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標題: 103臺中女中 [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2014-4-26 13:23 標題: 103臺中女中

美夢成真教甄討論文章
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=3290

國立臺中女中 103 學年度第一學期第一次教師甄選（數學科）筆試題答案更正重新閱卷公告

　　國立臺中女中 103 學年度第一學期教師甄選數學科初試成績，因發覺填充題第 2 題正確答案有錯，訂於 4 月 28 日上午 8 點重新閱卷，10 點前重新公告初試成績，成績複查時間改為 4 月 28 日上午 10 點至下午 5 點，複試名單延至 4 月 28 日下午 5 點半於本校網站公告。
http://dhcp.tcgs.tc.edu.tw/tcgs/board/view.asp?ID=11426

103.5.1補充
以下資料供以後考生參考：

初試最低錄取分數 35分
取11名(4名同分)參加複試，錄取1名
55,46,45,43,40,40,36,35,35,35,35

其他，
30~32分 8人
20~29分 35人
10~19分 53人
0~9分 45人
缺考　　44人

共計 196 人

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-5-1 10:36 PM 編輯 ]

附件: 103臺中女中-填充題.pdf (2014-4-26 13:23, 125.42 KB) / 該附件被下載次數 15808
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2140&k=4062ea62a27ae265eccdac6dc1e40a3a&t=1732258380

附件: 103臺中女中初試成績(更正版).pdf (2014-5-1 22:34, 69.67 KB) / 該附件被下載次數 13803
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2141&k=6848025ee705ae8f996a10f5018fe281&t=1732258380

作者: bugmens 時間: 2014-4-26 13:26

6.
若\( \displaystyle secx+tanx=\frac{22}{7} \)，則\( cscx+cotx \)之值為？

Suppose that \( \displaystyle secx+tanx=\frac{22}{7} \) and that \( \displaystyle cscx+cotx=\frac{m}{n} \), where \( \displaystyle \frac{m}{n} \) is in lowest terms. Find \( m+n \).
(1991AIME，http://www.artofproblemsolving.c ... id=45&year=1991)

10.
現有一隻青蛙在一個正三角形的三頂點間跳動，每次跳動可隨機由一頂點跳到其他兩個頂點中的一個。若此青蛙從某一個頂點開始跳動，則經過12次跳動後會回到原來的頂點之機率為？

一隻蟲從一有k個點的完全圖的一點出發。在每次移動時，它隨機選擇其它\( k-1 \)個點中的任一個點，並且沿著線段爬行到那個頂點。求此蟲子經過n次移動後，回到它一開始出發的點的機率。
(991中山大學雙週一題第4題)
機率\( \displaystyle =\frac{1-(1-k)^{1-n}}{k} \)
\( k=3,n=12代入 \)得到機率\( \displaystyle \frac{683}{2048} \)

12.
在坐標平面上，有一直角△ABC，以∠C為直角，\( \overline{AD},\overline{BE},\overline{CF} \)為△ABC之三中線，已知\( \overline{AD} \)落在直線\( 2x+y=5 \)上，\( \overline{BE} \)落在直線\( x+2y=1 \)上，\( \overline{AB}=30 \)，則△ABC的面積為？

令三角形ABC為在xy平面上的直角三角形，其中∠C為直角。給定斜邊\( \overline{AB} \)的長度為60，且穿過A與B的中線分別為\( y=x+3 \)與\( y=2x+4 \)，試求三角形ABC的面積。
(102中山大學雙週一題第2題)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-4-26 09:56 PM 編輯 ]

作者: weiye 時間: 2014-4-26 15:15

憑印象補個計算題題目：

1. 直線 \(L\) 通過點 \((2,1)\) 且與拋物線 \(y=-x^2+2x+2\) 圍成一個封閉區域，試問封閉區域的最小面積。（感謝橢圓老師提醒正確的方程式係數。）

2. 設 \(\alpha, \beta, \gamma\) 為銳角，且 \(\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1\)，試證明 \(\tan\alpha+\tan\beta+\tan\gamma\geq3\sqrt{2}\) （感謝 kpan 提醒此數字。）

作者: Ellipse 時間: 2014-4-26 17:45

小弟先拋磚引玉
填1:
公式:a^3/((a - b) (a - c)) + b^3/((b - a) (b - c)) + c^3/((c - a) (c - b))=a+b+c---------------(1)
依題意可知: (x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=3(x-α)(x-β)---------------(2)
將x=a代入(2),可得 (a-b)(a-c)=3(a-α)(a-β) , (a-α)(a-β)=(1/3)*(a-b)(a-c)------------(3)
將x=b代入(2),可得 (b-a)(b-c)=3(b-α)(b-β) , (b-α)(b-β)=(1/3)*(b-a)(b-c)------------(4)
將x=c代入(2),可得 (c-a)(c-b)=3(c-α)(c-β) , (c-α)(c-β)=(1/3)*(c-a)(c-b)------------(5)
由(3)(4)(5)可將原式分母換掉
所求
=3[a^3/((a - b) (a - c)) + b^3/((b - a) (b - c)) + c^3/((c - a) (c - b))]
=3(a+b+c)---------by(1)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-4-26 05:56 PM 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2014-4-26 18:10

引用:

原帖由 weiye 於 2014-4-26 03:15 PM 發表
憑印象補個計算題題目：

1. 直線 \(L\) 通過點 \((2,1)\) 且與拋物線 \(y=-x^2-2x+2\) 圍成一個封閉區域，試問封閉區域的最小面積。（還是問有最小面積時的 \(L\) 方程式？忘光光了～：Ｐ）

2. 設 \(\alpha, \beta, \gamma\) 為銳 ...

weiye老師:
計算1的拋物線應該不是y=-x^2-2x+2
這樣P點(2,1)會在拋物線外面(不跟焦點同區域)
所圍面積最小值會是0

作者: weiye 時間: 2014-4-26 18:18 標題: 回復 5# Ellipse 的帖子

應該是 \(y=-x^2+2x+2\)

作者: Ellipse 時間: 2014-4-26 18:40

填充14
橢圓方程式T:x^2/a^2+y^2/b^2=1 --------(*)
長軸長=2a=4 ,a=2
短軸長=2b=2, b=1
先觀察圓Q:x^2+ y^2=1 (當(*)的a=1,b=1時)
假設L1:y=x與Q交於A,B兩點
假設L2:y=-x與Q交於C,D兩點
易知AB,CD將圓平分四等份
現在將x軸拉長為原來兩倍
可得T:x^2/4 +y^2/1=1---------(1)
而L1變成L1':y=(1/2)x----------(2)
與T的交點坐標變成A' (2^0.5 ,2^0.5/2) ,B' ( -2^0.5 ,-2^0.5/2)
(將(2)代入(1)解出的)
所求=A'B'=2(2+ 2/4 )^0.5=10^0.5

請參考附件.gif

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-4-26 06:53 PM 編輯 ]

圖片附件: 橢圓面積四等分.gif (2014-4-26 18:53, 346.76 KB) / 該附件被下載次數 10895
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2144&k=7483053acf90354dbcde4aa82315f2a0&t=1732258380

作者: thepiano 時間: 2014-4-26 19:04

計算二會不會是要證 tanαtanβtanγ ≧ 2√2 ?

作者: kpan 時間: 2014-4-26 22:26 標題: 回復 3# weiye 的帖子

第二題後面是 3根號2

作者: Ellipse 時間: 2014-4-26 22:55

填充8:
次方很高看起來很唬人,其實不難~
(修改作法)
z為(x^104+x^103+1)(x^101+x^100+1)=0的一根
所以z^104+z^103+1=0-------------------(1)
或z^101+z^100+1=0-------------------(2)
由(1)得 z^103 (z+1)=-1
兩端取絕對值得|z|^103 *|z+1| =1
因為|z|=1----------(3)
所以|z+1|=1----------(4)
(3)表示在高斯平面上以(0,0)為圓心半徑為1的圓
(4)表示在高斯平面上以(-1,0)為圓心半徑為1的圓
由(3)&(4)的解可得z=(-1+√3i)/2或(-1-√3i)/2
而再作(2)的解亦得相同的答案

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-4-26 11:52 PM 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2014-4-26 23:07

引用:

原帖由 kpan 於 2014-4-26 10:26 PM 發表
第二題後面是 3根號2

tanαtanβtanγ ≧ 2√2
用算幾，會得到 tanα + tanβ + tanγ ≧ 3√2

這題可假設 cosα、cosβ、cosγ 是一對角線長為 1 的長方體之長、寬、高來做

作者: weiye 時間: 2014-4-26 23:19

引用:

原帖由 Ellipse 於 2014-4-26 10:55 PM 發表
填充8:
次方很高看起來很唬人,其實不難~
z為(x^104+x^103+1)(x^101+x^100+1)=0的一根
所以z^104+z^103+1=0-------------------(1)
z^101+z^100+1=0-------------------(2)
(1)-(2)得z^104-z^101+z^103-z^100=0
z^101 ...

「(1) 且 (2)」?

「(1) 或 (2)」?

作者: Ellipse 時間: 2014-4-26 23:27

引用:

原帖由 weiye 於 2014-4-26 11:19 PM 發表

「(1) 且 (2)」?

「(1) 或 (2)」?

好像有瑕疵~~
考試時要湊出答案可能會這樣硬算

看了它給的答案會符合(1)且(2)

大家來討論把這題補起來~~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-4-26 11:31 PM 編輯 ]

作者: weiye 時間: 2014-4-26 23:30 標題: 回復 13# Ellipse 的帖子

兩解集合 A 與 B 的交集必是 A 與 B 聯集的子集合

所以答案會吻合是正常的

如果真要解～

或許可用複數平面～

1. 找 z^104, z^103, 1 三者位置～

或

2. 找 z^101, z^100, 1 三者位置～

搭配棣美弗定理（ z 在單位圓上）～找出可能的 z

作者: thepiano 時間: 2014-4-26 23:43

第 8 題
令 z = cosx + isinx
分別代入 z + 1 = -1/z^103 和 z + 1 = -1/z^100
比較實部和虛部呢？

作者: Ellipse 時間: 2014-4-26 23:48

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-4-26 11:43 PM 發表
第 8 題
令 z = cosx + isinx
分別代入 z + 1 = -1/z^103 和 z + 1 = -1/z^100
比較實部和虛部呢？

都被騙了~
小弟想到一個妙解,已做修改~~

作者: linteacher 時間: 2014-4-27 09:26 標題: 回復 1# bugmens 的帖子

填充2的答案是否有誤?
我算的答案是:αβ=70

參考解法:
由 f(5)=6=5+1，f(12)=13=12+1，
得f(x)-x-1=(x-5)(x-12)p(x)，其中p(x)為整係數多項式(高斯引理)。
解f(x)=x+11，即解 (x-5)(x-12)p(x)=10，
若x為整數，則x-5、x-12、p(x)都是整數，
且x-5與x-12的差距為7，將10分解成幾個整數的乘積，其中有兩個差距為7，
則只有兩種分解法:
10=2×(-5)×(-1) 或 10=5×(-2)×(-1)
因此兩相異整數根是固定的:α-5=2，β-5=5 或者反過來。
因此α=7，β=10，αβ=70。
(也沒有所謂的最大，因為答案是唯一的?)

作者: Ellipse 時間: 2014-4-27 10:04

引用:

原帖由 linteacher 於 2014-4-27 09:26 AM 發表
填充2的答案是否有誤?
我算的答案是:αβ=70

參考解法:
由 f(5)=6=5+1，f(12)=13=12+1，
得f(x)-x-1=(x-5)(x-12)p(x)，其中p(x)為整係數多項式(高斯引理)。
解f(x)=x+11，即解 (x-5)(x-12)p(x)=10，
若x為整數，則x-5、x-12、p( ...

f(x)=x+11等式成立時 ,只有當(其中)x=α, β

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-4-27 10:28 AM 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2014-4-27 10:13 標題: 回復 18# Ellipse 的帖子

填 2. 我的解法也與 linteacher 大致相同，也得到相同的唯一可能值 70

存在性：\( f(x) = - (x-12)(x-5) + x +1 \)， \( f(x) = x+1 \) 解恰為 \( x =7,10 \)

我也沒有注意到過程有何不當之處，若答案真的為 195，是否可以給出一個 \( f \) ?

作者: linteacher 時間: 2014-4-27 10:21 標題: 回復 18# Ellipse 的帖子

f(x)=x+11 的實根或許有許多，
但整數根只有兩種可能，而題目又說兩相異整數根，
因此這兩個整數根便固定下來了。

如果答案有誤，是否會影響成績?
有考試的人或許該督促中女中重新批閱、複查。

作者: Pacers31 時間: 2014-4-27 10:55 標題: 回復 20# linteacher 的帖子

我想應該有許多考生也解出唯一解70 (包括我XD)

若答案有誤，影響成績那是必然的，但也或許只是大家都一起多了5分

若複查時間之前沒有人能說明195是對的，我會去問看看有沒有全部重新批閱的可能
----
PS. 學校下午5點公告更正了！

[ 本帖最後由 Pacers31 於 2014-4-27 09:46 PM 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2014-4-27 10:59

引用:

原帖由 Pacers31 於 2014-4-27 10:55 AM 發表
我想應該有許多考生也解出唯一解70 (包括我XD)

若答案有誤，影響成績那是必然的，但也或許只是大家都一起多了5分

若複查時間之前沒有人能說明195是對的，我會去問看看有沒有全部重新批閱的可能 ...

再算一次,應該是70

作者: Ellipse 時間: 2014-4-27 22:37

引用:

原帖由 Pacers31 於 2014-4-27 10:55 AM 發表
----
PS. 學校下午5點公告 ...

台中女中算是很有誠意~

作者: linteacher 時間: 2014-4-27 23:43

引用:

原帖由 Pacers31 於 2014-4-27 10:55 AM 發表
我想應該有許多考生也解出唯一解70 (包括我XD)

若答案有誤，影響成績那是必然的，但也或許只是大家都一起多了5分

若複查時間之前沒有人能說明195是對的，我會去問看看有沒有全部重新批閱的可能
----
PS. 學校下午5點公告 ...

這間學校會不會太有效率了?
星期天還公告。

作者: vicki8210 時間: 2014-4-28 21:47 標題: 想請問第9題

這是thepiano老師在美夢成真的回覆：
第 9 題
甲未抽中的機率 = (14/15)(13/14)(12/13)(11/12)(10/11) = 2/3
甲抽中的機率 = 1/3

甲抽中，乙未抽中的機率 = (1/3)[(9/10)(8/9)(7/8)(6/7)(5/6)] = 1/6
甲抽中，乙抽中的機率 = (1/3)[1 - (9/10)(8/9)(7/8)(6/7)(5/6)] = 1/6
丙抽中的機率 = 1 - 1/6 = 5/6

想請問為何甲未抽中的機率不等於 (13/15)(12/14)(11/13)(10/12)(9/11) ????

作者: tsusy 時間: 2014-4-28 22:02 標題: 回復 25# vicki8210 的帖子

你是對的，但為何不在美夢成真回文或自己用短消息向 thepiano 大詢問呢？

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-4-28 11:55 PM 編輯 ]

作者: vicki8210 時間: 2014-4-28 22:19 標題: 回復 26# tsusy 的帖子

感謝回答，但是接著再往後算的答案似乎不等於2/5？

ps.因為在美夢成真還沒申請帳號，真不好意思~

作者: sorze 時間: 2014-4-28 22:41

第9題
甲乙丙中獎機率皆為2/3 未中獎1/3
三種情形甲乙丙
            O  X  O
            X  O  O
            X  X  O
所求=[(2/3)(1/3)(2/3)] / [(2/3)(1/3)(2/3)+(1/3)(2/3)(2/3)+(1/3)(1/3)(2/3)]
***這是錯的***

[ 本帖最後由 sorze 於 2014-5-3 11:24 PM 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2014-4-28 23:55 標題: 回復 27# vicki8210 的帖子

第 9 題，提供一下算的結果，自己檢查哪個數字可能不小心算錯了

\( P(甲中) = \frac47 \), \( P(甲不中) = \frac37 \)

\( P(甲中且乙不中) = \frac47 \times \frac12 = \frac27 \)，所求 \( = \displaystyle \frac{\frac27}{\frac27+\frac37} = \frac25\)

P.S. Mathpro 有短訊息

作者: johncai 時間: 2014-4-29 07:19

請教一下填充5和證明2
謝謝

作者: Pacers31 時間: 2014-4-29 08:09 標題: 回復 31# johncai 的帖子

第5題：

原式整理得 \(\log_{12}(\sqrt{x}+\sqrt[4]{x})=\log_{3}\sqrt[4]{x}\)

設 \(k=\log_{3}\sqrt[4]{x}\) \(\Rightarrow \sqrt[4]{x}=3^k\) 且 \(\sqrt{x}=9^k\)

原式變成 \(\log_{12}(9^k+3^k)=k\) \(\Rightarrow 9^k+3^k=12^k\)

\(\displaystyle \Rightarrow \Big(\frac{9}{12}\Big)^k+\Big(\frac{3}{12}\Big)^k=1\) \(\Rightarrow k=1\) \(\Rightarrow x=81\)

類似題可參考101松商 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1425&page=2#pid6736

證明2：

剛剛才想到可以利用方向餘弦的概念來證明！

\(\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1\) 表示 \((\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)\) 形成一組方向餘弦

故可設 \(\displaystyle (\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)=\Big(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\Big)\) (三個角度皆銳角，故此地 \(x,y,z>0\))

\(\displaystyle \Rightarrow \tan\alpha+\tan\beta+\tan\gamma=\frac{\sqrt{y^2+z^2}}{x}+\frac{\sqrt{z^2+x^2}}{y}+\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\)

\(\displaystyle \geq \frac{\sqrt{2yz}}{x}+\frac{\sqrt{2zx}}{y}+\frac{\sqrt{2xy}}{z}\geq \sqrt{2}\times 3\sqrt[3]{\frac{xyz}{xyz}}=3\sqrt{2}\)

兩個不等式都是由算幾不等式得到！

[ 本帖最後由 Pacers31 於 2014-4-29 08:51 AM 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2014-4-29 12:12 標題: 回復 30# thepiano 的帖子

各種排列出現的機率不相等，我們用縮小數字比較方便指出不相等之處

假設 6 支籤，2支有獎，4支沒獎，甲乙丙依序各 2 支籤，但甲、乙只要抽中獎之後，(如果還有另一支沒抽)另一支就強制為不中獎的籤。
就是這個設定，讓甲的第1, 2 支在排列中失去相同的地位了，使得第一支籤比第二支容易中獎

我們看看機率，甲中獎情形有：(1) 1中2不中，機率為 \( \frac13 \) (2) 1不中2中，機率為 \( \frac46 \times \frac25 = \frac4{15}\)

更直接一點來看兩種排法 oxoxxx 和 xooxxx (o表示中獎)，各別的機率為 \( \frac26 \times 1 \times \frac14 \) 和 \( \frac46 \times \frac25 \times \frac14 \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-6-7 11:46 PM 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2014-4-29 12:21 標題: 回復 10# Ellipse 的帖子

填充8. 97 台中二中曾考過類似題，看完 Elllipse 兄的神解之後，不妨做看看

97 台中二中計算10. 若 \( |Z| = 1 \) 且滿足 \( Z^{28} - Z^8 -1 =0 \) 的複數共有 \( n \) 個，分別為 \( z_k = \cos \theta_k + i \sin \theta_k \)，其中 \( 0^\circ \leq \theta_1 < \theta_2 < \theta_3 < \ldots < \theta_n < 360^\circ \)，
則 (1) \( n = ? \) (2) 求 \( \theta_1 + \theta_3 + \theta_5 + \ldots +\theta_{n-1} \)

答. (1) 8 (2) \( \frac{10}{3}\pi \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-4-29 12:23 PM 編輯 ]

作者: YAG 時間: 2014-4-30 08:38

引用:

原帖由 tsusy 於 2014-4-29 12:21 PM 發表
填充8. 97 台中二中曾考過類似題，看完 Elllipse 兄的神解之後，不妨做看看

97 台中二中計算10. 若 \( |Z| = 1 \) 且滿足 \( Z^{28} - Z^8 -1 =0 \) 的複數共有 \( n \) 個，分別為 \( z_k = \cos \theta_k + i \sin \the ...

請問是否解出來的z還要帶回原來題目驗證? 因為97台中一中的還需要帶回原來的方程式去驗算是否滿足方程式?謝謝!

作者: panda.xiong 時間: 2014-5-1 08:34

請問填充第7題，小弟的做法不知道可以嗎？有更好的做法嗎？

1.
\( \cases{\displaystyle a_n+a_{n+1}=c_n \cr a_n a_{n+1}=\frac{1}{5^n}} \)
2.
\( a_1=2 \)，\( \displaystyle a_2=\frac{1}{10} \)，\( \displaystyle a_3=\frac{2}{5} \)，\( \displaystyle a_4=\frac{1}{50} \)，…
奇數項公比\( \displaystyle =\frac{1}{5} \)，偶數項公比\( \displaystyle =\frac{1}{5} \)
3.
\( \displaystyle S_{2n}=\sum_{k=1}^{2n}c_k=\sum_{k=1}^{2n}(a_k+a_{k+1})=\sum_{k=1}^{2n}a_k+\sum_{k=1}^{2n}a_{k+1} \)
其中\( \displaystyle \sum_{k=1}^{2n}a_k=\frac{2\left[ 1-(\frac{1}{5})^n \right]}{1-\frac{1}{5}}+\frac{\frac{1}{10}\left[ 1-(\frac{1}{5})^n \right]}{1-\frac{1}{5}} \)

\( \displaystyle \sum_{k=1}^{2n}a_{k+1}=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{2n-1}-a_1=\frac{2 \left[ 1-\left( \frac{1}{5} \right)^{n+1} \right]}{1-\frac{1}{5}}+\frac{\frac{1}{10}\left[ 1-\left( \frac{1}{5} \right)^{n} \right]}{1-\frac{1}{5}}-2 \)

∴\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}S_{2n}=\frac{5}{2}+\frac{1}{8}+\frac{5}{2}+\frac{1}{8}-2=\frac{13}{4} \)

作者: 阿光 時間: 2014-5-3 21:45

想請教填充3 &6&16題

作者: kittyyaya 時間: 2014-5-3 21:52

引用:

原帖由 sorze 於 2014-4-28 10:41 PM 發表
第9題
甲乙丙中獎機率皆為2/3 未中獎1/3
三種情形甲乙丙
            O  X  O
            X  O  O
            X  X  O
所求=[(2/3)(1/3)(2/3)] / [(2/3)(1/3)(2/3)+(1/3)(2/3)(2/3)+(1/3)(1/3)(2/3)] ...

請問老師
甲乙丙中獎機率為什麼皆為2/3 ?
謝謝

作者: Ellipse 時間: 2014-5-3 22:22

引用:

原帖由 panda.xiong 於 2014-5-1 08:34 AM 發表
請問填充第4題，小弟的做法不知道可以嗎？有更好的做法嗎？

後半段算 2(a1+a2+a3+a4+................) -a1
就可以了~

作者: natureling 時間: 2014-5-3 22:33

想問有人有算12題嗎?我怎麼模仿算出的是75@@。

引用:

原帖由 bugmens 於 2014-4-26 01:26 PM 發表
6.
若\( \displaystyle secx+tanx=\frac{22}{7} \)，則\( cscx+cotx \)之值為？

Suppose that \( \displaystyle secx+tanx=\frac{22}{7} \) and that \( \displaystyle cscx+cotx=\frac{m}{n} \), where \( \displaysty ...

作者: sorze 時間: 2014-5-3 23:23 標題: 回復 37# kittyyaya 的帖子

因為這想法是錯的~
寸絲老師已經在32樓回覆了

作者: tsusy 時間: 2014-5-4 00:04 標題: 回復 39# natureling 的帖子

填12. 是 225 沒錯，算出來會剛好是等腰直角三角形，不知道您怎麼做的

提供一個暴力解，令 \( \overline{BC} =a, \overline{AC} = b \)，則 \( (\frac23\overline{AD})^2 = \frac{4}{9}(\frac{a^{2}}{4}+b^{2}), (\frac{2}{3}\overline{BE})^{2}=\frac{4}{9}(a^{2}+\frac{b^{2}}{4}) \)。

令 G 為三角形之重心，則 \( \cos \angle AGB = \frac{-4}{5} \) (由直線法向量求夾角得)。

三角形 AGB 中，由餘弦定理得 \( 30^2 = \frac{4}{9}(\frac{a^{2}}{4}+b^{2})+\frac{4}{9}(a^{2}+\frac{b^{2}}{4})-2\cdot\frac{4}{9}\sqrt{(\frac{a^{2}}{4}+b^{2})(a^{2}+\frac{b^{2}}{4})}\cdot(\frac{-4}{5}) \)

再以 \( a^2 + b^2 = 30^2 \) 化簡，可解得 \( a=b = 15\sqrt{2} \)，故得面積為 225

作者: tsusy 時間: 2014-5-4 01:01 標題: 回復 36# 阿光的帖子

填充 6. #2 bugmens 老師的連結裡已有解法

填充 3. 向量的內心公式，及三點共線時線性組合係數和 =1，這兩件事，應該足以處理

填充 16. 預備知識：給定橢圓 \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1 \)，其中 \( a>b >0 \)

離心率 \( e = \frac{c}{a} \)，準線 \( L: x = - \frac{a^2}{c} \)，焦點 \( F_1(-c,0) \) 滿足：對橢圓上任一點 P， \( e\cdot d(P,L) = \overline{P,F_1} \) \) 皆成立

解. 配方化簡可得 \( \cos\theta+\sqrt{2}+\sqrt{(\sqrt{2}\cos\theta-2)^{2}+(\sin\theta+2)^{2}} \)，

令 \( P(\sqrt{2}\cos\theta,\sin\theta), A(2,-2), L:\: x=-2, F_{1}(-1,0), F_{2}(1,0) \)。

注意 P 點在橢圓 \( \frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1 \) 上，且 \( L \) 為該橢圓之準線，離心率 \( =\frac{1}{\sqrt{2}} \)。

故 \( \cos\theta+\sqrt{2}+\sqrt{(\sqrt{2}\cos\theta-2)^{2}+(\sin\theta+2)^{2}}=\frac{1} {\sqrt{2}}\overline{PL}+\overline{PA}=\overline{PF_{1}}+\overline{PA} \)

\(\overline{PF_{1}}+\overline{PA}\leq\overline{PF}_{1}+\overline{PF_{2}}+\overline{F_{2}A}=2\sqrt{2}+\sqrt{5} \)，且當 \( F_{2} \) 在 \( \overline{PA} \) 線段上時，等號成立。

作者: Ellipse 時間: 2014-5-4 10:40

引用:

原帖由 tsusy 於 2014-5-4 12:04 AM 發表
填12. 是 225 沒錯，算出來會剛好是等腰直角三角形，不知道您怎麼做的

提供一個暴力解，令 \( \overline{BC} =a, \overline{AC} = b \)，則 \( (\frac23\overline{AD})^2 = \frac{4}{9}(\frac{a^{2}}{4}+b^{2}), (\frac{2} ...

斜率暗藏玄機~這題下面解釋只差AC是垂直線,BC是水平線的證明(留給網友證)
參考如附件的圖~
考填充題可以大膽一點,先畫正常的圖(AC是垂直線,BC是水平線)
再根據題目給的資料
假設AD的斜率為m1,則m1=-2,
可知AC/CD=2/1 ,令AC=2t,CD=t (t>0) --------(1)
假設BE的斜率為m2,則m2=-(1/2)
可知EC/CB=1/2 ,令EC=k,CB=2k (k>0)--------(2)
由(1)&(2)及E,D分別為AC,CB中點知
AC=2EC ,2t=2(k) ,則t=k
所以AC=CB為等腰直角三角形(角C=90度)
剩下就簡單了~

註: 在所有的等腰直角三角形ABC(角C=90度)
當AC是垂直線,BC是水平線
則中線AD的斜率皆為 -2
中線BE的斜率皆為-1/2

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-4 10:50 AM 編輯 ]

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=2185&k=d9cf05b4111b500216dab1c8d74bba12&t=1732258380

作者: Ellipse 時間: 2014-5-5 18:17

再整理一下填充12所用的性質
Lemma:
在坐標平面上,若三角形ABC的角C為直角
且中線AD的斜率為-2,中線BE的斜率為-1/2
<=>
AC=BC,且AC是垂直線,BC是水平線

作者: panda.xiong 時間: 2014-5-6 16:06

請問13、15

作者: tsusy 時間: 2014-5-6 16:46 標題: 回復 45# panda.xiong 的帖子

填充 15. 以 \( a \) 各數分類相加得 \( \sum\limits _{k=1}^{5}C_{2k-1}^{10}\cdot2^{10-(2k-1)} \)

其中看作 \( (x+2)^{10} \) 展開中的 \( x \) 的奇數次方的係數和

故所求 = \( \frac{(1+2)^{10}-(-1+2)^{10}}{2}=\frac{3^{10}-1}{2} \)

填 13. 注意 \( D(\frac{2}{3},\frac{1}{3},0) \) 必為 \( \overline{AB} \) 與平面 \( E \) 之交點。

考慮 \( \overline{DE} \) 為平面 \( E \) 被 \( \triangle ABC \) 所截出線段，
\( E \) 的位置有兩種可能：在 \( \overline{CA} \) 上或在 \( \overline{CB} \) 上。

利用 \( \triangle=\frac{1}{2}ab\sin\theta \)，去解 \( \triangle ADE=\frac{1}{2}\triangle ABC \) (若 \( E \) 在 \( \overline{CA} \) 上)
及 \( \triangle BDE=\frac{1}{2}\triangle BAC \) (若 \( E \) 在 \( \overline{CB} \) 上)，
可得 \( E \) 不在 \( \overline{CA} \)，故僅有一解，且 \( E \) 在 \( \overline{CB} \) 上滿足 \( \overline{BE}=\frac{3}{4}\overline{BC} \)

\( \Rightarrow E(0,\frac{1}{4},\frac{3}{4}) \)，代入平面方程式得 \( a=\frac{3}{2} \)。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-7 11:56 PM 編輯 ]

作者: natureling 時間: 2014-5-8 00:48

嗚~~我還是找不出來錯在哪?只有對到差3倍...我是模仿雙週一題算的.

引用:

原帖由 tsusy 於 2014-5-4 12:04 AM 發表
填12. 是 225 沒錯，算出來會剛好是等腰直角三角形，不知道您怎麼做的

提供一個暴力解，令 \( \overline{BC} =a, \overline{AC} = b \)，則 \( (\frac23\overline{AD})^2 = \frac{4}{9}(\frac{a^{2}}{4}+b^{2}), (\frac{2} ...

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=2202&k=6cc1ebfe340375375f59fb83587a63cb&t=1732258380

作者: tsusy 時間: 2014-5-8 10:48 標題: 回復 47# natureling 的帖子

三個行列式的正負號不同，先取絕對值相加，和相加的絕對值不相等

作者: tzhau 時間: 2014-5-14 13:22

12.
由重心向量關係式知向量GA+向量GB+向量GC=0向量得|GA|^2+|GB|^2+2向量GA‧向量GB=|GC|^2

又|GF|=5,且利用兩直線之法向量可知角AGB之餘弦值為-4/5，再由中線定理可知|GA|^2+|GB|^2=2(|GF|^2+|AF|^2)=500，

故向量GA‧向量GB=-200，因此|GA||GB|=250

再利用角AGB之正弦值與重心之三等份面積性質可知ABC面積=3x(1/2)x250x(3/5)=225

6.
已知sec+tanx=(22/7)，設secx-tanx=k，兩式相乘得(secx)^2-(tanx)^2=22k/7，故k=7/22

再解上述兩式之聯立可得secx和tanx

[ 本帖最後由 tzhau 於 2014-5-14 01:32 PM 編輯 ]

作者: cefepime 時間: 2014-6-6 15:20

個人覺得填充第一題，題目不太嚴謹。
應該加上: "a,b,c 皆相異" 這個條件；否則，考慮 a=b=c=1 的情況，即會出毛病。
追本溯源，公式 a³/(a - b)(a - c) + b³/(b - a)(b - c) + c³/(c - a)(c - b) = a+b+c 要成立，必須a,b,c 皆相異。

作者: tuhunger 時間: 2014-6-11 01:45 標題: 填充10 另解

凡狡兔三窟 , 青蛙亂跳...等問題...若次數20次以下, 用下列方式其實算蠻快的
參考看看

[ 本帖最後由 tuhunger 於 2014-6-11 01:50 AM 編輯 ]

圖片附件: 填充10.png (2014-6-11 01:50, 40.7 KB) / 該附件被下載次數 6800
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2365&k=96600b964e41b71d45e46dfde8b75ac1&t=1732258380

作者: tsusy 時間: 2014-6-12 00:02 標題: 回復 4# Ellipse 的帖子

請教橢圓兄，填充 1. 中所用的式子

公式：\( \displaystyle \frac{a^3}{(a - b) (a - c)} + \frac{b^3}{(b - a) (b - c)} + \frac{c^3}{(c - a) (c - b)} = a+b+c \)

有無簡潔之證明 (會證是會證，但是證得不好看而且寫起來不順手)

作者: thepiano 時間: 2014-6-12 00:31 標題: 回復 52# tsusy 的帖子

令\(\displaystyle f\left( x \right)={{x}^{4}}-\left[ \frac{{{a}^{4}}\left( x-b \right)\left( x-c \right)}{\left( a-b \right)\left( a-c \right)}+\frac{{{b}^{4}}\left( x-a \right)\left( x-c \right)}{\left( b-a \right)\left( b-c \right)}+\frac{{{c}^{4}}\left( x-a \right)\left( x-b \right)}{\left( c-a \right)\left( c-b \right)} \right]=0\)
之四根為 a、b、c、d
\(\begin{align}
& f\left( 0 \right)=-\left[ \frac{{{a}^{4}}bc}{\left( a-b \right)\left( a-c \right)}+\frac{a{{b}^{4}}c}{\left( b-a \right)\left( b-c \right)}+\frac{ab{{c}^{4}}}{\left( c-a \right)\left( c-b \right)} \right]=abcd \\
& \frac{{{a}^{3}}}{\left( a-b \right)\left( a-c \right)}+\frac{{{b}^{3}}}{\left( b-a \right)\left( b-c \right)}+\frac{{{c}^{3}}}{\left( c-a \right)\left( c-b \right)}=-d=a+b+c \\
& \\
\end{align}\)

作者: hua0127 時間: 2014-6-12 08:52 標題: 回復 53# thepiano 的帖子

鋼琴老師好漂亮的證法~受教了

作者: Ellipse 時間: 2014-6-12 12:29

引用:

原帖由 hua0127 於 2014-6-12 08:52 AM 發表
鋼琴老師好漂亮的證法~受教了

帥!鋼琴兄的神解~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-11-5 08:30 PM 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2014-6-12 13:22

幫忙打字,節省論壇空間
Q：試證\( \displaystyle \frac{a^3}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^3}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^3}{(c-a)(c-b)}=a+b+c \)
pf：Lemma
\( \displaystyle \frac{a}{(a-b)(a-c)}+\frac{b}{(b-c)(b-a)}+\frac{c}{(c-a)(c-b)}=0 \)－－①

\( \displaystyle \frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}=1 \)－－②

設所求為k－－③，令\( \displaystyle x=\frac{1}{(a-b)(a-c)} \)，\( \displaystyle y=\frac{1}{(b-c)(b-a)} \)，\( \displaystyle z=\frac{1}{(c-a)(c-b)} \)－－④

可列出聯立方程組\( \displaystyle \cases{ax+by+cz=0 \cr a^2x+b^2y+c^2z=1 \cr a^3x+b^3y+c^3z=k} \)
∴\( \displaystyle \Delta=\left|\ \matrix{a & b & c \cr a^2 & b^2 & c^2 \cr a^3 & b^3 & c^3} \right|\ =abc(a-b)(b-c)(c-a) \)

\( \displaystyle \Delta \cdot x=abc(a-b)(b-c)(c-a)\cdot \frac{1}{(a-b)(a-c)}=-abc(b-c) \)－－⑤

又\( \Delta_x=\left|\ \matrix{0 & b & c \cr 1 & b^2 & c^2 \cr k & b^3 & c^3} \right|\ =bc(b-c)(b+c-k) \)－－⑥
比較⑤& ⑥　∴\( b+c-k=-a \)，\( k=a+b+c \)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-11-5 08:40 PM 編輯 ]

作者: cefepime 時間: 2014-6-12 14:23

請教一下，鋼琴老師的妙解是否可作如下修改: (已知 a，b，c 皆相異)

f(x) = x³ - [a³(x-b)(x-c)/(a-b)(a-c) + b³(x-a)(x-c)/(b-a)(b-c) + c³(x-a)(x-b)/(c-a)(c-b)] = 0 之三根為 a，b，c 。

[...] 內為滿足 f(a) = a³，f(b) = b³，f(c) = c³ 之二次函數。

考慮 f(x) = 0 之三根和，由根與係數關係，得:

a³/(a-b)(a-c) + b³/(b-a)(b-c) + c³/(c-a)(c-b) = a + b + c

之所以想這樣改，是覺得上面的思維與拉格朗日插值法有較緊密的聯繫，而原待證式在型態上亦與拉格朗日插值公式有相似處，或許比較容易聯想出來。

作者: thepiano 時間: 2014-6-12 15:57 標題: 回復 57# cefepime 的帖子

這樣簡捷很多，分子是四次的也可以這樣玩
\(\frac{{{a}^{4}}}{\left( a-b \right)\left( a-c \right)}+\frac{{{b}^{4}}}{\left( b-a \right)\left( b-c \right)}+\frac{{{c}^{4}}}{\left( c-a \right)\left( c-b \right)}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+ab+bc+ca\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-6-12 03:58 PM 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2014-6-12 17:10 標題: 回復 56# Ellipse 的帖子

好厲害，Ellipse 兄和鋼琴兄兩位當真神人也！

作者: Ellipse 時間: 2014-6-12 20:19 標題: 回復 56# bugmens 的帖子

bugmens兄,不好意思麻煩您了~
有空再來學LATEX的語法
對了,在用電腦看時
怎有時候相鄰兩列會疊在一起?
有時字會有大有小?

作者: cefepime 時間: 2014-6-14 16:45

填充12 個人心得:

直角三角形中，兩股上中線之夾角，與兩股長比值有一對一之關係。亦即，給定兩股上中線之夾角，則這個直角三角形的"形狀"就確定。又再給了斜邊長後，此直角三角形唯一決定。

原題: 在坐標平面上，有一直角△ABC，以∠C 為直角，AD, BE, CF 為△ABC 之三中線，已知AD落在直線 2x + y = 5上，BE落在直線 x + 2y =1上，AB = 30，則△ABC 的面積為?

解: 令△ABC兩股長為 a，b，且 b/a = m

設兩股上中線之銳夾角θ，則 tanθ = 3/4 = (2m-m/2) / (1+2m*m/2) (tan 之和角公式)

即 1/2 = m / (1+m²)

解得 m=1 (一般情形下，會解得互為倒數之兩正根，表相似形，即前面提的: 給定兩股上中線之夾角，則這個直角三角形的"形狀"就確定。本題的數據剛好為等腰直角三角形: a = b)。

再由 a² + b² = 900，所求 = ab/2 = a²/2 = 900/4 = 225

註: 直角三角形中，兩股上中線之銳夾角θ的取值範圍: 0 < θ <= arctan(3/4)

(102中山大學雙週一題第2題)

令△ABC為在 xy 平面上的直角三角形，其中∠C為直角。給定斜邊AB的長度為60，且穿過A與B的中線分別為 y=x+3 與 y=2x+4，試求三角形ABC的面積。

解: 令△ABC兩股長為 a，b，且 b/a = m

設兩股上中線之銳夾角θ，則 tanθ = 1/3 = (2m-m/2) / (1+2m*m/2)

即 2m² + 2 = 9m ....(1)

以下仿上題解出 m 固然可行，但本題是無理根較麻煩，可以不必直接解出 m。

令所求面積 = ab/2 = k，又 b/a = m ，兩者乘除分別可得 a² 與 b² 而代入下面關係式:

斜邊AB的長度為60，故 a² + b² = 3600，即 2k*(m + 1/m) = 3600

又由(1)式，得 m + 1/m = 9/2，故面積 = k = 400

註: 用這個思維，若題目不是給中線而是給 "n等分線"，亦不難求得面積。

作者: 小傑 時間: 2014-6-20 09:56

請教thepiano老師~計算2這種題目有類似的題目可以練習?

作者: thepiano 時間: 2014-6-20 11:14 標題: 回復 62# 小傑的帖子

可搜尋 "構造法解題"

作者: bugmens 時間: 2014-6-20 22:03

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-6-20 11:14 AM 發表
可搜尋 "構造法解題"

計算2.
設\( \alpha,\beta,\gamma \)為銳角，且\( cos^2 \alpha+cos^2 \beta+cos^2 \gamma=1 \)，試證明\( tan \alpha+tan \beta+tan \gamma \ge 3 \sqrt{2} \)

在構造法解題P24有個類題
已知\( \alpha,\beta,\gamma \)都是銳角，且\( cos^2 \alpha+cos^2 \beta+cos^2 \gamma=1 \)，求證：\( \displaystyle \frac{3 \pi}{4}<\alpha+\beta+\gamma< \pi \)。

另外我選了一些書上的題目讓各位做做看

設正數\( x,y,z \)滿足方程組\( \cases{\displaystyle x^2+xy+\frac{z^2}{3}=25 \cr \frac{y^2}{3}+z^2=9 \cr z^2+xz+z^2=16} \)，試求\( xy+2 yz+3 xz \)的值。
P17
(104嘉義女中，https://math.pro/db/thread-2287-1-1.html)
(104華江高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2302&page=2#pid13858)
(105大同高中二招，https://math.pro/db/thread-2515-1-1.html)

求二元函數\( \displaystyle z=(a-b)^2+\left( \sqrt{2-a^2}-\frac{9}{b} \right)^2 \)的最小值。
P29

設\( a,b,c \)互不相等，證明\( \displaystyle \frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ac}{(b-a)(b-c)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)}=1 \)。
P34

如果\( x,y,z,w \)滿足方程組\( \cases{\displaystyle \frac{x^2}{2^2-1^2}+\frac{y^2}{2^2-3^2}+\frac{z^2}{2^2-5^2}+\frac{w^2}{2^2-7^2}=1 \cr
\frac{x^2}{4^2-1^2}+\frac{y^2}{4^2-3^2}+\frac{z^2}{4^2-5^2}+\frac{w^2}{4^2-7^2}=1 \cr
\frac{x^2}{6^2-1^2}+\frac{y^2}{6^2-3^2}+\frac{z^2}{6^2-5^2}+\frac{w^2}{6^2-7^2}=1 \cr
\frac{x^2}{8^2-1^2}+\frac{y^2}{8^2-3^2}+\frac{z^2}{8^2-5^2}+\frac{w^2}{8^2-7^2}=1} \)
求\( x^2+y^2+z^2+w^2 \)的值。
P35

設長為\( a,b,c \)的三線段構成銳角三角形，證明：存在一個對棱相等且分別為\( a,b,c \)的四面體，並計算其體積。
P66

最後面的習題我也選了一些題目讓各位做做看
1.
已知\( a>0,b>0,c>0 \)，且\( \cases{a^2+ab+b^2=19 \cr b^2+bc+c^2=37 \cr c^2+ca+a^2=28} \)，求\( a+b+c \)的值。

3.
設\( x,y,z \)是三個正實數，證明\( \sqrt{x^2-xy+y^2}+\sqrt{y^2-yz+z^2}>\sqrt{z^2-xz+x^2} \)。

4.
設\( \displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2} \)，證明\( sin x<x<tan x \)。

5.
設\( x,y,z \)都是實數，並滿足\( x+y+z=a \)，\( \displaystyle x^2+y^2+z^2=\frac{a^2}{2} \) ( \( a>0 \) )，證明：\( \displaystyle 0 \le x,y,z \le \frac{2}{3}a \)。

10.
設n為正整數，則\( \displaystyle sin \frac{\pi}{2n+1} \cdot sin \frac{2 \pi}{2n+1} \ldots sin \frac{n \pi}{2n+1}=\frac{\sqrt{2n+1}}{2^n} \)。

11.
設\( P(x) \)是n次多項式，且\( \displaystyle P(k)=\frac{k}{1+k} \)( \( k=0,1,\ldots , n \) )，試求\( P(n+1) \)。

12.
證明：對任何正整數\( n \),有\( \sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\ldots +\sqrt{n}}}}<2 \)。

16.
設\( a,b,c,d \)都是正數，證明：存在一個三角形，其三邊之長分別為\( \sqrt{b^2+c^2} \)，\( \sqrt{a^2+c^2+d^2+2cd} \)，\( \sqrt{a^2+b^2+d^2+2ab} \)，並計算這個三角形的面積。

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
想知道答案的網友，可以到各大學的圖書館查詢有沒有這本書，再到圖書館櫃檯憑身分證辦理臨時進出證，因為這裡只是節錄少部分的題目而已，而這本書值得你仔細閱讀

作者: leo790124 時間: 2014-7-4 15:33 標題: 回復 58# thepiano 的帖子

分子是四次的要怎嚜用上面的方法解釋阿
構造的是四次函數但是只有a,b,c三個跟所求事二次項係數???

作者: thepiano 時間: 2014-7-5 08:36 標題: 回復 65# leo790124 的帖子

\(f\left( x \right)={{x}^{4}}-\left[ \frac{{{a}^{4}}\left( x-b \right)\left( x-c \right)}{\left( a-b \right)\left( a-c \right)}+\frac{{{b}^{4}}\left( x-a \right)\left( x-c \right)}{\left( b-a \right)\left( b-c \right)}+\frac{{{c}^{4}}\left( x-a \right)\left( x-b \right)}{\left( c-a \right)\left( c-b \right)} \right]\)
之四根為a、b、c、d

則
\(\begin{align}
& a+b+c+d=0 \\
& d=-\left( a+b+c \right) \\
& \\
& \frac{{{a}^{4}}}{\left( a-b \right)\left( a-c \right)}+\frac{{{b}^{4}}}{\left( b-a \right)\left( b-c \right)}+\frac{{{c}^{4}}}{\left( c-a \right)\left( c-b \right)} \\
& =-\left( ab+ac+ad+bc+bd+cd \right) \\
& =-\left[ ab+ac+bc+\left( a+b+c \right)d \right] \\
& =-\left[ ab+ac+bc-\left( a+b+c \right)\left( a+b+c \right) \right] \\
& ={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+ab+bc+ca \\
\end{align}\)

作者: natureling 時間: 2014-7-5 16:53

tsusy大我可以問一下嗎?第9題...感謝
為什麼分母不是 P(甲中乙不中丙中)+P(甲不中乙中丙中)+P(甲不中乙不中丙中) @@....

引用:

原帖由 tsusy 於 2014-4-28 11:55 PM 發表
第 9 題，提供一下算的結果，自己檢查哪個數字可能不小心算錯了

\( P(甲中) = \frac47 \), \( P(甲不中) = \frac37 \)

\( P(甲中且乙不中) = \frac47 \times \frac12 = \frac27 \)，所求 \( = \displaystyle \frac{\frac ...

作者: tsusy 時間: 2014-7-5 17:24 標題: 回復 67# natureling 的帖子

(填 9.) 寫成加法，只是把一個事件作分割 (Partition)

就像作排組問題的時候，方法經常不唯一，但結果相同

這裡只是丙中的事件作分割的方法不唯一而已，

例如這個加法表示式 \( 3 = 1 + 2 = 1 + 1 + 1 \)，我的方法就像 \( 1 + 2 \)，你的分割就像 \( 1+1+1 \)，你的後兩個 1 相加，正是我的 2

作者: leo790124 時間: 2014-7-31 10:55 標題: 回復 33# tsusy 的帖子

仿造老師的作法
z^8(z^20-1)=1
|z^8| |z^20-1| =1
因為已知 |z|=1 得 |z^20-1| =1

接下來該怎麼用複數來找出那八個解?

作者: tsusy 時間: 2014-7-31 21:40 標題: 回復 69# leo790124 的帖子

\( |z^{20}| = |z^{20} -1 | =1 \) 可得 \( z^{20} = \frac12 \pm \frac{\sqrt{3}}2i \), \( z^{20} -1 = -\frac12 \pm \frac{\sqrt{3}}2i \)

\( z^8 = \frac1{z^{20} -1} = -\frac12 \mp \frac{\sqrt{3}}2i\)，而 \( z^4 = z^{8\cdot3 -20} = \frac12 \mp \frac{\sqrt{3}}2i \)
(以上為兩組 ++-- 和 --++ )

由 \( z^4 \) 之值，解得 8 個 \( z \) 值...
(每次寫，過程都不一樣XD)

作者: tuhunger 時間: 2015-12-16 00:43 標題: 補充97台中二中

樓上解法補充說明

圖片附件: 20151216_003759~2.jpg (2015-12-16 00:43, 1.43 MB) / 該附件被下載次數 6134
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