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標題: 101文華高中（含計算題） [打印本頁]

作者: t3712 時間: 2012-4-28 19:27 標題: 101文華高中（含計算題）

請各位老師指教XD

101.4.30版主補充
以下資料供以後考生參考：

初試最低錄取分數 50分
取12名參加複試，錄取2名
66,64,60,56,55,55,55,53,52,51,50,50

其他，
40~49分 25人
30~39分 62人
20~29分 148人
10~19分 160人
0~9分 32人
缺考 20人

共計 459 人

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=1012&k=cef6dbb05a4166bd5f05e54f715808b5&t=1732256579

附件: 101文華高中.rar (2012-4-29 20:05, 286.65 KB) / 該附件被下載次數 23285
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1023&k=1c9328caa3f2eeca4065a58b888ad756&t=1732256579

作者: weiye 時間: 2012-4-28 19:38 標題: 回復 1# t3712 的帖子

2.

反例：\(\displaystyle f(x)=x^3+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2} x+1\) ，

　　　\(a_3=1, f(1)=3,f(0)=1\) 皆為奇數，

　　　且 \(f(x)=0\) 有有理根 \(x=-1.\)

作者: t3712 時間: 2012-4-28 19:41 標題: 回復 2# weiye 的帖子

題目可能有其他條件限制(整數系數？)，我忘記了。不好意思XD

作者: tsusy 時間: 2012-4-28 20:56 標題: 回復 3# t3712 的帖子

是整數係，不過很遺憾的，我漏看的 \( a_n \) 也是奇數的條件

在響鈴後，才看到...天丫 6 分飛了

還有，計算第一題，題目有點小瑕疪，應該要加上 \( a,b,c,d \in R \)

不然取 \( a = d = \omega \), \( b=c=0\), \( \omega \) 為 \( x^3=1 \) 之虛根

那就會是反例，還有 \( A^3 =I_2 \) ，下標不小心打錯了

作者: t3712 時間: 2012-4-28 21:24

感謝老師補充，題目修正如下。

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=1013&k=f554fcb435738e4f2c0cba0946bfae5c&t=1732256579

作者: tacokao 時間: 2012-4-28 23:07 標題: 計算第1題

才疏學淺，不知解法是否有誤，請各位多多指教

附件: 1.pdf (2012-4-28 23:07, 83.2 KB) / 該附件被下載次數 21451
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1014&k=b6ee04ca7ee7455ad85dd37ffda8a0ec&t=1732256579

作者: lianger 時間: 2012-4-28 23:34 標題: 回復 6# tacokao 的帖子

AB=0，若A不等於O ，好像不能推導出B=O。

作者: Ellipse 時間: 2012-4-28 23:39

引用:

原帖由 tacokao 於 2012-4-28 11:07 PM 發表
才疏學淺，不知解法是否有誤，請各位多多指教

題目說
A=[a b ] 不等於 I_2 ----------(*1)
[c    d ]
好像以為a≠1 ,b≠0 ,c≠0,d≠1----------------(*2)
可是[ 2    0 ]的矩陣也是不等於I_2----------(*3)
      [ 0    2 ]
但是c=0 呀

那如果c=0,那證明就有問題了

作者: tsusy 時間: 2012-4-28 23:55 標題: 回復 8# Ellipse 的帖子

我認為那不是誤會，應該說題目的本意就不是(*2)

因為實際上，只要 a,b,c,d 是實數，該命題，便成立

證明的話可以從最小多項式著手，去說明最小多項式不會是 1 次以下

再利用 \( A^3 =I \) 的條件，構造最小多項式。

但由於構造出來是一個二次多項式，

而由 Cayley-Hamilton 定理特徵多項式為 0 多項式，

二者次數階 2，因此特徵即最小多項式，

直接從定義計算 \( A \) 的特徵多項式，再比較係數，即得證。

以上，用了一些大學線性代數的內容，不過應該也算超出範圍

作者: lianger 時間: 2012-4-29 00:18 標題: 回復 1# t3712 的帖子

底下這樣證不知道有沒有問題，不過我在考試的時候沒有討論到b=0,c=0不合的情形。

圖片附件: 計算1解答.png (2012-4-29 00:28, 28.77 KB) / 該附件被下載次數 18216
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1015&k=3844517cb1baaa9643f9ad9f438e80fb&t=1732256579

作者: arend 時間: 2012-4-29 01:38

第二題
請問如何證明

我剛想了一下
我的初淺想法是

a_n a_0 與f(1)都是奇數

若px+q為f(x) 的因式 (p,q)=1

p|a_n , q|a_0 , 所以p , q都是奇數 ,p+q必為偶數

又因px+q|f(x) 當x=1, p+q|f(1) 不合

因為f(1)為奇數

若有疏漏或邏輯缺失
請版上高手能不吝指教

謝謝

作者: shingjay176 時間: 2012-4-29 09:41

我昨天去考，第二部分的填充題。

我記得第二部分的填充題，有一題是高斯函數，\(\displaystyle\Large\sum_{k=1}^{40}\left[10^{\frac{k}{40}}\right]=?\)

102.10.12補充
這裡有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9317

作者: shingjay176 時間: 2012-4-29 09:45

第二部分，填充題最後一題，下方的圖形。固定不動，不能旋轉。有五種顏色，可以重覆塗。但相鄰不能同色。有幾種塗法

圖片附件: 圖形2.jpg (2012-4-29 09:47, 18.04 KB) / 該附件被下載次數 10744
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1018&k=d4636105d69ee2bf31c6c68339ecc628&t=1732256579

作者: shingjay176 時間: 2012-4-29 09:48

剛剛看了一下1111教職網公布的資料。昨天文華兩個數學缺，四百多人考。競爭真的是激烈。大家加油了

作者: weiye 時間: 2012-4-29 10:02 標題: 回復 13# shingjay176 的帖子

下方的圖形。固定不動，不能旋轉。有五種顏色，可以重覆塗。但相鄰不能同色。有幾種塗法

解答：

先塗 A 區域，有 \(5\) 種塗法，

再塗 BCDEFG 區域，有 \(3\cdot(-1)^6+3^6\) 種塗法，
（註：這裡套用：一個圓被半徑分割成n等份用k種顏色來塗,每一區域塗一色,相鄰異色,顏色可以重複,不一定k種顏色全用,求證塗法為(k-1)(-1)^n+(k-1)^n　
　請見：https://math.pro/db/thread-499-1-1.html ）

最後塗 HIJ 區域，有 \(3^3\) 種塗法。

所以，所求為 \(5\cdot\left(3\cdot\left(-1\right)^6+3^6\right)\cdot3^3=98820\)

圖片附件: 圖形2.jpg (2012-4-29 10:02, 31.39 KB) / 該附件被下載次數 13641
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1019&k=c2e56727d4fdf807c84df105ec3d41de&t=1732256579

作者: poemghost 時間: 2012-4-29 17:32

引用:

原帖由 shingjay176 於 2012-4-29 09:41 AM 發表
我昨天去考，第二部分的填充題。

用LOG討論一下就可以了

作者: poemghost 時間: 2012-4-29 17:35

引用:

原帖由 weiye 於 2012-4-29 10:02 AM 發表
下方的圖形。固定不動，不能旋轉。有五種顏色，可以重覆塗。但相鄰不能同色。有幾種塗法

1019

解答：

先塗 A 區域，有 \(5\) 種塗法，

再塗 BCDEFG 區域，有 \(3\cdot(-1)^6+3^6\) 種塗法，
（註：這裡套用：一個圓被半徑分割成n等份 ...

這題如果不用已知的那個扇形結論的話，

應該只需討論三個同色異色而已 (如F,D,B)

之前有遇過類似的題目，我是這樣討論的

作者: poemghost 時間: 2012-4-29 17:49

計算1：
和lianger老師相同方法
基本上還是要用到一點線性代數的方法會比較方便
但我是另外驗證a,b,c,d皆不可能是0
所以過程比lianger老師複雜一點點

計算2：
只要用一次因式檢驗法的概念和奇偶數分析就可以瞬間證畢 ^^!!

作者: 老王 時間: 2012-4-29 20:04

第三題
\(\displaystyle p^2+5pq+q^2=7^{101} \)

對\( p \)而言是二次方程式，判別式為
\(\displaystyle 25q^2-4(q^2-7^{101})=21q^2+4 \times 7^{101}=7(3q^2+4 \times 7^{100}) \)

若\( p \)為整數，那麼判別式必須是完全平方數，因此知道
\(\displaystyle 3q^2+4 \times 7^{100} \)要是7的倍數
也就可以推出\( q \)為7的倍數
那麼\( p \)就是7的倍數
假設\( p=7p_1,q=7q_2 \)
於是得到
\(\displaystyle p_1^2+5p_1q_1+q_1^2=7^{99} \)

重覆這些步驟最後得到
\(\displaystyle P^2+5PQ+Q^2=7 \)

顯然有\( P=Q=1 \)
所以
\(\displaystyle p=q=7^{50} \)

作者: arend 時間: 2012-4-29 20:43

引用:

原帖由 weiye 於 2012-4-29 10:02 AM 發表
下方的圖形。固定不動，不能旋轉。有五種顏色，可以重覆塗。但相鄰不能同色。有幾種塗法

1019

解答：

先塗 A 區域，有 \(5\) 種塗法，

再塗 BCDEFG 區域，有 \(3\cdot(-1)^6+3^6\) 種塗法，
（註：這裡套用：一個圓被半徑分割成n等份 ...

請教老師一下

若不代公式
直接以(BF同色,BF不同色)來做
4x3x3x3x1x3+4x3x3x3x2x2

結果會不一樣
請問這錯在哪裡(這問題困擾我很久)
我是以原始的遞廻來看,用 a_1與a_n-1同色與不同色,

謝謝

作者: shingjay176 時間: 2012-4-29 21:27 標題: 101 文華高中

題目剛剛公布了，還有參考答案。還有公布的成績

作者: weiye 時間: 2012-4-29 21:28 標題: 回復 21# shingjay176 的帖子

其實在首篇的ＰＯ文，bugmens 已經幫它加入最新公告的題目與答案了！：Ｐ

作者: weiye 時間: 2012-4-29 22:11 標題: 回復 20# arend 的帖子

poemghost 有講，要討論 DEF這三者～分成三同、兩同一異、三異

其實如果是我實戰的話，應該也不會記住那個公式（擔心記錯），

而會用 \(4\cdot3^5-4\cdot 3^4+4\cdot 3^3-4\cdot 3^2+4\cdot 3\)

：Ｐ

作者: mandy 時間: 2012-4-30 21:08

引用:

原帖由 weiye 於 2012-4-29 10:11 PM 發表
poemghost 有講，要討論 DEF這三者～分成三同、兩同一異、三異

其實如果是我實戰的話，應該也不會記住那個公式（擔心記錯），

而會用 \(4\cdot3^5-4\cdot 3^4+4\cdot 3^3-4\cdot 3^2+4\cdot 3\)

：Ｐ ...

請問老師 4x3^5-4x3^4+4x3^3-.....式子如何解釋?

作者: mandy 時間: 2012-4-30 22:08

請問填充3,4, 6,8,11,13,15 ?

作者: iamcfg 時間: 2012-4-30 22:53 標題: 回復 25# mandy 的帖子

填充4
設\(n\)為一個101位數的正整數，且能被9整除。令\(n\)的所有位數之和為\(a\)，\(a\)的所有位數之和為\(b\)，則\(b\)的所有可能值之和為　　　。
[解答]
我把它倒過來想
如果b=27  則 a最小為999
a要是999  則本來的數至少要連續111個9
但是題目說他是101位正整數  所以不可能
因此b最大就是18
9+18=27

作者: iamcfg 時間: 2012-4-30 22:58 標題: 回復 26# iamcfg 的帖子

填充6
一個實係數三次多項式函數通過\((101,2012)\)、\((99,2008)\)、\((102,2005)\)、\((103,2016)\)四點，求此函數的切線中，斜率最小的切線所在的直線方程式為　　　。
[解答]
我先把 x-100 ,y-2000 比較好算
直接假設\( f(x)= a (x +1) (x-1) (x-2) +b (x +1) (x-1) + c (x +1) +8 \)
然後直接微分求最小值在變數變換回去

作者: iamcfg 時間: 2012-4-30 23:04 標題: 回復 25# mandy 的帖子

填充8
\(\Delta ABC\)中，\(A(2,-4)\)，若\(\angle B\)、\(\angle C\)之角平分線分別為\(L_1\)：\(x+y-2=0\)及\(L_2\)：\(x-3y-6=0\)，則\(\overline{BC}\)之方程式為　　　。
[提示]
\(A\)點對兩條直線做對稱點
此兩點連線就是\(BC\)直線

\(\Delta ABC\)中，\(A\)坐標為\((-2,5)\)，\(\angle B\)與\(\angle C\)的內角平分線方程式分別為\(L\)：\(2x-3y+4=0\)與\(M\)：\(x+2y+2=0\)，則\(C\)點的坐標為　　　。
(107台中女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2950&page=1#pid18447)

112.6.5
\(\Delta ABC\)中，\(A(4,-1)\)，\(\angle B,\angle C\)內角平分線方程式分別為\(2x-y+1=0\)、\(x-1=0\)，則直線\(BC\)的方程式為　　　。
(112關西高中，https://math.pro/db/thread-3749-1-1.html)

作者: tsusy 時間: 2012-4-30 23:05

想請教填充 14 15 題，從考完試到現在，還沒解決這兩題

15 題，個人猜測是圓內接四邊形的時候，內切圓有最大面積

但一整個不知道怎麼證，三角硬暴？好像不太實際，像一條不歸路

作者: weiye 時間: 2012-4-30 23:18

引用:

原帖由 mandy 於 2012-4-30 09:08 PM 發表
請問老師 4x3^5-4x3^4+4x3^3-.....式子如何解釋?

我只是取跟101證明裡面的中間步驟（對我比較好記）。

另外，第15題跟2011AMC12的第24題是一樣的題目。：Ｐ

作者: tsusy 時間: 2012-4-30 23:32 標題: 回復 30# weiye 的帖子

15.
四邊形\(ABCD\)，\(\overline{AB}=14\)、\(\overline{BC}=9\)、\(\overline{CD}=7\)、\(\overline{DA}=12\)，求四邊形\(ABCD\)的所有內切圓中，面積最大者為　　　。
[解答]
剛剛又重試了一下

令 14, 9 的夾角是 \( \alpha, 7,\,12 \) 的夾角是 \( \beta \)，由對角線長和餘弦得

\( 14^{2}+9^{2}-2\cdot14\cdot9\cos\alpha=12^{2}+7^{2}-2\cdot12\cdot7\cos\beta \)

\( B=14\cdot9\cos\alpha-12\cdot7\cos\beta=\frac{14^{2}+9^{2}-12^{2}-7^{2}}{2} \)

\( A=\frac{1}{2}(14\cdot9\sin\alpha+7\cdot12\sin\beta) \)

\( \frac{(2A)^{2}+B^{2}}{2\cdot7\cdot9\cdot12\cdot14}=\sin\alpha\sin\beta-\cos\alpha\cos\beta + c=-\cos(\alpha+\beta) + c \leq1 +c \)

而 \( r = \frac{2A}{7+9+12+14}\)

等號成立條件為，即 \( \alpha+\beta=\pi \), 此時，四邊形為圓內接四邊形。

\( r \) 有最大值，但是否應該檢驗此時內切圓的存在性呢？

作者: hua0127 時間: 2012-5-1 19:52

回復 31# tsusy 的帖子：

請問寸絲老師，是否可以這樣解釋：
因為四個邊不能唯一決定四邊形，故我們可取圓內接四邊形的時候讓等號成立
不知這個想法有無瑕疵？

另外想向版上請教一下填充13題的a7要如何算？是知道要算三三乘積和
但不知如何下手，謝謝

作者: tsusy 時間: 2012-5-1 20:45 標題: 回復 32# hua0127 的帖子

你太客氣，我也只是考場眾生的一員而已。

如你所說，四邊形不唯一，所以可以調整大小，

所以剩下的事，只是說明此時內切圓存在。

注意，題目給的邊是對邊和相等，如果沒這個條件的話，

是不可能剛好切四個邊的 (用頂點到圓兩切線段等長而得)。

而內切圓的存在，但似乎只要凸四邊 + 對邊相等，就會存在切四個邊的內切圓。

想法上，由相鄰兩角做平分線交點找出圓心。

再利用三角不等式、切線段等長、對邊和相等，強迫另兩角的到圓的切線段要連成第四條邊即可。

至於凸，應該是要用到切線邊，是不是切到邊延長的直線。

以上是寸絲的想法，但覺得有點小麻煩，應該有更乾淨俐落的辦法吧?

作者: Ellipse 時間: 2012-5-1 20:54

引用:

原帖由 hua0127 於 2012-5-1 07:52 PM 發表

另外想向版上請教一下填充13題的a7要如何算？是知道要算三三乘積 ...

請看下面連結~

http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2785

作者: mandy 時間: 2012-5-2 01:08

請問填充第3題如何求?

作者: polar31442 時間: 2012-5-2 06:03

填充1.
設兩圖形\(\Gamma\)：\(\displaystyle \frac{(x-1)^2}{n^2}+y^2\le 1\)，\(\Gamma'\)：\(\displaystyle (x+3)^2+\frac{(y+2)^2}{n^2}\le 1\)(其中\(n\ge 10\))，其相交部份的面積為\(a_n\)，則\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=\)　　　。

請問填充第一題，除了用\(n\)趨近無限大，相交圖形接近正方形
是否有其他作法呢?

作者: cplee8tcfsh 時間: 2012-5-2 06:41

15.
四邊形\(ABCD\)，\(\overline{AB}=14\)、\(\overline{BC}=9\)、\(\overline{CD}=7\)、\(\overline{DA}=12\)，求四邊形\(ABCD\)的所有內切圓中，面積最大者為　　　。
[提示]
15題參考資料
數學傳播十七卷三其民82年9月
蔡聰明四邊形的面積

面積 S = \( \sqrt{ (s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - a \cdot b \cdot c \cdot d \cdot cos^2 ( \frac{B+D}{2} ) } \)

最大值出現於 B+D =180度即圓內接四邊形

附件: [四邊形的面積] 17304.pdf (2012-5-2 06:47, 418.94 KB) / 該附件被下載次數 18111
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1034&k=85cbe8f2d855fa215dba7d680a55aa45&t=1732256579

作者: hua0127 時間: 2012-5-2 10:29

注意，題目給的邊是對邊和相等，如果沒這個條件的話，

是不可能剛好切四個邊的

感謝tsusy～對邊和相等這句話直接切入我的盲點
這樣似乎一切合乎情理

另外感謝 Ellipse 兄以及彬爸提供了參考的資料

填充第三題我是這樣考慮如附件

附件: 101 文華高中填充第三題.pdf (2012-5-2 10:29, 42.42 KB) / 該附件被下載次數 15998
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1035&k=4a905e0de81b33b9af0b46e370a3a9f6&t=1732256579

作者: mandy 時間: 2012-5-2 14:41

請問填充第11題.....我用複數極式做, 只求出101個解, 不知103從那來?

謝謝hua0127和以上其他老師!!

作者: cplee8tcfsh 時間: 2012-5-2 15:21

填充14.
空間中，四面體\(A-BCD\)，\(\overline{AB}=\overline{CD}=6\)，\(\overline{AC}=\overline{AD}=\overline{BC}=5\)，\(\overline{BD}=7\)，求四面體\(A-BCD\)的體積為　　　。
[解答]
公式及推導請參閱附件第18,19頁

\( a= \overline{BC} =5 \)
\( b= \overline{CA} =5 \)
\( c= \overline{AB} =6 \)

\( \alpha = \overline{DA} =5  \)
\( \beta = \overline{DB} =7  \)
\( \gamma = \overline{DC} =6  \)

\( \displaystyle V^2= \frac{1}{288}  \Bigg|\; \matrix{ 2 \alpha^2 & \alpha^2 + \beta^2 - c^2 & \alpha^2 +\gamma^2 - b^2 \cr \alpha^2 +\beta^2 - c^2 & 2 \beta^2 & \beta^2 +\gamma^2 - a^2 \cr \alpha^2 +\gamma^2 - b^2 & \beta^2 +\gamma^2 - a^2 & 2 \gamma^2} \Bigg|\;  \)

\( \displaystyle = \frac{1}{288}  \Bigg|\; \matrix{ 2 \cdot 5^2 & 5^2 + 7^2 -6^2 & 5^2 + 6^2 -5^2 \cr 5^2+7^2-6^2 & 2 \cdot 7^2 & 7^2+6^2-5^2 \cr 5^2+6^2-5^2 & 7^2+6^2-5^2 & 2 \cdot 6^2 } \Bigg|\;  \)

\( =\frac{105984}{288} =368 \)

\( V=4 \sqrt{23} \)

附件: [六稜長球四面體體積] 040406.pdf (2012-5-2 15:37, 474.34 KB) / 該附件被下載次數 17002
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1037&k=2f0a0ef545da717d53c5539fcb725adb&t=1732256579

作者: Ellipse 時間: 2012-5-2 20:27

引用:

原帖由 mandy 於 2012-5-2 02:41 PM 發表
請問填充第11題.....我用複數極式做, 只求出101個解, 不知103從那來?

謝謝hua0127和以上其他老師!!

11.
實數\(a,b\)滿足\((a+bi)^{101}=a-bi\)(其中\(i=\sqrt{-1}\))，則數對\((a,b)\)有　　　組解。
[解答]
假設a=cosp ,b=sinp
則cos(101p)+i*sin(101p)=cos(-p)+i*sin(-p)
101p=-p+2kPi (k為整數)
102p=2kPi
p=2kPi/102
則k=0,1,2,.........,101
有102個
再加上a=0,b=0這組
共102+1=103組

作者: 老王 時間: 2012-5-2 20:37

四面體ABCD的體積公式，我覺得這個五階的應該比較好記
\(\displaystyle 288V^2=\left |
\begin {array} {clr}
0 & 1 & 1&  1 & 1  \\
1 & 0 & AB^2 & AC^2 & AD^2  \\
1 & BA^2 & 0 & BC^2 & BD^2  \\
1 & CA^2 & CB^2 & 0 & CD^2  \\
1 & DA^2 & DB^2 & DC^2 & 0  \\
\end {array} \right |
\)

來源:http://mathworld.wolfram.com/Tetrahedron.html

101.8.1版主補充
游森棚老師所寫的文章，有對稱之美的海龍公式

附件: 有對稱之美的海龍公式.zip (2012-8-2 11:02, 25.9 KB) / 該附件被下載次數 13703
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1416&k=6b9409fcccc6e451d5c5ff54d7ce16c8&t=1732256579

作者: arend 時間: 2012-5-3 06:21

引用:

原帖由 hua0127 於 2012-5-2 10:29 AM 發表
[quote]原帖由 tsusy 於 2012-5-1 08:45 PM 發表

注意，題目給的邊是對邊和相等，如果沒這個條件的話，

是不可能剛好切四個邊的

感謝tsusy～對邊和相等這句話直接切入我的盲 ...

hua0127老師

你提供填充3的解法很漂亮
我居然用變換座標

8^2<=c^2+d^2<=12^2 1662<=(-2c)^2+(-2d)^2<=24^2
3^2<=(a-8)^2+(b-6)^2<=17^2

然後用柯西不等式

不知這樣做,有沒有疑義

謝謝

作者: arend 時間: 2012-5-3 06:25

請教兩題

填充5: 除了硬做外,有沒有更漂亮的解法

填充1:除了消y解x值,(有點複雜),有無其他解法?

謝謝

作者: cplee8tcfsh 時間: 2012-5-3 06:37 標題: 回復 44# arend 的帖子

填充 5
試求\(\displaystyle \int_1^2 (x^3-5x^2+x-6)(x-1)^3 dx\)的值。
[提示]
取 y=x-1
\(\displaystyle \int_0^1 y^6 -2 y^5 -6 y^4 - 9 y^3 dy \)

填充 1
請參見 36# polar31442 的帖子
用正方形得面積

作者: hua0127 時間: 2012-5-3 08:41

你客氣了~我其實還不是老師><
也只是眾多考生之一，只是最近發現這個很棒的地方
在準備之餘也順便跟版上的眾多高手請益

我看了依下你的柯西，原則上等號成立的話自然是沒有問題
且等號成立的點剛好在圖形上兩圓靠最近的兩個點，所以我認為你的解法是對的

作者: hua0127 時間: 2012-5-3 09:00

引用:

原帖由 Ellipse 於 2012-5-2 08:27 PM 發表

假設a=cosp ,b=sinp
則cos(101p)+i*sin(101p)=cos(-p)+i*sin(-p)
101p=-p+2kPi (k為整數)
102p=2kPi
p=2kPi/102
則k=0,1,2,.........,101
有102個
再加上a=0,b=0這組
共102+1=103組

請教依下橢圓兄:
我的想法跟你其實也差不多，若先令 z=a+bi, z'=a-bi
原方程式可看為 z^101= z'  ----(1)
兩邊先取絕對值: 先驗證 z 的絕對值為 1
然後將 (1) 式兩邊同乘以 z 得到 z^102 =z*z' = 1  ----(2)
觀察 (1) (2) 兩個方程式在 z不等於 0 的情況下是等價的，也就是根應該一樣多
(2) 有 102 個根(代數基本定理)  但是  z=0 顯然為(1)的根
故方程式(1) 的根有 102+1=103個

但有一點小疑問就是我在等號兩邊同乘以z 的時候不是會增加一個根 z=0 嗎?
但是乘完之後z=0 盡然還要另外加進去，這觀念我還是有些疑惑......

作者: natureling 時間: 2012-5-3 10:51

想請問一下
我算出A對L1對稱點(6,0)
對L2對稱點(-6,-4/3)
這樣解出的方程式為x-9y-6=0和解答x+7y-6=0不同
不知是哪兒出錯了....感恩幫忙...

引用:

原帖由 iamcfg 於 2012-4-30 11:04 PM 發表
填充8
A點對兩條直線做對稱點
此兩點連線就是BC直線

作者: arend 時間: 2012-5-3 16:54

引用:

原帖由 natureling 於 2012-5-3 10:51 AM 發表
想請問一下
我算出A對L1對稱點(6,0)
對L2對稱點(-6,-4/3)
這樣解出的方程式為x-9y-6=0和解答x+7y-6=0不同
不知是哪兒出錯了....感恩幫忙...

你第二個對稱點算錯了
(2/5, 4/5)才對

作者: arend 時間: 2012-5-3 17:00

引用:

原帖由 cplee8tcfsh 於 2012-5-3 06:37 AM 發表
填充 5
取 y=x-1
\( \int_0^1 y^6 -2 y^5 -6 y^4 - 9 y^3 dy \)

填充 1
請參見 36# polar31442 的帖子
用正方形得面積

謝謝李老師

我還想分解,原來是...綜合除法

謝謝

作者: Ellipse 時間: 2012-5-3 18:03

引用:

原帖由 hua0127 於 2012-5-3 09:00 AM 發表

請教依下橢圓兄:
我的想法跟你其實也差不多，若先令 z=a+bi, z'=a-bi
原方程式可看為 z^101= z' ----(1)
兩邊先取絕對值: 先驗證 z 的絕對值為 1
然後將 (1) 式兩邊同乘以 z 得到 z^102 =z*z' = 1 ----(2)
...

您不是一開始有先說有|z|=1這條件
當|z|=1時,從(1) *z 變成(2)當然不會增根
此時(1)與(2)的解均是102個解
但是(1)與(2)還是不同
(1)的解多了z=0+0i

作者: natureling 時間: 2012-5-3 19:59

嗯...感謝...^^"..第二個用錯了方法....謝囉!!!

引用:

原帖由 arend 於 2012-5-3 04:54 PM 發表
你第二個對稱點算錯了
(2/5, 4/5)才對

作者: 阿光 時間: 2012-5-3 21:52

想請教填充第13題的N要如何求?
另外填充第14題本人將4個頂點座標化
,C(0,0,0)D(6,0,0)B(1,根號24,0)A(3,根號6/3,根號138/3)
計算並不困難(不好意思,我是電腦白癡)

作者: hua0127 時間: 2012-5-4 09:15

引用:

原帖由 Ellipse 於 2012-5-3 06:03 PM 發表

您不是一開始有先說有|z|=1這條件
當|z|=1時,從(1) *z 變成(2)當然不會增根
此時(1)與(2)的解均是102個解
但是(1)與(2)還是不同
(1)的解多了z=0+0i

原來是這樣，這樣觀念上就補足了，感謝

作者: bugmens 時間: 2012-5-4 19:46

6.
一個實係數三次多項式函數通過\( (101,2012) \)、\( (99,2008) \)、\( (102,2005) \)、\( (103,2016) \)四點，求此函數的切線中，斜率最小的切線所在的直線方程式為？
[解法]
可以用這篇所提到的牛頓差值多項式來解題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid5274

將這四點向左平移99，向下平移2008
\( \matrix{f(0) & & f(1) & & f(2) & & f(3) &  & f(4) \cr
0 & & y & & 4 & & -3 & & 8 \cr
& y & & 4-y & & -7 & & 11 & \cr
& & 4-2y & & y-11 & & 18 & &  \cr
& & & -15+3y & & 29-y & & &  } \)
三次多項式在三階差分時會相等
\( -15+3y=29-y \)，\( y=11 \)

\( f(n)=0 \times C_0^n+11 \times C_1^n-18 \times C_2^n+18 \times C_3^n=3n^3-18n^2+26n \)
\( f(x)=3x^3-18x^2+26x \)
\( f'(x)=9x^2-36x+26=9(x-2)^2-10 \)
過點\( (2,4) \)有最小斜率-10
平移回去
過點\( (101,2012) \)有最小斜率-10
切線方程式為\( y-2012=-10(x-101) \)，\( 10x+y=3022 \)

9.
有一組正整數\( a_2 \)，\( a_3 \)，\( a_4 \)，\( a_5 \)，\( a_6 \)，\( a_7 \)使得\( \displaystyle \frac{4}{7}=\frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!} \)，其中\( 0 \le a_i < i \)(i=2,3,4,5,6,7)，求數對\( (a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7) \)

有唯一一組整數\( a_2 \)，\( a_3 \)，\( a_4 \)，\( a_5 \)，\( a_6 \)，\( a_7 \)使得\( \displaystyle \frac{4}{7}=\frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!} \)，其中\( 0 \le a_i < i \)(i=2,3,4,5,6,7)，求\( a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7= \)？
(A)8　(B)9　(C)10　(D)11
(97台南縣國中聯招，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=50888　連結已失效)

There are unique integers \( a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7 \) such that \( \displaystyle \frac{5}{7}=\frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!} \), where \( 0 \le a_i < i \) for i=2,3,4,5,6,7. Find \( a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7 \).
(A)8　(B)9　(C)10　(D)11　(E)12
(1999AMC12，http://www.artofproblemsolving.c ... 82&cid=44&year=1999)

112.6.17補充
若\(n\)為正整數，定義\(n!\)(讀作\(n\)的階乘)為從1到\(n\)的所有正整數之蓮乘積，即\(n!=1\cdot 2\cdot 3\ldots n\)，設\(0\le a_k<k\)，其中\(a_k\)為整數，已知\( \displaystyle \frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!}=\frac{4}{7} \)，求\(a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7\)之值。
(建中通訊解題第155期，http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathwe ... 30-15&Itemid=37)

10.
設甲、乙兩袋中，甲袋有1白球1黑球，乙袋有1白球，從甲袋隨機取1球放入乙袋後，再從乙袋隨機取1球放回甲袋，完成這樣的動作稱為一局，試求\(n\)局後甲袋有1白球1黑球的機率？(答案以\(n\)表示)
(105彰化高中，https://math.pro/db/thread-2492-1-1.html)
(110彰化女中，https://math.pro/db/thread-3514-1-1.html)

11.
實數a,b滿足\( (a+bi)^{101}=a-bi \)(其中\( i=\sqrt{-1} \))，則數對\( (a,b) \)有組解

Find the number of ordered pairs of real numbers \( (a,b) \) such that \( (a+bi)^{2002}=a-bi \).
(A)1001　(B)1002　(C)2001　(D)2002　(E)2004
(2002AMC12，https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_24)

13.
將十次多項式\( (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)(x+7)(x+8)(x+9)(x+10) \)展開後得\( x^{10}+55x^9+a_8x^8+a_7x^7+...+10! \)，若\( a_8=55M \)，\( a_7=55^2 N \)，其中M、N為正整數，求數對\( (M,N)= \)？

thepiano所提供的解法
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=7448#p7437
但這個公式是我在2008年在ptt數學版看到的，想不到過了這麼多年這篇文章終於派上用場，請參閱附加檔案

15.
四邊形ABCD，\( \overline{AB}=14 \)、\( \overline{BC}=9 \)、\( \overline{CD}=7 \)、\( \overline{DA}=12 \)，求四邊形ABCD的所有內切圓中，面積最大者為

Consider all quadrilaterals ABCD such that \( \overline{AB}=14 \), \( \overline{BC}=9 \), \( \overline{CD}=8 \), \( \overline{DA}=12 \). What is the radius of the largest possible circle that fits inside or on the boundary of such a quadrilateral?
(2011AMC12A，https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_24)
(2011中文版AMC12，https://math.pro/db/thread-1080-1-1.html)

112.6.13補充
若四邊形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=8\)、\(\overline{BC}=15\)、\(\overline{CD}=17\)、\(\overline{DA}=10\)，則四邊形\(ABCD\)的內切圓面積的最大值為　　　。
(112大直高中，https://math.pro/db/thread-3759-1-1.html)

計算題2.
設\( f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 \in Z[x] \)，若\( a_n \)，\( a_0 \)，\( f(1) \)均為奇數，試證：方程式\( f(x)=0 \)沒有有理根
(88台中一中高一期末考試題，h ttp://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/math5/rc/T88113.pdf　連結已失效)

附件: 補充資料.rar (2012-5-4 19:46, 1.46 KB) / 該附件被下載次數 13686
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1045&k=696057d81b4bd63b5e3b527af582ef5c&t=1732256579

作者: mandy 時間: 2012-5-4 20:20

引用:

原帖由老王於 2012-5-2 08:37 PM 發表
四面體ABCD的體積公式，我覺得這個五階的應該比較好記
\(\displaystyle 288V^2=\left |
\begin {array} {clr}
0 & 1 & 1&  1 & 1  \\
1 & 0 & AB^2 & AC^2 & AD^2  \\
1 & BA^2 & 0 & BC^2 & BD^2  \\
1 & CA^2 & CB^2 & 0 & CD^2  \\
1 & DA^2 & DB^2 & DC^2 & 0  \\
\end {array} \right |
\)

請問有人用這公式求過四面體體積嗎? 我求不出來是4根號23?

作者: pizza 時間: 2012-5-4 22:07

請問填充1,2該怎麼做?
填充2不管怎麼算都算不出該範圍,
先感謝回答的人

作者: 老王 時間: 2012-5-4 22:11 標題: 回復 56# mandy 的帖子

剛剛花了五分鐘確認，答案的確是\( 4\sqrt{23} \)

作者: mandy 時間: 2012-5-5 00:11

引用:

原帖由老王於 2012-5-4 10:11 PM 發表
剛剛花了五分鐘確認，答案的確是\( 4\sqrt{23} \)

我按了計算機得 288V^2=126050 ---->並不能得出V=4根號23 ? 請問那裡有問題?

作者: cplee8tcfsh 時間: 2012-5-5 07:34 標題: 回復 59# mandy 的帖子

(1)
如果是計算機按錯
麻煩再按一次
(2)
可以請問你的五階行列式
是如何用計算機求值嗎?

作者: 老王 時間: 2012-5-5 09:14 標題: 回復 59# mandy 的帖子

試了一下最常見的錯誤類型，果然是126050，我得說問題出在你不會"降階"!!
四階以上行列式的計算可不是像三階一樣!!!!!!!!
這也不能怪你，因為現行高中教材只談二三階，如果老師沒補充，學生就沒學到。
請網路搜尋"行列式降階"，應該可以找到有關四階以上的行列式的計算方式；
或者是翻一下你的線性代數課本，應該也有。

作者: mandy 時間: 2012-5-5 12:38

引用:

原帖由老王於 2012-5-5 09:14 AM 發表
試了一下最常見的錯誤類型，果然是126050，我得說問題出在你不會"降階"!!
四階以上行列式的計算可不是像三階一樣!!!!!!!!
這也不能怪你，因為現行高中教材只談二三階，如果老師沒補充，學生就沒學到。
請網路搜尋"行列式降階"， ...

謝謝老師!! 我想起來了, 以前高中時, 的確學過, 是太久沒算了, 謝謝老師 !!

我認為如果是用公式五階的行列式計算四面體的體積, 不見得快, 因為降階從五階降到四階, 再從四階降到三階, 計算就很大,
老師認為呢 ?

作者: shiauy 時間: 2012-5-5 14:21

填充題略解
14題與其記那個行列式
不如歸去

附件: 101文華.pdf (2012-5-5 21:54, 362.02 KB) / 該附件被下載次數 14524
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1047&k=62061f162ffb72ba62469f1803c96110&t=1732256579

作者: 老王 時間: 2012-5-6 19:08

引用:

原帖由 mandy 於 2012-5-5 12:38 PM 發表

謝謝老師!! 我想起來了, 以前高中時, 的確學過, 是太久沒算了, 謝謝老師 !!

我認為如果是用公式五階的行列式計算四面體的體積, 不見得快, 因為降階從五階降到四階, 再從四階降到三階, 計算就很大,
老師認為呢 ? ...

用#40 彬爸文中的符號

\(\displaystyle BC=a,CA=b,AB=c,DA=\alpha,DB=\beta,DC=\gamma \)

\(\displaystyle 288V^2=\left |
\begin {array} {ccccc}
0 & 1 & 1 & 1 & 1  \\
1 & 0 & c^2 & b^2 & \alpha^2  \\
1 & c^2 & 0 & a^2 & \beta^2  \\
1 & b^2 & a^2 & 0 & \gamma^2  \\
1 & \alpha^2 & \beta^2 & \gamma^2 & 0  \\
\end {array} \right |
\)
\(\displaystyle  =\left |
\begin {array} {ccccc}
0 & 1 & 1 & 1 & 1  \\
0 & -\alpha^2 & c^2-\beta^2 & b^2-\gamma^2 & \alpha^2  \\
0 & c^2-\alpha^2 & -\beta^2 & a^2-\gamma^2 & \beta^2  \\
0 & b^2-\alpha^2 & a^2-\beta^2 & -\gamma^2 & \gamma^2  \\
1 & \alpha^2 & \beta^2 & \gamma^2 & 0  \\
\end {array} \right |
\)

\(\displaystyle =\left |
\begin {array} {cccc}
1 & 1 & 1 & 1  \\
-\alpha^2 & c^2-\beta^2 & b^2-\gamma^2 & \alpha^2  \\
c^2-\alpha^2 & -\beta^2 & a^2-\gamma^2 & \beta^2  \\
b^2-\alpha^2 & a^2-\beta^2 & -\gamma^2 & \gamma^2  \\
\end {array} \right |
\)

\(\displaystyle =\left |
\begin {array} {cccc}
0 & 0 & 0 & 1  \\
-2\alpha^2 & c^2-\beta^2-\alpha^2 & b^2-\gamma^2-\alpha^2 & \alpha^2  \\
c^2-\alpha^2-\beta^2 & -2\beta^2 & a^2-\gamma^2-\beta^2 & \beta^2  \\
b^2-\alpha^2-\gamma^2 & a^2-\beta^2-\gamma^2 & -2\gamma^2 & \gamma^2  \\
\end {array} \right |
\)

\(\displaystyle =-\left |
\begin {array} {ccc}
-2\alpha^2 & c^2-\beta^2-\alpha^2 & b^2-\gamma^2-\alpha^2  \\
c^2-\alpha^2-\beta^2 & -2\beta^2 & a^2-\gamma^2-\beta^2 \\
b^2-\alpha^2-\gamma^2 & a^2-\beta^2-\gamma^2 & -2\gamma^2 \\
\end {array} \right |
\)

\(\displaystyle =\left |
\begin {array} {ccc}
2\alpha^2 & \alpha^2+\beta^2-c^2 & \alpha^2+\gamma^2-b^2 \\
\alpha^2+\beta^2-c^2 & 2\beta^2 & \beta^2+\gamma^2-a^2 \\
\alpha^2+\gamma^2-b^2 & \beta^2+\gamma^2-a^2 & 2\gamma^2 \\
\end {array} \right |
\)

這就得到彬爸所PO的公式。
至於你說的計算難度問題，的確，五階比三階難算得多，
實際運用時，就憑你的記憶和計算能力吧。(感謝寸絲老師~~)

作者: 老王 時間: 2012-5-6 20:25

填充14.
空間中，四面體\(A-BCD\)，\(\overline{AB}=\overline{CD}=6\)，\(\overline{AC}=\overline{AD}=\overline{BC}=5\)，\(\overline{BD}=7\)，求四面體\(A-BCD\)的體積為　　　。
[解答]
"不如歸去"啊~~~~真的，當我看到"科科科"的題目時，也是作如此想。

把四面體展開，反正就是畢氏定理。
如圖，以ABC為底面，將DAB、DAC、DBC打開到同一個平面，
過\( D_1 \)作 \( AB \)的垂線，垂足為E；
過\( D_2 \)作 \( AC \)的垂線，垂足為F，並與 \( AB \)交於G，與 \( D_1E \)交於H，
那麼H就是原來D點在平面ABC上的投影點。

簡單計算可以得到
\(\displaystyle D_1E=2\sqrt{24},AE=1,AF=\frac{7}{5} \)

那麼\(\displaystyle AG=AF \times \frac{5}{3}=\frac{7}{3} \)

\(\displaystyle EG=AG-AE=\frac{4}{3} \)

\(\displaystyle EH=EG \times \frac{3}{4}=1 \)

\(\displaystyle DH^2=D_1E^2-EH^2=23 \)

所以\(\displaystyle (ABCD)=\frac{1}{3} \times 12 \times \sqrt{23} =4\sqrt{23} \)

圖片附件: 101文華填14.jpg (2012-5-6 20:26, 16.54 KB) / 該附件被下載次數 10529
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1056&k=e9851cc5a91cba0bff22fe26c87b27ec&t=1732256579

作者: tsusy 時間: 2012-5-6 20:55 標題: 回復 65# 老王的帖子

精采，把它攤了真是太酷了

感謝彬爸和老王兩位老師的公式和精采解題

不如歸去啊，小弟在考場也是一般想法，不如直接放棄這題

原本一直在想，有一兩個等腰的面、有兩個全等的面，有沒有可能翻翻轉轉

透過五鬼挪移大法，有沒有可能拼出一個漂亮的圖形

不過看了這解法，小弟應該不用繼續搬了，哈~~

作者: t3712 時間: 2012-5-6 21:07

感謝各位老師精彩的解法，在下獲益良多。

小弟我坐在試場裡面的時候，看到14.15就送它了...

然後12題計算的很開心，想說9題也來"計算"一下

算的更開心，公佈題目答案後，發現居然無解...冏rz

作者: cplee8tcfsh 時間: 2012-5-6 23:11

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-5-6 08:55 PM 發表
精采，把它攤了真是太酷了

精采酷 +1

作者: rudin 時間: 2012-5-7 23:38 標題: 回復 63# shiauy 的帖子

請問a_6(任四積的和要如何討論)

作者: shiauy 時間: 2012-5-8 01:01

對於aabc，在第一個Σ會出現4!/2!=12次，故扣掉12次

對於aabb，在第一個Σ只會出現4!/(2!2!)=6次
不過在第二個Σ裡扣掉了12*2次(a^2*b*b與b^2*a*a)，正確應只需要扣6次，故加回來18次，但a^2*b^2與b^2*a^2一樣，故加9次

對於aaab，在第一個Σ只會出現4!/3!=4次
不過在第二個Σ裡扣掉了12*2次(a^2*a*b與a^2*b*a)，且不會出現在第三個Σ，故加回來20次

對於aaaa，在第一個Σ只會出現1次
不過在第二個Σ裡扣掉了12次，且在第三個Σ加了18次與第四個Σ加了20次
1-12+9+20=18，故還需再扣掉18次

感謝simon112266指正

圖片附件: 2013-04-21, 14_51_07.jpg (2013-4-21 14:51, 24.13 KB) / 該附件被下載次數 9476
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1058&k=7bddf772a91bff5d3e3a11f7046aaad9&t=1732256579

作者: rudin 時間: 2012-5-8 11:25 標題: 回復 70# shiauy 的帖子

謝謝！

作者: catlee 時間: 2012-5-10 15:08 標題: 第13題的一些整理

請大家參考看看謝謝!

附件: 任意三個數的乘積.pdf (2012-5-10 15:08, 201.13 KB) / 該附件被下載次數 12718
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1072&k=6eb270f6bc0b6911ab0df5fdb4aa54f2&t=1732256579

作者: weiye 時間: 2012-5-20 20:01

引用:

原帖由 iamcfg 於 2012-4-30 10:53 PM 發表
填充4
我把它倒過來想
如果b=27  則 a最小為999
a要是999  則本來的數至少要連續111個9
但是題目說他是101位正整數  所以不可能
因此b最大就是18
9+18=27

填充4.
設\(n\)為一個101位數的正整數，且能被9整除。令\(n\)的所有位數之和為\(a\)，\(a\)的所有位數之和為\(b\)，則\(b\)的所有可能值之和為　　　。
[解答]
因為朋友有問，我順便把存在性補上。

n 是 101 位數字

a <= 101*9 = 909

因此 b<= 8+9+9 = 26

因為 n 是 9 的倍數→ a是 9 的倍數→b是9的倍數

且因為 n 是 101 位數字，所以 n>0 → a>0 → b>0，

因此，b 只有可能為 9,18

然後，當 b=18 時，可取 b=1+8+9→取 a=189，

　　　　　　　　　可取 a=90*2+9*1+2*0

　　　　　　　　　→取 n = 寫90個2，再寫9個1，再寫2個0

同理，當 b=9 時，可取 b = 1+8+0 →取 a=180

　　　　　　　　　可取 a=90*2+11*0

　　　　　　　　　→取 n = 寫90個2，再寫11個0

因此，b的所有可能值之和＝9+18=27.

作者: casanova 時間: 2012-8-3 11:31

請問填充第9題當初為什麼送分呢？

是因為題目式子\(=\)的左邊是\(\displaystyle \frac{5}{7}\)而非\(\displaystyle \frac{4}{7}\)嗎？

還是其他的原因？

作者: weiye 時間: 2012-8-3 13:47 標題: 回復 74# casanova 的帖子

第 9 題：
有一組正整數\( a_2 \)，\( a_3 \)，\( a_4 \)，\( a_5 \)，\( a_6 \)，\( a_7 \)使得\( \displaystyle \frac{4}{7}=\frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!} \)，其中\( 0 \le a_i < i \)(\(i=2,3,4,5,6,7\))，求數對\( (a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7)= \)　　　。
[解答]
\(\displaystyle\frac{4}{7} = \frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!}\)

左右同乘 \(7!\)，可得

\(2880=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3a_2+7\cdot6\cdot5\cdot4a_3+7\cdot6\cdot5a_4+7\cdot6a_5+7a_6+a_7\)

因為

\(2880\div 7 = 411 \cdots 3\)

\(411\div 6 = 68 \cdots 3\)

\(68\div 5 =13 \cdots 3\)

\(13\div 4 = 3 \cdots 1\)

\(3\div 3 = 1 \cdots 0\)

\(1\div 2 = 0 \cdots 1\)

所以，\((a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7)=(1,0,1,3,3,3)\)

但是題目說 \(a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7\) 都是正整數，因此送分。

作者: casanova 時間: 2012-8-3 16:40

引用:

原帖由 weiye 於 2012-8-3 01:47 PM 發表
第 9 題：

\(\displaystyle\frac{4}{7} = \frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!}\)

左右同乘 \(7!\)，可得

\(2880=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3a_2+7\cdot6\cdot\) ...

原來是這樣做，好炫的作法啊.....

謝謝weiye老師！

作者: tsusy 時間: 2012-8-3 18:57 標題: 回復 76# casanova 的帖子

其實它就是生活裡的找零錢，只是單位不一樣而已

可以想像有 1 元 7 元 42 元 210 元 840 元 2520 元各種幣值

要湊出 2880 元，要求 1 元少於 7 個， 7 元少於 6 個， 42 元少於 5 個， 210 元少於 4 個，840 元少於 3 個

weiye 老師是從一元開始把錢愈換愈大

反過來，也可以從先換成最大張，剩下的再逐一用零錢處理，也就是一般的找零錢方法

作者: nanpolend 時間: 2012-10-21 13:42

引用:

原帖由 pizza 於 2012-5-4 10:07 PM 發表
請問填充1,2該怎麼做?
填充2不管怎麼算都算不出該範圍,
先感謝回答的人

一.
想成無窮大時最後變為正方形2X2
二.
先X=x-3代換入原式
1.兩根之和>0
2.兩根之積>0
3.判別式>=0
在1.2.3.求交集
==這些題目即使我算過重算時有時候得3次才算出正確答案
加油吧

作者: nanpolend 時間: 2012-10-22 03:16 標題: 回復 78# nanpolend 的帖子

請教填充7.
An=An-1+An-2 a0=0,a1=1 , a7=13
但下面得E7=?58/13 如何得來的

作者: nanpolend 時間: 2012-10-22 08:44

引用:

原帖由 iamcfg 於 2012-4-30 11:04 PM 發表
填充8
97中二中考過類似題的樣子
A點對兩條直線做對稱點
此兩點連線就是BC直線

請教有證明的連結嗎還是哪個三角形內心定理

作者: tsusy 時間: 2012-10-22 08:52 標題: 回復 79# nanpolend 的帖子

填充 7
將一列\(n\)(\(n\ge 2\))的小方格中最左邊的黑棋向右移動，每次移動1或2格，直至最右邊的小方格為止。假設由最左移至最右有\(a_n\)種移動方法，每種移動方法的機會均等，「移動次數」的期望值為\(E_n\)，求數對\((a_7,E_7)\)為　　　。
●○○○○○○
[解答]
\( a_n \) 滿足遞迴式 \( a_n+2 =a_{n+1} + a_n \)

而 \( E_n \) 也可以遞迴 \( E_{n+2} = \left( a_{n+1}E_{n+1} + a_n E_n \right) / a_{n+2} +1 \)

可改寫為 \( a_{n+2} E_{n+2} = a_{n+1}E_{n+1} + a_n E_n + a_{n+2} \)

\( \{a_n\} = \{1,1,2,3,5,8,13 \} \), \( a_n E_n = \{ 0,1,3,7,15,30,58 \} \)

而 \(\displaystyle \{E_n\} = \{ 0,1,\frac32, \frac73, \frac{15}5, \frac{30}{8}, \frac{58}{13} \} \)

作者: tsusy 時間: 2012-10-22 09:00 標題: 回復 80# nanpolend 的帖子

令 \( \angle B \) 的分角線為 L, A 對 L 的對稱點為 \( A' \), \( \overline{AA'} \) 和 L 的交點為 H

不難發現 \( \triangle ABH \simeq \triangle A'BH \) 或是 \( \triangle ABA' \) 是等腰三角形

故 \( \angle ABH =\angle A'BH \) 因此 \( A' \) 必在射線 BC 上

作者: martinofncku 時間: 2012-10-27 23:56 標題: 回復 15# weiye 的帖子

找想算出通項,可是卻萛不出\( (k-1)(-1)^n+(k-1)^n \),可否麻煩老師幫我看看那裏算錯了.謝謝‧

\( a_n+a_{n-1}=k(k-1)^{n-1} \)

\( \displaystyle \frac{a_n}{k}=-\frac{a_{n-1}}{k}+(k-1)^{n-1} \)

令\(\displaystyle b_n=\frac{a_n}{k}\)，則\(b_n=-b_{n-1}+(k-1)^{n-1}\)

\( \displaystyle b_n+\frac{1}{-k}(k-1)^n=-[b_{n-1}+\frac{1}{-k}(k-1)^{n-1}] \)

\( \displaystyle b_n+\frac{1}{-k}(k-1)^n=[b_1+\frac{1}{-k}(k-1)](-1)^{n-1} \)，而\( b_n=1 \)

\( \displaystyle b_n=\frac{1}{k}(k-1)^n+[1+\frac{1}{-k}(k-1)](-1)^{n-1}=\frac{1}{k}(k-1)^n+\frac{1}{k}(-1)^{n-1}=\frac{1}{k}[(k-1)^n+(-1)^{n-1}] \)

\(a_n=kb_n=(k-1)^n+(-1)^{n-1}\)

作者: tsusy 時間: 2012-10-28 00:21 標題: 回復 83# martinofncku 的帖子

https://math.pro/db/viewthread.php?tid=499&page=1#pid658

注意 weiye 老師所回紅字，也就是 \( a_1 + a_2 \) 該式並不成立

因此往回推不能推到底，如果沒有其它錯誤的話

應修正成回推至 \( b_2 \) 或 \( a_2 \) 也就是 \( n=3 \), \( a_3+a_2 = k(k-1)^2 \)

再算出 \( a_2 = k(k-1) \) ，以之代入

即以下

\( \displaystyle b_{n}-\frac{1}{k}(k-1)^{n}=\left[b_{2}-\frac{(k-1)^{2}}{k}\right]\cdot(-1)^{n-2} \)

\( \displaystyle b_{n}=\frac{1}{k}(k-1)^{n}+\left[\frac{k(k-1)}{k}-\frac{(k-1)^{2}}{k}\right](-1)^{n-2} \)

\( a_{n}=(k-1)^{n}+(-1)^{n}\cdot(k-1) \)

作者: sstranger 時間: 2013-4-12 15:07

第14題
空間中，四面體\(A-BCD\)，\(\overline{AB}=\overline{CD}=6\)，\(\overline{AC}=\overline{AD}=\overline{BC}=5\)，\(\overline{BD}=7\)，求四面體\(A-BCD\)的體積為　　　。
[解答]
請賜教
https://www.dropbox.com/s/2bdds01n5jolmui/%E6%96%87%E8%8F%AF14%E9%A1%8C.jpg?m

作者: weiye 時間: 2013-4-12 16:19 標題: 回復 85# sstranger 的帖子

第 14 題
空間中，四面體\(A-BCD\)，\(\overline{AB}=\overline{CD}=6\)，\(\overline{AC}=\overline{AD}=\overline{BC}=5\)，\(\overline{BD}=7\)，求四面體\(A-BCD\)的體積為　　　。
[解答]
另解，僅供參考。

圖片附件: 2013-04-12 16.15.36.jpg (2013-4-12 16:19, 979.34 KB) / 該附件被下載次數 10457
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1579&k=55ac22ca843b17d0016ad105ae6b7a16&t=1732256579

作者: YAG 時間: 2013-4-12 18:19 標題: 回復 75# weiye 的帖子

為何最後一行要除以 2 而不用 3除以3的商數1 就好了除以2有何目的
感覺上不是如果最後一行是 7除以3=2....1 最後 a2就是2了嗎?

作者: weiye 時間: 2013-4-12 20:14 標題: 回復 87# YAG 的帖子

題目有要求 \(0\leq a_2<2\)　　（\(0\leq a_i<i\)），

所以 \(a_2\) 不可能是 \(3\)，只有可能是 \(0\) 或 \(1\)。

不過如你所說，解讀成上一行的「除以3的商數1」也可以啦。

作者: sstranger 時間: 2013-4-12 20:57 標題: 回復 86# weiye 的帖子

比我的簡單多了，感謝

作者: weiye 時間: 2013-4-13 07:42

引用:

原帖由 YAG 於 2013-4-12 06:19 PM 發表
為何最後一行要除以 2 而不用 3除以3的商數1 就好了除以2有何目的
感覺上不是如果最後一行是 7除以3=2....1 最後 a2就是2了嗎?

因為題目出的是真分數，所以 \(a_2\) 真的就用倒數第二行除以3的商數1 就可以了~

如果把題目改為假分數，那除以 2 就有目的了。

例如：\(\displaystyle\frac{30}{7} = a_1+\frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!}\)

　　　其中 \(a_1\in\mathbb{N}\) 且 \(0\leq a_i<i,\) for \(i=2,3,4,5,6,7\)

則解答： \(\displaystyle\frac{30}{7}=\frac{30\times6!}{7!}=\frac{21600}{7!}\)

　　　　　　　　\(\displaystyle=\frac{7\times3085+5}{7!}\)

　　　　　　　　\(\displaystyle=\frac{3085}{6!}+\frac{5}{7!}\)

　　　　　　　　\(\displaystyle=\frac{6\times514+1}{6!}+\frac{5}{7!}\)

　　　　　　　　\(\displaystyle=\frac{514}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}\)

　　　　　　　　\(\displaystyle=\frac{5\times102+2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}\)

　　　　　　　　\(\displaystyle=\frac{102}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}\)

　　　　　　　　\(\displaystyle=\frac{4\times25+2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}\)

　　　　　　　　\(\displaystyle=\frac{25}{3!}+\frac{2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}\)

　　　　　　　　\(\displaystyle=\frac{3\times 8+1}{3!}+\frac{2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}\)

　　　　　　　　\(\displaystyle=\frac{8}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}\)

　　　　　　　　\(\displaystyle\frac{2\times4+0}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}\)

　　　　　　　　\(\displaystyle=4+\frac{0}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}\)

所以 \(a_1=4, a_2=0, a_3=1, a_4=2, a_5=2, a_6=1, a_7=5\)

作者: simon112266 時間: 2013-4-19 16:21

引用:

原帖由 bugmens 於 2012-5-4 07:46 PM 發表
6.
一個實係數三次多項式函數通過(1012012) 、(992008) 、(1022005) 、(1032016) 四點，求此函數的切線中，斜率最小的切線所在的直線方程式為？
[解法]
可以用這篇所提到的牛頓差值多項式來解題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid5274

將這四點向左平移99，向下平移2008
f(0) 0 y f(1) y 4−2y 4−y −15+3y f(2) 4 y−11 −7 29−y f(3) −3 18 11 f(4) 8
三次多項式在三階差分時會相等
−15+3y=29−y，y=11

f(n)=0C0n+11C1n−18C2n+18C3n=3n3−18n2+26n
f(x)=3x3−18x2+26x
f(x)=9x2−36x+26=9(x−2)2−10
過點(24) 有最小斜率-10
平移回去
過點(1012012) 有最小斜率-10
切線方程式為y−2012=−10(x−101)，10x+y=3022 ...

在這個討論區常常看到這樣的解法

不知是有甚麼原理，麻煩老師可以解惑

102.10.28版主補充
推薦各位可以去找這本書來看
華羅庚，與中學生談中國數學史上的幾大成就

從第17頁開始介紹了什麼是差分多項式，若f(x)是m次多項式，則第m階差分為常數的原因，以及如何從差分的結果重新將f(x)表示出來。

作者: simon112266 時間: 2013-4-20 11:53

引用:

原帖由 shiauy 於 2012-5-8 01:01 AM 發表
對於aabc，在第一個Σ會出現4!/2!=12次，故扣掉12次

對於aabb，在第一個Σ只會出現4!/(2!2!)=6次
不過在第二個Σ裡扣掉了12次，正確應只需要扣6次，故加回來6次

對於aaab，在第一個Σ只會出現4!/3!=4次
不過在第二個Σ裡扣掉了 ...

對於aabb
第二個應該扣了12*2=24次 (a^2*b*b , b^2*a*a)
所以第三個應該+18

對於aaab
但在第二個應該扣了12*2=24次 (a^2*a*b , a^2*b*a)
第四個應該+20

那最後一個就要扣27次
-12+18+20=26 26+1=27

這是在下的想法，不知道是不是有想太多>"<

作者: shiauy 時間: 2013-4-20 21:15

引用:

原帖由 simon112266 於 2013-4-20 11:53 AM 發表

對於aabb
第二個應該扣了12*2=24次 (a^2*b*b , b^2*a*a)
所以第三個應該+18

對於aaab
但在第二個應該扣了12*2=24次 (a^2*a*b , a^2*b*a)
第四個應該+20

那最後一個就要扣27次
-12+18+20=26 26+1=27

這是在 ...

在扣掉aabc的情形也才扣4!/2 = 12次
怎麼會有24次扣？

作者: simon112266 時間: 2013-4-20 22:56

引用:

原帖由 shiauy 於 2013-4-20 09:15 PM 發表

在扣掉aabc的情形也才扣4!/2 = 12次
怎麼會有24次扣？

是我誤會了~"~

作者: Joy091 時間: 2013-4-20 23:05 標題: 回復 65# 老王的帖子

空間中，四面體\(A-BCD\)，\(\overline{AB}=\overline{CD}=6\)，\(\overline{AC}=\overline{AD}=\overline{BC}=5\)，\(\overline{BD}=7\)，求四面體\(A-BCD\)的體積為　　　。
[解答]
我發現用內積也滿好算的!

令 A(0,0,0), B(6,0,0), C(3,4,0), D(x,y,z)

則有 \(\displaystyle x^2+y^2+z^2=25 ...(1)\)

\(\displaystyle 18=\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DC}=(-x,-y,-z)\cdot(3-x,4-y,-z)\)

\(\displaystyle 19=\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DB}=(-x,-y,-z)\cdot(6-x,-y,-z)\)

\(\displaystyle x(x-3)+y(y-4)+z^2=18...(2)\)

\(\displaystyle x(x-6)+y^2+z^2=19...(3)\)

(1) 代入(3) 可得 \(\displaystyle x(x-6)+25-x^2=19\), 解出 \(\displaystyle x=1\) 代回

可得 \(\displaystyle y^2+z^2=24\) 與 \(\displaystyle y(y-4)+z^2=20\), 再解出 \(\displaystyle y=1\)

於是 \(\displaystyle z=\pm \sqrt{23}\)

可取 \(\displaystyle \overrightarrow{AD}=(1,1,\sqrt{23})\)

所以四面體 A-BCD 體積為 \(\displaystyle \frac{1}{6}|\left |
\begin {array} {clr}
1 & 1 & \sqrt{23}  \\
6 & 0 & 0  \\
3 & 4 & 0  \\
\end {array} \right | |=4\sqrt{23}
\)

作者: weiye 時間: 2014-1-13 19:02 標題: 回復 11# arend 的帖子

計算第二題：(模仿100鳳山高中的類題的解法來寫如下~)

第 12 題：

已知 \(a_n, f(0)=a_0, f(1)=a_n+a_{n-1}+\cdots+a_0\) 皆為奇數，

假設 \(f(x)=0\) 有有理根 \(\displaystyle \frac{q}{p}\)，其中 \(p,q\) 為互質的兩個非零整數，

\(\displaystyle f(\frac{q}{p})=0\Rightarrow a_n\left(\frac{q}{p}\right)^n+a_{n-1}\left(\frac{q}{p}\right)^{n-1}+\cdots+a_1\left(\frac{q}{p}\right)+a_0=0\)

\(\Rightarrow a_n q^n+a_{n-1}q^{n-1} p +\cdots+a_1 q p^{n-1}+a_0 p^n=0\)

case i: 若 \(p\) 為偶數，則因為 \(p,q\) 互質，所以 \(q\) 為奇數，

　　\(a_n q^n+a_{n-1}q^{n-1} p +\cdots+a_1 q p^{n-1}+a_0 p^n \equiv a_n q^n \equiv a_n\cdot 1^n \equiv a_n \pmod2\)

　　且因為 \(a_n q^n+a_{n-1}q^{n-1} p +\cdots+a_1 q p^{n-1}+a_0 p^n=0\)

　　\(\Rightarrow a_n\equiv0\pmod2\) 此與 \(a_n\) 為奇數互相矛盾。

case ii: 若 \(q\) 為偶數，則因為 \(p,q\) 互質，所以 \(p\) 為奇數，

　　\(a_n q^n+a_{n-1}q^{n-1} p +\cdots+a_1 q p^{n-1}+a_0 p^n \equiv a_0 p^n \equiv a_0\cdot 1^n \equiv a_0 \pmod2\)

　　且因為 \(a_n q^n+a_{n-1}q^{n-1} p +\cdots+a_1 q p^{n-1}+a_0 p^n=0\)

　　\(\Rightarrow a_0\equiv0\pmod2\) 此與 \(a_1\) 為奇數互相矛盾。

case iii: 若 \(p,q\) 皆為奇數，則

　　\(a_n q^n+a_{n-1}q^{n-1} p +\cdots+a_1 q p^{n-1}+a_0 p^n \equiv a_n\cdot1^n+a_{n-1}\cdot1^n+\cdots+a_0\cdot1^n\equiv a_n+a_{n-1}+\cdots+a_0\pmod2\)

　　且因為 \(a_n q^n+a_{n-1}q^{n-1} p +\cdots+a_1 q p^{n-1}+a_0 p^n=0\)

　　\(\Rightarrow a_n+a_{n-1}+\cdots+a_0\equiv0\pmod2\) 此與 \(a_n+a_{n-1}+\cdots+a_0\) 為奇數互相矛盾。

case iv: 若 \(p,q\) 皆為偶數，此與 \(p,q\) 互質相矛盾。

故，\(f(x)=0\) 無有理根。

作者: mathca 時間: 2015-12-22 17:36 標題: 回復 15# weiye 的帖子

請問第16題，用五種顏色塗，A、B、C、D、E區域分別是指哪裡？感謝。

作者: CyberCat 時間: 2015-12-23 15:40 標題: 回復 97# mathca 的帖子

因為相鄰顏色不可相同
所以A必須與B C D E F G不同
A有5種選法
故 B C D E F G 環排上色只能用4色（計算法可以從連結中了解）
H 不可與 G B 同色故有 5-2=3種
J 與 I 和H 一樣有3種選擇

作者: mathca 時間: 2015-12-29 18:18 標題: 回復 85# sstranger 的帖子

#85 https://math.pro/db/viewthread.p ... 8F%AF&page=9###
第十四題參考解答中，為甚麼不能跟
台中一中第4題 #6 一樣：
https://math.pro/db/viewthread.p ... E4%B8%AD&page=1
奧數教程高二卷第9講.gif
用同樣方法？
四面體A-BCD：a^2+b^2=36 ， b^2+c^2=25 ， c^2+a^2=49 ...文華第14題這題無法這樣算...請問為甚麼？

作者: mathca 時間: 2016-1-3 12:56 標題: 回復 1# t3712 的帖子

請教填充第3題。感謝。

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