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標題: 101竹北高中 [打印本頁]

作者: shingjay176 時間: 2012-5-30 23:10 標題: 101竹北高中

填充題
有三條平行線，第一條和第二條距離為d1,第二條跟第三條距離為d2,三條平行線上各取一點，則正三角形的邊長為何？？

填充題
題目的意思是  一個正立方體，8個頂點，12邊的中點，六個面的中心點。與正立方體的正中心點。這些點總共可以決定幾條相異的直線。

填充題
一個長軸為12的橢圓，F為其中一個焦點，則PQ為通過F的焦弦,PF=5,FQ=3  ,則請問正焦弦長為

填充題
有一個三角形AB=3,AC=4,BC=5,請問當從A點出發，往BC直線上打出一道光線，不打在兩端點上，則反射兩次後，回到B點。請問走過的路徑長？？

填充題考了一題今年中科實中，填充題第11題，只是數據有改過。

填充題第一題，是這樣的題目
(x-4)^2+(y-3)^2+(z-7)^2=16,球上一動點P,另外有一個圓(x)^2+y^2=1(這個不知道有沒有記錯,有在火車上聽到有人討論,說半徑是2)（希望不是自己眼瞎看錯，不然八分又沒了)且z=1....在圓上一動點 Q,請問PQ的範圍??

填充題第七題
有一點P,沿著X軸的方向，推移Y座標的K倍。請問推移矩陣為何？？
(第二小題的題目數據有點忘記了)....這一題簡直送分勒。火車上一堆人討論，第二題的答案是(1,1)  希望不要有人0分吧

計算題1.    degf(x)=2011,的f(k)=(-1)/k ,對於所有的k=1,2,3,....,2011 則f(2012)=?(這一題考古題，去年基隆高中有考，今年文華高中也有考，好在有定正文華考卷。今晚一拿到題目，先寫這一題，穩定心情）
計算題2.  一個直圓錐內放置一個半徑為1的球，請求出直圓錐的最小體積為何？？

101.6.1版主補充
原本考題為圖檔，我花了一些時間將題目重新打字，請下載附件

附件: 101竹北高中.rar (2012-6-1 17:34, 296.26 KB) / 該附件被下載次數 14528
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1169&k=da36cfab8414869d03554fe2d68e1318&t=1732250392

作者: Ellipse 時間: 2012-5-30 23:18

引用:

原帖由 shingjay176 於 2012-5-30 11:10 PM 發表
填充題
有三條平行線，第一條和第二條距離為d1,第二條跟第三條距離為d2,三條平行線上各取一點，則正三角形的邊長為何？？

填充題
題目的意思是  一個正立方體，8個頂點，12邊的中點，六個面的中心點。與正立方體的正中心點 ...

印象中,第一題有人拿這做過科展~
計算一&二都是考古題了

作者: shingjay176 時間: 2012-5-30 23:20

引用:

原帖由 Ellipse 於 2012-5-30 11:18 PM 發表

印象中,第一題有人拿這做過科展~

今天這份題目不難勒。橢圓正焦弦長，後來想到了。圖形畫出來，用餘弦定理。在火車上才想出來。

作者: Ellipse 時間: 2012-5-30 23:31

引用:

原帖由 shingjay176 於 2012-5-30 11:20 PM 發表

今天這份題目不難勒。橢圓正焦弦長，後來想到了。圖形畫出來，用餘弦定理。在火車上才想出來。

沒關係啦~您會越考越進步,加油!

(這題答案為15/2)

作者: shingjay176 時間: 2012-5-30 23:35

引用:

原帖由 Ellipse 於 2012-5-30 11:31 PM 發表

沒關係啦~您會越考越進步,加油!

(這題答案為15/2)

感謝囉。大家一起討論，真的進步幅度很大。

作者: shingjay176 時間: 2012-5-30 23:44

引用:

原帖由 shingjay176 於 2012-5-30 11:10 PM 發表
填充題
有三條平行線，第一條和第二條距離為d1,第二條跟第三條距離為d2,三條平行線上各取一點，則正三角形的邊長為何？？

填充題
題目的意思是  一個正立方體，8個頂點，12邊的中點，六個面的中心點。與正立方體的正中心點 ...

正立方體那題，我是這樣思考。總共有27個點.所以\(C^{27}_2\),總共可以決定這麼多條相異直線。
但是三點共線的情形共有,每個面共有八條，一共有十二的面。所以\(8\times 12=96\)
C(27,2)-C(3,2)x96+96=

作者: Ellipse 時間: 2012-5-30 23:59

有一個三角形AB=3,AC=4,BC=5,請問當從A點出發，往BC直線上打出一道光線，不打在兩端點上，則反射兩次後，回到B點。請問走過的路徑長？？

先坐標化
令A(0,0),B(0,3),C(4,0)
假設A'與A是以BC為對稱軸,互相對稱
B'與B是以AC為對稱軸,互相對稱
所求路徑=A'B'

作者: agan325 時間: 2012-5-31 00:05

填充題第一題，是這樣的題目
(x-4)^2+(y-3)^2+(z-7)^2=16,球上一動點P,另外有一個圓(x)^2+y^2=1(這個不知道有沒有記錯,有在火車上聽到有人討論,說半徑是2)（希望不是自己眼瞎看錯，不然八分又沒了)且z=1....在圓上一動點 Q,請問PQ的範圍??

他的題目是 x^2+y^2=4.....

作者: Ellipse 時間: 2012-5-31 00:40

引用:

原帖由 shingjay176 於 2012-5-30 11:44 PM 發表

正立方體那題，我是這樣思考。總共有27個點.所以C(27,2),總共可以決定這麼多條相異直線。
但是三點共線的情形共有,每個面共有八條，一共有十二的面。所以8x12=96
C(27,2)-C(3,2)x96+96= ...

您這樣算共用邊都重複算
沒扣那麼多啦~

您看到題目的意思是說每一條直線都要通過中心點嗎?
還是任兩點的連線?

作者: shingjay176 時間: 2012-5-31 06:28

引用:

原帖由 Ellipse 於 2012-5-31 12:40 AM 發表

您這樣算共用邊都重複算
沒扣那麼多啦~

您看到題目的意思是說每一條直線都要通過中心點嗎?
還是任兩點的連線?

題目的全部內容可能忘記了勒～只有記得題目的大概，不知道關鍵字有沒有漏掉～只說這些點可以決定幾條相異的直線～～我當下有把立方體的圖形畫出來～～
一堆點，滿滿的點。所以想說從圖可能看不出個所以然～～我就當下只有這樣思考了～～也沒有多餘的時間去想，我這樣的作法嚴謹性，會不會多扣或少扣，想說就從反面做看看～～

作者: shingjay176 時間: 2012-5-31 06:30

引用:

原帖由 Ellipse 於 2012-5-31 12:40 AM 發表

您這樣算共用邊都重複算
沒扣那麼多啦~

您看到題目的意思是說每一條直線都要通過中心點嗎?
還是任兩點的連線?

我懂意思了，應該我算錯了，扣掉太多，共用邊的部分，重覆扣除了

作者: Ellipse 時間: 2012-5-31 09:34

引用:

原帖由 shingjay176 於 2012-5-31 06:30 AM 發表

我懂意思了，應該我算錯了，扣掉太多，共用邊的部分，重覆扣除了

假設正方體的中心為O,每個面的中心為A,B,C,D,E,F
先算C(27,2)
只有通過上述的中心點,直線才會重複算到
以下分兩種情況討論重複情形
(1)直線通過O點:
其它點有26個,這樣的直線有26/2=13條
(2)直線在正方體的面上:
通過每面的中心如A(或B或C或D或E或F)
的直線共有4*6=24(米字型)
再加上正方體有12個邊
所有共有24+12=36條

由(1)&(2)的重複的直線共有13+36=49條要扣~

所求=C(27,2)-49*C(3,2)+49=351-108+49=253

上述有漏掉的地方請指正

作者: shingjay176 時間: 2012-5-31 09:48

引用:

原帖由 Ellipse 於 2012-5-31 09:34 AM 發表

假設正方體的中心為O,每個面的中心為A,B,C,D,E,F
先算C(27,2)
只有通過上述的中心點,直線才會重複算到
以下分兩種情況討論重複情形
(1)直線通過O點:
其它點有26個,這樣的直線有26/2=13條
(2)直線在正方體的面上:
通 ...

剛剛自己又在畫了一下圖，才發現自己考場扣掉太多了。
考場上有想法了，真的需要嚴謹點，不然時間花下去，想法也對，分數沒拿到，超嘔的

作者: redik 時間: 2012-6-2 16:02

想要請教一題

填充4，三角形ABC三邊長 AB=3，AC=4，BC=5，一質點由A出發，射向BC上一點(不包含端點)

若此質點接過兩次反射時到達B點，則A點經過的路徑長為?

一開始我先設座標系，A(0,0)，B(3,0)，C(0,4)，假設A反射至AC邊上的點為(0,t)

然後用反射回推方程式，可是算起來很不好算，不知道有沒有比較好的想法...

作者: weiye 時間: 2012-6-2 18:30 標題: 回復 14# redik 的帖子

填充第 4 題：

將 \(A\) 對稱 \(\overline{BC}\) 得 \(A'\)；將 \(B\) 對稱 \(\overline{AC}\) 得 \(B'\)，則 \(\overline{A'B'}\) 長度即為所求。

ps. 可以坐標化，也可以找出 \(\overline{AA'}\) 與 \(\overline{AB'}\) 線段長與 \(\angle A'AB'\) 的餘弦值，

　　然後用餘弦定理求得 \(\overline{A'B'}\) 的長度。

作者: agan325 時間: 2012-6-5 20:53 標題: 想要請教填充3和填充5

有關於填充5....好像有看過相關科展和考古題
但是一時資料太多，找不到！
能否請教相關考古題和填充5的做法！多謝！

作者: weiye 時間: 2012-6-5 23:47 標題: 回復 16# agan325 的帖子

填充第 5 題相關題目與資料～

利用本站右上角的 Google 自訂搜尋框～

搜尋「三條平行線　正三角形」就可以找到了～：）

https://math.pro/db/thread-890-1-1.html

填充第 5 題：

　　　

如上圖，設 \(\overline{BD}=d_1, \overline{CF}=d_2\)（不失一般性，假設 \(d_1\geq d_2\)）

設正三角形 \(\triangle ABC\) 的邊長為 \(x\)，

則由畢氏定理，可得

\(\overline{AD}=\sqrt{x^2-d_1^2}, \overline{AF}=\sqrt{x^2-d_2^2}, \overline{DF}=\sqrt{x^2-\left(d_1+d_2\right)^2}\)

因為 \(\overline{AD}+\overline{DF}=\overline{AF}\)

所以 \(\sqrt{x^2-d_1^2}+\sqrt{x^2-\left(d_1+d_2\right)^2}=\sqrt{x^2-d_2^2}\)

移項平方化簡（做兩次），即可得 \(\displaystyle x^2=\frac{4}{3}\left(d_1^2+d_1d_2+d_2^2\right)\)

\(\displaystyle\Rightarrow x=\frac{2\sqrt{d_1^2+d_1d_2+d_2^2}}{\sqrt{3}}\)

圖片附件: xx.png (2012-6-6 13:23, 7.17 KB) / 該附件被下載次數 8755
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1199&k=70cfce500fb6d354c47f15ff64beb30b&t=1732250392

作者: weiye 時間: 2012-6-6 00:07 標題: 回復 16# agan325 的帖子

填充第 3 題：

令 \(f(x)=x^3-3x^2+2x-1\)，則

\(f\,'(x)=3x^2-6x+2\)

設切點為 \((x_0,y_0)\)

則 \(\displaystyle 3x_0^2-6x_0+2=\frac{y_0-a}{x_0-0}\) 且 \(y_0=x_0^3-3x_0^2+2x_0-1\)

\(\Rightarrow y_0=3x_0^3-6x_0^2+2x_0+a\) 且 \(y_0=x_0^3-3x_0^2+2x_0-1\)

\(\Rightarrow 3x_0^3-6x_0^2+2x_0+a=x_0^3-3x_0^2+2x_0-1\)

\(\Rightarrow 2x_0^3-3x_0^2+a+1=0\)

令 \(g(x)=2x^3-3x^2+a+1\)

因為過 \(P\) 往 \(y=f(x)\) 做切線時，恰有三條相異的切線，即有三個相異的切點，

所以 \(g(x)=0\) 恰有三相異實根，

\(g\,'(x)=6x^2-6x\)

\(g\,'(x)=0\Rightarrow x=0\) 或 \(x=1\)

因為 \(g(x)=0\) 恰有三相異實根，所以 \(g(0)g(1)<0\Leftrightarrow -1<a<0\)

類題：

101中科實中填充第 3 題：https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1318&page=5#pid5091

99台中二中填充第 5 題： https://math.pro/db/thread-934-1-1.html

作者: redik 時間: 2012-6-6 12:21

引用:

原帖由 weiye 於 2012-6-2 06:30 PM 發表
填充第 4 題：

將 \(A\) 對稱 \(\overline{BC}\) 得 \(A'\)；將 \(B\) 對稱 \(\overline{AC}\) 得 \(B'\)，則 \(\overline{A'B'}\) 長度即為所求。

ps. 可以坐標化，也可以找出 \(\overline{AA'}\) 與 \(\overline{AB'}\) ...

感謝瑋岳老師

總覺得這種反射題目都用對稱找答案，但是往往考試時都沒想到 orz

作者: agan325 時間: 2012-6-6 13:57 標題: 回復 18# weiye 的帖子

多謝偉岳老師
讓我豁然開朗....尤其是第五題，自己玩了好久
都好想要哭泣阿.....

作者: shingjay176 時間: 2012-6-6 13:57

引用:

原帖由 weiye 於 2012-6-5 11:47 PM 發表
填充第 5 題相關題目與資料～

利用本站右上角的 Google 自訂搜尋框～

搜尋「三條平行線　正三角形」就可以找到了～：）

https://math.pro/db/thread-890-1-1.html

填充第 5 題：

如上圖，設 \(\overline{BD}=\) ...

分享我考場中，想到的方法。

圖片附件: [右上角那個是我別題的計算，不用理它] IMAG0097-1.jpg (2012-6-6 13:57, 24.99 KB) / 該附件被下載次數 7969
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1202&k=3a3f485deb82b25b8579cd03608cbef4&t=1732250392

作者: peter579 時間: 2012-6-8 11:00

填充題
一個長軸為12的橢圓，F為其中一個焦點，則PQ為通過F的焦弦,PF=5,FQ=3 ,則請問正焦弦長為

這一題有沒有題示一下方向，要用到光學性質嗎，謝謝

PF+PF'=12
PF'=7
QF+QF'=12
QF'=9

PO是中線，QO也是中線，但接下來，就不知如何寫了。

作者: tsusy 時間: 2012-6-8 13:47 標題: 回復 22# peter579 的帖子

填充 6. 接續你的作法

\( \angle F'FP + \angle F'FQ = 180^\circ \), 所以其餘弦和為 \( 0 \)

\(\displaystyle \frac{4c^{2}+25-49}{20c}+\frac{4c^{2}+9-81}{12c}=0 \), 解得 \(\displaystyle c^2 = \frac{27}{2} \)

因此正焦弦長 \(\displaystyle =\frac{2b^{2}}{a}=\frac{2}{6}\cdot(36-\frac{27}{2})=\frac{15}{2} \)

另解. 考慮 F 兩邊的準線 L, 離心率 \(\displaystyle e = \frac{a}{c} \)

則有 \(\displaystyle d(F,L)=\frac{2}{\frac{1}{d(P,L)}+\frac{1}{d(Q,L)}} \) 和 \( d(P,L) = 3e,\, d(Q,L)=5e,\, d(F,L)=ea-c \)

將上行以 \( a=6 \) 和 \( c \) 代入得方程式 \(\displaystyle \frac{36}{c}-c=\frac{6}{c}\cdot\frac{30}{8} \)

解得 \(\displaystyle c^2 = \frac{27}{2} \)

註：調和平均之性質可見於 100 中壢高中二招 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1170&page=1#pid3902

作者: peter579 時間: 2012-6-8 21:41

謝謝，方寸老師，參考link，發現有不少，對橢圓還要學習的。

不過，這一題用方法一比較好用。填充4可否點一下。

有點想不出來。謝謝

作者: weiye 時間: 2012-6-8 22:05 標題: 回復 24# peter579 的帖子

填充第 4 題在本討論串已經解過了。

填充第 4 題 → https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1381&page=2#pid6001

作者: march2001kimo 時間: 2012-6-10 01:38

文件1.pdf (471.81 KB)

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-6-8 01:47 PM 發表
填充 6. 接續你的作法

\( \angle F'FP + \angle F'FQ = 180^\circ \), 所以其餘弦和為 \( 0 \)

\( \frac{4c^{2}+25-49}{20c}+\frac{4c^{2}+9-81}{12c}=0 \), 解得 \( c^2 = \frac{27}{2} \)

因此正焦弦長 ...

想到一個作法

附件: 文件1.pdf (2012-6-10 01:38, 471.81 KB) / 該附件被下載次數 10511
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1218&k=6e6dbfdcd0d61f51a15d6a479b0f4cfc&t=1732250392

作者: WAYNE10000 時間: 2012-6-10 09:39 標題: 請教一下第1題

不知道如何破題
謝謝賜教
感恩

作者: natureling 時間: 2012-11-16 22:28

@@..可以細問一下第4題...為何是A'B"的距離嗎??...轉不過來>"<

引用:

原帖由 weiye 於 2012-6-2 06:30 PM 發表
填充第 4 題：

將 \(A\) 對稱 \(\overline{BC}\) 得 \(A'\)；將 \(B\) 對稱 \(\overline{AC}\) 得 \(B'\)，則 \(\overline{A'B'}\) 長度即為所求。

ps. 可以坐標化，也可以找出 \(\overline{AA'}\) 與 \(\overline{AB'}\) ...

作者: weiye 時間: 2012-11-16 22:41

引用:

原帖由 natureling 於 2012-11-16 10:28 PM 發表
@@..可以細問一下第4題...為何是A'B"的距離嗎??...轉不過來>"<

設質點由 \(A\) 射出後，打到 \(\overline{BC}\) 上的點 \(P\)，

經反射後又打到 \(\overline{AC}\) 上的點 \(Q\)，經反射後～回到 \(B\) 點。

則 \(\overline{AP}+\overline{PQ}+\overline{QB}=\overline{A'P}+\overline{PQ}+\overline{QB'}\geq\overline{A'B'}\)

（Think: 由 \(A'\) 到 \(B'\) ，此兩點之間的最短距離為 \(\overline{A'B'}。\)）

作者: weiye 時間: 2012-11-16 22:56 標題: 回復 27# WAYNE10000 的帖子

填充第 1 題，可以參考

101 大安高工第 3 題： https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1468&page=2#pid7159

100香山高中第 12 題： https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1186&page=4#pid4692

或是參考《空間中球與圓的最短距離》 https://math.pro/db/thread-665-1-1.html

作者: cefepime 時間: 2016-9-16 00:19

填充題 5. 平面上由上而下依序劃三條相異的平行線 L₁，L₂，L₃，其中 L₁ 與 L₂，L₂ 與 L₃ 的距離分別為 d₁，d₂。若在三條直線上各取一點，使它們構成一個正三角形，則此正三角形的邊長為何?

想法: 這題的尺規作圖法為: 將 L₁ 繞 L₂ 的某點 A 旋轉 60° 後，與 L₃ 交於 C，則 AC 為該正三角形的一邊。由此可構思出一個求邊長之法。

圖形請參考

h ttp://imgur.com/a/BzSRh

如圖，L₂ 上一點 A 在 L₁，L₃ 的垂足分別為 D, E。將 D 與 L₁ 繞 A 旋轉 60° (則 D → D'，L₁ → L₁')， L₁' 與 L₃ 交於 C。則 AC = x 即為所求。

因 A, D', C, E 共圓，故 x = D'E/sin120° = 2√ [(d₁² + d₂² + d₁d₂)/3] (配合 △AD'E 中的餘弦定理)

本題另一個代數作法: 由聯立方程 x*cosθ = d₁ 與 x*cos(120°- θ) = d₂，解出 x 即可。

圖片附件: 101竹北高中.png (2016-9-16 07:52, 5.59 KB) / 該附件被下載次數 6450
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3626&k=1f227d19ea6039fa110a06f6d8feec1e&t=1732250392

作者: satsuki931000 時間: 2021-3-21 19:41

\(a,b\in \mathbb{R}\),\(f(x)=x^3-x^2+ax+b\)。若方程式\(f(x)=0\)在閉區間\([-2-1],[-1,1],[1,2]\)的範圍內各有一實根，求\(\displaystyle \int_{0}^{1}f(x) dx\)的最大最小值

這一題有算出答案但不確定是否誤打誤撞得到正確答案還請先進們指教

設\(\alpha \in[-2-1] ,\beta \in [-1,1] , \gamma \in [1,2]\)

因為三根和為1，所以\(1 \leq \gamma=1-\alpha - \beta \leq 2 \rightarrow  -1\leq \alpha+ \beta \leq 0 \)
配合\(-2 \leq \alpha \leq -1, -1\leq \beta \leq 1\),可以劃出其可行解範圍為一個頂點為\((-1,1),(-2,1),(-1,0)\)的三角形

因為所求並非平方相加,分式這種需要由圖形判斷的東西
可以直接由頂點法得到所求
若\((\alpha,\beta,\gamma)=(-1,1,1)\) , \(a=-1,b=1\)
若\((\alpha,\beta,\gamma)=(-2,1,2)\) , \(a=-4,b=4\)
若\((\alpha,\beta,\gamma)=(-1,0,2)\) , \(a=-2,b=0\)

分別代入所求\(\displaystyle \frac{1}{2}a+b-\frac{1}{12}\)
若\(a=-1,b=1\),所求為\(\displaystyle \frac{5}{12}\)
若\(a=-4,b=4\),所求為\(\displaystyle\frac{23}{12}\)
若\(a=-2,b=0\),所求為\(\displaystyle\frac{-13}{12}\)

可得最大值為\(\displaystyle\frac{23}{12}\)  ，最小值為\(\displaystyle\frac{-13}{12}\)

作者: thepiano 時間: 2021-3-22 13:41 標題: 回復 32# satsuki931000 的帖子

a/2 + b 用 α、β 來表示，並非線性的
所以這樣做，答案會對，應該只是湊巧

作者: satsuki931000 時間: 2021-3-23 08:09 標題: 回復 33# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師的指教

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