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標題: 100慈大附中,臺南慈中 [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2011-5-29 10:28 標題: 100慈大附中,臺南慈中

題目請見附件

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作者: bugmens 時間: 2011-5-29 10:28

2.
解聯立方程祖\( \cases{xy+x+y=-5 \cr x^2+xy+y^2=7} \)。
[提示]
令\( x+y=a \)，\( xy=b \)

同樣的技巧也能用在這題
解方程式\( \cases{x+xy+y=2+3 \sqrt{2} \cr x^2+y^2=6} \)。
(99松山高中，https://math.pro/db/thread-1044-1-1.html)

5.
已知\( (1+x+x^2)^{1000} \)的展開式為\( a_0+a_1x+...+a_{2000}x^{2000} \)，試求\( a_0+a_3+a_6+...+a_{1998}= \)？

6.
用7個"＋"號及5個"－"號排成一列，恰有4次變號的排法有多少種？

有3個「＋」，4個「－」，排成一列。若一列中一個「＋－」或一個「－＋」我們說：有一個「變號」。問3個「＋」，4個「－」排成一列，變號個數的期望值？
(98彰化女中，https://math.pro/db/thread-741-1-1.html)

9.
若函數f滿足\( f(93)=93 \)，且對每一正整數n，\( f(n)+f(n+3)=n^2 \)恆成立，則\( f(30)= \)？
(2004TRML團體賽)

12.
\( x,y \)為實數，已知\( x^2+xy+y^2=3x+3y+9 \)，若\( x^2+y^2 \)的最大值為M，最小值為N。求數對\( (M,N)= \)？

這裡可以找到答案
實數\( x,y \)滿足\( x^2+xy+y^2=3(x+y+3) \)，求\( x^2+y^2 \)之最大值與最小值？
(第七次合作杯數學有獎徵答，h ttp://web.tcfsh.tc.edu.tw/math/week.htm　連結已失效)

101.2.5補充
有一個大正立方體由27個單位立方體所組成，今有一個平面垂直且平分大正立方體內部之對角線，試問該平面與幾個單位立方體相交？

A large cube is formed by stacking 27 unit cubes. A plane is perpendicular to one of the internal diagonals of the large cube and bisects that diagonal. The number of unit cubes that the plane intersects is
(A)16 (B)17 (C)18 (D)19 (E)20
(1995AMC12，http://www.artofproblemsolving.c ... id=44&year=1995)

作者: maymay 時間: 2011-6-7 22:34 標題: 請問有人有算,可以對對答案嗎?

請較各位老師8,11,14題,謝謝

作者: 阿光 時間: 2012-1-27 21:05

想請教第8題,謝謝

作者: tsusy 時間: 2012-1-28 00:29 標題: 回復 3# maymay 的帖子

14 題，這是用黎曼和求極限

\(\displaystyle \sum\frac{1}{n}(1+\frac{k}{n})\sqrt{\frac{2k}{n}+(\frac{k}{n})^{2}}\to\int_{0}^{1} (1+x)\sqrt{2x+x^{2}}dx \)

然後變數代換 \( y=x^{2}+2x,\, dy=2(x+1)dx \)

\(\displaystyle \int_{0}^{1}(1+x)\sqrt{2x+x^{2}}dx=\frac{1}{3}y^{\frac{3}{2}}\Bigr|_{0}^{3}=\sqrt{3} \)

作者: 阿光 時間: 2012-1-28 21:46

有人能解第8題嗎,謝謝

作者: weiye 時間: 2012-1-28 22:48 標題: 回復 6# 阿光的帖子

第 8 題：

設此 27 個單位立方體由原點往第一卦限開始堆疊，以組成體積為 \(27\) 的大正立方體，

則垂直且平分由 \((0,0,0)\) 連至 \((3,3,3)\) 的對角線線段之平面為 \(\displaystyle x+y+z-\frac{9}{2}=0\)

這 27 個小正立方體的頂點中，最靠近原點的那 27 個頂點分別是 \((i,j,k)\)，其中 \(0\leq i,j,k\leq 2\) 且 \(i,j,k\) 為整數，

這 27 個小正立方體的頂點中，最遠離原點的那 27 個頂點分別是 \((i+1,j+1,k+1)\)，其中 \(0\leq i,j,k\leq 2\) 且 \(i,j,k\) 為整數，

若平面 \(\displaystyle x+y+z-\frac{9}{2}=0\) 與「最靠近原點的那個頂點坐標為 \((i,j,k)\) 的單位正立方體」有相交，

則必滿足 \(\displaystyle i+j+k-\frac{9}{2}<0\) 且 \(\displaystyle (i+1)+(j+1)+(k+1)-\frac{9}{2}>0\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{3}{2}<i+j+k<\frac{9}{2}\)

其中 \(0\leq i,j,k\leq 2\) 且 \(i,j,k\) 為整數，

若 \(i+j+k = 2\)，\(2=2+0+0\) (三組)\(= 1+1+0\) (三組)

若 \(i+j+k= 3\)，\(3= 2+1+0\) (六組)\(= 1+1+1\)(一組)

若 \(i+j+k = 4\)，\(4 = 2+2+0\) (三組)\(= 2+1+1\)(三組)

共 \(19\) 個。

註：剛剛才算，因為沒有答案可以比對，如有漏列，煩請不吝告知，感謝。

作者: 阿光 時間: 2012-1-29 21:12

小弟阿Q,第8題的解法很用力的看,看不出有錯誤的地方
唯一的小錯誤就是第6行的k打成j 了

作者: weiye 時間: 2012-1-29 21:17 標題: 回復 8# 阿光的帖子

感謝您的提醒，馬上修改。 ^__^

作者: 老王 時間: 2012-1-30 11:26

第8題，另一種看法(不是很嚴謹)如圖，此平面會通過3,4,5
所以共有19格

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作者: Joy091 時間: 2012-2-9 13:04

第8題:
有一個大正方體由27個小正方體所組成，今有一個平面垂直且平分大正方體內部之對角線，試問該平面與幾個單位立方體相交?

我是考慮不會被"切到"的小正方形，平面的上下各有4個，原因如下:

假設每個小正方形的邊長是1，考慮平面之某一側正方體，距離平面最遠的端點叫做 A，通過 A點而與此平面平行的平面叫做 E

則 A點到平面的距離是 \(d=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

"角落正方體的底端" 到 A點的距離為 \(\sqrt{3}<d\)，所以不會切到

"角落正方體的3個相鄰正方體的底端" 到 E 的距離為 \(s=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}=d\)，所以有切點，但不會切出截面積

"'其他的小正方形的底端" 到 E 的距離均大於 \(s\)，而 \(s=d\)，所以都會切出截面

因此平面的某一側只有4個小正方體沒有被切出截面，總共就是8個沒被切出截面

於是，被切出截面的正方體數量 = 27-8=19

但題目的意思若是相交(交於一點也算數)，則有 27-2=25 個小正方體與平面相交。

[ 本帖最後由 Joy091 於 2012-2-9 01:39 PM 編輯 ]

作者: waitpub 時間: 2012-3-15 17:04 標題: 請問填充第12題

這一題已經參考版上老師提供的方法求x+y的範圍去算，也得到最大值27最小值2。
只不過自己鐵齒，硬是想利用平移和旋轉的方式練習一下。
可是平移旋轉之後
自己求出的橢圓是(x^2/8)+(y^2/24)=1，得到最大值24最小值8
不知道是自己算錯還是不可以用這個方法，可否請老師幫忙看一下?謝謝

作者: weiye 時間: 2012-3-15 17:27 標題: 回復 12# waitpub 的帖子

你把已知條件給的橢圓先平移、後旋轉，

卻忘了把題目要求的 \(x^2+y^2\) 經過先平移成 \((x-1)^2+(y-1)^2\) 之後，

其中心點變成〝非原點〞，

所以旋轉也會改變位置，

變成求 \(\displaystyle\left(x+\sqrt{2}\right)^2+y^2\) 的最大值與最小值。

已知 \(\displaystyle \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{24}=1\)，

求 \(\displaystyle\left(x+\sqrt{2}\right)^2+y^2\) 的最大值與最小值。

剩下就～～～ \(\displaystyle \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{24}=1\Rightarrow y^2=24-3x^2\)

將其帶入 \(\displaystyle\left(x+\sqrt{2}\right)^2+y^2\)，

再配方成 \(\displaystyle -2\left(x-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+27\) 後，即可得最大值 \(27\) 與最小值 \(2\)

（注意 \(x\) 範圍：\(-2\sqrt{2}\leq x\leq2\sqrt{2}\)）。

作者: 阿光 時間: 2012-4-16 05:58

有人能解第11題嗎,謝謝

作者: weiye 時間: 2012-4-16 09:02 標題: 回復 14# 阿光的帖子

第 11 題：

\(\log_4\left(x+2y\right)+\log_4\left(x+2y\right)=1\)

\(\Rightarrow x^2-4y^2=4\) 且且 \(x+2y>0,x-2y>0\)

滿足上述條件的圖形是右葉的雙曲線

　　　

所求 \(|x|-|y|\) 不失一般性可假設 \(x\geq0, y\geq0\)，

則 \(|x|-|y|=x-y\) 欲求最小值，且限制條件為雙曲線 \(x^2-4y^2=4\) 在第一象限部分

令 \(x-y=k\Rightarrow y=x-k\)

而 \(x^2-4y^2=4\) 的斜率為 \(1\) 的切線為 \(y=1\cdot x\pm\sqrt{4\cdot1^2-1}\Rightarrow y=x\pm\sqrt{3}\)

其中與雙曲線於於第一象限相切的切線為 \(y=x-\sqrt{3}\Rightarrow x-y=\sqrt{3}\)

可得所求之最小值為 \(\sqrt{3}.\)

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作者: ichiban 時間: 2012-4-17 21:41

我不曉得我寫的對不對...
我只算了一次...
不曉得對錯...
又懶得再算...
麻煩大家看看或分享...
謝謝~~

圖片附件: 100慈.JPG (2012-4-17 21:41, 24.05 KB) / 該附件被下載次數 8262
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作者: tsusy 時間: 2012-4-18 11:42 標題: 回復 16# ichiban 的帖子

不一樣的部分
1. \( x>0 \) 的情況是 \( \frac{\sqrt 5 -1}{2}<x<3 \)
應該只是計算錯誤

7. \( \frac{22}{27} \)
那幾顆球都一樣大，四個面外面各一顆，內部也一顆，應該要扣 5 顆
從你的答案推測，應該是少扣一顆了

13. \( \frac{1}{4} \)

3. \( \frac{9}{16} \)

參考一下，說不定是我算錯...

作者: t3712 時間: 2012-4-18 13:56

填充3 小弟也是算 \( \frac{9}{16} \) 想法：將圖形投影到yz平面就可以找出兩圓半徑

順便想請問一下填充13的算法，謝謝

作者: tsusy 時間: 2012-4-18 16:47 標題: 回復 18# t3712 的帖子

13 題，微分是區部的操作，所以只要了解在那個點附近函數的狀況就好了

當 \( x \) 在 \( \frac32 \) 附近時，\( [x] =1 \) ，而且絕對值裡頭是負的，所以

\( f(x) = (\frac14 x^2 -x )\cdot (-1) \) 當 \( x \) 在 \(\frac32 \) 附近時

微分得 \( 1 - \frac x2 \) ， \( x =\frac32 \) 代入得 \( \frac14 \)

作者: t3712 時間: 2012-4-18 20:07 標題: 回復 19# tsusy 的帖子

原來如此，我了解了，感謝tsusy老師

作者: frombemask 時間: 2013-7-22 17:13

請教12題的解法? 我有去查那個網站但好像已經關閉了

作者: johncai 時間: 2014-1-16 22:05 標題: 回復 13# weiye 的帖子

不好意思
我想請教一下
填充12題。
我先經過平移後舊原點變為(-1,-1)
再旋轉後舊原點變為(-根號2,0)
所以應該變成(x+根號2)^2+y^2
請問是我平移的觀念有錯嗎？還是？
先謝謝了！

作者: weiye 時間: 2014-1-16 22:33 標題: 回復 22# johncai 的帖子

你沒有錯，是我筆誤把 \(\displaystyle\left(x+\sqrt{2}\right)^2+y^2\) 打成 \(\displaystyle\left(x-\sqrt{2}\right)^2+y^2\) 了，

看後面配方還原回去就可以知道我打錯正負號了。立馬修正，感謝。

作者: weiye 時間: 2014-1-16 22:48 標題: 回復 21# frombemask 的帖子

第 12 題（第七次合作杯數學有獎徵答所提供的參考解答的方法）

令 \(x+y=u, xy=v\)，則

\(x^2+xy+y^2=3x+3y+9\Rightarrow \left(x+y\right)^2-xy=3\left(x+y\right)+9\)

\(\Rightarrow u^2-v=3u+9\Rightarrow v=u^2-3u-9\)

所求＝\(x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy=u^2-2v=u^2-2\left(u^2-3u-9\right)\)

　　　　　　　 \(=-u^2+6u+18=-\left(u-3\right)^2+27\)

因為 \(x,y\) 為方程式 \(t^2-ut+v=0\) 的實根

所以判別式 \(D=u^2-4v\geq0\)

再將 \(v=u^2-3u-9\) 帶入上式，

可得 \(u^2-4\left(u^2-3u-9\right)\geq0\Rightarrow u^2-4u-12\leq0\)

\(\Rightarrow \left(u+2\right)\left(u-6\right)\leq0\Rightarrow -2\leq u\leq6\)

由所求 \(x^2+y^2=-\left(u-3\right)^2+27\) 搭配 \(u\) 的範圍 \(-2\leq u\leq6\)

（畫出頂點在 \((3,27)\) 且開口向下拋物線的圖形）

可得當 \(u=3\) 的時候，\(x^2+y^2\) 有最大值為 \(27\)；

　　當 \(u=-2\) 的時候，\(x^2+y^2\) 有最小值為 \(2\)。

作者: weiye 時間: 2014-2-13 15:18 標題: 填充7

填充7
考慮一個正四面體與其內切球與外接球。今在正四面體之四個面，均有一個最大球與其相切也和外接球相切(此球在正四面體外部)。若在外接球的內部任取一個點\(P\)，則\(P\)不落在內切球內部也不落在正四面體外圍的四個球內之機率為何？
[解答]
（幫朋友解完順便ＰＯ上來～）

111.1.15補充
已知一正四面體有一個外接球與一個內切球，今知在四面體中之四個面，均有一個最大的球(在正四面體外)與其相切且與外接球也相切，若在外接球內任選一點\(P\)，則\(P\)落在內切球或正四面體外圍的四個球內之機率的近似值為　　　　。
(A) 0　(B) 0.1　(C) 0.2　(D) 0.3　(E) 0.4
(1999ASHME，https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_29)

圖片附件: 2014-02-13 15.15.25.jpg (2014-2-13 15:18, 198.47 KB) / 該附件被下載次數 7611
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2021&k=45c8f99dd35b5b8815c30ccc5cc3fa95&t=1732550790

作者: mathca 時間: 2015-12-22 13:06 標題: 回復 1# bugmens 的帖子

請教填充第5題，感謝。

作者: thepiano 時間: 2015-12-22 13:39 標題: 回復 26# mathca 的帖子

第5題
\(x\)分別用1和\(\omega =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\)代進去做做看

作者: mathca 時間: 2015-12-22 14:48 標題: 回復 27# thepiano 的帖子

感謝!!

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