引用:

原帖由 mandy 於 2010-5-27 09:06 PM 發表
請問為什麼第9題的P(1)=5/6 ?  ..........一顆骰子有偶數顆為1點的機率不是0嗎?

丟一顆骰子，可能出現的點數有 \(1,2,3,4,5,6\)

如果出現的點數是 \(1\)，則有一顆（奇數顆）\(1\) 點.

如果出現的點數是 \(2,3,4,5,6\)，則有零顆（偶數顆）\(1\) 點.

所以，丟一顆骰子時，出現有偶數顆 \(1\) 點的機率是 \(\displaystyle\frac{5}{6}.\)

請問計算證明題在單位圓上的極值如何求 ? 我用langrange multipler 做不出 .

計算證明題：試求函數 \(f(x,y)=x+y^2\) 在單位圓 \(\displaystyle\left\{(x,y)\Big|x^2+y^2=1\right\}\) 上的極值，並找出發生極值的點。

解一、

\(\displaystyle f(x,y)=x+y^2=x+\left(1-x^2\right)=-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{4}\leq\frac{5}{4}\)

因為 \(y^2=1-x^2\geq0\Rightarrow -1\leq x\leq1\)，

所以，

當 \(\displaystyle x=\frac{1}{2}\) 時，\(f(x,y)\) 有最大值為 \(\displaystyle\frac{5}{4}\)，此時 \(\displaystyle(x,y)=(\frac{1}{2},\frac{\pm\sqrt{3}}{2})\)。

當 \(\displaystyle x=-1\) 時，\(f(x,y)\) 有最小值為 \(-1\)，此時 \((x,y)=(-1,0)\)。




解二、

令 \((x,y)=(\cos\theta,\sin\theta)\)，其中 \(0 \leq\theta<2\pi\)，

則 .......(後半段跟"解一"差不多，表示成 \(\cos\theta\) 的一元二次方程式，再配方求極值。)



解三、

令 \(g(x,y,k)=x+y^2+k\left(x^2+y^2-1\right)\)，

解聯立方程式 \(\displaystyle\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{\partial g}{\partial y}=\frac{\partial g}{\partial k}=0\)，

可得 \(\displaystyle(x,y,k)=\left(-1,0,\frac{1}{2}\right),\left(1,0,\frac{-1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},-1\right),\left(\frac{1}{2},\frac{-\sqrt{3}}{2},-1\right)\)

可得極值 \(f(-1,0)=-1\)，\(f(1,0)=1\)，\(\displaystyle f(\frac{1}{2},\frac{\pm\sqrt{3}}{2})=\frac{5}{4}\)。

在請教第二題 : 一線段長15, 做成一正三角形......... ?

國立屏北高級中學 99 學年度第一次教師甄選（清華原住民教育實驗專班）
第 2 題：有一線段長 \(15\)，以此線段做一正三角形、一正方形和一圓，請問三者面積和的最小值為何.

解答：

設正三角形邊長為 \(a\)、正方形邊長為 \(b\)、圓的半徑為 \(c\)，

則 \(3a+4b+2\pi c=15\)，

題目所求三者的面積為 \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}a^2}{4}+b^2+\pi c^2\)，

由科西不等式可得

　　\(\displaystyle \left(\left(\frac{6}{\sqrt[4]{3}}\right)^2+\left(4\right)^2+\left(2\sqrt{\pi}\right)^2\right)\left(\left(\frac{\sqrt[4]{3} a}{2}\right)^2+\left(b\right)^2+\left(\sqrt{\pi} c\right)^2\right)\geq\left(3a+4b+2\pi c\right)^2\)

\(\displaystyle\Rightarrow \mbox{三者面積和}\geq\frac{225}{12\sqrt{3}+16+4\pi}\)

且當等號成立時，若且唯若 .....((這一段不寫了啦～～應該可以自己檢查等號是有可能成立的！感謝～：Ｐ))

引用:

原帖由 weiye 於 2010-5-13 01:47 PM 發表


設 \( x,y,z \)為正實數，\( \displaystyle \left\{\ \matrix{9=x^2+y^2+xy \cr 16=y^2+z^2+yz \cr 25=z^2+x^2+zx }\right. \)，求\( x+y+z= \)？

解答： ...

這題若出x,y,z為實數,解題過程就很麻煩了
且x+y+z的值會有四組解...

引用:

原帖由 Ellipse 於 2011-3-24 12:02 AM 發表
這題若出x,y,z為實數,解題過程就很麻煩了
且x+y+z的值會有四組解...

還蠻有趣的，不限定要"正實數"的話，

用 WolframAlpha 解出來 \(x+y+z=\pm\sqrt{25+12\sqrt{3}}\) 或 \(\pm\sqrt{25-12\sqrt{3}}\)

（也就是 \(x+y+z\) 的四個可能值剛好會是 \(t^4-50t^2+193=0\) 的四個根。）

WolframAlpha：這裡

請問填充第4題如何求 ?

國立屏北高級中學 99 學年度第一次教師甄選（清華原住民教育實驗專班）
第 4 題：若地球方程式為 \(x^2+y^2+z^2=100\)，且北緯 \(\theta\) 所在的平面方程式為 \(x+2y-2z=6\)，請問南緯 \(3\theta\) 所在的平面為何？


解答：

地球半徑 \(=10\)，

　　球心到北緯 \(\theta\) 所在平面的距離\(\displaystyle=10\sin\theta=\frac{\left|0+2\cdot0-2\cdot0-6\right|}{\sqrt{1^2+2^2+\left(-2\right)^2}}\Rightarrow \sin\theta=\frac{1}{5}\)

　　\(\displaystyle\Rightarrow\sin 3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta=\frac{71}{125}\)

球心到南緯 \(3\theta\) 所在平面的距離 \(\displaystyle=10\sin3\theta=\frac{142}{25}\)

令所求平面方程式為 \(x+2y-2z=k\)，則

　　　　　　　　　　　　　　　　　\(\displaystyle\frac{142}{25}=\frac{\left|0+2\cdot0-2\cdot0-k\right|}{\sqrt{1^2+2^2+\left(-2\right)^2}}\)

　　　　　　　　　　　　　　　　　\(\displaystyle k=\pm\frac{426}{25}\)

所得兩平面方程式 \(\displaystyle x+2y-2z=\pm\frac{426}{25}\) 為南緯及北緯\(3\theta\) 所在的平面，

其中距離 \(x+2y-2z=6\) 比較遠的平面是 \(\displaystyle x+2y-2z=-\frac{426}{25}\)，

所以，南緯 \(3\theta\) 所在的平面方程式為\(\displaystyle x+2y-2z=-\frac{426}{25}\)。

請問第六題：已知等腰三角形，若腰上的中線長為6。求三角形面積的最大值為何?