right)=1$,
則存在$m\in \mathbb{Z}$ 使得 $\sqrt[3]{2T}=2m\pi $
將兩式相除得到
$\frac{\sqrt[3]{2T}}{\sqrt[3]{T}}=\frac{m}{k}=\sqrt[3]{2}$ (注意到$m,k\ne 0$ )
為一有理數，得到矛盾，故f不為週期函數

作者: shingjay176 時間: 2014-5-8 22:01

引用:

原帖由 hua0127 於 2014-5-8 09:54 PM 發表
計算第3題我是用反證法：
假設$f(x)=\cos (\sqrt[3]{x})$為週期函數，則存在一個不為0的常數T使得
\(f\left( x+T \right)=f(x),\ \ \forall x\Rightarrow \cos \left( \sqrt[3]{x+T} \right)=\cos \left( \sqrt[3]{x} ...

取$x=T$代入，得$\cos \left( \sqrt[3]{2T} \right)=\cos \left( \sqrt[3]{T} \right)=1$, <<<這步為何會等於1

作者: hua0127 時間: 2014-5-8 22:06 標題: 回復 33# shingjay176 的帖子

前面少了一個算式XD
取$x=0$代入時會得到$\cos \left( \sqrt[3]{T} \right)=\cos 0=1$

作者: leo790124 時間: 2014-5-9 14:35 標題: 回復 11# tsusy 的帖子

想請教第三行的三角形F2AB面積的等號是怎麼推出來的
謝謝

作者: natureling 時間: 2014-5-10 22:15

想請教計算2 的答案...是$\displaystyle \frac{1}{3}<m<27 $嗎?

作者: tsusy 時間: 2014-5-11 13:42 標題: 回復 36# natureling 的帖子

計算 2. 沒算錯話，應該是 $\displaystyle 3^{-\frac{1}{5}}<m\le27 $

$ m = 27 $ 的時候，該式不是 $ x $ 的二次，不能用判別式判斷

作者: kittyyaya 時間: 2014-5-12 06:47

引用:

原帖由 tsusy 於 2014-5-7 02:57 PM 發表
計算1(2)，我的切入點在線性變換，先把橢圓變成圓 $ x^2 + y^2 =a^2 $

新的弦以 $ \overline{A'B'} $ 表示之，假設其與 $ \overline{F_1F_2} $ 的夾角為 $ \theta $

以 $ \theta $ 表示三角形面積可得 \( \tri ...

請問寸絲老師
1.橢圓變成圓,焦點不是變成圓心了,如何跟F1F2相交夾角,還是跟原橢圓焦點相交 ?
2.您的第三行三角形面積=...根號(a^2-c^2sin^2角)sin角,如何來的 ?
3.第5,6行,可否麻煩老師,再詳述,壓扁後的面積
謝謝

作者: tsusy 時間: 2014-5-12 08:36 標題: 回復 38# kittyyaya 的帖子

1. 我做的是線性變換，在這個操作下，才會有面積比的事，所以 $ (\pm c,0) $ 還是被對應到 $ (\pm c,0) $
只是這兩個點不是焦點而已，但這不重要，重要的是面積。

2. $ \frac12 底 \times 高 $，以 $ \overline{A'B'} $ 為底，高是另一原焦點到此弦的距離
(05.13更正上行原錯誤，紅字處)

3. $ t $ 二次式配方求極值，壓扁也只是乘一個常數 $ \frac ba $

作者: leo790124 時間: 2014-5-12 14:16

請問計算1(2)
可以有圖輔助一下嗎，對以上的算式仍不是很懂...
謝謝

作者: kittyyaya 時間: 2014-5-14 19:06

可以請問老師們
填充第10題答案是$(k,V)=(\sqrt{6} , 3)$ 嗎 ?
謝謝

作者: tsusy 時間: 2014-5-14 19:26 標題: 回復 41# kittyyaya 的帖子

10.
設四面體的六條稜線中有五條稜長為2，另一條稜長為$a$。若當$a=k$時，此四面體有最大體積$V$，則數對$(k,V)=$　　　。

$ k $ 是 $ \sqrt{6} $ 沒錯，但是不是忘記錐體體積要除以 3 了？

回復 40# leo790124 的帖子
畫個圓，在直徑上對稱的地方點兩個點代表原焦點位置，過其中一個點拉一條弦，弦的兩端點和另一焦點連線，形成三角形
這張圖自己畫，應無困難才是

另外，一直沒有回覆，是因為你不說，我也不知你哪裡不懂，我也不知道要從何講起

作者: shingjay176 時間: 2014-5-14 22:24 標題: 回復 42# tsusy 的帖子

插個題外話，
考場上走廊一聽到考生聊天，寸絲講義變成聖經了
考生彼此在聊天做些甚麼題目~~{做寸絲老師的講義}
如果出版，一定熱銷~~

作者: leo790124 時間: 2014-5-15 08:06 標題: 回復 42# tsusy 的帖子

OK
謝謝老師

作者: tsusy 時間: 2014-5-15 10:23 標題: 回復 43# shingjay176 的帖子

寫的不好，是大家不嫌棄，因為沒有其他人寫的關係。

興傑兄，如果寫完了，也可以自己去蕪存菁，只留精華，相信會更厲害！

作者: shingjay176 時間: 2014-5-15 10:31 標題: 回復 46# tsusy 的帖子

我算完後，有發現錯誤的地方。在跟你說。這裡要開個專門討論版，讓大家討論裡面題目。。。有錯誤的解答，大家也可以提供出來。
很有意義的活動，我也想參與討論編輯分類考古題。寫出詳解版，跟提示想法。
幫助更多還沒找到方法，想考上教師甄選的戰友們。

作者: Ellipse 時間: 2014-5-15 20:48

引用:

原帖由 shingjay176 於 2014-5-14 10:24 PM 發表
插個題外話，
考場上走廊一聽到考生聊天，寸絲講義變成聖經了
考生彼此在聊天做些甚麼題目~~{做寸絲老師的講義}
如果出版，一定熱銷~~

寸絲出書的話
小弟會捧場~

作者: wooden 時間: 2014-5-15 22:31

引用:

原帖由 shingjay176 於 2014-5-15 10:31 AM 發表
我算完後，有發現錯誤的地方。在跟你說。。。這裡要開個專門討論版，讓大家討論裡面題目。。。有錯誤的解答，大家也可以提供出來。。。
很有意義的活動，我也想參與討論編輯分類考古題。寫出詳解版，跟提示想法。
幫助更多還沒 ...

我也是做完寸絲的100年考古題解答後，才考上的，
所以我能回饋的就是幫寸絲校正100年解答的筆誤地方
所以，這是很有意義的活動

作者: shingjay176 時間: 2014-5-15 22:41 標題: 回復 48# wooden 的帖子

開個版，來討論更新校正，寸絲老師的講義。
我曾經在網路上，有人一本賣兩千元，是普通影印店膠裝而已。我自己有買了一本
當初做得很痛苦，要背下裡面的做法，又不知其所以然，死背很不好。
這邊有老師討論。更可以理解觀念作法。
我們把答案放出來給人下載。

作者: wooden 時間: 2014-5-16 11:26

引用:

原帖由 shingjay176 於 2014-5-15 10:41 PM 發表
開個版，來討論更新校正，寸絲老師的講義。
我曾經在網路上，有人一本賣兩千元，是普通影印店膠裝而已。我自己有買了一本
當初做得很痛苦，要背下裡面的做法，又不知其所以然，死背很不好。
這邊有老師討論。更可以理解觀念作法。
...

興傑兄
你要先詢問寸絲兄的意思，
因為，畢竟是他的心血結晶

作者: panda.xiong 時間: 2014-5-19 14:54

引用:

原帖由 tsusy 於 2014-5-12 08:36 AM 發表
1. 我做的是線性變換，在這個操作下，才會有面積比的事，所以 $ (\pm c,0) $ 還是被對應到 $ (\pm c,0) $
只是這兩個點不是焦點而已，但這不重要，重要是的面積。

2. $ \frac12 底 \times 高 $，以 \( \overline{A'B'} \ ...

請問"底邊的長是怎麼算的"？

作者: tsusy 時間: 2014-5-19 17:11 標題: 回復 51# panda.xiong 的帖子

線性變換後，橢圓變成圓，弦長的計算用畢氏定理，所以看到那個奇怪的 $ 2 \sqrt{ } $ 就是弦長了

弦長 $ = 2\times \sqrt{半徑^2 - 弦心距^2} $

作者: 瓜農自足 時間: 2014-6-5 15:24 標題: 回復 11# tsusy 的帖子

請教
如果直接作參數解
A(a*cosP, b*sinP)
B(a*cosQ, b*sinQ)
F_1( c, 0 ) F_2(-c, 0)
由F_1-A-B共線斜率相同得 ab*sin(P-Q)= bc*(sinP-sinQ)
再由向量|AF_2 X BF_2| *(1/2)
=(1/2)*| (ab*sin(P-Q)+bc*(sin(P)-sin(Q)) |
=ab*|sin(P-Q)|<=ab 即所求面積最大為ab
如此一來，並沒辦法以a,c 的關係分類出極值不同
想請教這樣算哪裡有問題呢？

作者: tsusy 時間: 2014-6-5 16:58 標題: 回復 53# 瓜農自足的帖子

A, B 是焦弦的兩個音端點，$ P, Q $ 之間互相依賴，即其一確定，另一個也會被確定 (視同界角為相同)，即寫作 Q = Q(P)

$ \sin(P-Q) \leq 1 $ 中，我們不一定找得到 $ P $ 使得等號成立，因此得到的只是一個上界

這個 $ \sin $ 的最大值，要視 $ P,Q $ 之間關係才能決定

而先前解題中，這件事也曾浮現在我的思考中，但 $ P,Q $ 的關係，大概不是一件好算、簡潔的表示式吧。

只好讓這個想法夭折在半路上了

作者: martinofncku 時間: 2014-7-26 22:26

引用:

原帖由 tsusy 於 2014-5-11 01:42 PM 發表
計算 2. 沒算錯話，應該是 \(\displaystyle 3^{-\frac{1}{5}}

我只能算出 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt[5]{3}}<m<27$,
請問老師, 如何能得知還有 27 呢?
另外, 想請問計算 4. 的答案
(我算的答案是 (1) $\displaystyle \frac{k^{2}+1}{(k+1)^{2}}
(2) \frac{k(k-1)^{n-1}}{(k+1)^{n}}-\frac{1}{2}[(\frac{k-1}{k+1})^{n-1}-1]
(3) 1
$

作者: tsusy 時間: 2014-7-27 08:11 標題: 回復 55# martinofncku 的帖子

計算 4. (1) (2) 皆正確 (3) 為 $\displaystyle \frac12 $

另外 (2) 可以寫成 $ \displaystyle P_{n}=\frac{(\frac{k-1}{k+1})^{n}+1}{2} $，看起來比較簡潔

(3) 則是用到 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (\frac{k-1}{k+1})^{n} = 0 $，故僅剩下 $\displaystyle \frac12 $

計算 2. $ m =27 $ 如先前所言，該式非二次式，不能以判別式判斷。

$ m = 27 $ 代入，會發現左式為常數 -1 (若稍改動式子，也有可能是一次式)，故 $ m=27 $ 該不等式亦對所有實數 x 皆成立

作者: martinofncku 時間: 2014-7-27 10:18 標題: 回復 56# tsusy 的帖子

謝謝老師
想再請問二 8.
(我有看過 #27 David 老師所寫的方法)
我自己寫的式子, 到最後是 $ S=\frac{1}{16}(64-a^{2}) $, 想請問老師接下來該如何做比較好？

作者: cefepime 時間: 2017-3-19 20:38

填充題 8 揣摩 57# martinofncku 老師的作法如下。

已知 △ABC 的三邊長 a, b, c 和面積 S 滿足關係式 S = a² - (b - c)²，且 b+c = 8，則 △ABC 的面積 S 的最大值為?

解:

S = (a+b-c)*(a-b+c) ... (1) 由型式聯想到海龍公式:

4S = √ [ (a+b+c)*(-a+b+c)(a-b+c)*(a+b-c) ] ... (2)

為了化簡並保有所求的 S，作 (2)² ÷ (1)

16S = (a+b+c)*(-a+b+c) = 64 - a² = 64 - S - (b - c)²

⇒ 17S = 64 - (b - c)² ≤ 64

⇒ 當 b = c 時，面積 S 有最大值 64/17。

--------------------------------------------------------------------

另一個構思:

S = a² - (b - c)² 的右式有餘弦定理的元素，故改寫為:

S /2bc = [a² - (b - c)²] /2bc = - cosA + 1

⇒ (1/4)*sinA = - cosA + 1，又 sin²A + cos²A = 1

⇒ sinA = 8/17

由算幾不等式，S = (1/2)*bc*sinA ≤ (1/2)*16*(8/17) = 64/17 (當 b = c 時取等號)。

作者: shihqua 時間: 2021-12-9 00:45

想問計算1(2)這樣做錯在哪裡呢?
$\displaystyle \frac{1}{\overline{AF_1}}+\frac{1}{\overline{BF_1}}=\frac{4}{\frac{2b^2}{a}}=\frac{2a}{b^2}$
$\displaystyle \overline{AF_1}+\overline{BF_1}=2at$
$\displaystyle \overline{AF_1}\times \overline{BF_1}=b^2t$
$\Delta ABF_2=\sqrt{S\times \overline{AF_1}\times \overline{BF_2}
(S-\overline{AF_1}-\overline{BF_2})}=\sqrt{2ab^2t(2a-2at)}$
$=\sqrt{-4a^2b^2t^2+4a^2b^2t}$
$=\sqrt{-4a^2b^2(t-\frac{1}{2})^2+a^2b^2}$

作者: thepiano 時間: 2021-12-9 12:20 標題: 回復 59# shihqua 的帖子

除了第二行，把兩個 BF_1 打成 BF_2 之外，沒有問題

作者: thepiano 時間: 2021-12-9 12:44 標題: 回復 60# satsuki931000 的帖子

這算幾不等式的等號不會成立吧?

作者: shihqua 時間: 2021-12-9 15:27 標題: 回復 61# thepiano 的帖子

太好了，謝謝鋼琴老師！

作者: satsuki931000 時間: 2021-12-9 23:50

引用:

原帖由 thepiano 於 2021-12-9 12:44 發表
這算幾不等式的等號不會成立吧?

早上不知道為什麼一個昏頭
寫了莫名其妙的東西
事後已自己重新寫過得到正確答案
感謝鋼琴老師提醒
(原帖就先刪掉)

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0