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標題: 102北市陽明高中 [打印本頁]

作者: 八神庵 時間: 2013-5-24 16:59 標題: 102北市陽明高中

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作者: bugmens 時間: 2013-5-24 18:53

1.(2)
若點D、E、F依序為△ABC三邊\( \overline{BC} \)、\( \overline{AC} \)、\( \overline{AB} \)三邊的垂足，求證：△ABC的垂心等於△DEF的內心
(97松山家商，http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=49554#9)

2.
ABCD為圓內接四邊形，四邊邊長依序為a、b、c、d，請證明ABCD的面積為
\( \displaystyle S(a,b,c,d)=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a)} \)
(蔡聰明，四邊形的面積，數學傳播，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid2434)

7.
有一半徑為\( 2 \sqrt{2} \)，高為\( 2\sqrt{3} \)的圓柱體被一平面所截。已知平面截過圓柱體底面的圓心且與底面夾\( 60^\circ \)角，試求：此圓柱體被平面所截之較小部份的體積。
類似問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1369&page=1#pid5678
[解答]

1.當\( \overline{AB}=2 \sqrt{3} \)時，\( \Delta ABC \)為最大的直角三角形，之後就是梯形了。

\( \Delta ABC \)為直角三角形，\( ∠ACB=60^\circ \)，\( \overline{AB}=2 \sqrt{3} \)，得到\( \overline{BC}=2 \)
又\( \overline{OB}=2 \sqrt{2} \)，\( ∠OCB=90^\circ \)，得到\( \overline{OC}=2 \)。
所以當\( 2 \le x \le 2 \sqrt{2} \)，\( -2 \sqrt{2} \le x \le -2 \)時，截面形狀為直角三角形。
　　當\( -2 \le x \le +2 \)時，截面形狀為梯形。

2.當\( 2\le x \le 2 \sqrt{2} \)，\( -2 \sqrt{2} \le x \le -2 \)時
截面形狀為直角三角形ABC

\( \overline{OB}=2 \sqrt{2} \)，\( \overline{OC}=x \)得到\( \overline{BC}=\sqrt{8-x^2} \)
又\( \Delta ABC \)為直角三角形，\( ∠ACB=60^\circ \)，得到\( \overline{AB}=\sqrt{3}\sqrt{8-x^2} \)
\( \Delta ABC \)的面積\( \displaystyle =\frac{1}{2} \cdot \sqrt{8-x^2} \cdot \sqrt{3} \sqrt{8-x^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}(8-x^2) \)
體積\( \displaystyle =2 \int_2^{2 \sqrt{2}} \frac{\sqrt{3}}{2}(8-x^2)dx=\frac{32}{3}\sqrt{6}-\frac{40}{3}\sqrt{3} \)

3.當\( -2 \le x \le +2 \)時，截面形狀為梯形ABCD

\( \overline{OB}=2 \sqrt{2} \)，\( \overline{OC}=x \)得到\( \overline{BC}=\sqrt{8-x^2} \)
又\( \overline{AB}=2 \sqrt{3} \)，\( ∠DCB=60^\circ \)，得到\( \overline{BC}=2+\overline{AD} \)，\( \overline{AD}=\sqrt{8-x^2}-2 \)。
梯形面積\( \displaystyle =\frac{\overline{AB}}{2}(\overline{AD}+\overline{BC})=2 \sqrt{3}(\sqrt{8-x^2}-1) \)
體積\( \displaystyle =2 \int_0^2 2 \sqrt{3}(\sqrt{8-x^2}-1)dx=4 \sqrt{3} \pi \)

\( \displaystyle \int_0^2 (\sqrt{8-x^2}-1) dx \)可以轉換成橘色區域面積
面積=扇形OAB+直角三角形OAC-長方形=\( \pi \)

總共的體積為\( \displaystyle \frac{32}{3}\sqrt{6}-\frac{40}{3}\sqrt{3}+4 \sqrt{3} \pi \)

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作者: panda.xiong 時間: 2013-5-28 11:00

請問各位老師，有第五題的答案嗎？

作者: ichiban 時間: 2013-5-28 14:17 標題: 回復 3# panda.xiong 的帖子

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{n}\times \frac{(n+k)^3+(n-k)^3}{(2n)^3}\)
\(\displaystyle =\int_0^1 (\frac{1}{2}+\frac{1}{2}x)^3+(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x)^3 dx\)
\(\displaystyle \left[ (\frac{1}{2}+\frac{1}{2}x)^4 \cdot \frac{1}{4}\cdot 2+(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x)^4\cdot \frac{1}{4} \cdot (-2) \right]\Bigg\vert\;_0^1 \)
\(\displaystyle =\left[(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})^4-(\frac{1}{2})^4 \right]\times \frac{1}{2}+\frac{1}{2}(\frac{1}{2})^4\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\)
請參考指教

作者: panda.xiong 時間: 2013-5-28 14:30 標題: 回復 4# ichiban 的帖子

感謝老師，用積分真是太漂亮啦。
可是題目上說，除了3次皆為同色球"外"皆可獲獎，所以獲獎機率是不是應該要用1去減3次皆同色的機率呢？
答案應該還是1/2吧

另外，我想請問第6題...

作者: ichiban 時間: 2013-5-28 16:19 標題: 回復 5# panda.xiong 的帖子

那題確實要拿1去減 , 我真的忘了 , 歹勢 , 這就是全國考差的原因了
第六題請參考指教
信賴區間這邊不熟 , 寸絲大神啊 , 數學筆記好像沒有關於這個項目的練習
所以我真的不熟

[ 本帖最後由 ichiban 於 2013-5-28 04:24 PM 編輯 ]

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作者: tsusy 時間: 2013-5-28 17:22 標題: 回復 6# ichiban 的帖子

哈~~我也不熟丫...基本上統計這個東西我不太會，我只會一點皮毛的機率而已

統計這邊的題目，本身比較沒有感覺，不知道哪些是重要或好玩的題目，

所以留給其它大神處理吧！

作者: ilikemath 時間: 2013-5-30 18:24

請問第8題怎麼利用第1小題
來證明圓面積？
感謝

作者: ichiban 時間: 2013-5-30 19:11 標題: 回復 8# ilikemath 的帖子

8. (2) 請參考指教

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作者: chin 時間: 2013-8-21 23:18 標題: 第6題(2)

第6題(2)
參考看看:
   ∵是在A 民調機構
   ∴p=0.56 ,q=0.44
      √pq/n <0.015
-->√0.56×0.44/n <0.015
∴n>1095.1… , ∴n=1096

作者: Pacers31 時間: 2013-8-22 20:22 標題: 回復 10# chin 的帖子

當你重新增加樣本數去作調查

\(\displaystyle \sqrt{\frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}\) 中的 \(\widehat{p}\) 你無法肯定維持原本的0.56

要保證誤差絕對在3%以下，6樓ichi大的解題中已說明 ^^

[ 本帖最後由 Pacers31 於 2013-8-22 10:38 PM 編輯 ]

作者: chin 時間: 2013-8-22 23:56 標題: 回覆#11.Pacers31的帖子

題目中指出:  在95%信心水準之下，
                  A、B兩民調機構得到候選人支持度的信賴區間分別為〔0.52,0.60〕，〔0.42,0.48〕，
                  試問：
                  (2) (5%) A 民調機構在95%信心水準之下，欲使誤差在3%以內，則須抽樣多少個樣本?

                  ∵ A 民調機構在95%信心水準之下，信賴區間為〔0.52,0.60〕
                  ∴ p=(0.52+0.60)/2=0.56, 是可知的

作者: Pacers31 時間: 2013-8-23 10:17 標題: 回復 12# chin 的帖子

這篇暫且就用 \(p\) 這個符號代表sample proportion吧

\(n\) 表示某次抽樣調查人數，\(x\) 代表當中支持候選人的人數，則 \(\displaystyle p=\frac{x}{n}\)

95%信賴區間: \(\displaystyle \Big(p-2\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}},\ p+2\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\Big)\)

已知此次抽樣調查的結果得到的信賴區間為 [052, 0.60] \(\displaystyle \Rightarrow p=\frac{x}{n}=0.56\)

表示"這次"的調查中，支持人數佔了總調查人數的0.56

第(2)小題的課題是：要將誤差控制在3%以內 (上次的調查獲得的區間為4%)，增加樣本數可以辦到這件事

於是"重新"民調，這次抽查的人數 \(m\) 和上次的人數 \(n\) 已經不同了，

當中支持該候選人的人數 \(y\) 也不一定和上次的 \(x\) 同了

" 這次的 \(\displaystyle p=\frac{y}{m}\) 不見得會是 \(\displaystyle \frac{x}{n}=0.56\) "

在不知道 \(p\) 會是多少的情況下， \(m\) 要多少可以使誤差在3%以內？

\(\displaystyle 2\sqrt{\frac{p(1-p)}{m}}\leq0.03 \) \(\displaystyle \Rightarrow \sqrt{m}\geq\frac{\sqrt{p(1-p)}}{0.015}\)

而 \(\displaystyle p(1-p)\leq\frac{1}{4}\)，上面右式最大就 \(\displaystyle \frac{\sqrt{1/4}}{0.015}=\frac{1}{0.03} \)

\(\sqrt{m}\) 只要能比 \(\frac{1}{0.03}\) 大就可以滿足誤差在3%以內了

-------------------

補充樓下最後提問：沒錯，即使改成B機構(或其他民調)，答案是一樣的 ^^

[ 本帖最後由 Pacers31 於 2013-8-23 11:43 AM 編輯 ]

作者: chin 時間: 2013-8-23 11:02 標題: 回覆12#Pacers31的帖子

(要將誤差控制在3%以內 (上次的調查獲得的區間為4%)，增加樣本數可以辦到這件事
於是"重新"民調，這次抽查的人數 m 和上次的人數 n 已經不同了)
不論誤差多少祇會改變信賴區間，不會改變 p，此小題用 A 民調機構，表示並沒有
改變A民調機構調查出來的支持度p，否則，改問
"B 民調機構(或某民調)在95%信心水準之下，欲使誤差在3%以內，則須抽樣多少個樣本?"，是不是答案都一樣呢? 就無須強調"A 民調機構"了?

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