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標題: 101松山工農(第二次) [打印本頁]

作者: bugmens    時間: 2012-7-30 16:57     標題: 101松山工農(第二次)

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作者: 阿光    時間: 2012-7-30 21:28

想請教填充7和問答2 謝謝

填充7.
\(x,y,z\)為正實數,\(\Bigg\{ \matrix{x^2+xy+y^2=9 \cr y^2+yz+z^2=16 \cr z^2+zx+x^2=25}\),求\(x+y+z=\)?

105.5.6補充
若三正實數\(x,y,z\)滿足\(\Bigg\{ \matrix{x^2+xy+y^2=25 \cr y^2+yz+z^2=49 \cr z^2+zx+x^2=64}\),則\(x+y+z\)之值為何?
(建中通訊解題 第97期,http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathwe ... 30-15&Itemid=37)
作者: weiye    時間: 2012-7-30 22:00     標題: 回復 2# 阿光 的帖子

填充第 7 題,方法同【100師大附中】第三題,可以利用費馬點來解題。

請見 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1100&page=4#pid3109


問答 2:乙生算出來的是 \(f(2013)\) 的值。利用差分的方法,代入函數的數字要成等差。

相關知識可搜尋關鍵字:巴貝奇(Babbage)定理、差分
作者: 阿光    時間: 2012-7-31 21:50

想再請教問答6錯在哪裡 謝謝
作者: weiye    時間: 2012-7-31 22:17     標題: 回復 4# 阿光 的帖子

問答6

當圓周上有六個相異點時,此六點連接所成的弦,最多可以將圓內部分成 \(31\) 塊而已。

如下圖:



至於正確的公式,可見 https://math.pro/db/thread-916-1-1.html

圖片附件: qq.png (2012-7-31 22:17, 24.51 KB) / 該附件被下載次數 4147
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1415&k=51435dbe878603838eab2f850db365dd&t=1606767541


作者: idontnow90    時間: 2013-3-22 16:19

想請教第7...
1.我有看了費瑪點的方式解法...但是我想說是否有更簡單的方法?
2.想請教這怎麼會聯想到費瑪點??
另外想請教填充第4題..我分解好久分不出來..懇請大師提點...
感謝~
作者: weiye    時間: 2013-3-22 20:44

小弟填充第 7 題聯想點:

\(x^2+xy+y^2=x^2+y^2-2xy\cos 120^\circ\)

聯想到餘弦定理,

聯想到~~~三角形內部一點到任兩頂點夾角皆為 \(120^\circ\),

且內部此點到三角形的三頂點距離分別為 \(x,y,z\)

可知此點為費馬點。


填充第 4 題:

先整係數一次因式檢驗法,可知 \(2x^5-8x^4+3x^3+13x^2-3x-3=(x+1)(2x^4-10x^3+13x^2-3)\)

再來研究看看 \(2x^4-10x^3+13x^2-3\)

「猜測」它可以被強迫分解成兩個整係數二次式的乘積~

最有可能的「猜測」有~~~

\((x^2+ax-1)(2x^2+bx+3)\)

或是  \((x^2+ax+1)(2x^2+bx-3)\)

或是  \((x^2+ax-3)(2x^2+bx+1)\)

或是  \((x^2+ax+3)(2x^2+bx-1)\)

此四種情況,分別都乘開,與  \(2x^4-10x^3+13x^2-3\) 比較係數,

看看哪一個可以解出正確的 \(a,b\)。

(實際上: \(2x^4-10x^3+13x^2-3=(x^2-2x-1)(2x^2-6x+3)\))

剩下的就容易了。
作者: bugmens    時間: 2013-3-24 07:16

引用:
原帖由 idontnow90 於 2013-3-22 04:19 PM 發表
想請教第7...
1.我有看了費瑪點的方式解法...但是我想說是否有更簡單的方法?
2.想請教這怎麼會聯想到費瑪點??
這些題目本來就是精心設計過的,看不出來也是很正常的
但假若題目看得多的話,就能識破其中的端倪
不外乎將幾何問題改為代數問題,或將代數問題改成幾何問題
我找一些題目讓你練習看看

假設直角三角形的三個頂點分別為\( A=(0,0) \),\( B=(1,0) \)和\( C=(0,4) \),令\( Q=(x,y) \)為此三角形內部的一個點,試求點Q和點Q到三個頂點距離之和的最小值(即\( \vert\ Q-A \vert\ + \vert\ Q-B \vert\ + \vert\ Q-C \vert\ \)的最小值)
(99屏北高中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=937&page=1#pid2024)

正數x,y,z滿足方程組\( \displaystyle \Bigg\{\ \matrix{x^2+xy+\frac{y^2}{3}=25 \cr \frac{y^2}{3}+x^2=9 \cr z^2+xz+x^2=16} \),求\( xy+2yz+3xz \)的值。
(高中數學競賽教程P261)

設實數x、y、z滿足,\( \displaystyle \matrix{x=\sqrt{y^2-\frac{1}{16}}+\sqrt{z^2-\frac{1}{16}} \cr y=\sqrt{z^2-\frac{1}{25}}+\sqrt{x^2-\frac{1}{25}} \cr z=\sqrt{x^2-\frac{1}{36}}+\sqrt{y^2-\frac{1}{36}}} \),且\( \displaystyle x+y+z=\frac{m}{\sqrt{n}} \),其中m、n是正整數,且n不能被任何質數的平方整除,試求\( m+n \)之值。
(2006AIME,http://www.artofproblemsolving.c ... Problems/Problem_15)

104.5.31補充
104新北市高中聯招終於考了這題。
https://math.pro/db/thread-2279-1-1.html

有興趣的話可以去圖書館找"構造法解題"這本書來看

[ 本帖最後由 bugmens 於 2015-5-31 07:37 PM 編輯 ]
作者: casanova    時間: 2013-5-15 23:12

填充第8題中

矩陣A的特徵值是重根的,所以A的特徵向量是…?
題目中矩陣P的行向量我猜就是矩陣A的特徵向量了(有2個)
請問矩陣P若題目沒有給的話,要怎麼自己求出來呢?

[ 本帖最後由 casanova 於 2013-5-15 11:16 PM 編輯 ]
作者: tsusy    時間: 2013-5-16 10:26     標題: 回復 9# casanova 的帖子

Jordan Canonical Form

另解. \( p_A(x) = x^2 + 8x +16 \)

考慮 \( r(x) \) 為 \( x^n \) 除以 \( p_A(x) \) 之餘式。

則有 \( r(-4) = (-4)^n, r'(-4) = n\times (-4)^{n-1} \)

以此二式解出 \( r(x) = ax+b \)。

則有 \( A^n = r(A) \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-16 10:28 AM 編輯 ]
作者: casanova    時間: 2013-5-16 21:25

引用:
原帖由 tsusy 於 2013-5-16 10:26 AM 發表
Jordan Canonical Form

另解. \( p_A(x) = x^2 + 8x +16 \)

考慮 \( r(x) \) 為 \( x^n \) 除以 \( p_A(x) \) 之餘式。

則有 \( r(-4) = (-4)^n, r'(-4) = n\times (-4)^{n-1} \)

以此二式解出 \( r(x) = ax+b \) ...
謝謝寸絲大大的另解
這方法是不是只能用在二階方陣且特徵值是重根的情況下?
還是有別的情形也可使用?

原題目矩陣P的第一行行向量是\(A\)的特徵向量不難得知
但第二行行向量也是\(A\)的特徵向量吧,不知從何而來...
自己的線性代數一直不太好...
作者: tsusy    時間: 2013-5-16 21:44     標題: 回復 11# casanova 的帖子

方法沒有限定 2 階,也沒限定重根,但是也是有一些可能的限制在

方法:是找出一個 \( A \) 的零多項式,通常用特徵多項式 \( p_A(x) \)

然後由除法原理有  \( x^n = p_A(x) q(x) + r(x) \)

當然不可能真的去做長除法,而是要透過類似餘式定理的方式,或者 \( p_A(x) \) 有特殊結構,才能快速的求出 \( r(x) \)。

例如: \( p_A(x) \) 如果是一個二次式,且 \( p_A(x) = 0 \) 之解是兩個無理解,那就透過餘式定理解 \( r(x) \),只是係數有點醜。

一般的情況下,除非 \( p_A(x) \) 可以解分成一些簡單(如整係數)的一次式和二次式的乘積。

否則一旦碰上,沒有有理根的三次式,要計算 \( r(x) \) 可能就是一件困難的事了

不過如果真的這樣,要對角化還是算 Jordan Canonical Form 應該也是很難算才是。

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

\( u \) 是特徵值 \( \lambda \) 所對應的特徵向量,再去解 \( (A-\lambda I)x= u \) (二階的可以這樣做)

特徵值的重數如果 \( >2 \) ,上面的方法就可能失效

有興趣自個 Google Jordan Canonical Form 去吧
作者: clovev    時間: 2013-8-13 20:07

想請教填充2和問答3,謝謝!
作者: weiye    時間: 2013-8-13 20:30     標題: 回復 13# clovev 的帖子

填充第 2 題:

\(\displaystyle \log\left(\sqrt{2}^\sqrt{2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\log2\approx\frac{1.4142}{2}\times0.3010\approx0.2128\approx\log1.63\)

\(\displaystyle \Rightarrow \sqrt{2}^\sqrt{2}\approx1.63\)

\(\displaystyle \Rightarrow \log\left(\sqrt{2}^{\left(\sqrt{2}^\sqrt{2}\right)}\right)=\left(\sqrt{2}^\sqrt{2}\right)\cdot\frac{1}{2}\cdot\log2\approx1.63\times0.5\times0.3010\approx0.2453\approx\log1.75\)

\(\displaystyle \Rightarrow \sqrt{2}^{\left(\sqrt{2}^\sqrt{2}\right)}\approx1.75\)

小數點以後第二位四捨五入,可得

\(\displaystyle \Rightarrow \sqrt{2}^{\left(\sqrt{2}^\sqrt{2}\right)}\approx1.8\)
作者: weiye    時間: 2013-8-13 20:48     標題: 回復 13# clovev 的帖子

問答題第 3 題:

丙學生的算法是錯誤的,

因為第一個算幾不等式等號成立的條件是 \(\displaystyle a=\frac{1}{b}\Rightarrow ab=1\)

而第二個算幾不等式等號成立的條件是 \(\displaystyle 3b=\frac{1}{3a}\Rightarrow 9ab=1\)

顯然兩者不會同時成立,

丙學生找出來的是"下界",而非最小值。

最小值需要確保"等號"會成立才行。

而正確的算法可以透過如下,使用柯西不等式:

\(\displaystyle \left(\left(\sqrt{a}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2\right)\left(\left(\frac{1}{\sqrt{3a}}\right)^2+\left(\sqrt{3b}\right)^2\right)\geq\left(\sqrt{a}\cdot\frac{1}{\sqrt{3a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\cdot\sqrt{3b}\right)^2\)

可得 \(\displaystyle \left(a+\frac{1}{b}\right)\left(\frac{1}{3a}+3b\right)\geq\frac{16}{3}\)

且上述柯西不等式等號成立的條件為 \(\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\frac{1}{\sqrt{3a}}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{b}}}{\sqrt{3b}}\) ,即 \(3a=b\)

帶入 \(\displaystyle \left(a+\frac{1}{b}\right)\left(\frac{1}{3a}+3b\right)=\frac{16}{3}\)

可解得 \(\displaystyle a=\frac{1}{3}, b=1\)(依題意,\(a,b\) 為正數)

因此,\(\displaystyle \left(a+\frac{1}{b}\right)\left(\frac{1}{3a}+3b\right)\) 之最小值為 \(\displaystyle\frac{16}{3}\)

註:在求不等式的最大或最小值時,只要有用超過一個以上的不等式串接時,

  就要檢查是否所有不等式的等號是否有可能同時成立,

  如果可以同時成立,那找出來的下界才會是最小值。
作者: clovev    時間: 2013-8-13 21:20

謝謝瑋岳老師!問答題我也是用柯西但是無法解釋算幾為何不成立。豁然開朗了感恩




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