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標題: 102松山家商 [打印本頁]

作者: 八神庵 時間: 2013-6-13 13:03 標題: 102松山家商

as title

最近終於忙到告一段落

把100年的考古題處理掉了

但101全部沒動

102雖不多但也不少

今年可考的不是很多

各位繼續加油吧!

附件: 102松山家商.pdf (2013-6-13 13:03, 98.55 KB) / 該附件被下載次數 11323
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https://math.pro/db/attachment.php?aid=1771&k=8c83421467e70fcb6a4391533323eb77&t=1713551025

作者: tacokao 時間: 2013-6-13 18:07

我想請教填充第2、4及10題。第4題只能慢慢扣嗎?
證明題第1題為101松山家商填充第6題，只不過今年換成證明題。

作者: tsusy 時間: 2013-6-13 18:19 標題: 回復 2# tacokao 的帖子

填 2. 提示：同乘 \( xy \)，移項，強迫分解

填 4. 用扣的沒錯...但是扣的不慢...基本上就是容斥原理：扣掉一個超過 9 的，加回兩個超過 9 的。沒有三個超過 9 的了。但要注意萬位數的地位和其它四個數字不一樣

填 10. 提示 \( 1000 \mid n^3 -n \)，而 \( n^3 - n = (n-1)n(n+1) \)，\( 1000 = 2^3\times 5^3 \)

作者: tacokao 時間: 2013-6-13 20:56 標題: 回復 3# tsusy 的帖子

感謝寸絲老師~我還是太弱了!!!!

作者: arend 時間: 2013-6-14 18:11

請教填充第7題
一直都想不到如何下手

謝謝

作者: tsusy 時間: 2013-6-14 19:12 標題: 回復 5# arend 的帖子

填 7. 這題有印象，應該某年某校考過類題，如圖

其中 \( A', B' \) 是 \( A, B \) 對 \( \overline{AB} \) 邊上的高的對稱點

\( \overline{AB'}=\sqrt{4^{2}+11^{2}-2\cdot4\cdot11\cdot\frac{1}{8}}=3\sqrt{14} \)。

\( \cos(\pi-A)=\frac{126+16-121}{2\cdot3\sqrt{14}\cdot4}=\frac{\sqrt{14}}{16} \)

\( \overline{AB}=\overline{A'B'}=3\sqrt{14}-2\times4\cos(\pi-A)=\frac{5\sqrt{14}}{2} \)。

類題，101桃園高中：已知 \( \triangle ABC \) 中，\( \overline{AC}=4 \), \( \overline{BC}=6 \)，若 \( \cos(A-B)=\frac{2}{3} \)，則 \( \triangle ABC \) 的面積為 _______。

https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1373&page=3#pid6740 ←我好像從這偷學的

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-11-3 05:32 PM 編輯 ]

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作者: ichiban 時間: 2013-6-14 19:16 標題: 回復 5# arend 的帖子

提供我的方法 , 我比較喜歡我的..=.=

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作者: arend 時間: 2013-6-14 19:39

謝謝寸絲老師與ichiban老師

看懂了,感激

作者: arend 時間: 2013-6-15 13:15

引用:

原帖由 tsusy 於 2013-6-13 06:19 PM 發表
填 2. 提示：同乘 \( xy \)，移項，強迫分解

填 4. 用扣的沒錯...但是扣的不慢...基本上就是容斥原理：扣掉一個超過 9 的，加回兩個超過 9 的。沒有三個超過 9 的了。但要注意萬位數的地位和其它四個數字不一樣

填 10. 提示 ...

寸絲老師
填10的題目是n的平方,不過接下來,不知如何進行? 用討論嗎? 或是有更快速的方法?
謝謝

作者: thepiano 時間: 2013-6-15 14:52

填充第 10 題
101 中和高中考過
可參考 http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 24&p=7712#p7712

作者: arend 時間: 2013-6-15 18:16 標題: 回復 10# thepiano 的帖子

謝謝piano老師
懂了

作者: 阿光 時間: 2013-6-15 20:50

想請教證明第2,3,4題謝謝

作者: tsusy 時間: 2013-6-15 21:33 標題: 回復 12# 阿光的帖子

證 2. 提示 \( p = 6m \pm 1 \)，數學歸納法

證 3. 提示. 設 \( x,y > 0 \) 且 \( x+y < \pi \)，則必有 \( \sin x < x \), \( \sin x+\sin y>\sin(\pi-x-y) \) (看作三角形的三內角，用三角不等式)

證 4. 提示. \( (7n+1)^{3}\equiv(7n+2)^{3}\equiv-(7n+3)^{3}\equiv(7n+4)^{3}\equiv-(7n+5)^{3}\equiv-(7n+6)^{3}\equiv1 \) (mod 7)

作者: ogagigi 時間: 2013-6-15 23:10

提供計算3的一個想法不知可不可

謝謝

引用:

原帖由阿光於 2013-6-15 08:50 PM 發表
想請教證明第2,3,4題謝謝

附件: [松山家商計算3] 松山家商計算3.pdf (2013-6-15 23:10, 47.49 KB) / 該附件被下載次數 7275
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1782&k=947db2ca8b1c8e8332ef47508d795b6b&t=1713551025

作者: kpan 時間: 2013-6-16 00:14 標題: 回復 2# tacokao 的帖子

關於填充２．．．．
小弟有個  不知道有沒有錯的解法幫我檢查一下

原式 =>  1/x = 1/2013 - 1/y

      =>  x= (2013*y) / (y - 2013) 為正整數

      所以由線性組合可以得到 (y - 2013) | (2013)^2

   因為 2013=3*11*61 =>  2013^2  =  (3^2) *( 11^2 ) *( 61^2)

   故 y-2013  共有  (2+1)(2+1)(2+1) =27  種可能所以共有27種

作者: ilikemath 時間: 2013-6-17 17:11

請教填充Q6,8,9題
感謝

作者: spiralshells 時間: 2013-6-18 11:02

可以請教填充第一題嗎? 一直想不出解法，用夾擠嗎?
感謝

作者: weiye 時間: 2013-6-18 12:55 標題: 回復 17# spiralshells 的帖子

填充第 1 題提示：\(\displaystyle \frac{n}{1\cdot3\cdot5\cdots\left(2n+1\right)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1\cdot3\cdot5\cdots\left(2n-1\right)}-\frac{1}{1\cdot3\cdot5\cdots\left(2n+1\right)}\right)\)

作者: tsusy 時間: 2013-6-18 12:58 標題: 回復 17# spiralshells 的帖子

填 1. 提示：裂項相消

回復 16# ilikemath 的帖子

填 6. 在班長是第 \( k+1 \) 個選位子的人條件下，選到該位置的機率是 \(\displaystyle \frac{C^{39}_k}{C^{40}_{k}} = \frac{40-k}{40} \)

故所求為其平均 (k=0~39) \( \frac{41}{80} \)

填 8. 顯然 \( 7^{2}<n<7^{3} \)，因此 \(\displaystyle 32=\left[\frac{n}{7}\right]+\left[\frac{n}{49}\right]\leq\frac{n}{7}+\frac{n}{49}
\Rightarrow196\leq n \)。
檢驗 \(\displaystyle \left[\frac{196}{7}\right]+\left[\frac{196}{49}\right]=28+4=32 \)。

顯然 \(\displaystyle \left[\frac{196+7}{7}\right]+\left[\frac{196+7}{49}\right]>32 \)，再檢驗 \( \left[\frac{196+6}{7}\right]+\left[\frac{196+6}{49}\right]=32 \)。

故最大最小值可能分別為 \( 196, 202 \) (因 \( \left[\frac{n}{7}\right]+\left[\frac{n}{49}\right] \) 單調)

填 9. 令切點坐標為 \( (x,y) \)，則 \( 0=(3x^{2}+2kx+1)(0-x)+x^{3}+kx^{2}+x+1 \) 恰有兩相異實數解。整理得 \( -2x^{3}-kx^{2}+1=0 \) ，

其倒根所滿足的方程式 \( t^{3}-kt-2=0 \)，判別式為 \( 0 \)，即 \( -4p^{3}-27q^{2}=4k^{3}-108=0 \Rightarrow k=3 \)。

類題.
1. 設過原點 \( (0,0) \) 有三條相異直線與 \( f(x)=x^{3}+kx^{2}+1 \) 相切，則實數 \( k \) 值的範圍為 __________。(100楊梅高中、99台中二中、102復興高中)

107.4.23新增
三次曲線\(y=x^3+ax^2+1\)，若通過原點可做出此曲線的三條相異切線，求實數\(a\)的範圍為　　　。
107中科實中國中部，https://math.pro/db/thread-2943-1-1.html

112.4.30
已知\(y=x^3+kx^2-1\)恰有三相異切線過\((0,0)\)，求\(k\)的範圍。
(112六家高中，https://math.pro/db/thread-3737-1-1.html)

2. 三次曲線 \( y=x^{3}+ax^{2}+x+1 \)，若由原點可作三條相異之切線，試求實數 \( a \) 的範圍。(101中科實中)

3. \( a\in\mathbb{R} \)，過 \( P(a,2) \) 作 \( y=f(x)=x^{3}-3x^{2}+2 \) 的切線，若所作的切線恰有一條，求 \( a \) 的範圍。(97大里高中)

4. \( \Gamma:\, y=x^{2}-\frac{1}{2} \)，已知 \( A(a,3) \) 可對 \( \Gamma \) 作三條法線，求 \( a \) 的範圍。(100豐原高中)

作者: spiralshells 時間: 2013-6-18 15:38 標題: 回復 18# weiye 的帖子

感謝瑋岳師與寸絲師!!

作者: casanova 時間: 2013-6-19 23:26

請教填充第3題和填充第5題

作者: sunjay 時間: 2013-6-23 21:04 標題: 回復 21# casanova 的帖子

填充三弧長公式=積分(a,b) [1+(y')^2]^1/2 dx
填充五希望有大大提示一下!!!XD
另外想請教證明一提示就可~謝謝!

作者: 八神庵 時間: 2013-6-24 15:56

引用:

原帖由 sunjay 於 2013-6-23 09:04 PM 發表
填充三弧長公式=積分(a,b) [1+(y')^2]^1/2 dx
填充五希望有大大提示一下!!!XD
另外想請教證明一提示就可~謝謝!

填五
利用|Z1|=|Z1+Z2|=2與|Z1-Z2|=2根號3求得Z1(bar)Z2=4,再推得Z1Z2(bar)=4
計算1,利用1的立方虛根小omega=(-1+-i根號3)/2代入(x+1)^n即可得

作者: 阿光 時間: 2013-6-25 22:05

想了解填充2和計算2和4的詳解
(不好意思個人能力有限實在看不懂提示)

作者: 阿光 時間: 2013-6-26 18:55

想了解填充2和計算2和4的詳解
(不好意思個人能力有限實在看不懂提示)

作者: 阿光 時間: 2013-8-23 20:10

請教填充第5題謝謝

作者: weiye 時間: 2013-8-23 23:26 標題: 回復 26# 阿光的帖子

填充第 5 題：thepiano 老師已解，請見 http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 53&t=3040#p9415

作者: 阿光 時間: 2013-8-25 21:09

再請教填充第4題謝謝

作者: weiye 時間: 2013-8-25 21:47 標題: 回復 28# 阿光的帖子

填充第 4 題：

\(a+b+c+d+e=22\)，其中 \(a\in\mathbb\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) 且 \(b,c,d,e\in\mathbb\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\)

所求＝有序數組 \((a,b,c,d,e)\) 的組數

　　\(=\left(H_{22}^5-C^5_1 H_{12}^5+C^5_2 H_2^5\right) - \left(H_{22}^4-C^4_1 H_{12}^4+C^4_2 H_2^4\right)\)

　　\(=5460\)

至於列式的解釋，則可見前面寸絲老師的說明。

作者: cefepime 時間: 2016-10-11 23:36

填充題4. 數字和為 22 的五位數，共有幾個?

解: 嘗試用 "生成函數"。(若數字和很接近上下界，直接用組合較簡明)

所求即下列函數之 x²² 項係數:

(x + x² + ... + x⁹)*(1+ x + x² + ... + x⁹)⁴

= [(1 - x¹⁰)⁵ / (1 - x)⁵] - [(1 - x¹⁰)⁴ / (1 - x)⁴]

= (1 - 5x¹⁰+ 10x²⁰...)*[1 / (1 - x)⁵] - (1 - 4x¹⁰+ 6x²⁰...)*[1 / (1 - x)⁴] ("..." 部分不計)

故所求 = C(26,4) - 5*C(16,4) + 10*C(6,4) - C(25,3) + 4*C(15,3) - 6*C(5,3) = 5460

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