其他討論請見
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1535
計算題
1.求\( \displaystyle tan^{-1} \frac{1}{3}+tan^{-1} \frac{1}{5}+tan^{-1} \frac{1}{7}+tan^{-1} \frac{1}{8} \)之值為何？
類似題
試求正整數n使得下式成立\( \displaystyle tan^{-1} \frac{1}{3}+tan^{-1} \frac{1}{4}+tan^{-1} \frac{1}{5}+tan^{-1} \frac{1}{n}=\frac{\pi}{4} \)。
(99東山高中，
https://math.pro/db/thread-941-1-1.html)
Find the value of \( 10 cot(cot^{-1}3+cot^{-1}7+cot^{-1}13+cot^{-1}21) \).
(1984AIME，
https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_13)
8.令f(x)為領導係數為1的實係數四次多項式，且\( f(99)=2 \)，\( f(98)=5 \)，\( f(97)=10 \)，\( f(96)=17 \)，試求\( f(100)= \)？
2010.7.20
原本的解法有錯,感謝johncai指正
\( f(x) \)為四次多項式，且\( f(1996)=0 \)，\( f(1998)=1 \)，\( f(2000)=4 \)，\( f(2002)=27 \)，\( f(2004)=256 \)，求\( f(2008) \)之值？
(97中一中，
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=46779)
若五次實係數多項式f滿足\( f(0)=1 \)，\( f(1)=3 \)，\( f(2)=4 \)，\( f(3)=5 \)，\( f(4)=6 \)，\( f(5)=18 \)，則\( f(6)= \)？
(2004TRML個人賽)
103.9.12補充
計算題9.
今一單位球(半徑為1的球)球心為原點，且球面上兩點P、Q座標分別為\( P(1,0,0) \)、\( \displaystyle Q(0,\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}) \)，延著球面行進，於PQ最短路徑中取一點R，使得(PR弧長)：(QR弧長)=1：2，試求R點座標。
\( ∠POQ=90^{\circ} \)，(PR弧長)：(QR弧長)=1：2得到\( ∠PAR=30^{\circ} \)，\( ∠QOR=60^{\circ} \)。
\( ∠PAR=30^{\circ} \)，\( \overline{OR}=1 \)，\( \overline{OA}⊥ \overline{RA} \)得到\( \displaystyle \overline{OA}=\frac{\sqrt{3}}{2} \)，\( \displaystyle \overline{AR}=\frac{1}{2} \)。
\( \overline{OQ'}=\overline{Q'Q}=\frac{\sqrt{2}}{2} \)得到\( ∠QOQ'=45^{\circ} \)
所以平面POQR和\( xy \)平面夾角\( 45^{\circ} \)，得到\( ∠RAR'=45^{\circ} \)
\( \displaystyle \overline{AR}=\frac{1}{2} \)，\( ∠RAR'=45^{\circ} \)得到\( \displaystyle \overline{AR'}=\overline{R'R}=\frac{\sqrt{2}}{4} \)
R點坐標為\( \displaystyle (\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{2}}{4},\frac{\sqrt{2}}{4}) \)
[延伸思考]
假設地球為一球體，今以地球球心為原點，地球半徑為單位長，建立一直角坐標系。設地球表面上有甲乙丙三地，甲、乙兩地的坐標分別為\( (1,0,0) \)、\( \displaystyle (\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}) \)，而丙地正好是甲地之間最短路徑的中點，則丙地的坐標為？
(90自然組大學聯考)
(98嘉義高中則將坐標改為\( (1,0,0) \)、\( \displaystyle (\frac{3}{7},\frac{2}{7},\frac{6}{7}) \)其他則一模一樣)
有一種算法是先求甲\( (1,0,0) \)、乙\( \displaystyle (\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}) \)的中點\( \displaystyle (\frac{3}{4},\frac{1}{4},\frac{\sqrt{2}}{4}) \)
長度\( \displaystyle \sqrt{\left( \frac{3}{4} \right)^2+\left( \frac{1}{4} \right)^2+\left( \frac{\sqrt{2}}{4} \right)^2}=\frac{2 \sqrt{3}}{4} \)
再換成單位向量\( \displaystyle \frac{1}{\frac{2 \sqrt{3}}{4}}(\frac{3}{4},\frac{1}{4},\frac{\sqrt{2}}{4})=(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{6},\frac{\sqrt{6}}{6}) \)就是丙地坐標
想想看為什麼可以這樣算？若將條件換成弧長\( 1:2 \)時，用內分點公式算出三等分點後換成單位向量答案卻是錯的，為什麼這個方法不能用在弧長\( 1:2 \)的條件上？
99大安高工這題\( P(1,0,0) \)在x軸上，\( \displaystyle Q(0,\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}) \)在\( yz \)平面上，而且角度有\( 90^{\circ} \)、\( 45^{\circ} \)、\( 30^{\circ} \)等特別角，似乎條件要特別湊好才能算出答案，假若下次考試時P、Q隨便取兩個坐標\( \displaystyle (\frac{1}{\sqrt{14}},\frac{2}{\sqrt{14}},\frac{3}{\sqrt{14}}) \)、\( \displaystyle (\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3}) \)，那你要用什麼方法算出答案呢？
110.8.15補充
今一單位球(半徑為1的球)球心為原點，且球面上兩點\(P\)、\(Q\)座標分別為\(\displaystyle P(1,0,0),Q(-\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{\sqrt{3}}{4})\)，沿著球面行進，於\(PQ\)最短路徑中取一點\(R\)，使得弧\(PR\)：弧\(QR=1:3\)，試求\(R\)點座標。
(1092中山大學雙週一題第6題，
http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2021s/1092Q&A.htm)
112.4.24補充
將地球儀設定成一個坐標空間，其中球心為原點\(O\)，地球儀上\(A\)，\(B\)兩個城市的坐標分別為\(A(1,0,0)\)，\(\displaystyle B\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)，而\(C\)城市正好是\(A\)，\(B\)兩個城市之間最短路徑的中點，試求\(C\)城市的坐標為？
(112台南女中，
https://math.pro/db/thread-3730-1-1.html)
