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標題: 100苑裡高中 [打印本頁]

作者: JOE 時間: 2011-7-7 21:12 標題: 100苑裡高中

如題

附件: 0707ylsh_math.pdf (2011-7-7 21:12, 327.23 KB) / 該附件被下載次數 14166
https://math.pro/db/attachment.php?aid=638&k=620d73447cde412666e49893e6cda141&t=1732253722

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=639&k=c1c0d7b19719b6191443c661b5072bd1&t=1732253722

作者: gamaisme 時間: 2011-7-7 21:50

請教一下填充4是否有較快的解法?

[ 本帖最後由 gamaisme 於 2011-7-7 10:10 PM 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2011-7-7 22:29

引用:

原帖由 gamaisme 於 2011-7-7 09:50 PM 發表
請教一下填充4是否有較快的解法?

設\( 4x^3+3x^2+2x+1=0 \)三根為\( \alpha,\beta,\gamma \)，則\( \displaystyle \frac{1}{\alpha^5}+\frac{1}{\beta^5}+\frac{1}{\gamma^5} \)？

改一下符號
假設4x^3+3x^2+2x+1=0的解為x=x1,x2,x3,求(1/x1)^5 +(1/x2)^5 +(1/x3)^5

令y=1/x ,及y1=1/x1,y2=1/x2,y3=1/x3
則4(1/y)^3 +3(1/y)^2+2(1/y)+1=0
=> y^3+2y^2+3y+4=0-------------(*)
y=y1,y2,y3為(*)的解

所求=(y1)^5+(y2)^5+(y3)^5

=[-2(y1)^4-3(y1)^3-4(y1)^2]+[-2(y2)^4-3(y2)^3-4(y2)^2]+[-2(y3)^4-3(y3)^3-4(y3)^2]

=-2[(y1)^4+(y2)^4+(y3)^4]-3[(y1)^3+(y2)^3+(y3)^3]-4[(y1)^2+(y2)^2+(y3)^2]

......(繼續降次方)

=5[y1+y2+y3]-12

=5*(-2)-12

=-22

作者: bugmens 時間: 2011-7-7 22:35

1.
設\( x,y,z \in N \)且\( xy+yz+zx=xyz \)，則數對\( (x,y,z) \)之解有　　組。

(1)求\( \displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{8} \)所有的正整數解；
(2)求\( \displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1 \)所以的正整數解。
(96南港高工日間部)

類似題
求\( \displaystyle \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1 \)的正整數解。

4.
設\( 4x^3+3x^2+2x+1=0 \)三根為\( \alpha,\beta,\gamma \)，則\( \displaystyle \frac{1}{\alpha^5}+\frac{1}{\beta^5}+\frac{1}{\gamma^5} \)？
[提示]
令\( 4+3y+2y^2+y^3=0 \)三根為\( \displaystyle \frac{1}{\alpha},\frac{1}{\beta},\frac{1}{\gamma} \)
再用https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1019&page=1#pid2501方法下去算

設\( x^3+2x^2+3x+4=0 \)三根為\( \alpha,\beta,\gamma \)，則\( \alpha^5+\beta^5+\gamma^5 \)？
(99苗栗高中，https://math.pro/db/thread-1019-1-1.html)

令a,b,c為三次方程式\( x^3+5x+11=0 \)的根，求\( a^3+b^3+c^3 \)
(A)−33　(B)33　(C)22　(D)−22
(98金門縣國中聯招)

9.
已知正△ABC內一點P到三頂點A、B、C之距離分別5、12、13，則△ABC之邊長為？

設△ABC為正三角形，點P為其內部一點，若\( \overline{PA}=5 \)、\( \overline{PB}=12 \)、\( \overline{PC}=13 \)，則△ABC之面積為？
(97中和高中)

若△ABC為一正三角形，且在此三角形內部中有一點P使得\( \overline{AP}=3 \)，\( \overline{BP}=4 \)，\( \overline{CP}=5 \)，試問此正三角形之邊長為何？
(2008TRML團體賽)

9.
空間中10個相異平面，最多能將空間分割成個　　區域？

這只是五分的填充題，請不要用遞迴關係解題
我提供一個速解法，包含驗算20秒就可以寫答案
[速解]
\( C_0^{10}+C_1^{10}+C_2^{10}+C_3^{10}=176 \)

100.11.19補充
用遞迴解題
http://cplee8tcfsh.blogspot.com/2011/03/blog-post_14.html

14.
設\( (1+x)^n=C_0^{n}+C_1^n x+C_2^n x^2+C_3^n x^3+...+C_n^n x^n \)，
則\( C_1^n+2^2 C_2^n+3^2 C_3^n+4^2 C_4^n+...+n^2 C_n^n \)？
[公式]
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k C_k^n=n \times 2^{n-1} \)

\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2 C_k^n=n(n+1) 2^{n-2} \)

利用歸納法證明：\( \displaystyle \sum_{k=1}^n k C_k^n=n 2^{n-1} \)。
(100家齊女中，https://math.pro/db/thread-1122-1-3.html)

計算證明題
2.
△ABC中，已知\( a=\overline{BC} \)，\( b=\overline{CA} \)，\( c=\overline{AB} \)，試證明：\( a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\le 3abc \)

Suppose a,b,c are the sides of a triangle. Prove that \( a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\le 3abc \)
(IMO1964)
[解答]
Schur's inequality
\( a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b) \ge 0 \)

\( a(a-b)(a-c)=a(a^2-ac-ba+bc)=-a^2(b+c-a)+abc \)
\( b(b-c)(b-a)=b(b^2-ab-cb+ca)=-b^2(c+a-b)+abc \)
\( c(c-a)(c-b)=c(c^2-cb-ac+ab)=-c^2(a+b-c)+abc \)
三式相加得
\( a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\le 3abc \)

其他解法
http://gbas2010.wordpress.com/2009/12/02/i-m-o-1964/

參考資料
http://en.wikipedia.org/wiki/Schur's_inequality
http://www.artofproblemsolving.c ... 66834&p=2018835
http://www.artofproblemsolving.c ... 65683&p=1441901
http://www.artofproblemsolving.c ... =71110&p=414261

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-11-19 08:55 PM 編輯 ]

作者: kittyyaya 時間: 2011-7-7 23:07 標題: 回復 4# bugmens 的帖子

請教版主大大,第9題的速解用C是如何來的,謝謝

作者: gamaisme 時間: 2011-7-7 23:43

xy + yz + xz = xyz
同除以 xyz得到1/x+1/y+1/z = 1
應該比較好討論

作者: Herstein 時間: 2011-7-9 16:19

我想問一下單選第一題為什麼是 C另外還有填充第11題

作者: Ellipse 時間: 2011-7-9 21:26

引用:

原帖由 Herstein 於 2011-7-9 04:19 PM 發表
我想問一下單選第一題為什麼是 C另外還有填充第11題

單選第一題
1.
有一道題目：「設\(\displaystyle \omega=cos \frac{2\pi}{n}+isin\frac{2\pi}{n}\)，\(n \in N\)，\(n>2\)，求\(\omega \cdot \omega^2 \cdot \omega^3 \ldots \omega^n\)之值」。而阿煌在解這一題時，所用的步驟(A)至(E)如下：\(\omega \cdot \omega^2 \cdot \omega^3 \ldots \omega^n=\)，請問阿煌的作法，從哪一步驟開始錯誤？
(A)\(\displaystyle =\omega^{1+2+3+\ldots+n}\)　(B)\(\displaystyle =\omega^{\frac{n(n+1)}{2}}\)　(C)\(\displaystyle =(\omega^n)^{\frac{n+1}{2}}\)　(D)\(\displaystyle =1^{\frac{n+1}{2}}\)　(E)\(=1\)。

棣美弗定理
n(n+1)/2 要整個跟角度相乘
所求=cos[(2Pi/n)*(n*(n+1)/2)]+i*sin[(2Pi/n)*(n*(n+1)/2)]
=cos[Pi(n+1)]+i*sin[Pi*(n+1)]
在(c)就錯了!

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2011-7-9 10:06 PM 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2011-7-9 22:35

引用:

原帖由 Herstein 於 2011-7-9 04:19 PM 發表

我想問一下單選第一題為什麼是 C另外還有填充第11題

#11
設橢圓\(\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1\)與雙曲線\(\displaystyle \frac{x^2}{A}+\frac{y^2}{B}=1\)有公共焦點。當以它們的「交點」為頂點的四邊形面積為最大時，則數對\((A,B)=\)　　　。
[解答]
假設雙曲線的焦距=c
則c^2=16-9=B-A (A<0)
B=7+A
解x^2/9 +y^2/16=1
x^2/A +y^2 /(A+7)=1
得第一象限交點P( (-9A/7)^0.5 ,(16(A+7)/7)^0.5)
所圍成矩形面積=4*[(-9A/7)^0.5 *16(A+7)/7)^0.5]
=(48/7)*[-A(A+7)]^0.5----------(*)
由配方法可知當A=-7/2時,(*)有最小值
此時B=7+(-7/2)=7/2
所求數對(A,B)=(-7/2,7/2)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2011-7-11 01:54 PM 編輯 ]

作者: gamaisme 時間: 2011-7-12 00:07

多謝Ellipse老師的指導~

作者: zero 時間: 2011-8-9 23:15 標題: 回復 2# gamaisme 的帖子

請問填充第10與13怎麼做

填充第十用遞迴怎麼看規律

作者: Joy091 時間: 2011-8-10 12:44 標題: 回復 12# zero 的帖子

13.在正△內任取一點，向三邊做垂直線段，則此三垂直線段長可作為一△三邊長的機率為?

答 : \(\displaystyle \frac{1}{4}\)

令正△ABC內一點 \(P\) 至 \(\overline{AB}\) 的距離為 \(h_c\) ，至 \(\overline{BC}\) 的距離為 \(h_a\)，至 \(\overline{CA}\) 的距離為 \(h_b\)

則 \(h_a,h_b,h_c\) 中任兩段的長度和必須大於第三段的長度

不妨先假設 \(h_a\) 最大，而且 \(h_a < h_b+h_c\)

考慮其極端狀況，以描述 \(P\) 點的可行區域的邊界，亦即 \(h_a=h_b+h_c\) 的情況

因為△ABC是正三角形(三邊長相等)，所以此時 △PBC面積是△ABC面積的一半

而得到 \(P\) 落在 \(\overline{AB}\) 與 \(\overline{AC}\) 的中點連線

由對稱性，可知 \(P\) 落在△ABC三邊的中點連線之中，其面積佔△ABC的 \(\frac{1}{4}\)

所以機率為 \(\frac{1}{4}\)

[ 本帖最後由 Joy091 於 2011-8-10 05:07 PM 編輯 ]

作者: bombwemg 時間: 2011-8-10 14:11 標題: 回復 5# kittyyaya 的帖子

原本公式是n個相異平面,可以隔出1+n+(n-1)n(n+1)/6個平面
其中1 = C(n , 0)
n = C(n , 1)
(n-1)n(n+1)/6 = C(n+1 , 3) = C(n , 2) + C(n , 3)

而n個相異直線分割平面也等於 : C(n , 0) + C(n , 1)+ C(n , 2)

作者: Joy091 時間: 2011-8-11 15:53 標題: 回復 12# zero 的帖子

10.  空間中10個相異平面，最多能將空間分割成幾個區域 ?

答 : 176

採取遞迴想法時，可依序由一維二維三維來看這個問題 :

一維 : \(n\) 個點最多可以將一直線分成幾段 (包含射線與線段) ? 以下用 \(a_n\) 表示

則有 \(a_1=2,  a_2=3, a_3=4,...,a_n=a_{n-1}+1\)

而得到 \(a_n=n+1, n=1,2,3,...\)

二維 : \(n\) 條直線最多可以將一平面分成幾個區域? 以下用 \(b_n\) 表示

則有 \(b_1=2,  b_2=4,  b_3=b_2+a_2=7,  b_4=b_3+a_3,...,  b_n=b_{n-1}+a_{n-1}\)

因為每多1條線就可以與前面的  \(n-1\) 條線最多交於 \(n-1\) 點

而這 \(n-1\) 點可以將這條新加上去的直線最多切成 \(a_{n-1}\) 段，因此多了 \(a_{n-1}\) 個區域

最後由遞迴關係得到 \(b_n=\frac{n(n+1)}{2}+1, n=1,2,3,...\)

三維 : \(n\) 個平面最多可以將一空間分成幾個區域(塊)? 以下用 \(c_n\) 表示

則有 \(c_1=2,  c_2=4,  c_3=c_2+b_2=8,  c_4=c_3+b_3,...,  c_n=c_{n-1}+b_{n-1}\)

因為每多1個平面就可以與前面的  \(n-1\) 個平面最多交於 \(n-1\) 條線

而這 \(n-1\) 條線可以將這個新加上去的平面最多切成 \(b_{n-1}\) 個區域，因此多了 \(b_{n-1}\) 個區塊

最後由遞迴關係得到 \(c_n=\frac{n(n^2+5)}{6}+1, n=1,2,3,...\)

所求即為 \(c_{10}=176\)

至於速算法可以畫圖一一對應說明!  (但感覺用遞迴比較嚴謹)

[ 本帖最後由 Joy091 於 2011-8-11 04:20 PM 編輯 ]

作者: money 時間: 2011-8-16 16:58

填充1的題型似乎很常見
但是小弟還是想不透
懇請板上高手賜教
感謝

作者: money 時間: 2011-8-18 15:42

想請教填充1,6,7及計算1
感謝

作者: weiye 時間: 2011-8-19 00:01 標題: 回復 17# money 的帖子

填充第 1 題：
設\(x,y,z \in N\)且\(xy+yz+zx=xyz\)，則數對\((x,y,z)\)之解有　　　組。
[解答]

　　不失一般性，可先假設 \(x\geq y\geq z\)，然後搭配 \(\displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)，

　　先由 \(\displaystyle1=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leq\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}=\frac{3}{z}\)

　　　　 \(\Rightarrow z\leq3\)

　　條列 \(z=1,2,\) 或 \(3\)　之 \(\displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\) 之值，然後找出所有可能的解。

作者: weiye 時間: 2011-8-19 00:12 標題: 回復 17# money 的帖子

填充第 7 題：
\(\Delta ABC\)中，\(\overline{CD}\)交\(\overline{BE}\)於\(F\)，已知\(\Delta BDF\)面積為10，\(\Delta BCF\)面積為20，\(\Delta CEF\)面積為16，則四邊形區域\(ADFE\)之面積為　　　。
[解答]
令所求面積為 \(x\)，

則由孟氏定理，可得

\(\displaystyle\frac{BD}{DA}\cdot\frac{AC}{CE}\cdot\frac{EF}{FB}=1\)

\(\displaystyle\Rightarrow\frac{10+20}{x+16}\cdot\frac{10+20+x+16}{20+16}\cdot\frac{16}{20}=1\)

\(\Rightarrow x=44.\)

109.6.16補充
設\(D\)、\(E\)分別在\(\Delta ABC\)的\(\overline{AC}\)和\(\overline{AB}\)上，\(\displaystyle \frac{\overline{AE}}{\overline{EB}}=1\)、\(\displaystyle \frac{\overline{AD}}{\overline{DC}}=\frac{2}{3}\)，若\(\Delta ABC\)的面積為40，則四邊形\(AEFD\)的面積為　　　。
(109建功高中國中部，https://math.pro/db/thread-3348-1-1.html)

作者: weiye 時間: 2011-8-19 00:19 標題: 回復 17# money 的帖子

填充第 6 題：
求\(\displaystyle sin\frac{4\pi}{11}\cdot sin\frac{8\pi}{11}\cdot sin\frac{12\pi}{11}\cdot sin\frac{16\pi}{11}\cdot sin\frac{20\pi}{11}=\)　　　。

所求＝\(\displaystyle-\sin\frac{\pi}{11}\sin\frac{2\pi}{11}\sin\frac{3\pi}{11}\sin\frac{4\pi}{11}\sin\frac{5\pi}{11}\)

再利用 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1079&page=1#pid3543 這裡＂註＂的第一項，就可以了！

作者: money 時間: 2011-8-19 09:34

感謝weiye老師指導

作者: shingjay176 時間: 2014-4-20 17:55 標題: 回復 17# weiye 的帖子

(1) \( z=1\)， \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 0\)，不可能有解，因為\(x\)、\(y\)都是自然數。

(2)  \( z=2\)，\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}\)，可以討論出，\(x=4\)，\(y=4\)。
\((x,y,z) = (4,4,2) \vee (4,2,4) \vee (2,4,4)\)  3組

(3)  \( z=3\)，\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{3}\)，可以討論出，\(x=3\)，\(y=3\)。
\((x,y,z) = (3,3,3)\)  1組

漏了一組 \( (x,y,z) =(6,3,2)\)  \(3!=6\)

6+3+1=10

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-21 06:05 PM 編輯 ]

作者: cefepime 時間: 2017-1-4 01:01

10. 空間中 10 個相異平面，最多能將空間分割成　　個區域。

解: 1+C(10,1)+C(10,2)+C(10,3)=176

關於上述公式，bugmens 老師在 "我的教甄準備之路" https://math.pro/db/thread-661-2-1.html 有詳細的介紹。當中所聯結"科學教育月刊"的文章(作者: 阮圓真)，是以遞迴關係配合累加的方式證明。在此試用稍微不同的角度來考察，或可幫助進一步體會與記憶此公式。

以下所提的組合數皆指"廣義二項係數"。故: 當 a<b 時，C(a,b) = 0。

先由一維開始:

* 直線上 n 個相異點，最多能將此直線分割成　　個區域。

解: 由於多加入 1 點就多一區域，所求 = 1(初始狀態)+點數 = 1+n
(即: "點、線的個數和")

接著考慮二維:

* 平面上 n 條相異直線，最多能將此平面分割成　　個區域。

解: 考慮增加一條直線時，該直線被分割成的"段數"即平面增加的區域數，其等於 "1+新增的交點數" (可由一維情況推得)。可以把前述的 "1" 視為 "新增的直線數"，則所求 = 1(初始狀態)+直線數+交點數 = 1+C(n,1)+C(n,2)
(即: "點、線、面的個數和")

再來考慮三維:

* 空間中 n 個相異平面，最多能將此空間分割成　　個區域。

解: 考慮增加一個平面時，該平面被分割成的"平面區域數"即空間增加的區域數，其等於 "1+新增的交線數+新增的交點數" (可由二維情況推得)。可以把前述的 "1" 視為 "新增的平面數"，則所求 = 1(初始狀態)+平面數+交線數+交點數 = 1+C(n,1)+C(n,2)+C(n,3)
(即: "點、線、面、體的個數和")

比較:

* 在圓上任取 n 個點，兩兩相連所得的弦，最多將此圓內部分割成　　個區域。

解: 考慮增加一條弦時，該弦被分割成的"段數"即圓內增加的區域數，其等於 "1+新增的圓內交點數"。可以把前述的 "1" 視為 "新增的弦數"，則所求 = 1(初始狀態)+弦數+圓內交點數 = 1+C(n,2)+C(n,4)

* 一個凸 n 邊形的所有對角線，最多將這個 n 邊形的內部分割成　　個區域。

解: 易知上一題的答案減 n 即為所求 = 1-n+C(n,2)+C(n,4) (另解可見上述 "我的教甄準備之路")

* 平面上 n 個圓，最多能將此平面分割成　　個區域。若將圓分別改成橢圓及三角形，則其結果分別為何?
(105臺北市立大理高中 https://math.pro/db/thread-2506-1-5.html)

thepiano 老師已經在該帖提示了解法與答案，現把這題放在此做個比較。

解: (圓) 考慮增加一個圓時，該圓被分割成的"段數"即平面增加的區域數。而從第2個圓開始，新增圓被分割成的"段數" 等於 "新增的交點數" (與上述各題不同，本題討論的封閉曲線遞推式沒有 "1")。

因此從 "1個圓" 為初始狀態，所求 = 2(初始狀態)+交點數 = 2+2*C(n,2)

同理，橢圓 = 2+4*C(n,2)，三角形 = 2+6*C(n,2)

* 空間中的 n 個球面，最多能將此空間分割成　　個區域。

解: 考慮增加一個球面時，該球面被分割成的"球面區域數"即空間增加的區域數。仿上一題(平面上 n 個圓)的推論知，從第2個球面開始，新增球面被分割成的"球面區域數" 等於 "2+新增的交點數"。

因此從 "1個球面" 為初始狀態，所求 = 2(初始狀態)+2*增加的球面數+交點數 = 2+2(n-1)+2*C(n,3) = 2n+2*C(n,3)
[ 即: 2*球面數+交點數 ] *註: 每3個球面產生2個交點

# 感謝 bugmens 老師在樓下的肯定。最近拜讀大作，似有感悟，不揣淺陋發文拋磚引玉，希望版上大大們亦不吝分享心得。

[ 本帖最後由 cefepime 於 2017-1-5 11:52 AM 編輯 ]

作者: bugmens 時間: 2017-1-4 22:10

cefepime這篇文章太棒了，公式很容易就背起來

作者: anyway13 時間: 2018-9-3 23:33 標題: 請教第14題

設\((1+x)^n=C_0^n+C_1^nx+C_2^nx^2+C_3^nx^3+\ldots+C_n^nx^n\)，則\(C_1^n+2^2C_2^n+3^2C_3^n+4^2C_4^n+\ldots+n^2C_n^n=\)　　　。

請問版上老師第14題用微分的方式要怎樣求出呢?

湊不出來阿!

作者: koeagle 時間: 2018-9-4 02:57 標題: 回復 24# anyway13 的帖子

微分一次後，乘x再微分一次。

[ 本帖最後由 koeagle 於 2018-9-4 02:58 編輯 ]

圖片附件: #14.png (2018-9-4 02:57, 117.36 KB) / 該附件被下載次數 4604
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4678&k=c7e644f4d8e5b0e7e928022be5da64c0&t=1732253722

作者: anyway13 時間: 2018-9-4 18:07 標題: 回復 25#koeagle 的帖子

謝謝koeagle老師,清楚了

作者: cefepime 時間: 2018-9-4 23:59

回復 25# koeagle 的帖子

14. n ∈ N，則 C(n,1) + 2² C(n,2) + 3² C(n,3) + ... + n² C(n,n) = ?

解四:

想法: 為所求式構思一個計數的模型，再利用 double counting ("算兩次") 解之。

所求式意義: 今有 n 個人，欲由若干人組隊參加益智問答比賽。該賽事有 2 題，每題限由 1 人回答，答題者可重複 ⇒ 隊伍陣容與答題者的組合數。

所求式是先考慮組隊方式，再考慮答題者。現改為: 先考慮答題者，再由其它人選出答題者的隊友，則方法數為

恰 1 人答題的方法 + 恰 2 人答題的方法

= n*2ⁿ⁻¹ + n(n-1)*2ⁿ⁻²

理論上這個推論過程只適合於 n ≥ 2，故對於 n = 1 應另行說明。

這個方法可以較易地推至更高次方，例如 n ∈ N，求

C(n,1) + 2³ C(n,2) + 3³ C(n,3) + ... + n³ C(n,n)

= 恰 1 人答題的方法 + 恰 2 人答題的方法 + 恰 3 人答題的方法

= n*2ⁿ⁻¹ + 3n(n-1)*2ⁿ⁻² + n(n-1)(n-2)*2ⁿ⁻³

當然，大家所熟悉的

C(n,1) + 2* C(n,2) + 3* C(n,3) + ... + n* C(n,n) = n*2ⁿ⁻¹

也可以用這個想法得出。

作者: koeagle 時間: 2018-9-5 01:28 標題: 回復 27# cefepime 的帖子

謝謝cefepime老師，講解得很清楚而且很好記！
想請問一下，答3題時的情況，恰2人答題的方法是不是\( n(n-1)*2^{n-2} \)？
還是前面的3倍有其他的意思呢？

[ 本帖最後由 koeagle 於 2018-9-5 01:35 編輯 ]

作者: cefepime 時間: 2018-9-5 02:00

回復 28# koeagle 的帖子

在 27# 的方法中，每個題目是相異的。3 個題目，恰 2 人答題時，還要考慮答兩題的人是答哪兩題，故乘上 C(3, 2)。

又如: n ∈ N

C(n,1) + 2⁴ C(n,2) + 3⁴ C(n,3) + ... + n⁴ C(n,n)

= 恰 1 人答題的方法 + 恰 2 人答題的方法 + 恰 3 人答題的方法 + 恰 4 人答題的方法

= n*2ⁿ⁻¹ + 7n(n-1)*2ⁿ⁻² + 6n(n-1)(n-2)*2ⁿ⁻³ + n(n-1)(n-2)(n-3)*2ⁿ⁻⁴

以上:

7: 分成 2人答 2題+2題與 3題+1題 ⇒ 3 + 4 = 7

6: 某2題由同1人回答 ⇒ C(4,2) = 6

作者: koeagle 時間: 2018-9-5 02:39 標題: 回復 29# cefepime 的帖子

謝謝cefepime老師的詳細說明。

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