Board logo

標題: 101竹北高中 [打印本頁]

作者: shingjay176    時間: 2012-5-30 23:10     標題: 101竹北高中

填充題  
有三條平行線,第一條和第二條距離為d1,第二條跟第三條距離為d2,三條平行線上各取一點,則正三角形的邊長為何??

填充題  
題目的意思是  一個正立方體,8個頂點,12邊的中點,六個面的中心點。與正立方體的正中心點。這些點總共可以決定幾條相異的直線。

填充題
一個長軸為12的橢圓,F為其中一個焦點,則PQ為通過F的焦弦,PF=5,FQ=3  ,則請問正焦弦長為

填充題
有一個三角形AB=3,AC=4,BC=5,請問當從A點出發,往BC直線上打出一道光線,不打在兩端點上,則反射兩次後,回到B點。請問走過的路徑長??

填充題考了一題 今年中科實中,填充題第11題,只是數據有改過。

填充題第一題,是這樣的題目
(x-4)^2+(y-3)^2+(z-7)^2=16,球上一動點P,另外有一個圓(x)^2+y^2=1(這個不知道有沒有記錯,有在火車上聽到有人討論,說半徑是2)(希望不是自己眼瞎看錯,不然八分又沒了)且z=1....在圓上一動點 Q,請問PQ的範圍??

填充題第七題
有一點P,沿著X軸的方向,推移Y座標的K倍。請問推移矩陣為何??
(第二小題的題目數據有點忘記了)....這一題簡直送分勒。火車上一堆人討論,第二題的答案是(1,1)  希望不要有人0分吧


計算題1.     degf(x)=2011,的f(k)=(-1)/k ,對於所有的k=1,2,3,....,2011   則f(2012)=?(這一題考古題,去年基隆高中有考,今年文華高中也有考,好在有定正文華考卷。今晚一拿到題目,先寫這一題,穩定心情)
計算題2.  一個直圓錐內放置一個半徑為1的球,請求出直圓錐的最小體積為何??


101.6.1版主補充
原本考題為圖檔,我花了一些時間將題目重新打字,請下載附件

附件: 101竹北高中.rar (2012-6-1 17:34, 296.26 KB) / 該附件被下載次數 12427
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1169&k=4148865ebfc802d2bd4aa879a57676d8&t=1711712708
作者: Ellipse    時間: 2012-5-30 23:18

引用:
原帖由 shingjay176 於 2012-5-30 11:10 PM 發表
填充題  
有三條平行線,第一條和第二條距離為d1,第二條跟第三條距離為d2,三條平行線上各取一點,則正三角形的邊長為何??

填充題  
題目的意思是  一個正立方體,8個頂點,12邊的中點,六個面的中心點。與正立方體的正中心點 ...
印象中,第一題有人拿這做過科展~
計算一&二都是考古題了
作者: shingjay176    時間: 2012-5-30 23:20

引用:
原帖由 Ellipse 於 2012-5-30 11:18 PM 發表


印象中,第一題有人拿這做過科展~
今天這份題目不難勒。橢圓正焦弦長,後來想到了。圖形畫出來,用餘弦定理。在火車上才想出來。
作者: Ellipse    時間: 2012-5-30 23:31

引用:
原帖由 shingjay176 於 2012-5-30 11:20 PM 發表

今天這份題目不難勒。橢圓正焦弦長,後來想到了。圖形畫出來,用餘弦定理。在火車上才想出來。
沒關係啦~您會越考越進步,加油!

(這題答案為15/2)
作者: shingjay176    時間: 2012-5-30 23:35

引用:
原帖由 Ellipse 於 2012-5-30 11:31 PM 發表


沒關係啦~您會越考越進步,加油!

(這題答案為15/2)
感謝囉。大家一起討論,真的進步幅度很大。
作者: shingjay176    時間: 2012-5-30 23:44

引用:
原帖由 shingjay176 於 2012-5-30 11:10 PM 發表
填充題  
有三條平行線,第一條和第二條距離為d1,第二條跟第三條距離為d2,三條平行線上各取一點,則正三角形的邊長為何??

填充題  
題目的意思是  一個正立方體,8個頂點,12邊的中點,六個面的中心點。與正立方體的正中心點 ...
正立方體那題,我是這樣思考。總共有27個點.所以\(C^{27}_2\),總共可以決定這麼多條相異直線。
但是三點共線的情形共有,每個面共有八條,一共有十二的面。所以\(8\times 12=96\)
C(27,2)-C(3,2)x96+96=
作者: Ellipse    時間: 2012-5-30 23:59

有一個三角形AB=3,AC=4,BC=5,請問當從A點出發,往BC直線上打出一道光線,不打在兩端點上,則反射兩次後,回到B點。請問走過的路徑長??

先坐標化
令A(0,0),B(0,3),C(4,0)
假設A'與A是以BC為對稱軸,互相對稱
B'與B是以AC為對稱軸,互相對稱
所求路徑=A'B'
作者: agan325    時間: 2012-5-31 00:05

填充題第一題,是這樣的題目
(x-4)^2+(y-3)^2+(z-7)^2=16,球上一動點P,另外有一個圓(x)^2+y^2=1(這個不知道有沒有記錯,有在火車上聽到有人討論,說半徑是2)(希望不是自己眼瞎看錯,不然八分又沒了)且z=1....在圓上一動點 Q,請問PQ的範圍??

他的題目是 x^2+y^2=4.....
作者: Ellipse    時間: 2012-5-31 00:40

引用:
原帖由 shingjay176 於 2012-5-30 11:44 PM 發表

正立方體那題,我是這樣思考。總共有27個點.所以C(27,2),總共可以決定這麼多條相異直線。
但是三點共線的情形共有,每個面共有八條,一共有十二的面。所以8x12=96
C(27,2)-C(3,2)x96+96= ...
您這樣算共用邊都重複算
沒扣那麼多啦~

您看到題目的意思是說每一條直線都要通過中心點嗎?
還是任兩點的連線?
作者: shingjay176    時間: 2012-5-31 06:28

引用:
原帖由 Ellipse 於 2012-5-31 12:40 AM 發表


您這樣算共用邊都重複算
沒扣那麼多啦~

您看到題目的意思是說每一條直線都要通過中心點嗎?
還是任兩點的連線?
題目的全部內容可能忘記了勒~只有記得題目的大概,不知道關鍵字有沒有漏掉~只說這些點可以決定幾條相異的直線~~我當下有把立方體的圖形畫出來~~
一堆點,滿滿的點。所以想說從圖可能看不出個所以然~~我就當下只有這樣思考了~~也沒有多餘的時間去想,我這樣的作法嚴謹性,會不會多扣或少扣,想說就從反面做看看~~
作者: shingjay176    時間: 2012-5-31 06:30

引用:
原帖由 Ellipse 於 2012-5-31 12:40 AM 發表


您這樣算共用邊都重複算
沒扣那麼多啦~

您看到題目的意思是說每一條直線都要通過中心點嗎?
還是任兩點的連線?
我懂意思了,應該我算錯了,扣掉太多,共用邊的部分,重覆扣除了
作者: Ellipse    時間: 2012-5-31 09:34

引用:
原帖由 shingjay176 於 2012-5-31 06:30 AM 發表

我懂意思了,應該我算錯了,扣掉太多,共用邊的部分,重覆扣除了
假設正方體的中心為O,每個面的中心為A,B,C,D,E,F
先算C(27,2)
只有通過上述的中心點,直線才會重複算到
以下分兩種情況討論重複情形
(1)直線通過O點:
其它點有26個,這樣的直線有26/2=13條
(2)直線在正方體的面上:
通過每面的中心如A(或B或C或D或E或F)
的直線共有4*6=24(米字型)
再加上正方體有12個邊
所有共有24+12=36條

由(1)&(2)的重複的直線共有13+36=49條要扣~


所求=C(27,2)-49*C(3,2)+49=351-108+49=253


上述有漏掉的地方請指正
作者: shingjay176    時間: 2012-5-31 09:48

引用:
原帖由 Ellipse 於 2012-5-31 09:34 AM 發表

假設正方體的中心為O,每個面的中心為A,B,C,D,E,F
先算C(27,2)
只有通過上述的中心點,直線才會重複算到
以下分兩種情況討論重複情形
(1)直線通過O點:
其它點有26個,這樣的直線有26/2=13條
(2)直線在正方體的面上:
通 ...
剛剛自己又在畫了一下圖,才發現自己考場扣掉太多了。
考場上有想法了,真的需要嚴謹點,不然時間花下去,想法也對,分數沒拿到,超嘔的
作者: redik    時間: 2012-6-2 16:02

想要請教一題

填充4,三角形ABC三邊長 AB=3,AC=4,BC=5,一質點由A出發,射向BC上一點(不包含端點)

若此質點接過兩次反射時到達B點,則A點經過的路徑長為?

一開始我先設座標系,A(0,0),B(3,0),C(0,4),假設A反射至AC邊上的點為(0,t)

然後用反射回推方程式,可是算起來很不好算,不知道有沒有比較好的想法...
作者: weiye    時間: 2012-6-2 18:30     標題: 回復 14# redik 的帖子

填充第 4 題:

將 \(A\) 對稱 \(\overline{BC}\) 得 \(A'\);將 \(B\) 對稱 \(\overline{AC}\) 得 \(B'\),則 \(\overline{A'B'}\) 長度即為所求。

ps. 可以坐標化,也可以找出 \(\overline{AA'}\) 與 \(\overline{AB'}\) 線段長與 \(\angle A'AB'\) 的餘弦值,

  然後用餘弦定理求得 \(\overline{A'B'}\) 的長度  。
作者: agan325    時間: 2012-6-5 20:53     標題: 想要請教填充3和填充5

有關於填充5....好像有看過相關科展和考古題
但是一時資料太多,找不到!
能否請教相關考古題和填充5的做法!多謝!
作者: weiye    時間: 2012-6-5 23:47     標題: 回復 16# agan325 的帖子

填充第 5 題相關題目與資料~

利用本站右上角的 Google 自訂搜尋框~

搜尋「三條平行線 正三角形」就可以找到了~:)

https://math.pro/db/thread-890-1-1.html






填充第 5 題:

   

如上圖,設 \(\overline{BD}=d_1, \overline{CF}=d_2\)(不失一般性,假設 \(d_1\geq d_2\))

設正三角形 \(\triangle ABC\) 的邊長為 \(x\),

則由畢氏定理,可得

\(\overline{AD}=\sqrt{x^2-d_1^2}, \overline{AF}=\sqrt{x^2-d_2^2}, \overline{DF}=\sqrt{x^2-\left(d_1+d_2\right)^2}\)

因為 \(\overline{AD}+\overline{DF}=\overline{AF}\)

所以 \(\sqrt{x^2-d_1^2}+\sqrt{x^2-\left(d_1+d_2\right)^2}=\sqrt{x^2-d_2^2}\)

移項平方化簡(做兩次),即可得 \(\displaystyle x^2=\frac{4}{3}\left(d_1^2+d_1d_2+d_2^2\right)\)

\(\displaystyle\Rightarrow x=\frac{2\sqrt{d_1^2+d_1d_2+d_2^2}}{\sqrt{3}}\)

圖片附件: xx.png (2012-6-6 13:23, 7.17 KB) / 該附件被下載次數 7684
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1199&k=b2177c4a6ed6a8943628ab12b5c2cb3b&t=1711712708


作者: weiye    時間: 2012-6-6 00:07     標題: 回復 16# agan325 的帖子

填充第 3 題:

令 \(f(x)=x^3-3x^2+2x-1\),則

\(f\,'(x)=3x^2-6x+2\)

設切點為 \((x_0,y_0)\)

則 \(\displaystyle 3x_0^2-6x_0+2=\frac{y_0-a}{x_0-0}\) 且 \(y_0=x_0^3-3x_0^2+2x_0-1\)

\(\Rightarrow y_0=3x_0^3-6x_0^2+2x_0+a\) 且 \(y_0=x_0^3-3x_0^2+2x_0-1\)

\(\Rightarrow 3x_0^3-6x_0^2+2x_0+a=x_0^3-3x_0^2+2x_0-1\)

\(\Rightarrow 2x_0^3-3x_0^2+a+1=0\)

令 \(g(x)=2x^3-3x^2+a+1\)

因為過 \(P\) 往 \(y=f(x)\) 做切線時,恰有三條相異的切線,即有三個相異的切點,

所以 \(g(x)=0\) 恰有三相異實根,

\(g\,'(x)=6x^2-6x\)

\(g\,'(x)=0\Rightarrow x=0\) 或 \(x=1\)

因為 \(g(x)=0\) 恰有三相異實根,所以 \(g(0)g(1)<0\Leftrightarrow -1<a<0\)



類題:

101中科實中填充第 3 題:https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1318&page=5#pid5091

99台中二中填充第 5 題: https://math.pro/db/thread-934-1-1.html
作者: redik    時間: 2012-6-6 12:21

引用:
原帖由 weiye 於 2012-6-2 06:30 PM 發表
填充第 4 題:

將 \(A\) 對稱 \(\overline{BC}\) 得 \(A'\);將 \(B\) 對稱 \(\overline{AC}\) 得 \(B'\),則 \(\overline{A'B'}\) 長度即為所求。

ps. 可以坐標化,也可以找出 \(\overline{AA'}\) 與 \(\overline{AB'}\)  ...
感謝瑋岳老師

總覺得這種反射題目都用對稱找答案,但是往往考試時都沒想到 orz
作者: agan325    時間: 2012-6-6 13:57     標題: 回復 18# weiye 的帖子

多謝偉岳老師
讓我豁然開朗....尤其是第五題,自己玩了好久
都好想要哭泣阿.....
作者: shingjay176    時間: 2012-6-6 13:57

引用:
原帖由 weiye 於 2012-6-5 11:47 PM 發表
填充第 5 題相關題目與資料~

利用本站右上角的 Google 自訂搜尋框~

搜尋「三條平行線 正三角形」就可以找到了~:)

https://math.pro/db/thread-890-1-1.html






填充第 5 題:

如上圖,設 \(\overline{BD}=\) ...
分享我考場中,想到的方法。

圖片附件: [右上角那個是我別題的計算,不用理它] IMAG0097-1.jpg (2012-6-6 13:57, 24.99 KB) / 該附件被下載次數 7170
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1202&k=9e8ba15a8b63f0acd2b66e8578353ae6&t=1711712708


作者: peter579    時間: 2012-6-8 11:00

填充題
一個長軸為12的橢圓,F為其中一個焦點,則PQ為通過F的焦弦,PF=5,FQ=3  ,則請問正焦弦長為


這一題有沒有題示一下方向,要用到光學性質嗎,謝謝

PF+PF'=12
PF'=7
QF+QF'=12
QF'=9

PO是中線,QO也是中線,但接下來,就不知如何寫了。
作者: tsusy    時間: 2012-6-8 13:47     標題: 回復 22# peter579 的帖子

填充 6. 接續你的作法

\( \angle F'FP + \angle F'FQ = 180^\circ \), 所以其餘弦和為 \( 0 \)

\(\displaystyle \frac{4c^{2}+25-49}{20c}+\frac{4c^{2}+9-81}{12c}=0 \), 解得 \(\displaystyle c^2 = \frac{27}{2} \)

因此正焦弦長 \(\displaystyle =\frac{2b^{2}}{a}=\frac{2}{6}\cdot(36-\frac{27}{2})=\frac{15}{2} \)

另解. 考慮 F 兩邊的準線 L, 離心率 \(\displaystyle e = \frac{a}{c} \)

則有 \(\displaystyle d(F,L)=\frac{2}{\frac{1}{d(P,L)}+\frac{1}{d(Q,L)}} \)  和 \( d(P,L) = 3e,\, d(Q,L)=5e,\, d(F,L)=ea-c \)

將上行以 \( a=6 \) 和 \( c \) 代入得方程式 \(\displaystyle \frac{36}{c}-c=\frac{6}{c}\cdot\frac{30}{8} \)

解得 \(\displaystyle c^2 = \frac{27}{2} \)

註:調和平均之性質可見於 100 中壢高中二招 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1170&page=1#pid3902
作者: peter579    時間: 2012-6-8 21:41

謝謝,方寸老師,參考link,發現有不少,對橢圓還要學習的。

不過,這一題用方法一比較好用。填充4可否點一下。

有點想不出來。謝謝
作者: weiye    時間: 2012-6-8 22:05     標題: 回復 24# peter579 的帖子

填充第 4 題在本討論串已經解過了。

填充第 4 題 → https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1381&page=2#pid6001
作者: march2001kimo    時間: 2012-6-10 01:38

文件1.pdf (471.81 KB)
引用:
原帖由 tsusy 於 2012-6-8 01:47 PM 發表
填充 6. 接續你的作法

\( \angle F'FP + \angle F'FQ = 180^\circ \), 所以其餘弦和為 \( 0 \)

\( \frac{4c^{2}+25-49}{20c}+\frac{4c^{2}+9-81}{12c}=0 \), 解得 \( c^2 = \frac{27}{2} \)

因此正焦弦長  ...
想到一個作法

附件: 文件1.pdf (2012-6-10 01:38, 471.81 KB) / 該附件被下載次數 9580
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1218&k=2fd0a7572c68d15a38b446f0f1f6da1f&t=1711712708
作者: WAYNE10000    時間: 2012-6-10 09:39     標題: 請教一下第1題

不知道如何破題
謝謝賜教
感恩
作者: natureling    時間: 2012-11-16 22:28

@@..可以細問一下第4題...為何是A'B"的距離嗎??...轉不過來>"<
引用:
原帖由 weiye 於 2012-6-2 06:30 PM 發表
填充第 4 題:

將 \(A\) 對稱 \(\overline{BC}\) 得 \(A'\);將 \(B\) 對稱 \(\overline{AC}\) 得 \(B'\),則 \(\overline{A'B'}\) 長度即為所求。

ps. 可以坐標化,也可以找出 \(\overline{AA'}\) 與 \(\overline{AB'}\)  ...

作者: weiye    時間: 2012-11-16 22:41

引用:
原帖由 natureling 於 2012-11-16 10:28 PM 發表
@@..可以細問一下第4題...為何是A'B"的距離嗎??...轉不過來>"<
設質點由 \(A\) 射出後,打到 \(\overline{BC}\) 上的點 \(P\),

經反射後又打到 \(\overline{AC}\) 上的點 \(Q\),經反射後~回到 \(B\) 點。

則 \(\overline{AP}+\overline{PQ}+\overline{QB}=\overline{A'P}+\overline{PQ}+\overline{QB'}\geq\overline{A'B'}\)

(Think: 由 \(A'\) 到 \(B'\) ,此兩點之間的最短距離為 \(\overline{A'B'}。\))
作者: weiye    時間: 2012-11-16 22:56     標題: 回復 27# WAYNE10000 的帖子

填充第 1 題,可以參考

101 大安高工第 3 題: https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1468&page=2#pid7159

100香山高中第 12 題: https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1186&page=4#pid4692

或是參考《空間中球與圓的最短距離》 https://math.pro/db/thread-665-1-1.html
作者: cefepime    時間: 2016-9-16 00:19

填充題 5. 平面上由上而下依序劃三條相異的平行線 L₁,L₂,L₃,其中 L₁ 與 L₂,L₂ 與 L₃ 的距離分別為 d₁,d₂。若在三條直線上各取一點,使它們構成一個正三角形,則此正三角形的邊長為何?


想法: 這題的尺規作圖法為: 將 L₁ 繞 L₂ 的某點 A 旋轉 60° 後,與 L₃ 交於 C,則 AC 為該正三角形的一邊。由此可構思出一個求邊長之法。


圖形請參考

h ttp://imgur.com/a/BzSRh


如圖,L₂ 上一點 A 在 L₁,L₃ 的垂足分別為 D, E。將 D 與 L₁ 繞 A 旋轉 60° (則 D → D',L₁ → L₁'), L₁' 與 L₃ 交於 C。則 AC = x 即為所求。

因 A, D', C, E 共圓,故 x = D'E/sin120° = 2√ [(d₁² + d₂² + d₁d₂)/3]  (配合 △AD'E 中的餘弦定理)


本題另一個代數作法: 由聯立方程 x*cosθ = d₁ 與 x*cos(120°- θ) = d₂,解出 x 即可。

圖片附件: 101竹北高中.png (2016-9-16 07:52, 5.59 KB) / 該附件被下載次數 5818
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3626&k=c8cac9e2caecf14729ba5e8938f1774b&t=1711712708


作者: satsuki931000    時間: 2021-3-21 19:41

\(a,b\in \mathbb{R}\),\(f(x)=x^3-x^2+ax+b\)。若方程式\(f(x)=0\)在閉區間\([-2-1],[-1,1],[1,2]\)的範圍內各有一實根,求\(\displaystyle \int_{0}^{1}f(x) dx\)的最大最小值

這一題有算出答案 但不確定是否誤打誤撞得到正確答案 還請先進們指教

設\(\alpha \in[-2-1] ,\beta \in [-1,1] , \gamma \in [1,2]\)

因為三根和為1,所以\(1 \leq \gamma=1-\alpha - \beta \leq 2   \rightarrow  -1\leq \alpha+ \beta \leq 0 \)
配合\(-2 \leq \alpha \leq -1, -1\leq \beta \leq 1\),可以劃出其可行解範圍為一個頂點為\((-1,1),(-2,1),(-1,0)\)的三角形

因為所求並非平方相加,分式這種需要由圖形判斷的東西
可以直接由頂點法得到所求
若\((\alpha,\beta,\gamma)=(-1,1,1)\) , \(a=-1,b=1\)
若\((\alpha,\beta,\gamma)=(-2,1,2)\) , \(a=-4,b=4\)
若\((\alpha,\beta,\gamma)=(-1,0,2)\) , \(a=-2,b=0\)

分別代入所求\(\displaystyle \frac{1}{2}a+b-\frac{1}{12}\)
若\(a=-1,b=1\),所求為\(\displaystyle \frac{5}{12}\)
若\(a=-4,b=4\),所求為\(\displaystyle\frac{23}{12}\)  
若\(a=-2,b=0\),所求為\(\displaystyle\frac{-13}{12}\)

可得最大值為\(\displaystyle\frac{23}{12}\)  ,最小值為\(\displaystyle\frac{-13}{12}\)
作者: thepiano    時間: 2021-3-22 13:41     標題: 回復 32# satsuki931000 的帖子

a/2 + b 用 α、β 來表示,並非線性的
所以這樣做,答案會對,應該只是湊巧
作者: satsuki931000    時間: 2021-3-23 08:09     標題: 回復 33# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師的指教




歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/) 論壇程式使用 Discuz! 6.1.0