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標題: 100文華高中代理 [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2011-7-26 20:12 標題: 100文華高中代理

題目和答案請見附件

以下資料供以後的考生參考：

初試最低錄取分數 23分
2名代理教師，取10名參加複試
70,66,57,54,53,51,39,34,30,23

其他
20,19,2,缺考,缺考

共計15人

附件: 100文華高中代理.rar (2011-7-26 20:12, 518.31 KB) / 該附件被下載次數 12018
https://math.pro/db/attachment.php?aid=784&k=6b137c4bb057f27215656e584fd4558d&t=1713853966

作者: bugmens 時間: 2011-7-26 20:29

14.
從正立方體的8個頂點中選取3個作三角形，試問選到直角三角形的機率？

從一正立方體的8個頂點中任取三點可連成三角形，試問這些三角形中有幾個是正三角形？
https://math.pro/db/thread-602-1-1.html

15.
求函數\( f(x)=\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1} \)，\( x \in R \)的值域？
(初中數學競賽教程P370)

Let \( f(x)=\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1} \), show that \( -1<f(x)<1 \) for every \( x \in R \).
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=81479

Find all possible values of \( \sqrt{a^2+a+1}-\sqrt{a^2-a+1} \) where \( a \in R \).
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=232758

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-7-26 10:31 PM 編輯 ]

作者: 阿光 時間: 2011-8-5 19:40

想請教填充第9，10，11，13題謝謝

作者: Joy091 時間: 2011-8-6 09:33 標題: 回復 3# 阿光的帖子

9. 集合S ＝｛1、2、3、4、5、6、7、8、9｝，從S中取出四個不同的數字做成一個四位數，此四位數為99的倍數共有_________個。

答 : 48

假設此四位數為abcd，且令A=a+c，B=b+d (不妨先假設A>=B)

則A-B=11或0，A+B=18或27
解聯立之後會發現只有一種可能 : A=B=9
(其餘解有的太大，有的不是整數)

9 = 1+8 = 2+7 = 3+6 = 4+5
因而找出以下6種可能 :
1287, 1386, 1485, 2376, 2475, 3465

再考慮a,c互換，b,d互換，A,B互換
推得共 6*2*2*2 = 48 個。

13. 甲乙丙丁4位同學代表班上參加為期2日的運動會，比賽項目有「100公尺短跑」「跳遠」「跳高」「趣味競賽」「馬拉松」，每位同學每日參加一項目的比賽，且2日參賽項目都不相同，若第1日不舉辦「趣味競賽」，第2日不舉辦「100公尺短跑」，其他項比賽每日皆舉辦1次且皆派1人代表參加，則有____________種參賽方法。

答 : 264

假設比賽項目為A,B,C,D,E
第一天比 A,B,C,E，第二天比B,C,D,E

首先，第一天的比賽共有 4! 種參賽方法

為方便討論，假設第一天的A項目由甲參加

在第二天的時候，
case1.
若甲參加D項目，則乙丙丁又是參加B,C,E，所以是三封信的”錯排”，有2*1*1=2種方法

case2.
若甲不參加D項目 (還有3種可能B,C,E)，例如甲參加了B項目
則乙丙丁參加C,D,E，
必須再討論第一天參加B項目的人今天參加什麼項目 :
case2-a 參加D，則剩餘兩人只剩1種參賽方式
case2-b 參加C或E，則剩餘兩人也是只剩1種參賽方式

所以第二天有1*2+3*(1*1+2*1)=11 種。

故這兩天有4!*11=264 種參賽方法。

[ 本帖最後由 Joy091 於 2011-8-6 09:34 AM 編輯 ]

作者: weiye 時間: 2011-8-6 09:40 標題: 回復 3# 阿光的帖子

第 10 題：

設此四位數字的千百十個位數分別為 \(a,b,c,d\)，則

\(a+b+c+d=9*m\) 且 \((a+c)-(b+d)=11*n\)

其中 \(m,n\) 為整數

更甚者，可得

　　\(a+b+c+d=9, 18,\) 或 \(27\)

　　且

　　\((a+c)-(b+d)=-11,0,\) 或 \(11\)

以上兩者解聯立方程式求 \(a+c\) 與 \(b+d\)，

共 \(3*3=9\) 組聯立方程式中，

只有 \(a+c+d+d=18, (a+c)-(b+d)=0\) 會有合理的解，

解得 \((a+c, b+d)=(9,9)\)

又 \(9=1+8=2+7=3+6=4+5\)

所以，

\((a,b,c,d)\) 有序數組的可能解有 \(4*3*2!*2!=48\) 個。

出處：臺中一中99資優鑑定數學科實作測驗試題

　　　http://www.tcfsh.tc.edu.tw/adm/exam/math/math99/M-2.pdf

作者: weiye 時間: 2011-8-6 09:56 標題: 回復 3# 阿光的帖子

第 10 題

令 \(\displaystyle g(x)=\sqrt{x}, h(x)=\int_0^x \frac{t^2}{1+t^2+t^4}dt\)

則 \(f(x)=h(g(x))\)

\(\Rightarrow f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)\)

\(\Rightarrow f''(x)=h''(g(x))g'(x)\cdot g'(x)+h'(g(x))\cdot g''(x)\)

\(\Rightarrow f''(1)=h''(g(1))\cdot \left(g'(1)\right)^2+h'(g(1))g''(1)\)

（開始來找尋各個部分！）

\(\displaystyle g(x)=\sqrt{x}\Rightarrow g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\Rightarrow g''(x)=-\frac{1}{4x\sqrt{x}}\)

\(\displaystyle \Rightarrow g(1)=1, g'(1)=\frac{1}{2}, g''(1)=-\frac{1}{4}\)

而且，

\(\displaystyle h(x)=\int_0^x \frac{t^2}{1+t^2+t^4}dt \Rightarrow h'(x)=\frac{x^2}{1+x^2+x^4}\)

\(\displaystyle \Rightarrow h''(x)=\frac{2x^5-2x}{(1+x^2+x^4)^2}\)

\(\displaystyle \Rightarrow h'(g(1))=h'(1)=\frac{1}{3}, h''(g(1))=h''(1)=0\)

故，所求＝\(\displaystyle 0\times\left(\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{3}\times\left(-\frac{1}{4}\right)=-\frac{1}{12}.\)

作者: weiye 時間: 2011-8-6 10:04 標題: 回復 3# 阿光的帖子

第 11 題：

因為當 \(x\to4\) 時，分子分母都趨近於 \(0\)，

且 \(\displaystyle \lim_{x\to4} \frac{d}{dx}\left(x-4\right)=\lim_{x\to4} 1=1\)

且 \(\displaystyle \lim_{x\to4} \frac{d}{dx}\left(\int_4^x\frac{1}{t+\sqrt{t}}\right)=\lim_{x\to4}\frac{1}{x+\sqrt{x}}=\frac{1}{6}\)

所以，由 L'Hopital's Rule ，可得

所求＝\(\displaystyle \frac{\frac{1}{6}}{1}=\frac{1}{6}.\)

作者: 阿光 時間: 2011-8-6 20:12

第9,10,11,13題,我都看懂了,非常感謝老師

作者: zero 時間: 2011-9-12 15:08 標題: 請問第五題如何做?

5. 由1,2,3,.....,20挑出\(\displaystyle x_{1}, x_{2}, x_{3}\)三個數字, 且\(\displaystyle x_{1}\) <\(\displaystyle x_{2}\)<\(\displaystyle x_{3}\)
,求\(\displaystyle x_{1}與 x_{2}\)至少差3, \(\displaystyle x_{2}與 x_{3}\)至少差5的機率?

[ 本帖最後由 zero 於 2011-9-12 03:39 PM 編輯 ]

作者: Joy091 時間: 2011-9-13 10:39 標題: 回復 9# zero 的帖子

5. 由 1,2,3,.....,20 挑出 \(x_1,x_2,x_3\) 三個數字, 且 \(x_1 <x_2<x_3\),
求 \(x_1\) 與 \(x_2\) 至少差 3, \(x_2\) 與 \(x_3\) 至少差 5 的機率?  答: \(\displaystyle \frac{91}{285}\)

所有可能為 :  \(C^{20}_3\)

假設 \(x_1\) 之前有 \(a\) 個數字， \(x_1\) 與 \(x_2\) 之間有 \(b\) 個數字， \(x_2\) 與 \(x_3\) 之間有 \(c\) 個數字，\(x_3\) 之後有 \(d\) 個數字

則 \(a\geq0,b\geq2,c\geq4,d\geq0\)  且 \(a+b+c+d=17\)

因此題目要求的狀況  與  \(a+b'+c'+d=11\) 的非負整數解組數一樣多，為 \(C^{11+3}_3\)

故所求機率 = \(\displaystyle \frac{C^{14}_3}{C^{20}_3}=\frac{91}{285}\approx 0.318\)

使用 R 軟體模擬實驗，參考指令如下 :

n=10000
z=rep(0,n)
A=replicate(n,sample(1:20,3))
for(i in 1:n){
A[,i]=sort(A[,i])
if(A[3,i]-A[2,i]>=5 & A[2,i]-A[1,i]>=3) z[i]=1
}
sum(z)/n

詳見  https://math.pro/db/thread-51-1-1.html  的說明 !

[[i] 本帖最後由 Joy091 於 2011-9-13 11:25 AM 編輯 [/i]]

作者: zero 時間: 2011-9-14 16:11 標題: 回復 10# Joy091 的帖子

感謝joy大大把它化成非負整數解變得好簡單

作者: 沙士 時間: 2011-11-23 14:20 標題: 回復 6# weiye 的帖子

請問瑋岳老師，第10題中
f'(x)=h'(g(x))‧g'(x)再微一次變成f"(x)=h"(g(x))‧g'(x)+h'(x)‧g"(x)
這步為何不是變成f"(x)=h"(g(x))‧[g'(x)]^2+h'(x)‧g"(x)？？
h"(g(x))裡的g(x)不用再微一次嗎？？
感謝解惑~~~~~~~

作者: weiye 時間: 2011-11-23 22:14 標題: 回復 12# 沙士的帖子

要，是我筆誤了～：Ｐ

的確是要用 chain rule ～哈

還好 \(h'(1)=0\) 所以沒有影響到答案，

馬上來修改～：Ｐ

作者: maymay 時間: 2011-12-31 22:44 標題: 請教填充6, 哪裡有誤呢?謝謝

6.試求30!的正因數個數?

因為30!=(2)^26*(3)^14*(5)^7
所以正因數個數為(26+1)*(14+1)*(7+1)=3240

答案公佈是2332800

作者: weiye 時間: 2011-12-31 23:11 標題: 回復 14# maymay 的帖子

作者: maymay 時間: 2012-1-1 16:47 標題: 回復 15# weiye 的帖子

原來我是漏了30以下的質因數,謝謝瑋岳老師.
新年快樂

作者: WAYNE10000 時間: 2012-1-11 22:22 標題: 請教~

8.
設\(f(x)=ax^2+bx+c\)，(\(a,b,c \in R,a \ne 0,x \in R\))，已知\( -1\le f(1) \le 2 \),\( 2\le f(2)\le 4 \),\(-3 \le f(3)\le4\)，令\(f(4)\)的最大值為\(M\)，最小值為\(m\)，則\(2M+m=\)　　　。

我怎麼算都算不出正解

12.
試求\( \displaystyle C_0^{21}+\frac{1}{2}C_1^{21}+\frac{1}{3}C_2^{21}+\frac{1}{4}C_3^{21}+\ldots+\frac{1}{22}C_{21}^{21}= \)　　　。

我用積分算答案是11分之2的21次方，不知道盲點在哪

請教各位先謝謝大家了!!

作者: weiye 時間: 2012-1-11 23:02 標題: 回復 17# WAYNE10000 的帖子

填充第 8 題：

偷懶一下，令 \(f(1)=x, f(2)=y, f(3)=z\)

由 \(x=a+b+c, y=4a+2b+c, z=9a+3b+c\)

可得 \(\displaystyle a=\frac{x-2y+z}{2},b=-\frac{5x-8y+3z}{2},c=3x-3y+z\)

\(\displaystyle \Rightarrow f(4)=16\cdot\frac{x-2y+z}{2}+4\cdot\left(-\frac{5x-8y+3z}{2}\right)+3x-3y+z=x-3y+3z\)

已知 \(-1\leq x\leq 2\)

因為 \(2\leq y\leq4\)，所以 \(-12\leq -3y\leq-6\)

因為 \(-3\leq z\leq4\)，所以 \(-9\leq 3z\leq 12\)

由上三式可得 \((-1)+(-12)+(-9)\leq x-3y+3z\leq 2+(-6)+12\Rightarrow -22\leq f(4)\leq8\)

所以，\(f(4)\) 的最大值 \(M=8\)，最小值 \(m=-22\Rightarrow 2M+m=-6\)

註：有興趣的話，還可以解出當 \(f(4)\) 有最大值（或最小值）時，對應的 \(f(1),f(2),f(3)\) 及 \(a,b,c\) 的值。

110.8.15補充
若二次實係數多項式函數\(f(x)\)滿足\(\cases{-1\le f(1)\le 3 \cr 6 \le f(2)\le 10 \cr 2 \le f(4) \le 24}\)，則\(f(7)\)的最大值？
(110竹東高中，https://math.pro/db/thread-3533-1-1.html)

作者: weiye 時間: 2012-1-11 23:22 標題: 回復 17# WAYNE10000 的帖子

第 12 題

解一：

對任意 \(k=0,1,2,\cdots, 21\)

\(\displaystyle \frac{1}{k+1}C^{21}_k=\frac{1}{k+1}\cdot\frac{21!}{k!(21-k)!}=\frac{1}{22}\cdot\frac{22!}{(k+1)!(21-k)!}=\frac{1}{22}C^{22}_{k+1}\)

因此，

所求＝\(\displaystyle \frac{1}{22}\left(C^{22}_1+C^{22}_2+C^{22}_3\cdots+C^{22}_{22}\right)\)

　　　\(\displaystyle =\frac{1}{22}\left(2^{22}-1\right)=\frac{4194303}{22}\)

註：\(2^{22}=2^{10}\cdot2^{10}\cdot4=1024\times1024\times4\)

解二：

因為 \((1+x)^{21}=C^{21}_0+C^{21}_1x+C^{21}_2 x^2+\cdots+C^{21}_{21}x^{21}\)

等號的左右兩邊同時對 \(x\) 積分，

可得 \(\displaystyle \frac{1}{22}(1+x)^{22}=C^{21}_0x+\frac{1}{2}C^{21}_1x^2+\frac{1}{3}C^{21}_2 x^3+\cdots+\frac{1}{22}C^{21}_{21}x^{22}+k\)

其中 \(k\) 為常數，

將 \(x=0\) 帶入，可解得 \(\displaystyle k=\frac{1}{22}\)

因此，\(\displaystyle \frac{1}{22}(1+x)^{22}=C^{21}_0x+\frac{1}{2}C^{21}_1x^2+\frac{1}{3}C^{21}_2 x^3+\cdots+\frac{1}{22}C^{21}_{21}x^{22}+\frac{1}{22}\)

\(\displaystyle \Rightarrow C^{21}_0x+\frac{1}{2}C^{21}_1x^2+\frac{1}{3}C^{21}_2 x^3+\cdots+\frac{1}{22}C^{21}_{21}x^{22}=\frac{1}{22}\left(\left(1+x\right)^{22}-1\right)\)

將 \(x=1\) 帶入上式，即可得所求＝\(\displaystyle \frac{1}{22}\left(2^{22}-1\right)=\frac{4194303}{22}\)

110.8.15補充
求滿足\(\displaystyle C_0^n+\frac{1}{2}C_1^n+\ldots+\frac{1}{n+1}C_n^n=\frac{31}{n+1}\)的正整數\(n\)。
https://math.pro/db/thread-3224-1-1.html

設\(n\)為自然數，若\(\displaystyle C_0^n+\frac{1}{2}C_1^n+\frac{1}{3}C_2^n+\ldots+\frac{1}{n+1}C_n^n=\frac{4095}{n+1}\)，則\(n=\)　　　。
(110桃園高中，https://math.pro/db/thread-3512-1-1.html)

作者: 老王 時間: 2012-1-15 21:30

第9題:S={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，從S中選出四個不同數字組成四位數，此四位數為99的倍數共有幾個??

我們學習11的倍數的判別法則都是奇數位和減去偶數位和，或甚至三位一節去做加減(同7,13的判別法)；
但是獨特的還有另外一種，就是很容易證明

\(\displaystyle \underline{abcd} \equiv \underline{ab}+\underline{cd} \)

於是我們只要兩位一節，然後相加即可。
用在本題，馬上可以知道必須是
\(\displaystyle \underline{ab}+\underline{cd}=99 \)
以及
\(\displaystyle a+c=9,b+d=9 \)
就可解出

作者: mandy 時間: 2012-1-16 21:30 標題: 請問第四題及第十四題如何做?

請問第四題及第十四題如何做?
其中第十四題: 我的做法是一個頂點可以找到四個直角三角形，所以八個可以找到32個直角三角形，可是答案是48個直角三角形

4.
設\(A(4,3,2)\)，\(B(2,1,4)\)，點\(P\)在平面\(E\)：\(x-2y-2z=-1\)上移動，則\(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2\)的最小値為　　　。

14.
從正立方體的8個頂點中選取3個作三角形，試問選到直角三角形的機率=　　　。

作者: weiye 時間: 2012-1-17 09:46 標題: 回復 21# mandy 的帖子

填充題第 4 題：

解一：

先求出 \(\overline{AB}\) 的中點 \(M(3,2,3)\)

在 \(\triangle ABP\) 中，因為 \(M\) 為中點，

所以由三角形的中線定理，可得 \(\displaystyle \overline{PA}^2+\overline{PA}^2=2\left(\overline{AM}^2+\overline{PM}^2\right)\)

因為 \(\displaystyle \overline{AM}=\sqrt{3}\)

且 \(\overline{PM}\) 的最小值為 \(\displaystyle d(M,L)=\frac{\left|3-4-6+1\right|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+(-2)^2}}=2\)

因此 \(\overline{PA}^2+\overline{PA}^2\) 的最小值為 \(2\left(\left(\sqrt{3}\right)^2+2^2\right)=14.\)

解二：

令 \(P(2t+2s-1,t,s)\) 其中 \(t,s\) 皆為實數，

則 \(\displaystyle \overline{PA}^2+\overline{PB}^2=\left(2t+2s-5\right)^2+\left(t-3\right)^2+\left(s-2\right)^2+\left(2t+2s-3\right)^2+\left(t-1\right)^2+\left(s-4\right)^2\)

　　　　　　\(=10t^2+16st-40t+10s^2-44s+64\)

　　　　　　\(\displaystyle =10\left(t+\frac{4s}{5}-2\right)^2+\frac{18}{5}\left(s-\frac{5}{3}\right)^2+14\geq14.\)

作者: weiye 時間: 2012-1-17 09:57 標題: 回復 21# mandy 的帖子

第 14 題

分母＝\(C^8_3=56\)

為方便解說，設此正立方體的邊長為 \(1\)，

分子＝（邊長為\(1,1,\sqrt{2}\) 的直角三角形個數）＋（邊長為\(1,\sqrt{2},\sqrt{3}\) 的直角三角形個數）

　　\(=6\times4 + 6\times 4=48\)

所求＝\(\displaystyle \frac{48}{56}=\frac{6}{7}.\)

註：

六面邊長為 \(1\) 的正方形，每面有四個直角三角形；

六面長、寬為 \(1,\sqrt{2}\)的長方形，每面有四個直角三角形。

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作者: pizza 時間: 2012-2-1 16:04

5.
由\(1,2,3, \ldots,20\)挑出\(x_1,x_2,x_3\)三個數字，且\(x_1<x_2<x_3\)，求\(x_1\)與\(x_2\)至少差3，\(x_2\)與\(x_3\)至少差5的機率為　　　。

關於填充第五題,我全部把它列出來,為何算不出答案?
計算如下
\( (x_1,x_2,x_3)=(1,4,9\to 20) \) 共12個
\( (x_1,x_2,x_3)=(1,5,10\to 20) \) 共11個
...
\( (x_1,x_2,x_3)=(1,15,20) \) 共1個

\( (x_1,x_2,x_3)=(2,5,10\to 20) \) 共11個
\( (x_1,x_2,x_3)=(2,6,11\to 20) \) 共10個
...
\( (x_1,x_2,x_3)=(2,15,20) \) 共1個

一直到
\( (x_1,x_2,x_3)=(12,15,20) \) 共1個
所以一共有(12+11+...+1)+(11+10+...+1)+...+(2+1)+1=364個

為什麼會跟答案\(\frac{91}{285}=\frac{455}{C(20,3)} \)的分子差了91
很納悶少算了哪個?

作者: weiye 時間: 2012-2-1 21:00 標題: 回復 24# pizza 的帖子

你沒算錯， \(\displaystyle \frac{364}{C^{20}_3}=\frac{91}{285}.\)

填充第 5 題：

題目：由 \(1, 2, 3, …, 20\)挑出 \(x_1, x_2, x_3\) 三個數字﹐且 \(x_1<x_2<x_3\) ，求 \(x_1\) 與 \(x_2\) 至少差 \(3\)， \(x_2\) 與 \(x_3\) 至少差 \(5\) 的機率為何？

解答：

將 1 至 20 這二十個號碼由左至右排成一列，

將被選到的號碼用符號◆來表示，

將沒有被選到的號碼用符號□來表示，

則這 3 個◆ 跟 17 個□到底會有怎樣的排列的情況呢？且讓我們看下去～

先將 ◆ ◆ ◆ 插入題目要求的 □ ～～如下圖：

　　　◆ □□ ◆ □□□□ ◆

這樣就能保證被選出來的較小的兩個號碼之間相差至少 3 ，

被選出來的較大的兩個號碼之間相差至少 5 ，

可是～～～還有 11 個□還沒有排入呀！！！！

好吧～將這 11 個□排入由三個隔板～噢，是三個◆所區隔開來的四個區域中，

因此總共會有 \(H^4_{11}=C^{14}_{11}=364\) 種排列方法數，

每一種排列的方法數就對應到一種選出 \(x_1,x_2,x_3\) 三個號碼的方法。

分子＝\(364\)

分母＝\(C^{20}_3=1140\)

所求機率＝\(\displaystyle\frac{364}{1140}=\frac{91}{285}.\)

作者: pizza 時間: 2012-2-1 22:24 標題: 回復 25# weiye 的帖子

感謝weiye,原來錯在一個讓人覺得愚蠢的地方

也謝謝你提供另一個方法^^

作者: man90244 時間: 2012-3-28 23:19

想請教第15題????

作者: tsusy 時間: 2012-3-29 11:42 標題: 回復 27# man90244 的帖子

15.
求函數\( f(x)=\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1} \),\(x \in R\)的値域　　　。
[解答]
配方 \( f(x)=\sqrt{(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}-\sqrt{(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}} \)

將其看成點 \( (x,\frac{\sqrt{3}}{2}) \) 到 \( (\pm\frac{1}{2},0) \) 的距離差

由三角不等式得 \( -1<f(x)<1 \)

而當 \( x \to \pm \infty \) 時 \( f(x) \to \pm 1\)

作者: man90244 時間: 2012-3-29 21:44

想請教第7題?????

7.
平面上有一橢圓，已知其焦點為\((2\sqrt{5},0)\)和\((-2\sqrt{5},0)\)，且\(x+2y=5\)為此橢圓的切線，求此橢圓方程式為　　　。

作者: weiye 時間: 2012-3-29 21:56 標題: 回復 29# man90244 的帖子

第 7 題：

將兩焦點 \(F_1,F_2\) 其中的 \(F_1\) 對稱切線得 \(F_1'\)

\(\overline{F_1'F_2}\) 即為橢圓長軸長 \(2a\)（由光學性質即可知），

還有 \(2c=\overline{F_1F_2}\)，

可得 \(b=\sqrt{a^2-c^2}\)

橢圓中心點為 \(\displaystyle\frac{F_1+F_2}{2}\)

又橢圓為橫擺（\(F_1\) 與 \(F_2\) 有相同的 \(y\) 坐標），

可得橢圓方程式。

作者: tsusy 時間: 2012-3-29 21:57 標題: 回復 29# man90244 的帖子

第七題，運用橢圓的光學性質。
就是光從焦點打到橢圓上反射後通過另一焦點。

所以只要把焦點對切線做對稱後，和另一焦點的距離為長軸長 \( 2a \)

剩下的計算就不詳述了

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-3-30 06:25 PM 編輯 ]

作者: man90244 時間: 2012-3-30 11:17

想請教一下
計算題第一題的答案???????

計算1.
過點\(P(1,2)\)作一直線\(L\)與拋物線\(\displaystyle y=\frac{1}{5}x^2\)交於\(A,B\)兩點，\(O\)表原點，若\(∠AOB\)為直角，求直線\(L\)的方程式　　　。

作者: t3712 時間: 2012-3-30 15:23

我算的答案是：3x+y-5=0

作者: hua77825 時間: 2012-4-3 23:31

請問一下計算一是不是還有另外一個答案呢@_@?

y=2x or y= -3x+5 ?

作者: tsusy 時間: 2012-4-4 00:06 標題: 回復 34# hua77825 的帖子

\( y=2x \) 那像 A, B 有個點和 O 重合了，所以不合

作者: man90244 時間: 2012-4-5 22:34

想請教第7題詳細過程???
我算的都跟答案不一樣阿!!!!!!!!!

作者: Ellipse 時間: 2012-4-5 23:43

引用:

原帖由 man90244 於 2012-4-5 10:34 PM 發表
想請教第7題詳細過程???
我算的都跟答案不一樣阿!!!!!!!!!

假設F(2*5^0.5,0) ,F'(-2*5^0.5,0) ,c=2*5^0.5,c^2=20
將F以L:x+2y-5=0為對稱軸,對稱到L的另一邊,令此點為K
則K為((6*5^0.5+10)/5,(-8*5^0.5+20)/5),又設KF'與橢圓的交點為P
依橢圓的定義知PF+PF'=PK+PF'=KF'=2*21^0.5=2a
所以a=21^0.5 ,b^2=a^2-c^2=21-20=1 ,b=1
所求為:x^2/21+y^2/1=1

作者: Ling 時間: 2015-10-3 20:52 標題: 請問計算1

過點\(P(1,2)\)作一直線\(L\)與拋物線\(\displaystyle y=\frac{1}{5}x^2\)交於\(A,B\)兩點，\(O\)表原點，若\(∠AOB\)為直角，求直線\(L\)的方程式　　　。

作者: thepiano 時間: 2015-10-3 21:41 標題: 回復 38# Ling 的帖子

計算第1題
請參考附件

[ 本帖最後由 thepiano 於 2015-10-3 09:49 PM 編輯 ]

附件: 20151003_2.pdf (2015-10-3 21:49, 103.31 KB) / 該附件被下載次數 5451
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3090&k=dbadd6cee0064b830e7adb714a7c168c&t=1713853966

作者: anyway13 時間: 2019-1-6 21:44 標題: 請教第15題

版上老師好!

第15題若是將圖形想成是 (x,0)  ,(-0.5, (根號3)/2)  ,(0.5, -(根號3)/2)

則根據三角不等式可得  f<2    ( (-0.5, (根號3)/2)  ,(0.5, -(根號3)/2)的距離是2)

想要請問的是,若是取到這樣的點而不是寸絲老師取的(x,(根號3)/2)),(0.5,0),(-0.5,0)  那這樣不是就找錯值域了?

有什麼觀念漏掉了嗎(已經注意取成(x,0)  ,(-0.5, (根號3)/2)  ,(0.5, -(根號3)/2)圖形的共線成立可達成)

作者: weiye 時間: 2019-1-7 08:52 標題: 回復 40# anyway13 的帖子

你找到的是 |f(x)|<2 ⇒ -2 < f(x) < 2
2 與 -2 分別是 f(x) 的上界跟下界，
但不是 f(x) 的最小上界跟最大下界。

寸絲解答的最後一行就是在說明 1, -1 分別是 f(x) 的最小上界跟最大下界。

圖片附件: IMG_20190107_085719.jpg (2019-1-7 08:58, 1.2 MB) / 該附件被下載次數 4593
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4767&k=57eab582b8807b652e7084a986581103&t=1713853966

作者: anyway13 時間: 2019-1-7 19:14 標題: 回復 41# weiye 的帖子

weiye老師謝謝您懂了

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