標題: 排列組合_同字不相鄰 [打印本頁]

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作者: sambulon    時間: 2013-5-17 14:14     標題: 排列組合_同字不相鄰

1. AAABBBCDEF等十個字母，全取排列，同字不相鄰的排法有幾種？

2. AAABBBCCCD等十個字母，全取排列，同字不相鄰的排法有幾種？

謝謝指教!!

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作者: weiye    時間: 2013-5-17 17:20     標題: 回復 1# sambulon 的帖子

1. 任排 － 至少兩A相鄰 － 至少兩B相鄰 ＋ 至少兩A相鄰且至少兩B相鄰

　\(\displaystyle =\frac{10!}{3!3!}-C^2_1\left(\frac{9!}{3!}-\frac{8!}{3!}\right)+C^2_2\left(8!-2\cdot 7!+6!\right)\)


2. 任排 － 至少兩A相鄰 － 至少兩B相鄰  － 至少兩C相鄰 ＋ 至少兩A相鄰且至少兩B相鄰  ＋ 至少兩B相鄰且至少兩C相鄰 ＋ 至少兩A相鄰且至少兩C相鄰 － 至少兩A相鄰且至少兩B相鄰且至少兩C相鄰

　\(\displaystyle =\frac{10!}{3!3!3!}-C^3_1 \left(\frac{9!}{3!3!}-\frac{8!}{3!3!}\right)+C^3_2\left(\frac{8!}{3!}-2\cdot\frac{7!}{3!}+\frac{6!}{3!}\right)-C^3_3\left(7!-3\cdot 6!+3\cdot 5!-4!\right)\)

註：1. 以上算式如有疏漏，還請不吝告知。

　　2. 相似題：ｉ. https://math.pro/db/thread-1097-1-9.html

　　　　　　　ｉｉ. http://math.pro/db/viewthread.php?tid=1377&page=6#pid16473

　　　　　　　ｉｉｉ. 1. aaaabbbccd十個字母，全取排列，a與b不相鄰的排法有幾種？
　　　　　　　　　　　2. aaaabbbccd十個字母，全取排列，同字不相鄰的排法有幾種？
　　　　　　　　　　　https://math.pro/db/thread-3134-1-1.html

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作者: peter0210    時間: 2014-5-25 21:35

老師
我想請問第一題為何在扣掉至少兩B相鄰的部份
還要再扣掉3個B相鄰的方法數(也就是老師所寫的8!/3!)

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作者: Pacers31    時間: 2014-5-27 17:30     標題: 回復 3# peter0210 的帖子

\(\displaystyle \Big(\frac{9!}{3!}-\frac{8!}{3!}\Big)\)才是至少二B鄰〈也就是有B鄰〉的排法數

也就是先將兩個B綁一起跟其他字母排列，而其中BB,B與B,BB是重複算的排法，也就是多算了一次三個B綁一起的排法，故須扣除

這題也可用以下另解做，縮減不少計算量  〈直接少掉一層排容！〉

首先，將"無A鄰"視為全部排法〈意即，以下所有狀況都是在無A鄰的前提下〉，則：

1. 全 \(-\) 有B鄰

   \(\displaystyle =\frac{7!}{3!}\cdot {C_3^8}-\Big(6!\cdot {C_3^7}-5!\cdot {C_3^6}\Big)=24240\)  

2. 全 \(-\) 有B鄰 \(-\) 有C鄰 \(+\) 有B且有C鄰

   \(\displaystyle =\frac{7!}{3!3!}\cdot {C_3^8}-2\Big(\frac{6!}{3!}\cdot {C_3^7}-\frac{5!}{3!}\cdot {C_3^6}\Big)+\Big(5!\cdot {C_3^6}-2\cdot 4!\cdot {C_3^5}+3!\cdot {C_3^4}\Big)=2184\)

以上皆以計算機確認與Weiye老師答案相同！ 〈發現...原來Weiye老師給的相似題就用此法解了@@〉

[ 本帖最後由 Pacers31 於 2014-5-27 06:50 PM 編輯 ]

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