標題: 100桃園縣現職教師高中聯招 [打印本頁]

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作者: bugmens    時間: 2011-5-14 12:56     標題: 100桃園縣現職教師高中聯招

題目和選擇題答案,請見附件。

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作者: bugmens    時間: 2011-5-14 13:08

選擇題10.
令\( p=\root 3 \of {2+\sqrt{5}}+\root 3 \of {2-\sqrt{5}} \)，則下列敘述何者為真：
(A) p是有理數　(B) p是大於1的實數　(C) p不是整數　(D) \( p=1 \)　(E) 以上皆非

試求下列各題：
(1)求\( \root 3 \of {2+\sqrt{5}}+\root 3 \of {2-\sqrt{5}} \)之值。
(2)求使\( x=\root 3 \of {2+\sqrt{5}}+\root 3 \of {2-\sqrt{5}} \)之最低整係數方程式。
(96南港高工)


計算題6.
觀察\( \displaystyle C_0^n+C_1^n+...+C_n^n=(C_0^n+C_3^n+C_6^n+...)+(C_1^n+C_4^n+...)+(C_2^n+C_5^n+...) \)
令\( \displaystyle A=C_0^n+C_3^n+C_6^n+...+C_{3k}^{3k} \)，\( \displaystyle B=C_1^{3k}+C_4^{3k}+...+C_{3k-2}^{3k} \)，\( k \in N \)
(1)比較A與B的大小關係。
(2)計算A值。

\( \displaystyle C_0^n+C_3^n+C_6^n+...+C_{3m-3}^n+C_{3m}^n=\frac{1}{3}(2^n+2cos \frac{n \pi}{3}) \)
其中3m是不大於n的最大整數。
\( \displaystyle C_1^n+C_4^n+C_7^n+...+C_{3m+1}^n=\frac{1}{3}(2^n+2cos \frac{n-2}{3}\pi) \)
其中3m+1是不大於n的最大整數。
(神奇的複數: 如何利用複數解中學數學難題P23,P24)

101.6.22補充
已知\( n \in N \)，且n為6的倍數，則\( C_0^n+C_3^n+C_6^n+...+C_n^n \)之值為
(101松山家商，https://math.pro/db/thread-1425-1-1.html)


設\( \displaystyle (1+x)^{200}=\sum_{k=0}^{200}a_k x^k \)，則\( \displaystyle \sum_{k=1}^{66}a_{3k}= \)？
(99安樂高中，https://math.pro/db/thread-1008-1-3.html)

設 C(100,3k),k從0到33之和為S，請問S為幾位正整數？首位數為何？末位數為何？
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=39008

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-6-22 06:11 AM 編輯 ]

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作者: waitpub    時間: 2011-5-17 15:10     標題: 請問一下選擇題第2和7題?

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作者: weiye    時間: 2011-5-17 16:35

選擇第 2 題：

\(s=1-x-y\leq 0,    t=2x-y-2\leq 0,    x\geq0,    y\geq0\)

先畫出可行解區域，



再以頂點法，將各頂點帶入目標函數 \(f(x,y)=5x-3y\)，

可得當 \(x=0,y=2\) 時，\(f(0,2)=6\) 為最大值。

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作者: weiye    時間: 2011-5-17 16:55

選擇題第 7 題

其實這個行列式還蠻好算的呀，一堆東西都一樣，很快就可以消出一堆 \(0\)，

把該行列式

ｉ、將第一行成以 \(-1\) 倍，加到第二、三、四行，

ｉｉ、再將第一列乘以 \(-1,-1,3\) 倍分別加至第二、三、四列，

ｉｉｉ、再延第二行展開得一個三階行列式

ｉｖ、再延第一列展開得一個二階行列式

把這個二階行列式展開，得 \(x\) 的一元二次方程式，所以方程式有兩個根。（題目沒說要實數根，所以也不用檢查是否是實數根。）



註：如果一開始改用第一列乘以 \(-1\) 倍加到第二列，似乎也不錯，哈。

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作者: waitpub    時間: 2011-5-18 09:38     標題: 回復 5# weiye 的帖子

我也聽別人跟我說這份考卷比較簡單，但是我反而比較不會算。大概我基礎觀念比較不好吧! ==
另外想請問一下選擇題第5題為什麼不是A。多重選擇題第八題，a為什麼不是0.5?
最後謝謝你一直熱心的回覆我的問題。我都不好意思問了。

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作者: weiye    時間: 2011-5-18 11:00

第 8 題：

解答：

\(\displaystyle 3\log_{\frac{1}{3}} x > \log_{\frac{1}{3}} \left(2x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^3<2x-1\) 且 \(x>0\) 且 \(2x-1>0\)

\(\Leftrightarrow x^3<2x-1\) 且 \(x>0\) 且 \(2x-1>0\)

\(\Leftrightarrow x^3-2x+1<0\) 且 \(x>0\) 且 \(2x-1>0\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \left(x-1\right)\left(x-\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)\left(x-\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\right)<0\) 且 \(x>0\) 且 \(2x-1>0\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{-1+\sqrt{5}}{2}<x<1\)

所以，\(\displaystyle a=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=0.618... , b=1\)


第 5 題：

題目所求為〝在空間中，以原點為球心，\(3\) 為半徑的球〞其中 \(z\geq0\) 的上半球的體積，

所以為 \(\displaystyle \frac{4\pi\cdot 3^3}{3}\cdot \frac{1}{2}=18\pi.\)

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作者: 老王    時間: 2011-5-18 20:19

填充三
先求出M的方程式
\(\displaystyle \frac{x-2}{4}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-1} \)
在M上選取一點P(p,q,r)
P在y軸上的投影點為Q(0,q,0)
那麼繞的時候，就變成以Q為心，將P繞Q一圈形成一個圓
這個圓的方程式可以用到Q的距離=PQ的球，以及過Q且與y軸垂直的平面的交集構成
也就是
\(\displaystyle x^2+(y-q)^2+z^2=p^2+r^2 \)
\(\displaystyle y=q \)
再與
\(\displaystyle \frac{p-2}{4}=\frac{q-1}{2}=\frac{r}{-1} \)
消去p,q,r後得到
\(\displaystyle 4x^2-17y^2+4z^2+2y-1=0 \)

所有用直線繞另一直線的問題，都可以這樣處理。

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作者: milkie1013    時間: 2011-5-18 23:41     標題: 請教選擇4

想請教大家
選擇4該如何算呢
先謝謝大家了~

[ 本帖最後由 milkie1013 於 2011-5-18 11:48 PM 編輯 ]

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作者: weiye    時間: 2011-5-18 23:46     標題: 回復 9# milkie1013 的帖子

\(\displaystyle q=y, r=-\frac{q-1}{2}=-\frac{y-1}{2}, p=2+4\cdot\left(\frac{q-1}{2}\right)=2+4\cdot\left(\frac{y-1}{2}\right)\)

通通帶入 \(\displaystyle x^2+(y-q)^2+z^2=p^2+r^2 \) 就可以了！

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作者: milkie1013    時間: 2011-5-18 23:57     標題: 回復 10# weiye 的帖子

感謝您~~~
可以再請教選擇第四嗎

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作者: weiye    時間: 2011-5-19 00:00

選擇第 4 題：

\(\displaystyle w=\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\)

\(\displaystyle \overline{w}=\cos\frac{2\pi}{3}-i\sin\frac{2\pi}{3}=\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}=w^2=-\left(1+w\right)\)

所以，\(\displaystyle z_2=\left(a+bw\right)\left[a-b\left(1+w\right)\right]\)

　　　　　\(\displaystyle =\left(a+bw\right)\left(a+b\overline{w}\right)\)

　　　　　\(\displaystyle =\left(a+bw\right)\overline{\left(a+bw\right)}\)

　　　　　\(\displaystyle =z_1\cdot\overline{z_1}\)

　　　　　\(\displaystyle =\left|z_1\right|^2\)

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作者: bugmens    時間: 2011-5-20 08:13

感謝羅東高中官長壽老師提供答案
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2497

填充題3.
設直線L：\( \displaystyle \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1} \)在平面E：\( \displaystyle x-y+2z-1=0 \)上的投影直線為M，將直線M繞y軸旋轉一周所成的曲面方程式為？
[解答]
(1)L上的點可以用參數式表示\( P(t+1,t,-t+1) \)，\( t \in R \)

(2)求P對平面E的投影點Q
假設直線\( \displaystyle \overline{PQ} \)：\( \displaystyle \frac{x-(t+1)}{1}=\frac{y-t}{-1}=\frac{z-(-t+1)}{2} \)
直線參數式為\( (s+t+1,-s+t,2s-t+1) \)，\( s \in R \)
直線\( \overline{PQ} \)和平面E的交點為Q
\( (s+t+1)-(-s+t)+2(2s-t+1)-1=0 \)，\( \displaystyle s=\frac{t-1}{3} \)
\( \displaystyle Q \Bigg(\;\frac{4t+2}{3},\frac{2t+1}{3},\frac{-t+1}{3} \Bigg)\; \)，\( t \in R \)

(3)求單葉雙曲面方程式
O，P，Q都在平面\( \displaystyle y=\frac{2t+1}{3} \)上，得\( \displaystyle t=\frac{3y-1}{2} \)
\( \overline{OP}=\overline{OQ} \)
\( \displaystyle x^2+z^2=\Bigg(\; \frac{4t+2}{3} \Bigg)\;^2+\Bigg(\; y-\frac{2t+1}{3} \Bigg)\;^2+\Bigg(\; \frac{-t+1}{3} \Bigg)\;^2 \)
\( \displaystyle x^2+z^2=(2y)^2+\Bigg(\; \frac{1-y}{2} \Bigg)\;^2 \)
答案
\( \displaystyle x^2+z^2=\frac{17}{4}y^2-\frac{1}{2}y+\frac{1}{4} \)

05.23
感謝老王指教，我將圖換成單葉雙曲面

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-5-23 08:46 PM 編輯 ]

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作者: chiang    時間: 2011-5-20 11:38     標題: 回復 13# bugmens 的帖子

對不起
我可以請教一下選擇第3題嗎?
如何辨別?
謝謝

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作者: 老王    時間: 2011-5-20 14:42     標題: 回復 13# bugmens 的帖子

不好意思，我必須指出官老師解法中的問題
首先是，假設為\(\displaystyle x^2+z^2=ay^2+by+c \)只有對於轉軸是y軸才能用

還有，因為M和y軸沒有交點，所以這個曲面不是圓錐!!!
這個曲面在分類上面，屬於單葉雙曲面，這點應該要正名。

[ 本帖最後由 老王 於 2011-5-25 05:37 PM 編輯 ]

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作者: 老王    時間: 2011-5-20 15:18     標題: 回復 14# chiang 的帖子

關於無窮級數的歛散性，我只記得兩件事"
(1)跟\( \frac{1}{n^p} \)比較，在p>1的時候收斂
(2)如果是交錯級數，只要\( a_k \rightarrow 0 \)，那麼級數就收斂

所以可以先判斷出選項(2)是收歛的
選項(1)
因為\( \sqrt[n]{n} \rightarrow 1 \)，所以從某項之後，會有
\(\displaystyle n^{1+\frac{1}{n}}<2n \)
也就是\(\displaystyle \frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}>\frac{1}{2n} \)
但是\(\displaystyle \Sigma \frac{1}{2n} \)發散，所以此級數發散。

選項(3)
在n>10的時候，會有\(\displaystyle (\ln{n})^n>2^n>n \)
所以\(\displaystyle \frac{1}{n(\ln{n})^n}<\frac{1}{n^2} \)
所以收斂

選項(4)
因為\(\displaystyle \tan^{-1}{\frac{1}{n^2+n+1}}=\tan^{-1}{\frac{1}{n}}-\tan^{-1}{\frac{1}{n+1}} \)
分項對消後知其收斂

或者是參考教授的回答
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1511051510750

[ 本帖最後由 老王 於 2011-5-20 03:22 PM 編輯 ]

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作者: 老王    時間: 2011-5-20 15:34

填充一
直接作7進位的計算
101/12/14補充，附上7進位的加法表和乘法表

[ 本帖最後由 老王 於 2012-12-15 10:47 PM 編輯 ]

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作者: 老王    時間: 2011-5-20 15:38

計算五
(應該不會有人認為正確吧)
錯誤的主要原因在於第(ii)步驟
如果k+1=2，也就是k=1的時候，
前k隻和後k隻沒有重覆
所以不會成立

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作者: luckyguy    時間: 2011-5-24 08:04     標題: 回復 17# 老王 的帖子

填充第一題的平方根算式，我有看沒有懂 ，可否再煩請多加解釋、說明該運算技巧，感謝。

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作者: nanpolend    時間: 2011-5-24 17:25     標題: 回復 1# bugmens 的帖子

選擇第一題詳解

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作者: 老王    時間: 2011-5-24 20:22     標題: 回復 19# luckyguy 的帖子

可以先參考瑋岳老師的這篇
https://math.pro/db/thread-213-1-8.html
我在這邊是用7進位計算，您可以先換回十進位計算會比較熟，再換回7進位求值。
如有問題，再提出來討論。

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作者: nanpolend    時間: 2011-5-25 09:06     標題: 回復 19# luckyguy 的帖子

填充第一題詳解用十位數計算

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 01:00 PM 編輯 ]

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作者: nanpolend    時間: 2011-5-25 11:34     標題: 回復 22# nanpolend 的帖子

選擇題第六題

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作者: nanpolend    時間: 2011-5-25 16:05     標題: 回復 23# nanpolend 的帖子

選擇題第10題

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 01:01 PM 編輯 ]

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作者: luckyguy    時間: 2011-5-25 16:41     標題: 回復 21# 老王 的帖子

^^ 感謝 原來是用7進位制的 直式開方法 總算弄懂了，謝謝~
另外 nanpolend大 的換算一定可行，只是若數字再大一點工程就很花時間了，亦是正解。

[ 本帖最後由 luckyguy 於 2011-5-25 04:44 PM 編輯 ]

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作者: nanpolend    時間: 2011-5-25 17:10     標題: 回復 24# nanpolend 的帖子

選擇題第9題

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 01:02 PM 編輯 ]

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作者: nanpolend    時間: 2011-5-25 20:00     標題: 回復 26# nanpolend 的帖子

填充題第二題

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 01:03 PM 編輯 ]

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作者: nanpolend    時間: 2011-5-26 08:18     標題: 回復 17# 老王 的帖子

七進位的除法和開根式跟十進位一樣
99乘法還適用但結果得轉換成七進位
==只是轉換是很麻煩不習慣

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-5-26 08:20 AM 編輯 ]

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作者: weiye    時間: 2011-5-26 16:47

計算題第 6 題


第一小題，

令 \(\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3} i}{2},\)

　　\(f(x) = \left(1+x\right)^{3k}=C^{3k}_0+C^{3k}_1 x+C^{3k}_2 x^2+\cdots+C^{3k}_{3k} x^{3k},\)

則

\(\displaystyle A= f(x)\mbox{ 之中 } x \mbox{ 的 } 0,3,6 \cdots { 次方項的係數和}\)

　　　\(\displaystyle =\frac{f(1)+f(\omega)+f(\omega^2)}{3}\)

　　　\(\displaystyle =\frac{2^{3k}+(1+\omega)^{3k}+(1+\omega^2)^{3k}}{3} \)

　　　\(\displaystyle =\frac{2^{3k}+(-\omega^2)^{3k}+(-\omega)^{3k}}{3}\)

　　　\(\displaystyle =\frac{2^{3k}+(-1)^{3k}+(-1)^{3k}}{3}\)

　　　\(\displaystyle =\frac{2^{3k}+2\cdot(-1)^{3k}}{3}\)

　　　\(\displaystyle =\frac{2^{3k}+2\cdot(-1)^{k}}{3}\)

\(\displaystyle B=x^2\cdot f(x)\mbox{ 之中 } x \mbox{ 的 } 0,3,6 \cdots { 次方項的係數和}\)

　　　\(\displaystyle =\frac{1\cdot f(1)+\omega^2\cdot f(\omega)+\omega^4\cdot f(\omega^2)}{3}\)

　　　\(\displaystyle =\frac{2^{3k}+\omega^2(1+\omega)^{3k}+\omega^4(1+\omega^2)^{3k}}{3} \)

　　　\(\displaystyle =\frac{2^{3k}+\omega^2(-\omega^2)^{3k}+\omega(-\omega)^{3k}}{3}\)

　　　\(\displaystyle =\frac{2^{3k}+\omega^2(-1)^{3k}+\omega(-1)^{3k}}{3}\)

　　　\(\displaystyle =\frac{2^{3k}+\omega^2(-1)^{k}+\omega(-1)^{k}}{3}\)

所以，

\(\displaystyle A-B=\frac{(-1)^k\cdot(2-\omega^2-\omega)}{3}\)

　　　\(\displaystyle =\frac{(-1)^k\cdot\left[3-\left(1+\omega+\omega^2\right)\right]}{3}\)

　　　\(\displaystyle =(-1)^k\)

當 \(k\) 為偶數時，\(\displaystyle A-B=1.\)

當 \(k\) 為奇數時，\(\displaystyle A-B=-1.\)

所以，當 \(k\) 為奇數時，\(A<B\)；當 \(k\) 為偶數時，\(A>B.\)





第二小題，

\(\displaystyle A=\frac{2^{3k}+2\cdot(-1)^{k}}{3}\)

註：感謝老王老師指點～讓這個答案＆過程都變得更簡潔！超感激！^____^

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作者: nanpolend    時間: 2011-5-26 18:31     標題: 回復 29# weiye 的帖子

計算第四題
(ps)以上詳解感謝 weiye的提示
幾乎這張考卷都有詳解

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 01:05 PM 編輯 ]

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作者: luckyguy    時間: 2011-5-30 09:18     標題: 回復 18# 老王 的帖子

計算五
錯誤的主要原因在於第(ii)步驟 如果k+1=2，也就是k=1的時候
前k隻和後k隻沒有重覆 所以不會成立
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

請問 那如果原命題修正為  只要看到 2隻 黑色烏鴉   如此一來
                                                        ^^^^^
使用此推論 n從2開始  則證明是否正確?

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作者: 老王    時間: 2011-5-30 18:16     標題: 回復 31# luckyguy 的帖子

這樣的話，依然有問題:
因為當n=3的時候，前2隻和後2隻重複的部分為1隻，無法用n=2的情況說明。
如果你的意思是1隻的情況自動成立，那麼問題在於1隻的顏色不一定會和2隻的顏色相同。

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作者: idontnow90    時間: 2011-6-1 22:39

填充1.我不太懂老王老師所說的七進位的除法@@...可以詳述嗎??感謝~~

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