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標題: 100香山高中 [打印本頁]

作者: JOE 時間: 2011-7-13 13:05 標題: 100香山高中

如題

附件: [100香山高中題目及答案] 100香山高中.rar (2014-11-22 12:50, 203.55 KB) / 該附件被下載次數 11696
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作者: JOE 時間: 2011-7-13 13:09

想請問計算第二感謝

作者: oscar 時間: 2011-7-13 16:14

計算2.
設\(\displaystyle a_n=\left[\left(\frac{n+1}{n}\right)\left(\frac{n+2}{n}\right)\left(\frac{n+3}{n}\right)\ldots \left(\frac{n+n}{n}\right)\right]^{\frac{1}{n}}\)，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n\)。
[提示]
將 \( a_n\) 取 \( ln \) 以後，就變成 Riemann Sum。

作者: JOE 時間: 2011-7-13 17:55 標題: 回復 3# oscar 的帖子

\(a,b\in R\)，若\(ax+by=1\)與\(x^2+y^2=50\)僅有整數解，求數對\((a,b)\)有多少組？　　　。

想請問填充七的做法

\(x^2+y^2=50\)圖形上找格子點共有12個

\(ax+by=1\)圖形為一直線,只通過上述12個格子點的直線共有\(C(12,2)+C(12,1)\)條

直線條數不是應該要等於數對\((a,b)\)組數?

但答案不對，請老師指正

作者: 老王 時間: 2011-7-13 21:42 標題: 回復 4# JOE 的帖子

要扣掉通過原點的，因為方程式中常數項為1。

作者: Herstein 時間: 2011-7-14 17:10

想請教填充3.6.8 和計算一, 謝謝!!

作者: 老王 時間: 2011-7-15 09:53 標題: 回復 6# Herstein 的帖子

3
主人宴客，刻意安排10個互不認識的客人一同圍坐一圓桌，希望客人能互相認識，不料席間每位客人都只與相鄰的人交談認識。飯局後主人從中隨意挑選四人，試求四人皆互不認識的機率？　　　
[解答]
第一個任取，接下來要在9個裡面取3個，但不得相鄰，就變成7個直線不相鄰，
用剩下4個去隔開，所以是
\(\displaystyle \frac{C_3^5}{C_3^9}=\frac{5}{42} \)

8
\(f(x)\)為整係數多項式，且領導係數為1，\(x=1-\root 3 \of 2-\root 3 \of 4\)為\(f(x)=0\)之一解，求次數最低之\(f(x)=\)　　　。
[解答]
令\(\displaystyle a=\sqrt[3]{2} \)
\(\displaystyle x=1-a-a^2 \)
老技巧，考慮\(\displaystyle (1+a)^3=3+3\sqrt[3]{2}+3\sqrt[3]{4}=3(1+a+a^2)=3(2-x) \)
\(\displaystyle (x-1)=-a-a^2=-a(1+a) \)
兩邊三方
\(\displaystyle x^3-3x^2+3x-1=-2*3(2-x) \)
\(\displaystyle x^3-3x^2-3x+11=0 \)
顯然這是最低次

6
先在橢圓蛋糕\(30cm\)的長軸與\(20cm\)的短軸上各切一刀,若欲將蛋糕八等份，且每一刀均切過橢圓中心，則下一刀與長軸所夾銳角為多少？　　　。
[解答]
將半徑15的圓作伸縮變換成橢圓

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作者: milkie1013 時間: 2011-7-15 10:59 標題: 回復 5# 老王的帖子

請教老王老師~
第七題  ax+by=1圖形為一直線,只通過上述12個格子點的直線共有C(12,2)+C(12,1)條
         ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
這個部份....為什麼一定可這樣取?
ex (1,7)是滿足x^2+y^2=50的整數點
代入 ax+by=1得 a+7b=1
那可令a=-6+7k
         b=1-k          k屬於R
又因為a.b屬於R
那麼這樣代出來不就有無限多組解@@?
請問我的想法哪裡出錯了...
謝謝您的回覆

作者: milkie1013 時間: 2011-7-15 11:30 標題: 請教計算第一題

請問計算第1題
感覺上跟成淵高中的青蛙跳很像
只不過A不能直接跳到C
B不能直接跳到D
不過該如何把以上那兩種狀況去除呢?
懇請指點~
謝謝大家

作者: Joy091 時間: 2011-7-15 14:55 標題: 回復 9# milkie1013 的帖子

計算題1.
如下圖, \(O\)為正方形\(ABCD\)的中心。程式設定讓機器跳蚤在圖中諸點之間跳動﹐每次都可以跳到相鄰的任何一點﹐例如：由\(A\)點可跳到\(O\)﹑\(B\)﹑\(D\)中的任何一點﹐由\(O\) 點可跳到\(A\)﹑\(B\)﹑\(C\)﹑\(D\)中的任何一點。設從\(O\)點開始﹐經\(n\)次跳動返回 \(O\)點的路線有 \(\displaystyle a_n \)種﹐而經\(n\)次跳動到達\(A\) 點的路線有 \(\displaystyle b_n \)種，試求 \(\displaystyle a_6+b_6\)  。    答: 320+256=576種
A-----------------D
|                      |
|       O          |
|                      |
B-----------------C
參考解法: 考慮經 n 次跳動，落在角落(A,B,C,D)的方法數 \(\displaystyle k_n \)

首先， \(\displaystyle k_1=4, k_2=4*2=8 \)
\(\displaystyle k_3=2k_2+4k_1=32 \)

這是因為第 3 次跳到角落的方法數 \(\displaystyle k_3 \)有 2 個來源 :
1. 第 2 次就在角落，又跳到角落，有 \(\displaystyle 2k_2 \)種
2. 第 2 次在中心(即 O 點)，再跳到角落，有 \(\displaystyle k_1*1*4=4k_1 \) 種，
其中 \(\displaystyle k_1*1 \) 表示第 2 次在中心的方法數，由第 1 次在角落的方法數乘以1而來 !

因此， \(\displaystyle k_n=2k_{n-1}+4k_{n-2},n=3,4,5,6,... \)
而且滿足 \(\displaystyle \frac{k_n}{4}=b_n \) (4個角落為對稱情形)， \(\displaystyle k_{n-1}=a_n \)

因為 \(\displaystyle <k_n>=4,8,32,96,320,1024,... \)
故 \(\displaystyle a_6+b_6=k_5+\frac{k_6}{4}=320+\frac{1024}{4}=320+256=576 \)

作者: milkie1013 時間: 2011-7-15 16:30 標題: 回復 10# Joy091 的帖子

感謝您詳細的說明^__^

作者: dennisal2000 時間: 2011-7-17 18:44

引用:

原帖由 milkie1013 於 2011-7-15 10:59 AM 發表
請教老王老師~
第七題 ax+by=1圖形為一直線,只通過上述12個格子點的直線共有C(12,2)+C(12,1)條
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
這個部份....為 ...

我也有同樣的疑問...

另外還想請問填充第四八面體塗八色的問題~

作者: dennisal2000 時間: 2011-7-17 18:48

填充第11題
求不等式\(log_{(x+y)}\sqrt{1-x^2}>log_{(x+y)}y\)所形成的區域面積=　　　。

我的算式是 pi/4 - 1/2 + 3/2 - pi/4 = 1
不知哪裡有錯 , 請高手賜教~

作者: JOE 時間: 2011-7-17 19:18 標題: 回復 13# dennisal2000 的帖子

y是真數,y必須為正,只考慮x軸上方的面積

作者: JOE 時間: 2011-7-17 19:34 標題: 回復 12# dennisal2000 的帖子

聯立方程式的解,即為圖形交點,因為只有整數解,所以交點必為格子點
又直線與圓若有交點,最多兩交點,且交點情形與直線,為一一對應.
所以討論交點的可能情形即可.
扣除六條過原點直線,是因為ax+by=1,顯然不過原點

正八面體塗色情況=8!*(1/4)*(1/6)=1680
                                    ~~~ ~~~
                           (1/4)=>以頂點A為最下方之頂點,若顏色相對位置相同,視作相同塗法,旋轉四次皆為同一種方法
                           (1/6)=>頂點ABCDEF皆可當最下方之頂點,翻轉六次皆為同一種方法

作者: dennisal2000 時間: 2011-7-17 22:48 標題: 回復 15# JOE 的帖子

感謝 JOE 詳細的解說~~

作者: 阿光 時間: 2011-7-29 05:07

想請教填充7 謝謝

作者: Joy091 時間: 2011-8-3 18:07 標題: 回復 20# 阿光的帖子

填充7.
\(\displaystyle a,b\in R \) ，若 \(\displaystyle ax+by=1 \) 與 \(\displaystyle x^2+y^2=50 \) 僅有整數解，求數對 \(\displaystyle (a,b) \) 有多少組？

答: \(\displaystyle 72=C^{12}_1+C^{12}_2-6 \)

首先，這個圓通過 \(\displaystyle (\pm1,\pm7),(\pm5,\pm5),(\pm7,\pm1) \) 共 4+4+4=12 個格子點

所以數對 \(\displaystyle (a,b) \) 必須使直線  \(\displaystyle ax+by=1 \) 經過這些點中的 1個或 2個  (分別是圓的切線與割線)

但是要小心直線  \(\displaystyle ax+by=1 \) 不經過原點!

所以數對 \(\displaystyle (a,b) \) 有  \(\displaystyle C^{12}_1+C^{12}_2-6=72 \) 組。

作者: may513 時間: 2011-12-20 22:35 標題: 回復 7# 老王的帖子

我還是看不懂填充6...
可以再詳細一點點嗎
感謝~

作者: tsusy 時間: 2011-12-21 09:51 標題: 回復 22# may513 的帖子

用到的是線性變換面積比的性質，即比為絕對值的 det

先平分圓的問題，透過線性變換面積比的性質，

得知平分橢圓的問題。

記得以前高中的時候，做過一題：求直線和橢圓夾出的面積，亦是用此方法。

透過線性變換，轉換成「算直線與圓夾出的弓形面積」。

再乘上絕對值的 det。

作者: pizza 時間: 2012-1-14 23:14

請問填充13該怎麼做? 謝謝

作者: weiye 時間: 2012-1-14 23:35 標題: 回復 24# pizza 的帖子

填充第 13 題
\( n \)為四位數，且各位數字和恰為12，試求\( n \)有幾個？
[解答]
設此四位數的千、百、十、個位分別為 \(a,b,c,d\)

則 \(a+b+c+d=12\)

其中 \(1\leq a\leq 9,\, 0\leq b\leq 9,\, 0\leq c\leq 9,\, 0\leq d\leq 9\)

所求＝\(H_{11}^4-C^3_1 H_1^4 -C^1_1 H_2^4 = 342\)

（註：任意－\(b,c,d\)某個爆掉－\(a\)爆掉）

作者: pizza 時間: 2012-1-15 10:20 標題: 回復 25# weiye 的帖子

感謝weiye的解答,但是還是有一點小疑惑,

b,c,d某個爆掉的時候,不用分狀況討論嗎?例如b=10,b=11都是不合理的情況,
這不用分開算嗎?為什麼只要乘上 \(H_1^4\)就好?
謝謝

作者: Ellipse 時間: 2012-1-15 11:19

引用:

原帖由 pizza 於 2012-1-15 10:20 AM 發表
感謝weiye的解答,但是還是有一點小疑惑,

b,c,d某個爆掉的時候,不用分狀況討論嗎?例如b=10,b=11都是不合理的情況,
這不用分開算嗎?為什麼只要乘上 \(H_1^4\)就好?
謝謝 ...

幫weiye老師回答一下:
假設a'=a-1
當b=10時,a'+c+d=1,共有 H(3,1)組
當b=11時,a'+c+d=0,共有 H(3,0)組
而H(3,0)+H(3,1)=H(4,1)
你的疑問在這裡吧?

作者: weiye 時間: 2012-1-15 22:09 標題: 回復 26# pizza 的帖子

以 \(b\) 爆掉為例，

若 \(b\geq10\) 就會爆掉，

此時 \(a+b+c+d=12\)，

其中 \(a\geq1, b\geq10, c\geq0, d\geq0\)，且 \(a,b,c,d\) 為整數，

滿足此條件的解共有 \(H^4_{12-1-10}=H^4_1\) 種情況。

且因為全部和也才 \(12\)，因此 \(b,c,d\) 不可能有兩個以上同時爆掉，

所以 "不用" 再加回來兩個以上同時爆掉的情況！

作者: mandy 時間: 2012-1-20 14:29

引用:

原帖由 JOE 於 2011-7-17 07:18 PM 發表
y是真數,y必須為正,只考慮x軸上方的面積

請問填充第11題答案是1 嗎?

作者: Ellipse 時間: 2012-1-20 20:38

引用:

原帖由 mandy 於 2012-1-20 02:29 PM 發表
請問填充第11題答案是1 嗎?

求不等式\(log_{(x+y)}\sqrt{1-x^2}>log_{(x+y)}y\)所形成的區域面積=　　　。

原本答案沒有錯
是(Pi+4)/8

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=899&k=2b349c2b10adccde0f4d25c73a52e0c3&t=1714108375

作者: mandy 時間: 2012-1-21 16:03 標題: 請問填充第2,5 ,12題如何做?

請問填充第2,5 ,12題如何做?

作者: weiye 時間: 2012-1-24 10:45 標題: 回復 31# mandy 的帖子

填充第2題
設橢圓\( \displaystyle \Gamma：\frac{(x-3)^2}{98^2}+\frac{(y-16)^2}{2009^2}=1 \)，且其內部於第一、二、三、四象限內所圍區域面積依次為\( R_1、R_2、R_3、R_4 \)，則\( R_1-R_2+R_3-R_4= \)　　　。
[解答]
由圖形的對稱性可知，

\(R_1-R_2+R3-R4=\) 附圖的中間白色區域面積\(=4(3\times16)=192.\)

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=900&k=6bc5a394ea2b36f1ec1581175964581c&t=1714108375

作者: weiye 時間: 2012-1-24 10:51 標題: 回復 31# mandy 的帖子

填充第 5 題
若\( \displaystyle k=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{5}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{80}} \)，求\( \left[ k \right]= \)　　　。(\( \left[ \right] \)表高斯符號)
[解答]
很多學校有考過

https://math.pro/db/thread-156-1-1.html

https://math.pro/db/thread-1095-1-1.html

作者: weiye 時間: 2012-1-24 11:19 標題: 回復 33# weiye 的帖子

第 12 題：
設\( P(4,3,1) \)，\( \displaystyle \Gamma：\cases{x^2+(y-1)^2+(z-5)^2=13 \cr x+2y+2z=3} \)，\( Q \)為\( \Gamma \)上的一動點，求\( \overline{PQ} \)的最小值=　　　。
[解答]
先求出球心 \(O(0,1,5)\) 在平面 \(x+2y+2z-3=0\) 上的投影點坐標 \(A(-1,-1,3)\)，\(A\) 點即 \(\Gamma\) 所表示的圓之圓心，

再求出 \(\Gamma\) 所表示的圓半徑 \(\displaystyle r=\sqrt{13-\left(\frac{|0+2+10-3|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}\right)^2}=2\)

然後，求出 \(P(4,3,1)\) 在平面 \(x+2y+2z-3=0\) 上的投影點坐標亦為 \(B(3,1,-1)\)，

且 \(P(4,3,1)\) 到平面 \(x+2y+2z-3=0\) 的距離為 \(\displaystyle \overline{PB}=\frac{|4+6+2-3|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=3\)

可得 \(\overline{AB}=6\)，

\(\overline{PQ}\) 的最小值為 \(\displaystyle \sqrt{\overline{PB}^2+\left(\overline{AB}-r\right)^2}=5.\)

註：這也是考古題，以前其他學校有出過（忘了哪幾所～）。

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=901&k=b2e6fa2f81db94834843a8c68b2470a5&t=1714108375

作者: mandy 時間: 2012-1-26 14:03

引用:

原帖由 weiye 於 2012-1-24 10:51 AM 發表
填充第 5 題

很多學校有考過

https://math.pro/db/thread-156-1-1.html

https://math.pro/db/thread-1095-1-1.html

按照公式計算 k=2*9-2-(1/9) , 所以[k]=15 , 為何答案是16

作者: mandy 時間: 2012-1-26 14:23 標題: 回復 35# mandy 的帖子

我知道哪裡有問題了, 如果背公式, 就會有錯, 正確作法是不能背公式 .

作者: weiye 時間: 2012-1-26 14:36 標題: 回復 35# mandy 的帖子

因為小弟記憶力太弱～所以不太會背公式，又擔心背錯～常每次都用推導的～

你上面回覆的公式是套用哪一個呢？（因為我看不太出來...＝＝）

如果是套用我之前寫的積分的方法～得到的是 \(2\left(\sqrt{81}-1\right)<k<1+\frac{1}{\sqrt{2}}+2\left(\sqrt{80}-\sqrt{2}\right)\)

\(\Rightarrow 16<k<16.76...\Rightarrow [k]=16\)

如果是套用後面 bugmens 所提供的方法（較常見）～得到的是

\(1+2\left(\sqrt{81}-\sqrt{2}\right)<k<1+2\left(\sqrt{80}-\sqrt{1}\right)\)

\(\Rightarrow 16.17...<k<16.88...\Rightarrow [k]=16\)

不過，由於您的答案少 \(1\) ～我猜你是用後者～～

然後我猜你的錯誤點很有可能是～\(1\) 本身已是整數不需要處理～卻不小心也拿進去分項對消處理了！

作者: bugmens 時間: 2012-1-27 10:22

引用:

原帖由 mandy 於 2012-1-26 02:23 PM 發表
我知道哪裡有問題了, 如果背公式, 就會有錯, 正確作法是不能背公式 .

我曾說這類題目5秒鐘就要寫出答案，我背的公式是\( 2(\sqrt{n+1}-1) \)
這公式是從weiye的積分方法所得到的，一來簡單明瞭，二來計算方便
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1123&page=1#pid3381

但這公式在某些情況是錯的
總和的小數部份離整數太近，導致公式算出來的答案落到前一個整數
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{9950} \frac{1}{\sqrt{k}}=198.044... \)，但\( 2(\sqrt{9951}-1)=197 \)
首項不是從1 開始，用了公式聰明反被聰明誤
97淡水商工從\( k=5 \)開始加
97台南女中還出成計算證明題，公式無用武之地

但情況一不會出現在考卷上，題目只是要你估計，不會出個刁鑽的數字讓你猜到底要不要多加1，狀況二就再把前面不要的減掉就可以了
我自己的話還滿喜歡發明速算法或公式，有時的確可以省下很多時間，但有時候條件已經改了卻沒察覺反而丟了分數，至於考試時用不用公式就看個人喜好

作者: peter579 時間: 2012-2-9 15:40

6
將半徑15的圓作伸縮變換成橢圓

有點看不大懂，謝謝。
原本是\(\displaystyle \frac{x^2}{225}+\frac{y^2}{100}=1\)之圓…

作者: 老王 時間: 2012-2-9 22:47

3.
主人宴客，刻意安排10個互不認識的客人一同圍坐一圓桌，希望客人能互相認識，不料席間每位客人都只與相鄰的人交談認識。飯局後主人從中隨意挑選四人, 試求四人皆互不認識的機率？　　　。
[解答]
我再提供一種算法:看成1~10排成環狀，10和1相鄰，
那麼全部就是C(10,4)=210種。

要有不相鄰的，可以看成將10個人分成四個相鄰的部分，每個部分至少兩人，
那麼分法就只有4,2,2,2或是3,3,2,2,才可以。
4,2,2,2只要選好四人，剩下就固定，所以有10種；
3,3,2,2依順序又可分為3,3,2,2或是3,2,3,2這兩種來討論:
3,3,2,2也有10種；
3,2,3,2因為轉五個之後會一樣，例如(1,2,3)(4,5)(6,7,8)(9,10)和(6,7,8)(9,10)(1,2,3)(4,5)是一樣的，
所以只有5種。
於是總共就有25種。

所求就是25/210=5/42

作者: natureling 時間: 2012-3-9 23:36 標題: 想請教"填充9"

設數列\( <a_n> \)滿足\( a_n>0 \)，且\( \displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{2011}{2a_n} \)，假設此數列\( <a_n> \)收斂到某一實數，則此實數為何?

作者: Ellipse 時間: 2012-3-9 23:58

引用:

原帖由 natureling 於 2012-3-9 11:36 PM 發表
設數列滿足a_n>0，且a_(n+1)=a_n/2+2011/(2a_n)，假設此數列收斂到某一實數，則此實數為何?

9.
設數列\( <a_n> \)滿足\( a_n>0 \)，且\( \displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{2011}{2a_n} \)，假設此數列\( <a_n> \)收斂到某一實數，則此實數為何?
[解答]
令此收斂值為t
則 t=t/2+2011/(2t)
t/2=2011/(2t)
t^2=2011
t=2011^0.5 (-2011^0.5不合)

作者: natureling 時間: 2012-3-10 00:25 標題: 再請教第10

\( f(x) \)為\( x \)的三次多項式，且\( f(2007)=2、f(2008)=0、f(2009)=1、f(2010)=1 \)，求f(2011)

我用的是最基本的方式，設\( f(x)=a(x-2007)(x-2008)(x-2009)+b(x-2007)(x-2008)+c(x-2007)+2 \)去求abc
想請教的是...是否有另外的較快速的解法呢???感恩

作者: natureling 時間: 2012-3-10 00:26

感恩您

作者: nanpolend 時間: 2012-8-6 15:55 標題: 回復 34# weiye 的帖子

新高中數學101
p228 例4
把求最大值改成求最小值

作者: nanpolend 時間: 2012-8-6 16:04 標題: 回復 38# bugmens 的帖子

我同意bug大的看法
考試不是比誰念得多是比誰現場寫出快和正確
如果新的題目就算了
重複一直出的考古題題目
出考題的人想放水你還被淹死那能怪誰

作者: wooden 時間: 2013-4-23 10:38

[quote]原帖由老王於 2011-7-15 09:53 AM 發表

3
第一個任取，接下來要在9個裡面取3個，但不得相鄰，就變成7個直線不相鄰，
用剩下4個去隔開，所以是
\(\displaystyle \frac{C_3^5}{C_3^9}=\frac{5}{42} \)

請教老王老師，第3題可否用圖解?小弟看了很久還是畫不出來，謝謝

作者: 老王 時間: 2013-4-23 20:23 標題: 回復 47# wooden 的帖子

嗯......不知道如何圖解，
我還有寫另一個作法，你再參考看看:
選到的人皆不認識，表示都沒有坐在隔壁；
將被選之人順時針到下一個被選之人前看成一個區段，那麼每個區段都要至少兩人；
於是將10分成四段，每段至少2的分法有4222和3322
4222的情形，每個帶頭的就決定了所有的分法，於是就有10種；
3322又要分成3322和3232，
3322時也是一樣，有10種；
但3232時，從第六個開始與從第一個開始是一樣的，所以只有5種，
於是總共就只有25種。

作者: weiye 時間: 2013-4-23 20:59 標題: 回復 47# wooden 的帖子

填充第 3 題
主人宴客，刻意安排10個互不認識的客人一同圍坐一圓桌，希望客人能互相認識，不料席間每位客人都只與相鄰的人交談認識。飯局後主人從中隨意挑選四人, 試求四人皆互不認識的機率？　　　。
[解答]
我也來個另解好了，原理跟老王老師的差不多（把圍圈圈剪開變成直線排列）~

將環繞一圈的賓客依序編號為1,2,...,10號

分母＝由1~10號任取四個號碼＝\(C^{10}_4=210\)

分子＝n（由1~10號任取四個號碼，任兩號碼不連續，且1與10不同時出現）

　　＝n（由1~10號任取四個號碼，任兩號碼不連續）－n（由1~10號任取四個號碼，任兩號碼不連續，且1與10同時出現）

　　＝\(C^7_4 - C^2_2\cdot C^5_2\)

　　＝\(25\)

註：\(C^7_4\) 說明～～～10個號碼要選四個○　→　不要選的有六個●，把這六個用●●●●●●表示

　　要選取的號碼～～就是在六個●所區隔出來的七個空隙之中選取四個放○，因此有 \(C^7_4\) 種選取的方法。

　　\(C^2_2\cdot C^5_4\) 說明～～～同上，但是頭尾兩個空隙一定要選○，剩下中間五個空隙要選兩個來放○。

作者: wooden 時間: 2013-4-24 00:21

感謝老王老師和瑋岳老師的解答，
你們兩位寫的我都看懂了，所不懂的是
7個直線不相鄰，用剩下4個去隔開，所以是C(5,3)

小弟只能用最笨的方法如下
編號1-10，取間隔如下
(1)2-2-2:從1數到10共10種
(2)2-3-2:從1數到10共10種
(3)2-2-3:從1數到5共5種(因為數到6就變成2-3-2了)
所以共有10+10+5=25種

另外，寸絲老師的方法更神，但我看不懂
解法如下:[H(4,2)*3!*6!]/(9!)=5/42

作者: weiye 時間: 2013-4-24 13:35 標題: 回復 50# wooden 的帖子

那我試圖寫一個作法~使得答案剛好是 \(\displaystyle [H(4,2)*3!*6!]/(9!) = \frac{H^4_2}{C^9_3}\) 看看。

先固定某一人一定會選取到，剩下九人任取三人，

看剩下九人任取三人的所有情況中，有多少種會使得全部取出來的四人不相鄰，

以○表示被選取出來的人，以●表示沒有被選取出來的人，

因為被選取出來的人有四位，且每兩位中間都要間隔一個●，

且繞成圈圈也要使得頭尾的○不相鄰，所以尾巴多放一個●

因此排成一直線是　○●○●○●○●

由剩下兩個●●要放入上列中四個"●"所在的區塊中，可能的方法數為 \(H^4_2\)

放進去之後，由左到右，第一個○就是一開始被選定的人，剩下的○就是其他被選出來的人所在的位置。

所以，所求機率＝\(\displaystyle \frac{H^4_2}{C^9_3}\)

作者: weiye 時間: 2013-4-24 13:42 標題: 回復 50# wooden 的帖子

再來解釋一下「7個直線不相鄰，用剩下4個去隔開，所以是C(5,3)」

第一個任取，馬上可以知道他的左右兩邊不能取，

所以「剩下七個人要選出不相鄰的三個」，

不被選出來的有四個，要被選出來的有三個，且要被選出來的不能相鄰，

相當於四個●●●●跟三個○○○排成一直線，但是三個○中任兩個都不相鄰，

先排四個●●●●，排完之後，要把三個○放入四個●所隔開的五個空隙中的某三個空隙，

所以方法數有 \(C^5_3\)

作者: wooden 時間: 2013-4-24 13:43 標題: 回復 51# weiye 的帖子

感謝瑋岳老師，你果然太棒了

作者: tsusy 時間: 2013-4-24 23:00 標題: 回復 51# weiye 的帖子

沒注意到這篇，咻一下，就被 weiye 老師破解了

而且被破得很乾淨，只是我是用排列在寫而已

其實破解別人的算式也是一種樂趣，破解之後，還可以順帶偷師

作者: nanpolend 時間: 2013-6-4 10:41 標題: 回復 46# nanpolend 的帖子

請教一下填充題第一題
答案算出來但總得怪怪的
是有外心的公式但很複雜

作者: tsusy 時間: 2013-6-4 18:30 標題: 回復 55# nanpolend 的帖子

填充 1.
坐標空間中，點\(A(-1,1,0)\)，\(B(3,1,0)\)，\(C(1,2,2)\)，則\(\Delta ABC\)的外心\((a,b,c)\)為何？　　　。
[解答]
如下，不知道這樣有沒有回答到

\( \vec{AB}=(4,0,0), M_{1}(1,1,0) \)，垂直平分面 \( x=1 \)；
\( \vec{BC}=(-2,1,2), M_{2}(2,\frac{3}{2},1) \)，垂直平分面 -\( 2x+y+2z=-\frac{1}{2} \)；
\( \vec{n}=\vec{AB}\times\vec{BC}=(0,-8,4) \)，\( \triangle ABC \) 所在平面 \( 2y-z=2 \)；

解聯立方程組得 \( \displaystyle (x,y,z)=(1,\frac{11}{10},\frac{1}{5}) \)。

另解. 可以用向量 \( \vec{AO}\cdot \vec{AB} = \frac12 \overline{AB}^2, \vec{AO}\cdot\vec{AC} = \frac12\overline{AC}^2 \)，再用 \( \vec{AB}, \vec{AC} \) 的線性組合去表示 \( \vec{AO} \)，把係數解出來

外心有什麼好用的公式嗎？？

作者: airfish37 時間: 2013-7-2 15:56

想請教板上老師填充第3題，
不知這題是否可以想成『4張紅椅和6張白椅圍一圓桌，4張紅椅互不相鄰』的機率？
還有我的作法是不是只是剛好數據矇到的@@" 這題困擾很久了...誠心求教<o>

圖片附件: 圓桌10挑4人.jpg (2013-7-2 15:56, 24.21 KB) / 該附件被下載次數 6383
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1838&k=cd6eebe09903473b0cc747c040d47aa1&t=1714108375

作者: airfish37 時間: 2013-7-3 11:56

引用:

原帖由 airfish37 於 2013-7-2 03:56 PM 發表
想請教板上老師填充第3題，
不知這題是否可以想成『4張紅椅和6張白椅圍一圓桌，4張紅椅互不相鄰』的機率？
還有我的作法是不是只是剛好數據矇到的@@" 這題困擾很久了...誠心求教 ...

自問自答@@"" 好像想通了...觀念有誤...還請指正^^
可以想成婚宴中10個座位其中4個底下有貼紙 (強迫中獎上臺陪新人一起被玩= =+)
因此，坐到貼紙座的人就是被『主人』挑中的人!! (雖然是自己選擇坐上去的= ="")
所以，問題變成只跟主人事先如何擺放座位有關!!

作者: wdemhueebhee 時間: 2013-7-10 15:51 標題: 請問Joy091老師

計算第一題,為什麼k(n-1)=a(n)呢?謝謝!

作者: tsusy 時間: 2013-7-10 20:44 標題: 回復 59# wdemhueebhee 的帖子

計算 1. \( a_n \) 表示第 \(n\) 步回到 \(O\)，那其上步 (第 \(n-1\) 步) 必在四個角落之一，

而第 \(n-1\) 步在四個角落之一的話，也只有一種方法可以使得第 \(n\) 步在 \(O\)。

故 \( a_n = k_{n-1} \)

作者: wdemhueebhee 時間: 2013-7-11 10:36 標題: 謝謝寸絲老師

謝謝寸絲老師

作者: l123eric 時間: 2014-11-17 08:43 標題: 填充第3

感謝瑋岳大大的詳解
但我還是有個疑問題目:飯局後主人從中隨意挑選4人
不就是\(C_4^{10}\)?

作者: XINHAN 時間: 2021-3-29 12:38 標題: 分享手寫詳解

分享手寫詳解

附件: 100香山高中.pdf (2021-3-29 12:38, 952.48 KB) / 該附件被下載次數 5776
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5797&k=ee8b2e9d70ebc6143501d68f08c197aa&t=1714108375

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