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標題: 100鳳山高中 [打印本頁]

作者: 紫月 時間: 2011-6-18 22:33 標題: 100鳳山高中

今天考完鳳山高中，暈...
總共12題，我把記得的部分打在WORD檔
題號跟題序跟正式版會有出入，不過題意89不離10
想要先睹為快的網友請享用

另外想請問 #2,4,5,6，請大家幫忙解惑，謝謝!!

感謝版主協助加附檔

追加鳳中一題，數據忘記，但類型同100中壢高中填充第8
https://math.pro/db/thread-1119-1-1.html

8. 設 f,g為可微分函數，且f(x+2y)=f(x)+g(y) \( \forall x,y \in R \)
試問:若 f(0)=1， f'(0) =2, 求 g(5)

看到這題真的快哭出來了，明明有看過，寫考古題的時候就不會寫，當下當然想不出來
剛剛才想到怎麼算= =|||

[ 本帖最後由紫月於 2011-6-18 11:07 PM 編輯 ]

附件: 100鳳山高中記憶版.rar (2011-6-18 22:45, 9.25 KB) / 該附件被下載次數 9526
https://math.pro/db/attachment.php?aid=547&k=93a7a76f9aeac5177b2bc436bdd92bcc&t=1732257999

作者: dream10 時間: 2011-6-18 23:25

8.
f,g可微 f(x+2y)=f(x)+g(y),f(0)=1,f`(0)=2,求g(10)

作者: 何必問 時間: 2011-6-19 08:23

對上式兩邊同對x 微分，可得f'(x)都是定值...因為f'(0)=2，所以最後可令f(x)=ax+b.......代入原式...最後可得g(10)=40

作者: 老王 時間: 2011-6-19 22:06

#4
100彰女填充第二部分第11題
https://math.pro/db/thread-1113-2-2.html

[ 本帖最後由老王於 2011-6-19 10:20 PM 編輯 ]

作者: 紫月 時間: 2011-6-19 22:16 標題: 回復 5# 老王的帖子

#5抱歉我沒有打清楚，a、b是歪斜，求最小體積沒有錯

作者: 老王 時間: 2011-6-19 22:19

#2
將\(\displaystyle  y^2=mx \)代入
\(\displaystyle  x^2-4x+4+mx=3,x^2-(4-m)x+1=0 \)
\(\displaystyle  x_1+x_2=4-m \)
另一方面
\(\displaystyle \frac{y^4}{m^2}-\frac{4y^2}{m}+4+y^2=3,y^4-(4m-m^2)y^2+m^2=0 \)
\(\displaystyle y_1^2+y_2^2=4m-m^2,y_1^2y_2^2=m^2 \)
因為m是正數，以及交點在第一象限，所以
\(\displaystyle y_1y_2=m \)
\(\displaystyle (y_1+y_2)^2=6m-m^2 \)
\(\displaystyle y_1+y_2=\sqrt{6m-m^2} \)
中點在y=x上
\(\displaystyle 4-m=\sqrt{6m-m^2} \)
\(\displaystyle 16-8m+m^2=6m-m^2 \)
\(\displaystyle 2m^2-14m+16=0,m^2-7m+8=0 \)
\(\displaystyle m=\frac{7+\sqrt{17}}{2}, or m=\frac{7-\sqrt{17}}{2} \)
但是m要小於4
所以
\(\displaystyle m=\frac{7-\sqrt{17}}{2} \)

作者: Herstein 時間: 2011-6-19 23:45

四面體的圖是這樣嗎?

圖片附件: 鳳山.png (2011-6-19 23:59, 13.22 KB) / 該附件被下載次數 6630
https://math.pro/db/attachment.php?aid=549&k=863e492029dfd5c0d041d0450e80cfe5&t=1732257999

作者: weiye 時間: 2011-6-20 00:03 標題: 回復 1# 紫月的帖子

當 \(a\to 0\) 時，

四面體體積不就 \(\to 0\) 了。

題目沒有漏掉條件嗎？

作者: Herstein 時間: 2011-6-20 01:34 標題: 回復 9# weiye 的帖子

這一題是求最大體積才對
考試的時候我沒算出來
後來我才想到我算 2sqrt(3)/27 不知道對不對?

[ 本帖最後由 Herstein 於 2011-6-20 01:47 AM 編輯 ]

作者: 老王 時間: 2011-6-20 07:41

#5
假設AB=a,CD=b,AC=BC=AD=BD=1
取AB中點M，CM和DM都垂直AB
所以AB垂直平面CDM
將四面體分成A-CDM和B-CDM
體積為
\(\displaystyle \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}b \times \sqrt{1-\frac{a^2}{4}-\frac{b^2}{4}} \times a \)
\(\displaystyle =\frac{1}{12}ab\sqrt{4-a^2-b^2} \)
令\(\displaystyle c=\sqrt{4-a^2-b^2} \)
可知若\(\displaystyle a^2+b^2\rightarrow 4 \)，體積會接進0，故無最小值。
\(\displaystyle a^2+b^2+c^2=4 \)
算幾不等式
\(\displaystyle a^2+b^2+c^2 \ge 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} \)
\(\displaystyle abc \le \frac{8\sqrt3}{9} \)
體積最大值
\(\displaystyle \frac{2\sqrt3}{27} \)

作者: maymay 時間: 2011-6-30 16:01 標題: 請問第6,7,9題.謝謝

作者: 八神庵 時間: 2011-7-4 19:42 標題: 100鳳山高中公告版

as title
學校在7月2日公佈.....囧.....
還好被我抓到
如附件
請各位參照!

附件: 鳳山高中.pdf (2011-7-4 19:42, 178.95 KB) / 該附件被下載次數 8386
https://math.pro/db/attachment.php?aid=621&k=c02f318a9a903a012fea2d9478cc5305&t=1732257999

作者: Herstein 時間: 2011-7-6 20:52

我想問公佈板的題目第3題

作者: bugmens 時間: 2011-7-7 08:59

感謝八神庵過了這麼久還記得去學校網站留意有沒有公佈題目
否則校方一拿掉公告這份題目就失傳了

2.
袋中有1,2,...,9號球各一個，每次自袋中取出一球，取後放回，共取n次，n次和為偶數的機率記為\( P_n \)，
求(1)\( P_{n+1} \)及\( P_n \)之關係式？　(2)\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n= \)？

不透明箱內有編號分別為1至9的九個球，每次隨機取出一個，紀錄其編號後放回箱內；以\( P_n \)表示前n次取球的編號之總和為偶數的機率。
求\( P_n= \)？(以n表示)
(99鳳新高中，https://math.pro/db/thread-974-1-2.html)
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=4089#p4089

一袋中有5個球，分別寫上1、2、3、4、5號，今由其中任取一球記下其號碼後放回袋中，如此繼續n次，若\( P_n \)表紀錄到n次數字和為偶數的機率，則\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{2}-P_n)= \)？
(100中科實中，https://math.pro/db/thread-1107-1-1.html)

3.
利用最小平方法得到二維數據\( (x_1,y_1) \),\( (x_2,y_2) \),...,\( (x_n,y_n) \),y對x的迴歸直線為\( y=a+bx \)，
另一組二維數據\( (u_1,v_1) \),\( (u_2,v_2) \),...,\( (u_n,v_n) \)是透過\( u=c+dx \)，\( v=e+fy \)所得到的，
已知\( a,b,c,d,e,d \)為定值，求v對u的迴歸直線方程式？
[答案]
\( \displaystyle y=(fa+e-\frac{bcd}{d})+\frac{bf}{d}x \)

7.
求方程式\( \displaystyle \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}}=y \)，
x，y的非負整數解，其中共有2011個√，且√指正根而言。

Find all possible integer solutions for \( \sqrt{x+\sqrt{x...(x+\sqrt{x}...)}}=y \), where there are 1998 square roots.
連結已失效h ttp://www.cs.cornell.edu/~asdas/imo/r41-50.html

補個類似題
試求方程\( x=\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+x}}} \)的所有的正根？

試求方程：\( x=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+x}}}} \)的根。
(初中數學競賽教程P353)

101.4.30補充
設\( [\; x ]\; \)表示不大於x最大整數，例如：\( [\; 3 ]\;=3 \)，\( [\; 2.3 ]\;=2 \)，\( [\; -2.5 ]\;=-3 \)，則
\( \displaystyle \Bigg[\; \sqrt{2010+\sqrt{2010+\sqrt{2010+\sqrt{2010+...+2010}}}} \Bigg]\; \)之值為何？
(其中共有2010個2010)
(建中通訊解題第82期)
[解答]
定義數列，\(a_{n+1}=\sqrt{2010+a_n}\)，\(a_1=\sqrt{2010}\)
\(\Rightarrow 44<a_1<45 \Rightarrow 45<\sqrt{2055}<\sqrt{2010+a_1}<\sqrt{2056}<46\Rightarrow 45<a_2<46\)
繼續如此的步驟
\(\Rightarrow 45<a_3<46 \Rightarrow 45<a_4<46 \Rightarrow \ldots \Rightarrow 45<a_{2010}<46\)
故所求\(=[a_{2010}]=45\)

113.4.10補充
令\( \displaystyle x=\sqrt{2024+\sqrt{2024\ldots+\sqrt{2024+\sqrt{2024+\sqrt{2024}}}}} \)，其中2024共出現2024次，則\([x]=\)　　　。
註：\([x]\)表示小於或等於\(x\)的最大整數。
(113北一女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3828&page=1#pid25679)

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=634&k=dbf4b25522c13e2bf54b58e4623a25d8&t=1732257999

圖片附件: 100鳳山高中.gif (2011-7-7 08:59, 42.16 KB) / 該附件被下載次數 5623
https://math.pro/db/attachment.php?aid=635&k=66fc596af0131cb8b58cfd344d7046e2&t=1732257999

圖片附件: 初中數學競賽指導.gif (2011-7-7 08:59, 64.75 KB) / 該附件被下載次數 5587
https://math.pro/db/attachment.php?aid=636&k=704262082900aa217789872b7cfe3053&t=1732257999

作者: gamaisme 時間: 2011-7-12 00:05

請教一下
這份考題有答案嗎?
小弟我沒找到，有的可以分享一下嗎?
謝謝!

作者: bluewing 時間: 2011-7-14 10:54

老師您好，請問第10題應該要如何著手呢??

三正數a,b,c，a+b+c=3的那一題，謝謝老師。

作者: peter579 時間: 2011-7-18 15:18

引用:

原帖由 bluewing 於 2011-7-14 10:54 AM 發表
老師您好，請問第10題應該要如何著手呢??

三正數a,b,c，a+b+c=3的那一題，謝謝老師。

這裏有類題…還是謝謝這一版…。
https://math.pro/db/thread-1128-1-1.html

借用那邊算的結果答案為3/2…。

好像也可用猜的…a=b=c=1代入求解…。

[ 本帖最後由 peter579 於 2011-7-18 03:55 PM 編輯 ]

作者: pizza 時間: 2012-2-27 17:17

請問#3(問迴歸直線方程式)的答案斜率不必分正負嗎? 不過我算出來的常數項也算錯就是了,所以想請教一下該怎麼算?
還有也想問一下#12的證明該怎麼寫,謝謝

[ 本帖最後由 pizza 於 2012-2-27 05:19 PM 編輯 ]

作者: weiye 時間: 2012-2-27 18:17 標題: 回復 19# pizza 的帖子

第 3 題：

設 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 的算術平均數為 \(\overline{x}\)，標準差為 \(S_x\)，

　 \(y_1,y_2,\cdots,y_n\) 的算術平均數為 \(\overline{y}\)，標準差為 \(S_y\)，

　 \(u_1,u_2,\cdots,u_n\) 的算術平均數為 \(\overline{u}\)，標準差為 \(S_u\)，

　 \(v_1,v_2,\cdots,v_n\) 的算術平均數為 \(\overline{v}\)，標準差為 \(S_v\)，

　 \(X\) 與 \(Y\) 的相關係數為 \(r_{XY}\)，\(U\) 與 \(V\) 的相關係數為 \(r_{UV}\)，

＜＜先來看看已知蝦咪＞＞

因為 \(y\) 對 \(x\) 的迴歸直線為 \(y=a+bx\)，

所以 \(\overline{y}=a+b\overline{x}\) 且 \(\displaystyle b=r_{XY}\cdot\frac{S_y}{S_x}\)

＜＜再來看看最後是找出來蝦咪東西，寫過程的時候這一塊通常反而是會很後面才說～＞＞
｜
｜　　\(v\) 對 \(u\) 的迴歸直線必通過 \((\overline{u},\overline{v})\)，
｜
｜　　且其斜率為 \(\displaystyle r_{UV}\cdot\frac{S_v}{S_u}\)
｜
└──────────────────────────＜其實這塊只是在思考接下來要怎樣走～不用寫啦＞

＜＜好吧，要把這兩者扯再一起了～＞＞

因為 \(u=c+dx\)，所以 \(\displaystyle \overline{u}=c+d\overline{x}\Rightarrow \overline{x}=\frac{\overline{u}-c}{d}\)

因為 \(v=e+fy\)，所以 \(\displaystyle \overline{v}=e+f\overline{y}\Rightarrow \overline{y}=\frac{\overline{v}-e}{f}\)

因為 \(\overline{y}=a+b\overline{x}\)，所以 \(\displaystyle \frac{\overline{v}-e}{f}=a+b\left(\frac{\overline{u}-c}{d}\right)\)　　　───（＊）

且

\(\displaystyle r_{UV}\cdot\frac{S_v}{S_u}=\frac{df}{|df|}r_{XY}\cdot\frac{|f|S_y}{|d|S_x}\)

　　　　　　　　\(\displaystyle =\frac{df}{|d|^2}\cdot r_{XY}\cdot\frac{S_y}{S_x}\)

　　　　　　　　\(\displaystyle =\frac{f}{d}\cdot b\)

＜＜再來招喚剛剛思考的那塊～＞＞

因為 \(v\) 對 \(u\) 的迴歸直線必通過 \((\overline{u},\overline{v})\)，

且其斜率 \(\displaystyle r_{UV}\cdot\frac{S_v}{S_u}=\frac{f}{d}\cdot b\)

因此，\(v\) 對 \(u\) 的迴歸直線為

\(\displaystyle v-\overline{v}=\frac{f}{d}\cdot b(u-\overline{u})\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{v-\overline{v}}{f}=\frac{b}{d}(u-\overline{u})\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{(v-e)-(\overline{v}-e)}{f}=\frac{b}{d}\left((u-c)-(\overline{u}-c)\right)\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{v-e}{f}-\frac{\overline{v}-e}{f}=\frac{b(u-c)}{d}-\frac{b(\overline{u}-c)}{d}\)

將（＊）帶入可得

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{v-e}{f}-a=\frac{b(u-c)}{d}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{v-e}{f}=a+b\cdot\frac{u-c}{d}\)

結束。

然後，下次如果是考填充題，那就～

把 \(\displaystyle u=c+dx, v=e+fy\Rightarrow x=\frac{u-c}{d}, y=\frac{v-e}{f}\) 帶入 \(y=a+bx\)

即可得 \(\displaystyle \frac{v-e}{f}=a+b\cdot\frac{u-c}{d}\)

作者: weiye 時間: 2012-2-27 18:31 標題: 回復 19# pizza 的帖子

第 12 題：

已知 \(p(0)=a_0\) 為奇數，且 \(p(1)=a_n+a_{n-1}+\cdots+a_0\) 亦為奇數，

假設 \(p(x)=0\) 有整數根 \(\alpha\)，

若 \(\alpha\) 為偶數，則

　　\(p(\alpha)=a_n\alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+a_1\alpha+a_0\equiv a_0\equiv 1\pmod{2}\)

　　\(\Rightarrow p(\alpha)\not\equiv0\pmod2\) 此與 \(p(\alpha)=0\) 互相矛盾。

若 \(\alpha\) 為奇數，則

　　\(p(\alpha)=a_n\alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+a_1\alpha+a_0\)

　　　　　　　　\(\equiv a_n\cdot1^n+a_{n-1}\cdot1^{n-1}+\cdots+a_1\cdot1+a_0\)

　　　　　　　　\(\equiv a_n+a_{n-1}+\cdots+a_0 \equiv 1\pmod{2}\)

　　\(\Rightarrow p(\alpha)\not\equiv0\pmod2\) 此與 \(p(\alpha)=0\) 互相矛盾。

因此，\(p(x)=0\) 既無偶數根，亦無奇數根，

可得 \(p(x)=0\) 無整數根。

作者: pizza 時間: 2012-2-27 20:23

感謝瑋岳老師的解答,速度真快,大概知道我錯在哪裡了,非常感謝!

作者: t3712 時間: 2012-3-1 14:53

非常感謝各位老師的指導

小弟我獲益良多

冒昧請教一下，第一題答案是3，對否？

謝謝

作者: weiye 時間: 2012-3-1 19:15 標題: 回復 23# t3712 的帖子

第 1 題：設 \(A,B,C,D\) 表 \(z^4−z^2+1=0\) 之四根在複數平面上的對應點，又 \(P\) 表複數 \(i\) 在複數平面上的對應點，則 \(\overline{PA}\cdot\overline{PB}\cdot\overline{PC}\cdot\overline{PD}\)＝？

解答：

設 \(f(x)=z^4-z^2+1=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)(x-\delta)\)

\(\overline{PA}\cdot\overline{PB}\cdot\overline{PC}\cdot\overline{PD}=\left|i-\alpha\right|\cdot\left|i-\beta\right|\cdot\left|i-\gamma\right|\cdot\left|i-\delta\right|\)

　　　　　　　\(=\left|\left(i-\alpha\right)\left(i-\beta\right)\left(i-\gamma\right)\left(i-\delta\right)\right|\)

　　　　　　　\(=\left|f(i)\right|=\left|i^4-i^2+1\right|=3\)

作者: t3712 時間: 2012-3-1 22:36

謝謝瑋岳老師^^

作者: 老王 時間: 2012-3-14 22:31

重做的時候發現第五題也可以用向量來作
因為AC是直徑，所以
\(\displaystyle \vec{AC} \cdot \vec{AB}=|\vec{AB}|^2 \)
以及
\(\displaystyle \vec{AC} \cdot \vec{AD}=|\vec{AD}|^2 \)
就會得到
\(\displaystyle \frac{3}{2}|\vec{AB}|^2+\frac{5}{2}\vec{AB} \cdot \vec{AD}=|\vec{AB}|^2 \)
\(\displaystyle \frac{3}{2}\vec{AB} \cdot \vec{AD}+\frac{5}{2}|\vec{AD}|^2=|\vec{AD}|^2 \)
整理得
\(\displaystyle \vec{AB} \cdot \vec{AD}=-\frac{1}{5}|\vec{AB}|^2=-|\vec{AD}|^2 \)

又AC=2得到
\(\displaystyle 4=\frac{9}{4}|\vec{AB}|^2+\frac{2}{15}\vec{AB} \cdot \vec{AD}+\frac{25}{4}|\vec{AD}|^2 \)
令\(\displaystyle |\vec{AD}|^2=K \)
則\(\displaystyle |\vec{AB}|^2=5K,\vec{AB} \cdot \vec{AD}=-K \)
\(\displaystyle 4=10K,K=\frac{2}{5} \)
於是
\(\displaystyle |\vec{BD}|^2 \)
\(\displaystyle =|\vec{AD}|^2-2\vec{AB} \cdot \vec{AD}+|\vec{AB}|^2 \)
\(\displaystyle =8K=\frac{16}{5} \)
最後得到
\(\displaystyle BD=\frac{4\sqrt{5}}{5} \)

作者: Ellipse 時間: 2012-3-14 23:06

填充5提供另一個想法
假設AC與BD的交點為O
假設t*向量AC=向量AO=t*(3/2)*向量AB+t*(5/2)向量AD (t是實數)
因為A-O-C ,所以t*(3/2)+t*(5/2)=1 ,t=1/4
又AC=2,所以AO=2*(1/4)=1/2 ,CO=3/2
且向量AO=(1/4)*向量AC=(3/8)*向量AB+(5/8)*向量AD
所以DO:BO=3:5,令DO=3k,BO=5k(k是正實數)
由圓冪定理得 AO*CO=DO*BO,(1/2)*(3/2)=(3k)*(5k)
解得k=5^0.5/10 ,所求=BD=8k=4*5^0.5/5

作者: satsuki931000 時間: 2020-8-30 14:33

填充第九題

答案是a=9/4 b=-19/12 嗎

作者: Lopez 時間: 2020-8-30 16:34 標題: 回復 27# satsuki931000 的帖子

Yes

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