引用:

原帖由 mandy 於 2010-5-27 09:06 PM 發表
請問為什麼第9題的P(1)=5/6 ?  ..........一顆骰子有偶數顆為1點的機率不是0嗎?

丟一顆骰子，可能出現的點數有 123456

如果出現的點數是 1，則有一顆（奇數顆）1 點.

如果出現的點數是 23456，則有零顆（偶數顆）1 點.

所以，丟一顆骰子時，出現有偶數顆 1 點的機率是 65

請問計算證明題在單位圓上的極值如何求 ? 我用langrange multipler 做不出 .

計算證明題：試求函數 f(xy)=x+y2 在單位圓 (xy)x2+y2=1  上的極值，並找出發生極值的點。

解一、

f(xy)=x+y2=x+1−x2=−x−212+4545 

因為 y2=1−x20−1x1，

所以，

當 x=21 時，f(xy) 有最大值為 45，此時 (xy)=(2123) 。

當 x=−1 時，f(xy) 有最小值為 −1，此時 (xy)=(−10)。




解二、

令 (xy)=(cossin)，其中 02，

則 .......(後半段跟"解一"差不多，表示成 cos 的一元二次方程式，再配方求極值。)



解三、

令 g(xyk)=x+y2+kx2+y2−1 ，

解聯立方程式 xg=yg=kg=0，

可得 (xyk)=−1021102−12123−1212−3−1 

可得極值 f(−10)=−1，f(10)=1，f(2123)=45 。

在請教第二題 : 一線段長15, 做成一正三角形......... ?

國立屏北高級中學 99 學年度第一次教師甄選（清華原住民教育實驗專班）
第 2 題：有一線段長 15，以此線段做一正三角形、一正方形和一圓，請問三者面積和的最小值為何.

解答：

設正三角形邊長為 a、正方形邊長為 b、圓的半徑為 c，

則 3a+4b+2\pi c=15，

題目所求三者的面積為 \displaystyle \frac{\sqrt{3}a^2}{4}+b^2+\pi c^2，

由科西不等式可得

　　\displaystyle \left(\left(\frac{6}{\sqrt[4]{3}}\right)^2+\left(4\right)^2+\left(2\sqrt{\pi}\right)^2\right)\left(\left(\frac{\sqrt[4]{3} a}{2}\right)^2+\left(b\right)^2+\left(\sqrt{\pi} c\right)^2\right)\geq\left(3a+4b+2\pi c\right)^2

\displaystyle\Rightarrow \mbox{三者面積和}\geq\frac{225}{12\sqrt{3}+16+4\pi}

且當等號成立時，若且唯若 .....((這一段不寫了啦～～應該可以自己檢查等號是有可能成立的！感謝～：Ｐ))

引用:

原帖由 weiye 於 2010-5-13 01:47 PM 發表


設 x,y,z 為正實數， \displaystyle \left\{\ \matrix{9=x^2+y^2+xy \cr 16=y^2+z^2+yz \cr 25=z^2+x^2+zx }\right. ，求 x+y+z= ？

解答： ...

這題若出x,y,z為實數,解題過程就很麻煩了
且x+y+z的值會有四組解...

引用:

原帖由 Ellipse 於 2011-3-24 12:02 AM 發表
這題若出x,y,z為實數,解題過程就很麻煩了
且x+y+z的值會有四組解...

還蠻有趣的，不限定要"正實數"的話，

用 WolframAlpha 解出來 x+y+z=\pm\sqrt{25+12\sqrt{3}} 或 \pm\sqrt{25-12\sqrt{3}}

（也就是 x+y+z 的四個可能值剛好會是 t^4-50t^2+193=0 的四個根。）

WolframAlpha：這裡

請問填充第4題如何求 ?

國立屏北高級中學 99 學年度第一次教師甄選（清華原住民教育實驗專班）
第 4 題：若地球方程式為 x^2+y^2+z^2=100，且北緯 \theta 所在的平面方程式為 x+2y-2z=6，請問南緯 3\theta 所在的平面為何？


解答：

地球半徑 =10，

　　球心到北緯 \theta 所在平面的距離\displaystyle=10\sin\theta=\frac{\left|0+2\cdot0-2\cdot0-6\right|}{\sqrt{1^2+2^2+\left(-2\right)^2}}\Rightarrow \sin\theta=\frac{1}{5}

　　\displaystyle\Rightarrow\sin 3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta=\frac{71}{125}

球心到南緯 3\theta 所在平面的距離 \displaystyle=10\sin3\theta=\frac{142}{25}

令所求平面方程式為 x+2y-2z=k，則

　　　　　　　　　　　　　　　　　\displaystyle\frac{142}{25}=\frac{\left|0+2\cdot0-2\cdot0-k\right|}{\sqrt{1^2+2^2+\left(-2\right)^2}}

　　　　　　　　　　　　　　　　　\displaystyle k=\pm\frac{426}{25}

所得兩平面方程式 \displaystyle x+2y-2z=\pm\frac{426}{25} 為南緯及北緯3\theta 所在的平面，

其中距離 x+2y-2z=6 比較遠的平面是 \displaystyle x+2y-2z=-\frac{426}{25}，

所以，南緯 3\theta 所在的平面方程式為\displaystyle x+2y-2z=-\frac{426}{25}。

請問第六題：已知等腰三角形，若腰上的中線長為6。求三角形面積的最大值為何?