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標題: 101 文華高中(含計算題) [打印本頁]

作者: t3712    時間: 2012-4-28 19:27     標題: 101 文華高中(含計算題)



請各位老師指教XD

101.4.30版主補充
以下資料供以後考生參考:

初試最低錄取分數 50分
取12名參加複試,錄取2名
66,64,60,56,55,55,55,53,52,51,50,50

其他,
40~49分 25人
30~39分 62人
20~29分 148人
10~19分 160人
0~9分   32人
缺考    20人

共計 459 人

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作者: weiye    時間: 2012-4-28 19:38     標題: 回復 1# t3712 的帖子

2.

反例:\(\displaystyle f(x)=x^3+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2} x+1\) ,

   \(a_3=1, f(1)=3,f(0)=1\) 皆為奇數,

   且 \(f(x)=0\) 有有理根 \(x=-1.\)
作者: t3712    時間: 2012-4-28 19:41     標題: 回復 2# weiye 的帖子

題目可能有其他條件限制(整數系數?),我忘記了。不好意思XD
作者: tsusy    時間: 2012-4-28 20:56     標題: 回復 3# t3712 的帖子

是整數係,不過很遺憾的,我漏看的 \( a_n \) 也是奇數的條件

在響鈴後,才看到...天丫 6 分 飛了

還有,計算第一題,題目有點小瑕疪,應該要加上 \( a,b,c,d \in R \)

不然取 \( a = d = \omega \), \( b=c=0\), \( \omega \) 為 \( x^3=1 \) 之虛根

那就會是反例,還有 \( A^3 =I_2 \) ,下標不小心打錯了
作者: t3712    時間: 2012-4-28 21:24

感謝老師補充,題目修正如下。



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作者: tacokao    時間: 2012-4-28 23:07     標題: 計算第1題

才疏學淺,不知解法是否有誤,請各位多多指教

附件: 1.pdf (2012-4-28 23:07, 83.2 KB) / 該附件被下載次數 12153
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1014&k=7600a7f9d85e2395c21658192f9d27e5&t=1653385838
作者: lianger    時間: 2012-4-28 23:34     標題: 回復 6# tacokao 的帖子

AB=0,若A不等於O ,好像不能推導出B=O。

[ 本帖最後由 lianger 於 2012-4-28 11:39 PM 編輯 ]
作者: Ellipse    時間: 2012-4-28 23:39

引用:
原帖由 tacokao 於 2012-4-28 11:07 PM 發表
才疏學淺,不知解法是否有誤,請各位多多指教
題目說
A=[a    b ] 不等於 I_2 ----------(*1)
    [c     d ]
好像以為a≠1 ,b≠0 ,c≠0,d≠1----------------(*2)
可是[ 2     0 ]的矩陣也是不等於I_2----------(*3)
        [ 0     2 ]
但是c=0 呀



那如果c=0,那證明就有問題了








[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-4-29 12:03 AM 編輯 ]
作者: tsusy    時間: 2012-4-28 23:55     標題: 回復 8# Ellipse 的帖子

我認為那不是誤會,應該說題目的本意就不是(*2)

因為實際上,只要 a,b,c,d 是實數,該命題,便成立

證明的話可以從最小多項式著手,去說明最小多項式不會是 1 次以下

再利用 \( A^3 =I \) 的條件,構造最小多項式。

但由於構造出來是一個二次多項式,

而由 Cayley-Hamilton 定理特徵多項式為 0 多項式,

二者次數階 2,因此特徵即最小多項式,

直接從定義計算 \( A \) 的特徵多項式,再比較係數,即得證。

以上,用了一些大學線性代數的內容,不過應該也算超出範圍
作者: lianger    時間: 2012-4-29 00:18     標題: 回復 1# t3712 的帖子

底下這樣證不知道有沒有問題,不過我在考試的時候沒有討論到b=0,c=0不合的情形。

[ 本帖最後由 lianger 於 2012-4-29 12:28 AM 編輯 ]

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=1015&k=f1518a1a8cdfe9f7fbf531f37e9af7e8&t=1653385838


作者: arend    時間: 2012-4-29 01:38

第二題
請問如何證明

我剛想了一下
我的初淺想法是

a_n  a_0 與f(1)都是奇數

若px+q為f(x) 的因式 (p,q)=1

p|a_n , q|a_0    , 所以p , q都是奇數 ,p+q必為偶數

又因px+q|f(x)   當x=1, p+q|f(1)    不合

因為f(1)為奇數

若有疏漏或邏輯缺失
請版上高手能不吝指教

謝謝
作者: shingjay176    時間: 2012-4-29 09:41

我昨天去考,第二部分的填充題。

我記得第二部分的填充題,有一題是高斯函數,\(\displaystyle\Large\sum_{k=1}^{40}\left[10^{\frac{k}{40}}\right]=?\)


102.10.12補充
這裡有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9317
作者: shingjay176    時間: 2012-4-29 09:45

第二部分,填充題最後一題,下方的圖形。固定不動,不能旋轉。有五種顏色,可以重覆塗。但相鄰不能同色。有幾種塗法

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2012-4-29 09:47 AM 編輯 ]

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=1018&k=9372df1c45e0dec288c1b51ddf77b2ba&t=1653385838


作者: shingjay176    時間: 2012-4-29 09:48

剛剛看了一下1111教職網公布的資料。昨天文華兩個數學缺,四百多人考。競爭真的是激烈。大家加油了
作者: weiye    時間: 2012-4-29 10:02     標題: 回復 13# shingjay176 的帖子

下方的圖形。固定不動,不能旋轉。有五種顏色,可以重覆塗。但相鄰不能同色。有幾種塗法



解答:

先塗 A 區域,有 \(5\) 種塗法,

再塗 BCDEFG 區域,有 \(3\cdot(-1)^6+3^6\) 種塗法,
(註:這裡套用:一個圓被半徑分割成n等份用k種顏色來塗,每一區域塗一色,相鄰異色,顏色可以重複,不一定k種顏色全用,求證塗法為(k-1)(-1)^n+(k-1)^n 
 請見:https://math.pro/db/thread-499-1-1.html

最後塗 HIJ 區域,有 \(3^3\) 種塗法。


所以,所求為 \(5\cdot\left(3\cdot\left(-1\right)^6+3^6\right)\cdot3^3=98820\)

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=1019&k=787d72ead723202a91b5a57b63cbf204&t=1653385838


作者: poemghost    時間: 2012-4-29 17:32

引用:
原帖由 shingjay176 於 2012-4-29 09:41 AM 發表
我昨天去考,第二部分的填充題。
用LOG討論一下就可以了
作者: poemghost    時間: 2012-4-29 17:35

引用:
原帖由 weiye 於 2012-4-29 10:02 AM 發表
下方的圖形。固定不動,不能旋轉。有五種顏色,可以重覆塗。但相鄰不能同色。有幾種塗法

1019

解答:

先塗 A 區域,有 \(5\) 種塗法,

再塗 BCDEFG 區域,有 \(3\cdot(-1)^6+3^6\) 種塗法,
(註:這裡套用:一個圓被半徑分割成n等份 ...
這題如果不用已知的那個扇形結論的話,

應該只需討論三個同色異色而已 (如F,D,B)

之前有遇過類似的題目,我是這樣討論的

[ 本帖最後由 poemghost 於 2012-4-29 05:44 PM 編輯 ]
作者: poemghost    時間: 2012-4-29 17:49

計算1:
和lianger老師相同方法
基本上還是要用到一點線性代數的方法會比較方便
但我是另外驗證a,b,c,d皆不可能是0
所以過程比lianger老師複雜一點點


計算2:
只要用一次因式檢驗法的概念和奇偶數分析就可以瞬間證畢  ^^!!
作者: 老王    時間: 2012-4-29 20:04

第三題
\(\displaystyle p^2+5pq+q^2=7^{101} \)

對\( p \)而言是二次方程式,判別式為
\(\displaystyle 25q^2-4(q^2-7^{101})=21q^2+4 \times 7^{101}=7(3q^2+4 \times 7^{100}) \)

若\( p \)為整數,那麼判別式必須是完全平方數,因此知道
\(\displaystyle 3q^2+4 \times 7^{100} \)要是7的倍數
也就可以推出\( q \)為7的倍數
那麼\( p \)就是7的倍數
假設\( p=7p_1,q=7q_2 \)
於是得到
\(\displaystyle p_1^2+5p_1q_1+q_1^2=7^{99} \)

重覆這些步驟最後得到
\(\displaystyle P^2+5PQ+Q^2=7 \)

顯然有\( P=Q=1 \)
所以
\(\displaystyle p=q=7^{50} \)

[ 本帖最後由 老王 於 2012-4-30 05:01 PM 編輯 ]
作者: arend    時間: 2012-4-29 20:43

引用:
原帖由 weiye 於 2012-4-29 10:02 AM 發表
下方的圖形。固定不動,不能旋轉。有五種顏色,可以重覆塗。但相鄰不能同色。有幾種塗法

1019

解答:

先塗 A 區域,有 \(5\) 種塗法,

再塗 BCDEFG 區域,有 \(3\cdot(-1)^6+3^6\) 種塗法,
(註:這裡套用:一個圓被半徑分割成n等份 ...
請教老師一下

若不代公式
直接以(BF同色,BF不同色)來做
4x3x3x3x1x3+4x3x3x3x2x2

結果會不一樣
請問這錯在哪裡(這問題困擾我很久)
我是以原始的遞廻來看,用 a_1與a_n-1同色與不同色,

謝謝
作者: shingjay176    時間: 2012-4-29 21:27     標題: 101 文華高中

題目剛剛公布了,還有參考答案。還有公布的成績

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2012-4-29 09:30 PM 編輯 ]
作者: weiye    時間: 2012-4-29 21:28     標題: 回復 21# shingjay176 的帖子

其實在首篇的PO文,bugmens 已經幫它加入最新公告的題目與答案了!:P
作者: weiye    時間: 2012-4-29 22:11     標題: 回復 20# arend 的帖子

poemghost 有講,要討論 DEF這三者~分成三同、兩同一異、三異

其實如果是我實戰的話,應該也不會記住那個公式(擔心記錯),

而會用 \(4\cdot3^5-4\cdot 3^4+4\cdot 3^3-4\cdot 3^2+4\cdot 3\)

:P
作者: mandy    時間: 2012-4-30 21:08

引用:
原帖由 weiye 於 2012-4-29 10:11 PM 發表
poemghost 有講,要討論 DEF這三者~分成三同、兩同一異、三異

其實如果是我實戰的話,應該也不會記住那個公式(擔心記錯),

而會用 \(4\cdot3^5-4\cdot 3^4+4\cdot 3^3-4\cdot 3^2+4\cdot 3\)

:P ...
請問老師 4x3^5-4x3^4+4x3^3-.....式子如何解釋?
作者: mandy    時間: 2012-4-30 22:08

請問填充3,4, 6,8,11,13,15 ?
作者: iamcfg    時間: 2012-4-30 22:53     標題: 回復 25# mandy 的帖子

填充4
我把它倒過來想
如果b=27  則 a最小為999
a要是999  則本來的數至少要連續111個9
但是題目說他是101位正整數  所以不可能
因此b最大就是18
9+18=27
作者: iamcfg    時間: 2012-4-30 22:58     標題: 回復 26# iamcfg 的帖子

填充6
我先把 x-100 ,y-2000 比較好算
直接假設\( f(x)= a (x +1) (x-1) (x-2) +b (x +1) (x-1) + c (x +1) +8 \)
然後直接微分求最小值  在變數變換回去
作者: iamcfg    時間: 2012-4-30 23:04     標題: 回復 25# mandy 的帖子

填充8
97中二中考過類似題的樣子
A點對兩條直線做對稱點
此兩點連線就是BC直線
作者: tsusy    時間: 2012-4-30 23:05

想請教填充 14 15 題,從考完試到現在,還沒解決這兩題

15 題,個人猜測是圓內接四邊形的時候,內切圓有最大面積

但一整個不知道怎麼證,三角硬暴?好像不太實際,像一條不歸路
作者: weiye    時間: 2012-4-30 23:18

引用:
原帖由 mandy 於 2012-4-30 09:08 PM 發表
請問老師 4x3^5-4x3^4+4x3^3-.....式子如何解釋?
我只是取跟101證明裡面的中間步驟(對我比較好記)。

另外,第15題跟2011AMC12的第24題是一樣的題目。:P
作者: tsusy    時間: 2012-4-30 23:32     標題: 回復 30# weiye 的帖子

剛剛又重試了一下

15 題

令 14, 9 的夾角是 \( \alpha, 7,\,12 \) 的夾角是 \( \beta \),由對角線長和餘弦得

\( 14^{2}+9^{2}-2\cdot14\cdot9\cos\alpha=12^{2}+7^{2}-2\cdot12\cdot7\cos\beta \)

\( B=14\cdot9\cos\alpha-12\cdot7\cos\beta=\frac{14^{2}+9^{2}-12^{2}-7^{2}}{2} \)

\( A=\frac{1}{2}(14\cdot9\sin\alpha+7\cdot12\sin\beta) \)

\( \frac{(2A)^{2}+B^{2}}{2\cdot7\cdot9\cdot12\cdot14}=\sin\alpha\sin\beta-\cos\alpha\cos\beta + c=-\cos(\alpha+\beta) + c \leq1 +c \)

而 \( r = \frac{2A}{7+9+12+14}\)

等號成立條件為,即 \( \alpha+\beta=\pi \), 此時,四邊形為圓內接四邊形。

\( r \)  有最大值,但是否應該檢驗此時內切圓的存在性呢?

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-1 07:50 PM 編輯 ]
作者: hua0127    時間: 2012-5-1 19:52

回復 31# tsusy 的帖子:

請問寸絲老師,是否可以這樣解釋:
因為四個邊不能唯一決定四邊形,故我們可取圓內接四邊形的時候讓等號成立
不知這個想法有無瑕疵?

另外想向版上請教一下填充13題的a7要如何算?是知道要算三三乘積和
但不知如何下手,謝謝

[ 本帖最後由 hua0127 於 2012-5-1 07:56 PM 編輯 ]
作者: tsusy    時間: 2012-5-1 20:45     標題: 回復 32# hua0127 的帖子

你太客氣,我也只是考場眾生的一員而已。

如你所說,四邊形不唯一,所以可以調整大小,

所以剩下的事,只是說明此時內切圓存在。

注意,題目給的邊是對邊和相等,如果沒這個條件的話,

是不可能剛好切四個邊的 (用頂點到圓兩切線段等長而得)。

而內切圓的存在,但似乎只要凸四邊 + 對邊相等,就會存在切四個邊的內切圓。

想法上,由相鄰兩角做平分線交點找出圓心。

再利用三角不等式、切線段等長、對邊和相等,強迫另兩角的到圓的切線段要連成第四條邊即可。

至於凸,應該是要用到切線邊,是不是切到邊延長的直線。

以上是寸絲的想法,但覺得有點小麻煩,應該有更乾淨俐落的辦法吧?
作者: Ellipse    時間: 2012-5-1 20:54

引用:
原帖由 hua0127 於 2012-5-1 07:52 PM 發表

另外想向版上請教一下填充13題的a7要如何算?是知道要算三三乘積 ...
請看下面連結~

http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2785
作者: mandy    時間: 2012-5-2 01:08

請問填充第3題如何求?
作者: polar31442    時間: 2012-5-2 06:03

請問填充第一題,除了用n趨近無限大,相交圖形接近正方形
是否有其他作法呢?
作者: cplee8tcfsh    時間: 2012-5-2 06:41

15題參考資料
數學傳播 十七卷三其 民82年9月
蔡聰明 四邊形的面積

面積 S = \( \sqrt{ (s-a)(s-b)(s-c)(s-d)  - a \cdot b \cdot c \cdot d \cdot cos^2 ( \frac{B+D}{2} ) }  \)

最大值 出現於 B+D =180度 即 圓內接四邊形

[ 本帖最後由 cplee8tcfsh 於 2012-5-2 03:39 PM 編輯 ]

附件: [四邊形的面積] 17304.pdf (2012-5-2 06:47, 418.94 KB) / 該附件被下載次數 8870
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1034&k=3a7623ff19bf331a0dac4e35f2b340c5&t=1653385838
作者: hua0127    時間: 2012-5-2 10:29

[quote]原帖由 tsusy 於 2012-5-1 08:45 PM 發表

注意,題目給的邊是對邊和相等,如果沒這個條件的話,

是不可能剛好切四個邊的

感謝tsusy~對邊和相等 這句話直接切入我的盲點
這樣似乎一切合乎情理

另外感謝 Ellipse 兄 以及 彬爸 提供了參考的資料

填充第三題我是這樣考慮 如附件

[ 本帖最後由 hua0127 於 2012-5-2 10:30 AM 編輯 ]

附件: 101 文華高中 填充第三題.pdf (2012-5-2 10:29, 42.42 KB) / 該附件被下載次數 7492
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1035&k=29999429d3091fa3e847293d12e60d82&t=1653385838
作者: mandy    時間: 2012-5-2 14:41

請問填充第11題.....我用複數極式做, 只求出101個解, 不知103從那來?

謝謝hua0127和以上其他老師!!
作者: cplee8tcfsh    時間: 2012-5-2 15:21

填充14

公式 及 推導 請參閱 附件 第18,19頁

\( a= \overline{BC} =5 \)
\( b= \overline{CA} =5 \)
\( c= \overline{AB} =6 \)

\( \alpha = \overline{DA} =5  \)
\( \beta = \overline{DB} =7  \)
\( \gamma = \overline{DC} =6  \)

\( \displaystyle V^2= \frac{1}{288}  \Bigg|\; \matrix{ 2 \alpha^2 & \alpha^2 + \beta^2 - c^2 & \alpha^2 +\gamma^2 - b^2 \cr \alpha^2 +\beta^2 - c^2 & 2 \beta^2 & \beta^2 +\gamma^2 - a^2 \cr \alpha^2 +\gamma^2 - b^2 & \beta^2 +\gamma^2 - a^2 & 2 \gamma^2} \Bigg|\;  \)   

\( \displaystyle = \frac{1}{288}  \Bigg|\; \matrix{ 2 \cdot 5^2 & 5^2 + 7^2 -6^2 & 5^2 + 6^2 -5^2 \cr 5^2+7^2-6^2 & 2 \cdot 7^2 & 7^2+6^2-5^2 \cr 5^2+6^2-5^2 & 7^2+6^2-5^2 & 2 \cdot 6^2 } \Bigg|\;  \)   

\( =\frac{105984}{288} =368 \)

\( V=4 \sqrt{23} \)


[ 本帖最後由 cplee8tcfsh 於 2012-5-2 03:38 PM 編輯 ]

附件: [六稜長球四面體體積] 040406.pdf (2012-5-2 15:37, 474.34 KB) / 該附件被下載次數 7855
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1037&k=301dbb743cd8f48a0cd3e196524320a8&t=1653385838
作者: Ellipse    時間: 2012-5-2 20:27

引用:
原帖由 mandy 於 2012-5-2 02:41 PM 發表
請問填充第11題.....我用複數極式做, 只求出101個解, 不知103從那來?

謝謝hua0127和以上其他老師!!
假設a=cosp ,b=sinp
則cos(101p)+i*sin(101p)=cos(-p)+i*sin(-p)
101p=-p+2kPi (k為整數)
102p=2kPi
p=2kPi/102
則k=0,1,2,.........,101
有102個
再加上a=0,b=0這組
共102+1=103組
作者: 老王    時間: 2012-5-2 20:37

四面體ABCD的體積公式,我覺得這個五階的應該比較好記
\(\displaystyle 288V^2=\left |
\begin {array} {clr}
0 & 1 & 1&  1 & 1  \\
1 & 0 & AB^2 & AC^2 & AD^2  \\
1 & BA^2 & 0 & BC^2 & BD^2  \\
1 & CA^2 & CB^2 & 0 & CD^2  \\
1 & DA^2 & DB^2 & DC^2 & 0  \\
\end {array} \right |
\)

來源:http://mathworld.wolfram.com/Tetrahedron.html


101.8.1版主補充
游森棚老師所寫的文章,有對稱之美的海龍公式

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-8-2 11:02 AM 編輯 ]

附件: 有對稱之美的海龍公式.zip (2012-8-2 11:02, 25.9 KB) / 該附件被下載次數 7903
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1416&k=210aa898141221672b63353778672a96&t=1653385838
作者: arend    時間: 2012-5-3 06:21

引用:
原帖由 hua0127 於 2012-5-2 10:29 AM 發表
[quote]原帖由 tsusy 於 2012-5-1 08:45 PM 發表

注意,題目給的邊是對邊和相等,如果沒這個條件的話,

是不可能剛好切四個邊的

感謝tsusy~對邊和相等 這句話直接切入我的盲 ...
hua0127老師

你提供填充3的解法很漂亮
我居然用變換座標


8^2<=c^2+d^2<=12^2  1662<=(-2c)^2+(-2d)^2<=24^2
3^2<=(a-8)^2+(b-6)^2<=17^2

然後用柯西不等式

不知這樣做,有沒有疑義

謝謝
作者: arend    時間: 2012-5-3 06:25

請教兩題

填充5: 除了硬做外,有沒有更漂亮的解法

填充1:除了消y解x值,(有點複雜),有無其他解法?

謝謝
作者: cplee8tcfsh    時間: 2012-5-3 06:37     標題: 回復 44# arend 的帖子

填充 5
取 y=x-1
\( \int_0^1 y^6 -2 y^5 -6 y^4 - 9 y^3 dy \)

填充 1
請參見 36# polar31442 的帖子
用正方形得面積

[ 本帖最後由 cplee8tcfsh 於 2012-5-3 06:45 AM 編輯 ]
作者: hua0127    時間: 2012-5-3 08:41

[quote]原帖由 arend 於 2012-5-3 06:21 AM 發表

你客氣了~我其實還不是老師><
也只是眾多考生之一,只是最近發現這個很棒的地方
在準備之餘也順便跟版上的眾多高手請益

我看了依下你的柯西,原則上等號成立的話自然是沒有問題
且等號成立的點剛好在圖形上兩圓靠最近的兩個點,所以我認為你的解法是對的
作者: hua0127    時間: 2012-5-3 09:00

引用:
原帖由 Ellipse 於 2012-5-2 08:27 PM 發表


假設a=cosp ,b=sinp
則cos(101p)+i*sin(101p)=cos(-p)+i*sin(-p)
101p=-p+2kPi (k為整數)
102p=2kPi
p=2kPi/102
則k=0,1,2,.........,101
有102個
再加上a=0,b=0這組
共102+1=103組
請教依下橢圓兄:
我的想法跟你其實也差不多,若先令 z=a+bi, z'=a-bi
原方程式可看為    z^101= z'  ----(1)
兩邊先取絕對值: 先驗證 z 的絕對值為 1
然後將 (1) 式兩邊同乘以 z 得到   z^102 =z*z' = 1  ----(2)
觀察 (1) (2) 兩個方程式 在 z不等於 0 的情況下是等價的,也就是根應該一樣多
(2) 有 102 個根(代數基本定理)  但是  z=0 顯然為(1)的根
故方程式(1) 的根 有   102+1=103個

但有一點小疑問就是我在等號兩邊同乘以z 的時候 不是會增加一個根 z=0 嗎?
但是乘完之後z=0 盡然還要另外加進去,這觀念我還是有些疑惑......
作者: natureling    時間: 2012-5-3 10:51

想請問一下
我算出A對L1對稱點(6,0)
對L2對稱點(-6,-4/3)
這樣解出的方程式為x-9y-6=0和解答x+7y-6=0不同
不知是哪兒出錯了....感恩幫忙...
引用:
原帖由 iamcfg 於 2012-4-30 11:04 PM 發表
填充8
97中二中考過類似題的樣子
A點對兩條直線做對稱點
此兩點連線就是BC直線

作者: arend    時間: 2012-5-3 16:54

引用:
原帖由 natureling 於 2012-5-3 10:51 AM 發表
想請問一下
我算出A對L1對稱點(6,0)
對L2對稱點(-6,-4/3)
這樣解出的方程式為x-9y-6=0和解答x+7y-6=0不同
不知是哪兒出錯了....感恩幫忙...
你第二個對稱點算錯了
(2/5, 4/5)才對
作者: arend    時間: 2012-5-3 17:00

引用:
原帖由 cplee8tcfsh 於 2012-5-3 06:37 AM 發表
填充 5
取 y=x-1
\( \int_0^1 y^6 -2 y^5 -6 y^4 - 9 y^3 dy \)

填充 1
請參見 36# polar31442 的帖子
用正方形得面積
謝謝 李老師

我還想分解,原來是...綜合除法

謝謝
作者: Ellipse    時間: 2012-5-3 18:03

引用:
原帖由 hua0127 於 2012-5-3 09:00 AM 發表


請教依下橢圓兄:
我的想法跟你其實也差不多,若先令 z=a+bi, z'=a-bi
原方程式可看為    z^101= z'  ----(1)
兩邊先取絕對值: 先驗證 z 的絕對值為 1
然後將 (1) 式兩邊同乘以 z 得到   z^102 =z*z' = 1  ----(2)
...
您不是一開始有先說有|z|=1這條件
當|z|=1時,從(1) *z 變成(2)當然不會增根
此時(1)與(2)的解均是102個解
但是(1)與(2)還是不同
(1)的解多了z=0+0i
作者: natureling    時間: 2012-5-3 19:59

嗯...感謝...^^"..第二個用錯了方法....謝囉!!!
引用:
原帖由 arend 於 2012-5-3 04:54 PM 發表
你第二個對稱點算錯了
(2/5, 4/5)才對

作者: 阿光    時間: 2012-5-3 21:52

想請教填充第13題的N要如何求?
另外填充第14題本人將4個頂點座標化
,C(0,0,0)D(6,0,0)B(1,根號24,0)A(3,根號6/3,根號138/3)
計算並不困難(不好意思,我是電腦白癡)
作者: hua0127    時間: 2012-5-4 09:15

引用:
原帖由 Ellipse 於 2012-5-3 06:03 PM 發表


您不是一開始有先說有|z|=1這條件
當|z|=1時,從(1) *z 變成(2)當然不會增根
此時(1)與(2)的解均是102個解
但是(1)與(2)還是不同
(1)的解多了z=0+0i
原來是這樣,這樣觀念上就補足了,感謝
作者: bugmens    時間: 2012-5-4 19:46

6.
一個實係數三次多項式函數通過\( (101,2012) \)、\( (99,2008) \)、\( (102,2005) \)、\( (103,2016) \)四點,求此函數的切線中,斜率最小的切線所在的直線方程式為?
[解法]
可以用這篇所提到的牛頓差值多項式來解題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid5274

將這四點向左平移99,向下平移2008
\( \matrix{f(0) & & f(1) & & f(2) & & f(3) &  & f(4) \cr
0 & & y & & 4 & & -3 & & 8 \cr
& y & & 4-y & & -7 & & 11 & \cr
& & 4-2y & & y-11 & & 18 & &  \cr
& & & -15+3y & & 29-y & & &  } \)
三次多項式在三階差分時會相等
\( -15+3y=29-y \),\( y=11 \)

\( f(n)=0 \times C_0^n+11 \times C_1^n-18 \times C_2^n+18 \times C_3^n=3n^3-18n^2+26n \)
\( f(x)=3x^3-18x^2+26x \)
\( f'(x)=9x^2-36x+26=9(x-2)^2-10 \)
過點\( (2,4) \)有最小斜率-10
平移回去
過點\( (101,2012) \)有最小斜率-10
切線方程式為\( y-2012=-10(x-101) \),\( 10x+y=3022 \)

9.
有一組正整數\( a_2 \),\( a_3 \),\( a_4 \),\( a_5 \),\( a_6 \),\( a_7 \)使得\( \displaystyle \frac{4}{7}=\frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!} \),其中\( 0 \le a_i < i \)(i=2,3,4,5,6,7),求數對\( (a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7) \)

有唯一一組整數\( a_2 \),\( a_3 \),\( a_4 \),\( a_5 \),\( a_6 \),\( a_7 \)使得\( \displaystyle \frac{4}{7}=\frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!} \),其中\( 0 \le a_i < i \)(i=2,3,4,5,6,7),求\( a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7= \)?
(A)8 (B)9 (C)10 (D)11
(97台南縣國中聯招,h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=50888 連結已失效)

There are unique integers \( a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7 \) such that \( \displaystyle \frac{5}{7}=\frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!} \), where \( 0 \le a_i < i \) for i=2,3,4,5,6,7. Find \( a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7 \).
(A)8 (B)9 (C)10 (D)11 (E)12
(1999AMC12,http://www.artofproblemsolving.c ... 82&cid=44&year=1999)

10.
設甲、乙兩袋中,甲袋有1白球1黑球,乙袋有1白球,從甲袋隨機取1球放入乙袋後,再從乙袋隨機取1球放回甲袋,完成這樣的動作稱為一局,試求\(n\)局後甲袋有1白球1黑球的機率?(答案以\(n\)表示)
(105彰化高中,https://math.pro/db/thread-2492-1-1.html)
(110彰化女中,https://math.pro/db/thread-3514-1-1.html)

11.
實數a,b滿足\( (a+bi)^{101}=a-bi \)(其中\( i=\sqrt{-1} \)),則數對\( (a,b) \)有組解

Find the number of ordered pairs of real numbers \( (a,b) \) such that \( (a+bi)^{2002}=a-bi \).
(A)1001 (B)1002 (C)2001 (D)2002 (E)2004
(2002AMC12,https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_24)

13.
將十次多項式\( (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)(x+7)(x+8)(x+9)(x+10) \)展開後得\( x^{10}+55x^9+a_8x^8+a_7x^7+...+10! \),若\( a_8=55M \),\( a_7=55^2 N \),其中M、N為正整數,求數對\( (M,N)= \)?

thepiano所提供的解法
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=7448#p7437
但這個公式是我在2008年在ptt數學版看到的,想不到過了這麼多年這篇文章終於派上用場,請參閱附加檔案

15.
四邊形ABCD,\( \overline{AB}=14 \)、\( \overline{BC}=9 \)、\( \overline{CD}=7 \)、\( \overline{DA}=12 \),求四邊形ABCD的所有內切圓中,面積最大者為
(2011中文版AMC12,https://math.pro/db/thread-1080-1-1.html)

Consider all quadrilaterals ABCD such that \( \overline{AB}=14 \), \( \overline{BC}=9 \), \( \overline{CD}=8 \), \( \overline{DA}=12 \). What is the radius of the largest possible circle that fits inside or on the boundary of such a quadrilateral?
(http://www.artofproblemsolving.c ... 82&cid=44&year=2011)

計算題2.
設\( f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 \in Z[x] \),若\( a_n \),\( a_0 \),\( f(1) \)均為奇數,試證:方程式\( f(x)=0 \)沒有有理根
(88台中一中高一期末考試題,h ttp://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/math5/rc/T88113.pdf 連結已失效)

附件: 補充資料.rar (2012-5-4 19:46, 1.46 KB) / 該附件被下載次數 7084
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1045&k=e3e28ef80abfb781bf4e4ad33628bc5c&t=1653385838
作者: mandy    時間: 2012-5-4 20:20

引用:
原帖由 老王 於 2012-5-2 08:37 PM 發表
四面體ABCD的體積公式,我覺得這個五階的應該比較好記
\(\displaystyle 288V^2=\left |
\begin {array} {clr}
0 & 1 & 1&  1 & 1  \\
1 & 0 & AB^2 & AC^2 & AD^2  \\
1 & BA^2 & 0 & BC^2 & BD^2  \\
1 & CA^2 & CB^2 & 0 & CD^2  \\
1 & DA^2 & DB^2 & DC^2 & 0  \\
\end {array} \right |
\)
請問有人用這公式求過四面體體積嗎? 我求不出來是4根號23?
作者: pizza    時間: 2012-5-4 22:07

請問填充1,2該怎麼做?
填充2不管怎麼算都算不出該範圍,
先感謝回答的人
作者: 老王    時間: 2012-5-4 22:11     標題: 回復 56# mandy 的帖子

剛剛花了五分鐘確認,答案的確是\( 4\sqrt{23} \)
作者: mandy    時間: 2012-5-5 00:11

引用:
原帖由 老王 於 2012-5-4 10:11 PM 發表
剛剛花了五分鐘確認,答案的確是\( 4\sqrt{23} \)
我按了計算機得 288V^2=126050 ---->並不能得出V=4根號23 ? 請問那裡有問題?
作者: cplee8tcfsh    時間: 2012-5-5 07:34     標題: 回復 59# mandy 的帖子

(1)
如果是 計算機 按錯
麻煩再按一次
(2)
可以請問你的 五階行列式
是如何用計算機求值嗎?
作者: 老王    時間: 2012-5-5 09:14     標題: 回復 59# mandy 的帖子

試了一下最常見的錯誤類型,果然是126050,我得說問題出在你不會"降階"!!
四階以上行列式的計算可不是像三階一樣!!!!!!!!
這也不能怪你,因為現行高中教材只談二三階,如果老師沒補充,學生就沒學到。
請網路搜尋"行列式降階",應該可以找到有關四階以上的行列式的計算方式;
或者是翻一下你的線性代數課本,應該也有。
作者: mandy    時間: 2012-5-5 12:38

引用:
原帖由 老王 於 2012-5-5 09:14 AM 發表
試了一下最常見的錯誤類型,果然是126050,我得說問題出在你不會"降階"!!
四階以上行列式的計算可不是像三階一樣!!!!!!!!
這也不能怪你,因為現行高中教材只談二三階,如果老師沒補充,學生就沒學到。
請網路搜尋"行列式降階", ...
謝謝老師!! 我想起來了, 以前高中時, 的確學過, 是太久沒算了, 謝謝老師 !!

我認為如果是用公式五階的行列式計算四面體的體積, 不見得快, 因為降階從五階降到四階, 再從四階降到三階, 計算就很大,
老師認為呢 ?

[ 本帖最後由 mandy 於 2012-5-5 12:54 PM 編輯 ]
作者: shiauy    時間: 2012-5-5 14:21

填充題略解
14題與其記那個行列式
不如歸去

[ 本帖最後由 shiauy 於 2012-5-5 09:54 PM 編輯 ]

附件: 101文華.pdf (2012-5-5 21:54, 362.02 KB) / 該附件被下載次數 7589
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1047&k=ce7c34e0bc9ca0d268b94c49b1145e41&t=1653385838
作者: 老王    時間: 2012-5-6 19:08

引用:
原帖由 mandy 於 2012-5-5 12:38 PM 發表


謝謝老師!! 我想起來了, 以前高中時, 的確學過, 是太久沒算了, 謝謝老師 !!

我認為如果是用公式五階的行列式計算四面體的體積, 不見得快, 因為降階從五階降到四階, 再從四階降到三階, 計算就很大,
老師認為呢 ? ...
用#40 彬爸文中的符號

\(\displaystyle BC=a,CA=b,AB=c,DA=\alpha,DB=\beta,DC=\gamma \)

\(\displaystyle 288V^2=\left |
\begin {array} {ccccc}
0 & 1 & 1 & 1 & 1  \\
1 & 0 & c^2 & b^2 & \alpha^2  \\
1 & c^2 & 0 & a^2 & \beta^2  \\
1 & b^2 & a^2 & 0 & \gamma^2  \\
1 & \alpha^2 & \beta^2 & \gamma^2 & 0  \\
\end {array} \right |
\)
\(\displaystyle  =\left |
\begin {array} {ccccc}
0 & 1 & 1 & 1 & 1  \\
0 & -\alpha^2 & c^2-\beta^2 & b^2-\gamma^2 & \alpha^2  \\
0 & c^2-\alpha^2 & -\beta^2 & a^2-\gamma^2 & \beta^2  \\
0 & b^2-\alpha^2 & a^2-\beta^2 & -\gamma^2 & \gamma^2  \\
1 & \alpha^2 & \beta^2 & \gamma^2 & 0  \\
\end {array} \right |
\)

\(\displaystyle =\left |
\begin {array} {cccc}
1 & 1 & 1 & 1  \\
-\alpha^2 & c^2-\beta^2 & b^2-\gamma^2 & \alpha^2  \\
c^2-\alpha^2 & -\beta^2 & a^2-\gamma^2 & \beta^2  \\
b^2-\alpha^2 & a^2-\beta^2 & -\gamma^2 & \gamma^2  \\
\end {array} \right |
\)

\(\displaystyle =\left |
\begin {array} {cccc}
0 & 0 & 0 & 1  \\
-2\alpha^2 & c^2-\beta^2-\alpha^2 & b^2-\gamma^2-\alpha^2 & \alpha^2  \\
c^2-\alpha^2-\beta^2 & -2\beta^2 & a^2-\gamma^2-\beta^2 & \beta^2  \\
b^2-\alpha^2-\gamma^2 & a^2-\beta^2-\gamma^2 & -2\gamma^2 & \gamma^2  \\
\end {array} \right |
\)

\(\displaystyle =-\left |
\begin {array} {ccc}
-2\alpha^2 & c^2-\beta^2-\alpha^2 & b^2-\gamma^2-\alpha^2  \\
c^2-\alpha^2-\beta^2 & -2\beta^2 & a^2-\gamma^2-\beta^2   \\
b^2-\alpha^2-\gamma^2 & a^2-\beta^2-\gamma^2 & -2\gamma^2   \\
\end {array} \right |
\)

\(\displaystyle =\left |
\begin {array} {ccc}
2\alpha^2 & \alpha^2+\beta^2-c^2 & \alpha^2+\gamma^2-b^2   \\
\alpha^2+\beta^2-c^2 & 2\beta^2 & \beta^2+\gamma^2-a^2   \\
\alpha^2+\gamma^2-b^2 & \beta^2+\gamma^2-a^2 & 2\gamma^2   \\
\end {array} \right |
\)



這就得到 彬爸 所PO的公式。
至於你說的計算難度問題,的確,五階比三階難算得多,
實際運用時,就憑你的記憶和計算能力吧。(感謝寸絲老師~~)

[ 本帖最後由 老王 於 2012-5-6 08:10 PM 編輯 ]
作者: 老王    時間: 2012-5-6 20:25

"不如歸去"啊~~~~真的,當我看到"科科科"的題目時,也是作如此想。

把四面體展開,反正就是畢氏定理。
如圖,以ABC為底面,將DAB、DAC、DBC打開到同一個平面,
過\( D_1 \)作 \( AB \)的垂線,垂足為E;
過\( D_2 \)作 \( AC \)的垂線,垂足為F,並與 \( AB \)交於G,與 \( D_1E \)交於H,
那麼H就是原來D點在平面ABC上的投影點。

簡單計算可以得到
\(\displaystyle D_1E=2\sqrt{24},AE=1,AF=\frac{7}{5} \)

那麼\(\displaystyle AG=AF \times \frac{5}{3}=\frac{7}{3} \)

\(\displaystyle EG=AG-AE=\frac{4}{3} \)

\(\displaystyle EH=EG \times \frac{3}{4}=1 \)

\(\displaystyle DH^2=D_1E^2-EH^2=23 \)

所以\(\displaystyle (ABCD)=\frac{1}{3} \times 12 \times \sqrt{23} =4\sqrt{23} \)

圖片附件: 101文華填14.jpg (2012-5-6 20:26, 16.54 KB) / 該附件被下載次數 6160
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1056&k=50299308b017c190a7d82bc8d2dd4288&t=1653385838


作者: tsusy    時間: 2012-5-6 20:55     標題: 回復 65# 老王 的帖子

精采,把它攤了真是太酷了

感謝彬爸和老王兩位老師的公式和精采解題

不如歸去啊,小弟在考場也是一般想法,不如直接放棄這題

原本一直在想,有一兩個等腰的面、有兩個全等的面,有沒有可能翻翻轉轉

透過五鬼挪移大法,有沒有可能拼出一個漂亮的圖形

不過看了這解法,小弟應該不用繼續搬了,哈~~
作者: t3712    時間: 2012-5-6 21:07

感謝各位老師精彩的解法,在下獲益良多。

小弟我坐在試場裡面的時候,看到14.15就送它了...

然後12題計算的很開心,想說9題也來"計算"一下

算的更開心,公佈題目答案後,發現居然無解...冏rz
作者: cplee8tcfsh    時間: 2012-5-6 23:11

引用:
原帖由 tsusy 於 2012-5-6 08:55 PM 發表
精采,把它攤了真是太酷了
精采 酷 +1
作者: rudin    時間: 2012-5-7 23:38     標題: 回復 63# shiauy 的帖子

請問a_6(任四積的和要如何討論)

[ 本帖最後由 rudin 於 2012-5-7 11:49 PM 編輯 ]
作者: shiauy    時間: 2012-5-8 01:01

對於aabc,在第一個Σ會出現4!/2!=12次,故扣掉12次

對於aabb,在第一個Σ只會出現4!/(2!2!)=6次
不過在第二個Σ裡扣掉了12*2次(a^2*b*b與b^2*a*a),正確應只需要扣6次,故加回來18次,但a^2*b^2與b^2*a^2一樣,故加9次

對於aaab,在第一個Σ只會出現4!/3!=4次
不過在第二個Σ裡扣掉了12*2次(a^2*a*b與a^2*b*a),且不會出現在第三個Σ,故加回來20次

對於aaaa,在第一個Σ只會出現1次
不過在第二個Σ裡扣掉了12次,且在第三個Σ加了18次與第四個Σ加了20次
1-12+9+20=18,故還需再扣掉18次

感謝simon112266指正

[ 本帖最後由 shiauy 於 2013-4-21 02:52 PM 編輯 ]

圖片附件: 2013-04-21, 14_51_07.jpg (2013-4-21 14:51, 24.13 KB) / 該附件被下載次數 5311
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1058&k=728521d0893cb6ecaa6924275a8be3a1&t=1653385838


作者: rudin    時間: 2012-5-8 11:25     標題: 回復 70# shiauy 的帖子

謝謝!
作者: catlee    時間: 2012-5-10 15:08     標題: 第13題的一些整理

請大家參考看看  謝謝!

附件: 任意三個數的乘積.pdf (2012-5-10 15:08, 201.13 KB) / 該附件被下載次數 6885
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1072&k=e6e4a4cac08358d32d1ff7b3db963128&t=1653385838
作者: weiye    時間: 2012-5-20 20:01

引用:
原帖由 iamcfg 於 2012-4-30 10:53 PM 發表
填充4
我把它倒過來想
如果b=27  則 a最小為999
a要是999  則本來的數至少要連續111個9
但是題目說他是101位正整數  所以不可能
因此b最大就是18
9+18=27
因為朋友有問,我順便把存在性補上。

填充第 4 題:

n 是 101 位數字

a <= 101*9 = 909

因此 b<= 8+9+9 = 26

因為 n 是 9 的倍數→ a是 9 的倍數→b是9的倍數

且因為 n 是 101 位數字,所以 n>0 → a>0 → b>0,

因此,b 只有可能為 9,18

然後,當 b=18 時,可取 b=1+8+9→取 a=189,

         可取 a=90*2+9*1+2*0

         →取 n = 寫90個2,再寫9個1,再寫2個0

同理,當 b=9 時,可取 b = 1+8+0 →取 a=180

         可取 a=90*2+11*0

         →取 n = 寫90個2,再寫11個0

因此,b的所有可能值之和=9+18=27.
作者: casanova    時間: 2012-8-3 11:31

請問填充第9題當初為什麼送分呢?

是因為題目式子\(=\)的左邊是\(\frac{5}{7}\)而非\(\frac{4}{7}\)嗎?

還是其他的原因?
作者: weiye    時間: 2012-8-3 13:47     標題: 回復 74# casanova 的帖子

第 9 題:

\(\displaystyle\frac{4}{7} = \frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!}\)

左右同乘 \(7!\),可得

\(2880=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3a_2+7\cdot6\cdot5\cdot4a_3+7\cdot6\cdot5a_4+7\cdot6a_5+7a_6+a_7\)

因為

\(2880\div 7 = 411 \cdots 3\)

\(411\div 6 = 68 \cdots 3\)

\(68\div 5 =13 \cdots 3\)

\(13\div 4 = 3 \cdots 1\)

\(3\div 3 = 1 \cdots 0\)

\(1\div 2 = 0 \cdots 1\)

所以,\((a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7)=(1,0,1,3,3,3)\)


但是題目說 \(a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7\) 都是正整數,因此送分。
作者: casanova    時間: 2012-8-3 16:40

引用:
原帖由 weiye 於 2012-8-3 01:47 PM 發表
第 9 題:

\(\displaystyle\frac{4}{7} = \frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!}\)

左右同乘 \(7!\),可得

\(2880=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3a_2+7\cdot6\cdot\) ...
原來是這樣做,好炫的作法啊.....

謝謝weiye老師!
作者: tsusy    時間: 2012-8-3 18:57     標題: 回復 76# casanova 的帖子

其實它就是生活裡的找零錢,只是單位不一樣而已

可以想像有 1 元 7 元 42 元 210 元 840 元 2520 元各種幣值

要湊出 2880 元,要求 1 元少於 7 個 , 7 元少於 6 個, 42 元少於 5 個, 210 元少於 4 個,840 元少於 3 個

weiye 老師是從一元開始把錢愈換愈大

反過來,也可以從先換成最大張,剩下的再逐一用零錢處理,也就是一般的找零錢方法
作者: nanpolend    時間: 2012-10-21 13:42

引用:
原帖由 pizza 於 2012-5-4 10:07 PM 發表
請問填充1,2該怎麼做?
填充2不管怎麼算都算不出該範圍,
先感謝回答的人
一.
想成無窮大時最後變為正方形2X2
二.
先X=x-3代換入原式
1.兩根之和>0
2.兩根之積>0
3.判別式>=0
在1.2.3.求交集
==這些題目即使我算過重算時有時候得3次才算出正確答案
加油吧

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2012-10-21 01:44 PM 編輯 ]
作者: nanpolend    時間: 2012-10-22 03:16     標題: 回復 78# nanpolend 的帖子

請教填充7.
An=An-1+An-2  a0=0,a1=1 , a7=13
但下面得E7=?58/13 如何得來的
作者: nanpolend    時間: 2012-10-22 08:44

引用:
原帖由 iamcfg 於 2012-4-30 11:04 PM 發表
填充8
97中二中考過類似題的樣子
A點對兩條直線做對稱點
此兩點連線就是BC直線
請教有證明的連結嗎還是哪個三角形內心定理
作者: tsusy    時間: 2012-10-22 08:52     標題: 回復 79# nanpolend 的帖子

填充 7

\( a_n \) 滿足遞迴式 \( a_n+2 =a_{n+1} + a_n \)

而 \( E_n \) 也可以遞迴 \( E_{n+2} = \left( a_{n+1}E_{n+1} + a_n E_n \right) / a_{n+2} +1 \)

可改寫為 \( a_{n+2} E_{n+2} = a_{n+1}E_{n+1} + a_n E_n + a_{n+2} \)

\( \{a_n\} = \{1,1,2,3,5,8,13 \} \), \( a_n E_n = \{ 0,1,3,7,15,30,58 \} \)

而 \( \{E_n\} = \{ 0,1,\frac32, \frac73, \frac{15}5, \frac{30}{8}, \frac{58}{13} \} \)
作者: tsusy    時間: 2012-10-22 09:00     標題: 回復 80# nanpolend 的帖子

令 \( \angle B \) 的分角線為  L, A 對 L 的對稱點為 \( A' \), \( \overline{AA'} \) 和 L 的交點為 H

不難發現 \( \triangle ABH \simeq \triangle A'BH \) 或是 \( \triangle ABA' \) 是等腰三角形

故 \( \angle ABH =\angle A'BH \) 因此 \( A' \) 必在射線 BC 上
作者: martinofncku    時間: 2012-10-27 23:56     標題: 回復 15# weiye 的帖子

找想算出通項,可是卻萛不出\( (k-1)(-1)^n+(k-1)^n \),可否麻煩老師幫我看看那裏算錯了.謝謝‧

\( a_n+a_{n-1}=k(k-1)^{n-1} \)

\( \displaystyle \frac{a_n}{k}=-\frac{a_{n-1}}{k}+(k-1)^{n-1} \)

令\(\displaystyle b_n=\frac{a_n}{k}\),則\(b_n=-b_{n-1}+(k-1)^{n-1}\)

\( \displaystyle b_n+\frac{1}{-k}(k-1)^n=-[b_{n-1}+\frac{1}{-k}(k-1)^{n-1}] \)

\( \displaystyle b_n+\frac{1}{-k}(k-1)^n=[b_1+\frac{1}{-k}(k-1)](-1)^{n-1} \),而\( b_n=1 \)

\( \displaystyle b_n=\frac{1}{k}(k-1)^n+[1+\frac{1}{-k}(k-1)](-1)^{n-1}=\frac{1}{k}(k-1)^n+\frac{1}{k}(-1)^{n-1}=\frac{1}{k}[(k-1)^n+(-1)^{n-1}] \)

\(a_n=kb_n=(k-1)^n+(-1)^{n-1}\)
作者: tsusy    時間: 2012-10-28 00:21     標題: 回復 83# martinofncku 的帖子

https://math.pro/db/viewthread.php?tid=499&page=1#pid658

注意 weiye 老師所回紅字,也就是 \( a_1 + a_2 \) 該式並不成立

因此往回推不能推到底,如果沒有其它錯誤的話

應修正成回推至 \( b_2 \) 或 \( a_2 \) 也就是 \( n=3 \), \( a_3+a_2 = k(k-1)^2 \)

再算出 \( a_2 = k(k-1) \) ,以之代入

即以下

\( \displaystyle b_{n}-\frac{1}{k}(k-1)^{n}=\left[b_{2}-\frac{(k-1)^{2}}{k}\right]\cdot(-1)^{n-2} \)

\( \displaystyle b_{n}=\frac{1}{k}(k-1)^{n}+\left[\frac{k(k-1)}{k}-\frac{(k-1)^{2}}{k}\right](-1)^{n-2} \)

\(  a_{n}=(k-1)^{n}+(-1)^{n}\cdot(k-1) \)
作者: sstranger    時間: 2013-4-12 15:07

第14題,請賜教

https://www.dropbox.com/s/2bdds01n5jolmui/%E6%96%87%E8%8F%AF14%E9%A1%8C.jpg?m
作者: weiye    時間: 2013-4-12 16:19     標題: 回復 85# sstranger 的帖子

第 14 題另解,僅供參考。



圖片附件: 2013-04-12 16.15.36.jpg (2013-4-12 16:19, 979.34 KB) / 該附件被下載次數 6174
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1579&k=3d5d041ce883e8054583613055fc86a9&t=1653385838


作者: YAG    時間: 2013-4-12 18:19     標題: 回復 75# weiye 的帖子

為何最後一行要除以 2  而不用 3除以3的商數1 就好了  除以2有何目的
感覺上不是如果最後一行是 7除以3=2....1  最後  a2就是2了嗎?

[ 本帖最後由 YAG 於 2013-4-12 06:23 PM 編輯 ]
作者: weiye    時間: 2013-4-12 20:14     標題: 回復 87# YAG 的帖子

題目有要求 \(0\leq a_2<2\)  (\(0\leq a_i<i\)),

所以 \(a_2\) 不可能是 \(3\),只有可能是 \(0\) 或 \(1\)。

不過如你所說,解讀成上一行的「除以3的商數1」也可以啦。
作者: sstranger    時間: 2013-4-12 20:57     標題: 回復 86# weiye 的帖子

比我的簡單多了,感謝
作者: weiye    時間: 2013-4-13 07:42

引用:
原帖由 YAG 於 2013-4-12 06:19 PM 發表
為何最後一行要除以 2  而不用 3除以3的商數1 就好了  除以2有何目的
感覺上不是如果最後一行是 7除以3=2....1  最後  a2就是2了嗎?
因為題目出的是真分數,所以 \(a_2\) 真的就 用倒數第二行除以3的商數1 就可以了~

如果把題目改為假分數,那除以 2 就有目的了。

例如:\(\displaystyle\frac{30}{7} = a_1+\frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!}\)

   其中 \(a_1\in\mathbb{N}\) 且 \(0\leq a_i<i,\) for \(i=2,3,4,5,6,7\)

則解答: \(\displaystyle\frac{30}{7}=\frac{30\times6!}{7!}=\frac{21600}{7!}\)

        \(\displaystyle=\frac{7\times3085+5}{7!}\)

        \(\displaystyle=\frac{3085}{6!}+\frac{5}{7!}\)

        \(\displaystyle=\frac{6\times514+1}{6!}+\frac{5}{7!}\)

        \(\displaystyle=\frac{514}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}\)

        \(\displaystyle=\frac{5\times102+2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}\)

        \(\displaystyle=\frac{102}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}\)

        \(\displaystyle=\frac{4\times25+2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}\)

        \(\displaystyle=\frac{25}{3!}+\frac{2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}\)

        \(\displaystyle=\frac{3\times 8+1}{3!}+\frac{2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}\)

        \(\displaystyle=\frac{8}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}\)

        \(\displaystyle\frac{2\times4+0}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}\)

        \(\displaystyle=4+\frac{0}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}\)

所以 \(a_1=4, a_2=0, a_3=1, a_4=2, a_5=2, a_6=1, a_7=5\)
作者: simon112266    時間: 2013-4-19 16:21

引用:
原帖由 bugmens 於 2012-5-4 07:46 PM 發表
6.
一個實係數三次多項式函數通過(1012012) 、(992008) 、(1022005) 、(1032016) 四點,求此函數的切線中,斜率最小的切線所在的直線方程式為?
[解法]
可以用這篇所提到的牛頓差值多項式來解題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid5274

將這四點向左平移99,向下平移2008
f(0) 0 y f(1) y 4−2y 4−y −15+3y f(2) 4 y−11 −7 29−y f(3) −3 18    11 f(4) 8        
三次多項式在三階差分時會相等
−15+3y=29−y,y=11

f(n)=0C0n+11C1n−18C2n+18C3n=3n3−18n2+26n
f(x)=3x3−18x2+26x
f(x)=9x2−36x+26=9(x−2)2−10
過點(24) 有最小斜率-10
平移回去
過點(1012012) 有最小斜率-10
切線方程式為y−2012=−10(x−101),10x+y=3022 ...
在這個討論區常常看到這樣的解法

不知是有甚麼原理,麻煩老師可以解惑


102.10.28版主補充
推薦各位可以去找這本書來看
華羅庚,與中學生談中國數學史上的幾大成就

從第17頁開始介紹了什麼是差分多項式,若f(x)是m次多項式,則第m階差分為常數的原因,以及如何從差分的結果重新將f(x)表示出來。
作者: simon112266    時間: 2013-4-20 11:53

引用:
原帖由 shiauy 於 2012-5-8 01:01 AM 發表
對於aabc,在第一個Σ會出現4!/2!=12次,故扣掉12次

對於aabb,在第一個Σ只會出現4!/(2!2!)=6次
不過在第二個Σ裡扣掉了12次,正確應只需要扣6次,故加回來6次

對於aaab,在第一個Σ只會出現4!/3!=4次
不過在第二個Σ裡扣掉了 ...
對於aabb
第二個應該扣了12*2=24次 (a^2*b*b , b^2*a*a)
所以第三個應該+18

對於aaab
但在第二個應該扣了12*2=24次 (a^2*a*b , a^2*b*a)
第四個應該+20

那最後一個就要扣27次
-12+18+20=26    26+1=27

這是在下的想法,不知道是不是有想太多>"<
作者: shiauy    時間: 2013-4-20 21:15

引用:
原帖由 simon112266 於 2013-4-20 11:53 AM 發表


對於aabb
第二個應該扣了12*2=24次 (a^2*b*b , b^2*a*a)
所以第三個應該+18

對於aaab
但在第二個應該扣了12*2=24次 (a^2*a*b , a^2*b*a)
第四個應該+20

那最後一個就要扣27次
-12+18+20=26    26+1=27

這是在 ...
在扣掉aabc的情形也才扣4!/2 = 12次
怎麼會有24次扣?
作者: simon112266    時間: 2013-4-20 22:56

引用:
原帖由 shiauy 於 2013-4-20 09:15 PM 發表

在扣掉aabc的情形也才扣4!/2 = 12次
怎麼會有24次扣?
是我誤會了~"~

[ 本帖最後由 simon112266 於 2013-4-20 10:58 PM 編輯 ]
作者: Joy091    時間: 2013-4-20 23:05     標題: 回復 65# 老王 的帖子

我發現用內積也滿好算的!
題目:
空間中,四面體 A-BCD,AB=CD=6,AC=AD=BC=5,BD=7,則四面體 A-BCD 體積為何?

令 A(0,0,0), B(6,0,0), C(3,4,0), D(x,y,z)

則有 \(\displaystyle x^2+y^2+z^2=25 ...(1)\)

\(\displaystyle 18=\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DC}=(-x,-y,-z)\cdot(3-x,4-y,-z)\)

\(\displaystyle 19=\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DB}=(-x,-y,-z)\cdot(6-x,-y,-z)\)

\(\displaystyle x(x-3)+y(y-4)+z^2=18...(2)\)

\(\displaystyle x(x-6)+y^2+z^2=19...(3)\)

(1) 代入(3) 可得 \(\displaystyle x(x-6)+25-x^2=19\), 解出 \(\displaystyle x=1\) 代回

可得 \(\displaystyle y^2+z^2=24\) 與 \(\displaystyle y(y-4)+z^2=20\), 再解出 \(\displaystyle y=1\)

於是 \(\displaystyle z=\pm \sqrt{23}\)

可取 \(\displaystyle \overrightarrow{AD}=(1,1,\sqrt{23})\)

所以四面體 A-BCD 體積為 \(\displaystyle \frac{1}{6}|\left |
\begin {array} {clr}
1 & 1 & \sqrt{23}  \\
6 & 0 & 0  \\
3 & 4 & 0  \\
\end {array} \right | |=4\sqrt{23}
\)

[ 本帖最後由 Joy091 於 2013-4-20 11:27 PM 編輯 ]
作者: weiye    時間: 2014-1-13 19:02     標題: 回復 11# arend 的帖子

計算第二題:(模仿100鳳山高中的類題的解法來寫如下~)

第 12 題:

已知 \(a_n, f(0)=a_0, f(1)=a_n+a_{n-1}+\cdots+a_0\) 皆為奇數,

假設 \(f(x)=0\) 有有理根 \(\displaystyle \frac{q}{p}\),其中 \(p,q\) 為互質的兩個非零整數,

\(\displaystyle f(\frac{q}{p})=0\Rightarrow a_n\left(\frac{q}{p}\right)^n+a_{n-1}\left(\frac{q}{p}\right)^{n-1}+\cdots+a_1\left(\frac{q}{p}\right)+a_0=0\)

\(\Rightarrow a_n q^n+a_{n-1}q^{n-1} p +\cdots+a_1 q p^{n-1}+a_0 p^n=0\)

case i: 若 \(p\) 為偶數,則因為 \(p,q\) 互質,所以 \(q\) 為奇數,

  \(a_n q^n+a_{n-1}q^{n-1} p +\cdots+a_1 q p^{n-1}+a_0 p^n \equiv a_n q^n \equiv a_n\cdot 1^n \equiv a_n \pmod2\)

  且因為 \(a_n q^n+a_{n-1}q^{n-1} p +\cdots+a_1 q p^{n-1}+a_0 p^n=0\)

  \(\Rightarrow a_n\equiv0\pmod2\) 此與 \(a_n\) 為奇數互相矛盾。

case ii: 若 \(q\) 為偶數,則因為 \(p,q\) 互質,所以 \(p\) 為奇數,

  \(a_n q^n+a_{n-1}q^{n-1} p +\cdots+a_1 q p^{n-1}+a_0 p^n \equiv a_0 p^n \equiv a_0\cdot 1^n \equiv a_0 \pmod2\)

  且因為 \(a_n q^n+a_{n-1}q^{n-1} p +\cdots+a_1 q p^{n-1}+a_0 p^n=0\)

  \(\Rightarrow a_0\equiv0\pmod2\) 此與 \(a_1\) 為奇數互相矛盾。

case iii: 若 \(p,q\) 皆為奇數,則

  \(a_n q^n+a_{n-1}q^{n-1} p +\cdots+a_1 q p^{n-1}+a_0 p^n \equiv a_n\cdot1^n+a_{n-1}\cdot1^n+\cdots+a_0\cdot1^n\equiv a_n+a_{n-1}+\cdots+a_0\pmod2\)

  且因為 \(a_n q^n+a_{n-1}q^{n-1} p +\cdots+a_1 q p^{n-1}+a_0 p^n=0\)

  \(\Rightarrow a_n+a_{n-1}+\cdots+a_0\equiv0\pmod2\) 此與 \(a_n+a_{n-1}+\cdots+a_0\) 為奇數互相矛盾。

case iv: 若 \(p,q\) 皆為偶數,此與 \(p,q\) 互質相矛盾。

故,\(f(x)=0\) 無有理根。
作者: mathca    時間: 2015-12-22 17:36     標題: 回復 15# weiye 的帖子

請問第16題,用五種顏色塗,A、B、C、D、E區域分別是指哪裡?感謝。
作者: CyberCat    時間: 2015-12-23 15:40     標題: 回復 97# mathca 的帖子

因為相鄰顏色不可相同
所以A必須與B C D E F G不同
A有5種選法
故 B C D E F G 環排上色只能用4色 (計算法可以從連結中了解)
H 不可與 G B 同色 故有 5-2=3種
J 與 I 和H 一樣有3種選擇

[ 本帖最後由 CyberCat 於 2015-12-23 03:44 PM 編輯 ]
作者: mathca    時間: 2015-12-29 18:18     標題: 回復 85# sstranger 的帖子

#85 https://math.pro/db/viewthread.p ... 8F%AF&page=9###
第十四題參考解答中,為甚麼不能跟  
台中一中 第4題 #6 一樣:
https://math.pro/db/viewthread.p ... E4%B8%AD&page=1
奧數教程高二卷第9講.gif
用同樣方法?
四面體A-BCD:a^2+b^2=36 , b^2+c^2=25 , c^2+a^2=49 ...文華第14題這題無法這樣算...請問為甚麼?

[ 本帖最後由 mathca 於 2015-12-29 06:19 PM 編輯 ]
作者: mathca    時間: 2016-1-3 12:56     標題: 回復 1# t3712 的帖子

請教填充第3題。感謝。




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