想請教此張考卷的題目6,10,15 ,感謝
6.
若\(\displaystyle \alpha=\sum_{k=0}^{1000}2^k C_k^{1000} \)，\( \alpha \)的最高位數字是\( x \)，個位數是\( y \)，且\( z=x-yi \)，今有複數\( \omega \)，且\( |\; \omega+2-3i |\;=1 \)，則\( |\;z-\omega |\; \)的最小值是。　

10.
設\( \displaystyle \frac{\pi}{4}\le x le \frac{5\pi}{12} \)，則\( \displaystyle f(x)=sin2x \cdot tanx+sinx \cdot tan \frac{x}{2} \)的最小值為。

15.
設實係數方程式\( x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0 \)，有四個相異虛根，其中兩根的和是\( 2+3i \)，另兩根的乘積是\( 4+3i \)，則\( b \)值為。

第 6 題

\(\displaystyle \alpha=\sum_{k=0}^{1000}2^k C_k^{1000}=(1+2)^{1000}\)

\(\log \alpha = 1000 \log 3\approx 1000\times 0.4771 = 477.1 = 477 + 0.1\)

且因為 \(\log 1<0.1< \log 2\)，所以 \(\alpha\) 的最高位數字為 \(1\)

\(3^{1000} = (3^2)^{500} = (10-1)^{500} \equiv (-1)^{500} \equiv 1 \pmod{10}\)

\(\Rightarrow \alpha\) 的個位數字為 \(1\)

因此 \(z=1-i\)，

在複數平面上，\(\omega\) 所表示的是「以 \(-2+3i\) 為圓心，\(1\) 為半徑的圓周上的動點」

因此 \(\left|z-\omega\right|\) 的最小值為 \(\sqrt{\left(1-\left(-2\right)\right)^2+\left(\left(-1\right)-3\right)^2}-1=4.\)

第 10 題

\(\displaystyle f(x)=\sin 2x\cdot\tan x+\sin x\cdot\tan\frac{x}{2}\)

　　\(\displaystyle =2\sin x\cos x\cdot\frac{\sin x}{\cos x}+2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}\cdot\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}\)

　　\(\displaystyle =2\sin^2 x + 2\cdot\sin^2\frac{x}{2}\)

　　\(\displaystyle =2\left(1-\cos^2 x\right) + 1-\cos x\)

令 \(t=\cos x\)，

因為 \(\displaystyle \frac{\pi}{4}\leq x\leq \frac{5\pi}{12}\)，

所以 \(\displaystyle \cos \frac{5\pi}{12}\leq \cos x\leq \cos\frac{\pi}{4}\Rightarrow \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\leq t\leq \frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\displaystyle f(x)=2\left(1-t^2\right)+\left(1-t\right)=-2\left(t+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{25}{8}\)

畫出開口向下拋物線的圖形（圖略），可以發現頂點不在限制範圍內，

因此，

當 \(\displaystyle t=\frac{1}{\sqrt 2}\) 時，\(f(x)\) 有最小值為 \(\displaystyle \frac{4-\sqrt{2}}{2}.\)

第 15 題

同 https://math.pro/db/thread-456-1-1.html

請教填充第8題，感謝。

第8題
設該整數根為\(n\)
\(\begin{align}
  & {{n}^{2}}-\left( 3+\sqrt{2} \right)n+\sqrt{2}m-4=0 \\
& \left( {{n}^{2}}-3n-4 \right)+\left( m-n \right)\sqrt{2}=0 \\
& {{n}^{2}}-3n-4=0\ and\ m-n=0 \\
& m=n=4\ or\ -1 \\
\end{align}\)