填充第 3 題

題目：

已知 z1z2 是複數，且 z1+z2=−cosz12+z22=3−2csc2−sin2，其中 4560，若 z1 的最大值為 M，最小值為 m，則數對 Mm=? 

解答：

z1+z2z12+z22==−cos...（1）3−2csc2−sin2...（2） 

將（1）平方之後與（2）相減，可得 z1z2=cot2

所以，z1 與 z2 為實係數一元二次方程式 z2+cosz+cot2=0 的兩根，

因為其判別式=cos2−4cot2=cos2−cot2−3cot204560 

所以，z1 與 z2 為共軛複數，

因此 z12=z1z2=cot2

　cot260z12cot245

　33z11 


以上想法如有疏漏，煩請不吝指教，感激。




註：感謝 Ellipse 提醒小弟數字上的錯誤！感謝～ ^__^

填充1(我現在才看清楚題目,會不會太晚....=_=)
ABCD是正四面體,三角形ABC內有一點E
這一點到三邊的距離和為三角形的高可以確定
那這一點到其他三面的距離和也是定值嗎?
會不會剛好就是四面體的高啊?
再此再度向各位討教!

填充第 1 題

設 ABCD 為正四面體，ABC 內部有一點 E，點 E 到 DABDBCDCA 距離之和為 m，

點 E 到 ABBCCA 距離之和為 M，求 Mm



解答：

設此正四面體任兩面夾角為 ，則　cos=31　且


「E 到 AB稜線的距離」「E 到 ΔDAB 的距離」

　=「E 到 BC稜線的距離」「E 到 ΔDBC 的距離」

　\displaystyle=\frac{\mbox{「E 到 ΔDCA 的距離」}}{\mbox{「E 到 CA稜線的距離」}}

　=\sin\theta

　\displaystyle=\frac{2\sqrt{2}}{3},



再用和比性質，可得所求亦為  \displaystyle\sin\theta=\frac{2\sqrt{2}}{3}.

引用:

原帖由 八神庵 於 2010-7-1 04:16 PM 發表
填充1(我現在才看清楚題目,會不會太晚....=_=)
ABCD是正四面體,三角形ABC內有一點E
這一點到三邊的距離和為三角形的高可以確定
那這一點到其他三面的距離和也是定值嗎?
會不會剛好就是四面體的高啊?
再此再度向各位 ...

ABCD為正四面體，P為內部一點，那麼
ABCD可以分成PABC、PBCD、PACD、PABD四塊
計算體積可以得到結果

謝謝weiye老師對99桃園現職解答,我想請問各位老師計算題 4,和計算 5 的(a)答案是否為3/4 , (b)答案是否為150 ,(c)如何說明 ? 我是用轉移矩陣算的 , 還有計算題6的(c)如何算出 ? 謝謝

計算題第 4 題：見 thepiano 老師回覆 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1437 當中的第二題即是。


計算題第 5 題：

我的轉移矩陣是 \displaystyle A=\left[\begin{array}{ccc}\displaystyle \frac{1}{3}&\frac{1}{3}&0\\ \frac{2}{3}&\frac{1}{2}&1\\ 0&\frac{1}{6}&0\end{array}\right]

其中上方的三的狀態分別是甲有 50+50元、100+50元、100+100元，

轉移後的左方三的狀態分別是甲有 50+50元、100+50元、100+100元。

而初始矩陣 \displaystyle X_0=\left[\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right]

因為 \displaystyle A^3X_0=\left[\begin{array}{c}\displaystyle \frac{11}{36}\\ \frac{127}{216}\\ \frac{23}{216}\end{array}\right]

所以，第三局結束時，甲袋中有 150 元的機率為 \displaystyle \frac{127}{216}.

第三局結束時，甲袋中金額的期望值為 \displaystyle 100\times \frac{11}{36}+150\times\frac{127}{216}+200\times\frac{23}{216}=\frac{15125}{108}.

第三局結束時，乙袋中金額的期望值為 \displaystyle 100+100+50+50+50-\frac{15125}{108}=\frac{22675}{108}.

長期而言，設達穩定狀態的矩陣為 \displaystyle P=\left[\begin{array}{c}x\\y\\1-x-y\end{array}\right]，

由 AP=P，可解得 \displaystyle x=\frac{3}{10}, y=\frac{3}{5}，

所以，長期而言，甲袋中金額的期望值為 \displaystyle 100\times \frac{3}{10}+150\times\frac{3}{5}+200\times\left(1-\frac{3}{10}-\frac{3}{5}\right)=140<150.





計算題第 6 題. (c) 區間長度＝\displaystyle 4\sqrt{\frac{\hat{p}\left(1-\hat{p}\right)}{n}}=4\sqrt{\frac{-\left(\hat{p}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}}{n}}\leq 2\sqrt{\frac{1}{n}}，
所以只要取 \displaystyle 2\sqrt{\frac{1}{n}}=e\Leftrightarrow n=\frac{4}{e^2}，即可保證區間長度絕對不會超過 e.

weiye老師,thepiano老師的解答,我有看過,我是不明白的有(1)定理一,兩個tan相乘等於(c-a)/(c+a),此定理如何導出,(2)中間一段lim(x0趨近無限大)y=...=b時,...PF1F2之內心軌跡為x=a(-b<y<b,y不等於0),這段為什麼知道內心軌跡為x=a,希望這兩個問題能幫忙解惑,謝謝

(1)

如圖，

qq.png (18 KB)

2012-4-11 23:45

\displaystyle \frac{\tan\displaystyle \frac{\alpha}{2}}{\tan\displaystyle \frac{\beta}{2} }=\frac{\tan ∠IF_1D}{\tan ∠IF_2D}

　　\displaystyle =\frac{\displaystyle \frac{ID}{F_1D}}{\displaystyle \frac{ID}{F_2D}}

　　\displaystyle =\frac{F_2D}{F_1D}

　　\displaystyle =\frac{\displaystyle \frac{F_1F_2+PF_2-PF_1}{2}}{\displaystyle \frac{F_1F_2+PF_1-PF_2}{2}}

　　\displaystyle =\frac{\displaystyle \frac{2c-2a}{2}}{\displaystyle \frac{2c+2a}{2}}

　　\displaystyle =\frac{c-a}{c+a}.

(2)

若 P 在右葉，可解出來 I 點滿足 x=a，且後方繼續推論得到 -b<y<b，

同理若 P 在左葉，可解出來 I 點滿足 x=-a 且 -b<y<b。

故，內心的軌跡是兩平行線段。

引用:

原帖由 weiye 於 2010-7-2 12:17 AM 發表
填充第 1 題

設 ABCD 為正四面體，\triangle ABC 內部有一點 E，點 E 到 \triangle DAB, \triangle DBC, \triangle DCA 距離之和為 m，

點 E 到 \overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CA} ...

感謝weiye老師的解釋,請問weiye老師您這裡提到那兩個比是任二面的餘弦比,可是,E點是空間中一點,E點未在任何一個平面上,為何納兩個距離比就是任二面的夾角餘弦值呢?謝謝

題目有說 E 在 \triangle ABC 內部，可知 E 與 \triangle ABC 共平面。