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標題: 100南科實中 [打印本頁]

作者: 八神庵 時間: 2011-6-20 20:36 標題: 100南科實中

感謝PTT實習教師板板友c2h5oh27熱情提供

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作者: bugmens 時間: 2011-6-20 21:13

9.
\( x,y,z \)為正數，求證\( \displaystyle \frac{x}{y+2z}+\frac{y}{z+2x}+\frac{z}{x+2y}\ge 1 \)

Let \( a,b,x,y,z \) be positive reals.Show that \( \displaystyle \frac{x}{ay+bz}+\frac{y}{az+bx}+\frac{z}{ax+by}\ge \frac{3}{a+b} \)
(Romanian TST，連結已失效h ttp://www.artofproblemsolving.com/blog/25875)

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作者: bugmens 時間: 2011-6-20 21:30

1.
\( (a+\sqrt{a^2+4})(b+\sqrt{b^2+9})=16 \)，求\( a \sqrt{b^2+9}+b \sqrt{a^2+4} \)。

設\( (x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+4})=7 \)，則\( x \sqrt{y^2+4}+y \sqrt{x^2+1} \)之值為何？
(建中通訊解題第66期)

110.2.11補充
設\(x,y\)為實數。已知\(y^2\ge 1\)且滿足\((\sqrt{1+x^2}-x)(y-\sqrt{y^2-1})=1\)，試求\(x^2-y^2=\)　　　。
(109高中數學能力競賽　北二區複試筆試二，https://math.pro/db/thread-3467-1-1.html)

113.4.29補充
已知實數\(x,y\)滿足\((x-\sqrt{x^2-2024})(y-\sqrt{y^2-2024})=2024\)，則\(3x^2-2y^2+3x-3y-2023=\)？
(113鳳新高中，https://math.pro/db/thread-3855-1-1.html)

5.
\(1,2,2,3,3,3,4,4,4.4.5,\ldots\)，若前\(n\)項和為\( S_n \)，求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S_n}{n \sqrt{n}} \)

數列：1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19,21,23,25,26,...，依此規則，若第n項為\( a_n \)，求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{n} \)。
(97國立大里高中)

11.
\( x,y,z \)為實數，已知\( x^2+y^2+z^2=6 \)，\( x+y+z=4 \)，求\( xyz \)的最大最小值？
[解答]
\( (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx) \)　，　\( xy+yz+zx=5 \)
假設\( xyz=k \)
\( x,y,z \)為三次方程式\( t^3-4t^2+5t-k=0 \)的三實根
\( f(t)=t^3-4t^2+5t-k \)，\( f'(t)=3t^2-8t+5=0 \)　，　\( \displaystyle t=\frac{5}{3},1 \)
\( \displaystyle f(\frac{5}{3})f(1)\le 0 \)　，　\( \displaystyle (\frac{50}{27}-k)(2-k)\le 0 \)
\( \displaystyle \frac{50}{27} \le k \le 2 \)
\( xyz \)最小值\( \displaystyle \frac{50}{27} \)，最大值2

\( x,y,z \in R \)，\( x+y+z=6 \)，\( x^2+y^2+z^2=18 \)，試求\( x^3+y^3+z^3 \)的最大值。
(100北一女)

作者: nanpolend 時間: 2011-6-21 01:23 標題: 回復 1# 八神庵的帖子

100南科實中
由 thepiano 發表於 2011年 6月 21日, 00:41
提供一下參考答案(非官方版本)

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作者: nanpolend 時間: 2011-6-21 09:44 標題: 回復 4# nanpolend 的帖子

第一題類似做法
6604

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作者: nanpolend 時間: 2011-6-21 16:28 標題: 回復 5# nanpolend 的帖子

第六題詳解類似中壢高中第10題

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作者: nanpolend 時間: 2011-6-21 18:22 標題: 回復 7# nanpolend 的帖子

第4題詳解(有錯誤請來信)

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作者: nanpolend 時間: 2011-6-21 20:09 標題: 回復 7# nanpolend 的帖子

第2題詳解

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作者: nanpolend 時間: 2011-6-21 20:30 標題: 回復 8# nanpolend 的帖子

第3題相類似解法100中壢高中填充第八題
有二種不同的解法

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作者: nanpolend 時間: 2011-6-21 21:16 標題: 回復 9# nanpolend 的帖子

第7題詳解(有錯誤請來信)

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作者: nanpolend 時間: 2011-6-21 23:51 標題: 回復 10# nanpolend 的帖子

第5題詳解
\(1,2,2,3,3,3,4,4,4.4.5,\ldots\)，若前\(n\)項和為\( S_n \)，求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S_n}{n \sqrt{n}} \)

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作者: nanpolend 時間: 2011-6-22 08:32 標題: 回復 10# nanpolend 的帖子

第10題詳解

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作者: nanpolend 時間: 2011-6-24 01:41 標題: 回復 10# nanpolend 的帖子

第8題詳解
甲乙丙丁選一人在第六位
00000 000000
前五位不相鄰只有2種最多後6位不相鄰最多3種選擇
選好在排
C(4-1)*C(5-3)*4!=960

作者: simon112266 時間: 2013-4-10 22:02

引用:

原帖由 bugmens 於 2011-6-20 09:13 PM 發表
9.
\( x,y,z \)為正數，求證\( \displaystyle \frac{x}{y+2z}+\frac{y}{z+2x}+\frac{z}{x+2y}\ge 1 \)

Let \( a,b,x,y,z \) be positive reals.Show that \( \displaystyle \frac{x}{ay+bz}+\frac{y}{az+bx}+\) ...

小弟資質駑鈍...

能不能解釋一下最後面幾個不等式

感謝

作者: wdemhueebhee 時間: 2013-10-14 14:12 標題: 請教第五題

從總和的下一行之後都不懂，謝謝!!

作者: tsusy 時間: 2013-10-14 16:25 標題: 回復 15# wdemhueebhee 的帖子

\(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n^3}{3} + \) 某個 n 的二次式

後面的二次式，不影響極限，可忽略

作者: wdemhueebhee 時間: 2013-10-15 10:26 標題: 謝謝寸絲老師

懂了

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