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標題: 99苗栗高中 [打印本頁]

作者: liengpi    時間: 2010-7-28 10:42     標題: 99苗栗高中

我打電話去 搬出公立高級中等以下學校教師甄選作業要點第九條
該校才公佈考題。
這一份考卷共有20題
填充8題 計算12題
我是當成在100分鐘內要寫20題計算題 因為他答案卷上也沒有話填充題的格子
50分通過初試

晚上我會努力回想計算題
有想到在PO上來

計算題其中有一題是證明微積分第一基本定理
另外有一題是
設實數,f(xy)=f(x)/y 若f(500)=3,求f(600)=?
以上兩題是我目前可以回想起來的

附件: 99苗栗高中.pdf (2010-7-28 11:04, 86.21 KB) / 該附件被下載次數 7797
https://math.pro/db/attachment.php?aid=287&k=688fb57bc1a48a6ed21782a133590975&t=1664609110
作者: 八神庵    時間: 2010-7-28 11:07

做得好!
我是覺得無論如何只要有辦筆試就應該全部公佈題目
沒有什麼只公佈選擇填充題的
我支持你
做得好
希望您早日正取
作者: bugmens    時間: 2010-7-28 20:41

2.設\( x^3+2x^2+3x+4=0 \)三根為\( \alpha,\beta,\gamma \),則\( \alpha^5+\beta^5+\gamma^5 \)

除了正規的方法外,提供另一種方法
\( f(x)=x^3+2x^2+3x+4 \) , \( f'(x)=3x^2+4x+3 \)
利用綜合除法計算\( \displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)} \)

\( \matrix{
3 & 4 & 3 &  &  &  &  &  \cr
 & -6& 4 & 4 & 4 &-36&  &  \cr
 &  & -9& 6 & 6 & 6 &-54&  \cr
 &  &  &-12& 8 & 8 & 8 &-72\cr
-& -& -& -& -& -& -& -\cr
3 & -2& -2& -2& 18&-22&...&...} \Bigg\vert\;
\matrix{-2 \cr -3 \cr -4 \cr \cr } \)

底下的答案剛好是\( \alpha^n+\beta^n+\gamma^n \),n從0到5次方的答案

2011.4.17補充
令\( a,b,c \)為三次方程式\( x^3+5x+11=0 \)的根,求\( a^3+b^3+c^3 \)
(A)\( -33 \) (B)33 (C)22 (D)\( -22 \)
(98金門縣國中聯招)

102.6.19補充
方程式\( x^3-x^2+2x-1=0 \)的三根為\( a,b,c \),則\( a^6+b^6+c^6= \)
(102師大附中,https://math.pro/db/thread-1653-1-1.html)

102.7.14補充
若\( \alpha,\beta,\gamma \)為\( x^3-2x+3=0 \)的三根,則\( \alpha^4+\beta^4+\gamma^4= \)
(102台中二中代理,https://math.pro/db/thread-1691-1-1.html)

正統解法http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=46&t=2455
作者: addcinabo    時間: 2010-9-21 09:13

第二題的解法超酷的耶,請問有什麼知識背景嗎?

另外,我想請問各位先進第6題

空間中兩直線\(\displaystyle\frac{x-3}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-1}{2},\frac{x-3}{6}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-1}{3}\)   
               
               
        

所夾之鈍角角平分線方程式?  (很抱歉我還不習慣用網站裡的符號....還在摸索當中...)
作者: weiye    時間: 2010-9-21 10:46

第 6 題:空間中兩直線 \(\displaystyle L_1:\frac{x-3}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-1}{2},\,L_2:\frac{x-3}{6}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-1}{3}\) 所夾之鈍角角平分線方程式為______________。


解答:

由題目所給之方程式,馬上可以看出兩直線通過定點 \((3,-2,1)\),且兩直線之方向向量為 \(\vec{n_1}=(2,-1,2),\vec{n_2}=(6,2,3)\),

由於 \(\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}>0\),所以 \(\vec{n_1}\) 與 \(\vec{n_2}\) 夾銳夾角,

將其中一個調整至相反方向,令 \(\vec{m_1}=-\vec{n_1}=(-2,1,-2)\),

其角平分線的向量為 \(\left|\vec{m_1}\right|\vec{n_2}+\left|\vec{n_2}\right|\vec{m_1}=(4,13,-5)\),

故,\(L_1\) 與 \(L_2\) 的鈍角角平分線方程式為 \(\displaystyle\frac{x-3}{4}=\frac{y+2}{13}=\frac{z-1}{-5}.\)
作者: weiye    時間: 2010-9-21 13:48

引用:
原帖由 addcinabo 於 2010-9-21 09:13 AM 發表
第二題的解法超酷的耶,請問有什麼知識背景嗎?
\(\displaystyle f(x)=\left(x-\alpha\right)\left(x-\beta\right)\left(x-\gamma\right)\Rightarrow f\,'(x)=\left(x-\beta\right)\left(x-\gamma\right)+\left(x-\alpha\right)\left(x-\gamma\right)+\left(x-\alpha\right)\left(x-\beta\right)\)

因此,

\(\displaystyle\frac{f\,'(x)}{f(x)}=\frac{1}{x-\alpha}+\frac{1}{x-\beta}+\frac{1}{x-\gamma}\)

  \(\displaystyle=\frac{1}{x}\left(1+\frac{\alpha}{x}+\frac{\alpha^2}{x^2}+\cdots\right)+\frac{1}{x}\left(1+\frac{\beta}{x}+\frac{\beta^2}{x^2}+\cdots\right)+\frac{1}{x}\left(1+\frac{\gamma}{x}+\frac{\gamma^2}{x^2}+\cdots\right)\)

  \(\displaystyle=3\cdot x^{-1}+\left(\alpha+\beta+\gamma\right)x^{-2}+\left(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\right)x^{-3}+\cdots\)


其中,幾何級數的收斂條件是 \(\displaystyle\left|\frac{\alpha}{x}\right|<1,\left|\frac{\beta}{x}\right|<1,\left|\frac{\gamma}{x}\right|<1\)。
作者: addcinabo    時間: 2010-9-23 10:59

感謝老師的回答,歹勢,中秋節放假一下,所以現在才回^^
作者: waitpub    時間: 2011-4-28 22:46

請問一下,老師所說由於 \(\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}>0\),所以 \(\vec{n_1}\) 與 \(\vec{n_2}\) 夾銳夾角,
這個部分的觀念是怎麼來的,我不太懂??
另外,我的做法是先算出n1,n2的單位向量出來,再相加減,得出兩個角平分線向量,不過我判斷不出來哪一個向量是所求?
引用:
原帖由 weiye 於 2010-9-21 10:46 AM 發表
第 6 題:空間中兩直線 \(\displaystyle L_1:\frac{x-3}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-1}{2},\,L_2:\frac{x-3}{6}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-1}{3}\) 所夾之鈍角角平分線方程式為______________。


解答:

由題目所給之方程 ...

作者: weiye    時間: 2011-4-28 23:01     標題: 回復 8# waitpub 的帖子

若兩非零向量  \(\vec{n_1}\) 與 \(\vec{n_2}\) 夾角為 \(\theta\)(其中 \(0^\circ\leq\theta\leq 180^\circ\) ),

由內積定義 \(\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=\left|\vec{n_1}\right|\cdot\left|\vec{n_2}\right|\cdot\cos\theta\),

可以知道

    \(\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}>0\Leftrightarrow\cos\theta>0\Leftrightarrow 0^\circ<\theta<90^\circ\)

    \(\Leftrightarrow \theta\) 為銳角。
作者: mathca    時間: 2016-1-4 20:50     標題: 回復 1# liengpi 的帖子

請教第7題,感謝。
作者: thepiano    時間: 2016-1-5 09:30     標題: 回復 10# mathca 的帖子

第 7 題
求與兩圓\(C_1\):\(x^2+y^2=1\),\(C_2\):\(x^2+(y-10)^2=9\)均內切或均外切的動圓圓心軌跡方程式為[u]   [/u]。
[解答]
\(x^2 + y^2 = 1\),圓心\( C_1(0,0)\),半徑 1
\(x^2 + (y - 10)^2 = 9\),圓心\( C_2(0,10)\),半徑 3

動圓圓心\( A(x,y)\),半徑\( r\)
均外切:\(AC_1 = r + 1\),\(AC_2 = r + 3\),\( |\; AC_1 - AC_2 |\; = 2 \)
均內切:\(AC_1 = r - 1\),\(AC_2 = r - 3\),\( |\; AC_1 - AC_2 |\; = 2 \)
......




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